广西南宁市东盟中学2026届高三毕业班下学期开学适应性测试数学试卷（含答案）

南宁市东盟中学2026届毕业班春季开学适应性测试数学试卷(考试时间:120分钟试卷满分:150分)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=x x2A.{1}B.{0,2.已知i为虚数单位,且zi=1+i,则A.1B.2C.3D.23.设向量a=−1,x,向量b=2−x,x,若A.-2B.2C.1D.-2或14.已知等差数列an的前n项和为Sn,若S4=3A.13B.14C.15D.165.已知函数fx=Asinωx+φA.直线x=5π6是B.fx图象的对称中心为C.fx在区间−πD.将fx的图象向左平移π126.已知函数fx的定义域为R,fx+2是偶函数，f4=2,fxA.14,C.−∞,−1∪7.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为FA.2B.3C.2D.38.已知a=5eA.b>a>cB.b二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分).9.下列说法中,正确的命题是().A.已知随机变量X服从正态分布N2,σ2B.线性相关系数r越大,两个变量的线性相关性越强;反之,线性相关性越弱C.已知两个变量具有线性相关关系,其回归直线方程为y=a+bx,若b=D.若样本数据2x1+1,2x2+10.如图,已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为1,侧棱长为2,点E为侧棱CC1A.直线BB1与平面αB.直线CD与平面α不可能垂直C.若C1E=EC且E∈α,则平面D.直线AB与平面α所成角的正弦值的范围为011.我国著名数学家华罗庚先生说:“就数学本身而言，是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美.”图形美是数学美的重要方面.如图,由抛物线y2=2pxp>0A.开口向下的抛物线的方程为xB.若AB=8,则C.设p=1,则t=1时,直线D.无论p为何值，过点B且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分).12.x3−13.已知函数fx=x2+2x−3,x14.如图,在一次社会实践中某学校数学探究实验组设计一个“门把手”,其纵截面轮廓线近似曲线C:y①点1,1在C②在1,1处C的切线，其与C③若C在x轴上方的部分为函数fx的图象,则x=63是④C在y轴左边的部分到坐标原点O的距离均大于2.其中正确结论的序号是_____.四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).15.设数列an的前n项和为Sn,且(1)证明:an(2)若bn=log2an，令cn=1b2n−116.已知△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,(1)求角C；(2)若c=214，点D在边AB上，若CD是∠C的平分线，且CD=17.在四棱锥P−ABCD中,直线PA⊥平面ABCD(1)求证:直线DE⊥平面PAC(2)若直线PE与平面PAC所成角的正弦值为55，求二面角A−18.每年12月4日是全国普法宣传日，某校对高三年级600名学生法治素养现状进行调查研究,举行了一次“普法知识”竞赛.从中随机抽取60名学生,统计结果如下:获奖人数占总人数的23，其中获奖人数中，男生占34，不获奖人数中，女生占(1)现从这60名学生中随机抽取1名学生，求恰好是女生的概率；(2)对获奖学生采用按性别分层随机抽样的方法选取8人，参加赛后经验交流活动.若从这8人中随机选取2人.①求在2人中有女生入选的条件下，恰好选到1名男生和1名女生的概率；②记X为入选的2人中的女生人数,求随机变量X的分布列及数学期望.19.已知函数fx(1)若直线l与函数fx,gx的图象均相切，求直线(2)记Fx(i)求Fx(ii)若Fx1+Fx2=01.B因为A=B因此,A∩故选:B.2.D由题意知,zi2=i+i2所以z=1+i,所以故选:D3.C由a⊥b和a=b可得x−故选:C4.B方法1:由等差数列前n项和的性质可知:在等差数列an中,Sn所以S4,S8−又S4=3,S解得S8方法2:设等差数列an首项为a1,公差为由等差数列前n项和公式Sn=S联立解得a1所以S8故选:B.5.D由图易知A=2,14又T=2πω=π,ω>02得到φ=π3+2kπk∈Z,又φ<π对于选项A,由2x+π3=π2+kπk∈Z,得x=π12+对于选项B,由2x+π3=kπ,得x=−π6+kπ2,k∈Z,函数对于选项C,由−π2+2kπ≤当k=0时,得到−5π12≤x对于选项D,将fx的图象向左平移π12个单位长度后得y=2sin2故选:D.6.Afx+2是偶函数,∴函数fx关于x=2对称,∴−∞,2上单调递增,∴fx在2,+∞单调递减,∴f4x−1>2可化为0<4x−故选:A7.A双曲线x2a2−y2b2=以OF为直径的圆的方程x−c22+设点A在渐近线y=b由x2−cx+y2=0y解得x=a2c或x=0(原点,舍去),此时又OA=b,即a2c2+abc2所以e=故选:A.8.A令f1可得a=设fx=lnf1x可得f′x=−x1−x<0所以fx<f0=0,即故f115<f设gx=f1x可得g′x=1+可得h′x=1−x2−2x⋅所以hx>h0=0,可得g′x>0所以gx>g0=故f115>f315故选:A.9.CDA.