2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷02（人教A版必修第一册）解析版

高一数学上学期期末模拟卷02（人教A版

全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证

号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教A版必修第一册

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

2

1.设全集U=R，A={-2t-lM}.B={x\x+x<0],则图中阴影部分表示的集合为（）

A.{-2}B.{1}C.{-2,1}D.{0,1}

【答案】C

【分析】结合图形可得阴影部分表示的集合，然后结合集合的运算，即可得到结果.

【详解】由一十%<0可得工。十1）WO，解得一1WXWO，所以3=口|一1V人M0}，

阴影部分表示的集合为4n（CuB），

ILQB={x<|x<-1或%>0}.4={-2,—1,0,1},

则nr（5B）={-2,1}.

故选：c

2.命题“Vx>0,x2-2x+1>