已知随机变量X服从正态分布N2,PX≥4=1所以P0∴P2<XB.线性相关系数r的范围在-1到1之间，有正有负，相关有正相关和负相关，相关系数的绝对值的大小越接近于1,两个变量的线性相关性越强;反之,线性相关性越弱,故B错误;C.已知两个变量具有线性相关关系,其回归直线方程为y=a+bxy=3,则a=y−bD.设数据x1,x2,…,x16的方差为S2,样本数据2x1+1,2x2+1,…,210.BC对于A:已知α⊥AE,若BB1//α,则需BB1⊥AEBB1⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD,所以BB1⊥AE,故BB1//α可能成立,故A错误;对于B:假设直线CD与平面α垂直,又因为AE⊥α,则AE对于C:当E为CC1的中点时,连接依题意可知D1B1⊥A1C1,所以AA又A1C1∩AA1=A1,A1又AE⊂平面A1C1CA又AB⊥平面BCC1B1,B1E又B1E=BE=12+12又AB∩BE=B,AB,BE⊂平面ABE又AE⊂平面ABE,所以B又B1E∩B1所以AE⊥平面D1B1E,则平面α为平面D1B1E又D1所以截面多边形的周长为32,故C对于D:以D为原点,直线DA,DC,DD1则A1,0,0,B1,平面α的一个法向量为AE=−1,1,a,设直线AB与平面所以sinθ=cos⟨AE,所以sinθ所以直线AB与平面α所成角的正弦值的范围为66,22,故故选:BC11.ABD对于A,因为抛物线y2=2pxp>若抛物线逆时针旋转270∘,则开口向下,焦点为0故开口向下的抛物线方程为:x2=−2pyp>0对于B,由题意可知,A,B关于x因为AB=8,设AxA,因为点A在抛物线y2=2pxp>所以xA=8p,即A8由B在抛物线x2=−2pyp>0上,所以64p2=−2p对于C,当p=1,由y2=2xx2=2y由题意直线x=t截第一象限花瓣弦长为所以y′=22t−12−当0<t<312当312<t<2所以当t=312时,函数取到最大值,故对于D,由y2=2pxx2过第二象限的两抛物线分别为:x2=2py对于①，y=x22p，则y′=所以过点B的切线方程为:y+将点m,m22p代入得m2因为m<0,故所以切线的斜率为2−22,故无论p为何值,切线斜率均为2−22由题意可知,x2=2py与y2=−2px故过点B的两切线也关于直线y=x对称,故y2=−2px的切线与直线y=x的夹角为定值,即无论p为何值，过点故选:ABD12.-4展开式的通项为Tr令r=所以常数项为-4,故答案为:-4.13.{−∵fx=x2+2x−3,由图象可知,当k=−4或−3<k时,直线y=因此,所求的k的取值范围是{−4故答案为:{−414.①③④对于①,将点1,1代入到曲线方程中得,12=13−2×1+2对于③，当y>0时，fx=x3当x>63时，当−63<x<6则x=63是对于②，由③可知，f′1=12,f1=1，则以将切线方程代入到曲线方程中得,x3−2x+2显然x=1是方程的根,所以解得x=−74或x=对于④,设x3−2x+2则当x−6当−63<x<6又g−gg所以−2设曲线上的点Px,y,则P到原点O的距离为d=由y2=x3−令hx=x2+令h′x=0,x=−1当x0≤x<−1当−1−73<x又hx所以当x0≤x<0时,hx故答案为:①③④15.(1)an=12n试题分析:(1)利用an=S1,n=1Sn−Sn−1,试题解析:(1)当n=1时,所以a1当n≥2时,两式相减得2a所以an因此an是首项为a1=12于是an(2)由bn=所以cnT==n16.1(2)2(1)依题意12∴tanC=−3,因为C∈0(2)△ABC中，c2=a2又S△ACD+S△BCD联立①②得a217.(1)∵PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴AB⊥PA,PA⊥∴PA，AD，AB两两互相垂直，以A为原点，AB，AD，AP为x，y，z轴的正方向，设P0,0,λλ>∴DE又AC∩AP=A,AC,AP⊂(2)由(1)，得平面PAC的一个法向量是DE=2,−1,0,PE=2,1,−λ，则sinθ=cosPE,设平面PCD的法向量为n=∴由n⊥DC,n⊥令x0=1,则∵二面角A−PC−D是锐角，∴二面角A−18.(1)获奖人数:60×23=40人,不获奖人数:60−40=20人,不获奖女生:20×12=女生总人数:10+10=20(2)按性别分层随机抽取8人，则:抽取男生为8×30抽取女生为8×10①设事件A为“2人中有女生入选”，事件B为“恰好选到1名男生和1名女生”，依据条件概率公式PB∣A=PPA=C61②X表示入选的2人中的女生人数，其可能的取值为0,1,2,PPPX分布列:X012P152831数学期望:EX19.(1)fx定义域为0设函数fx图象上的切点为m切线方程为y−设函数gx图象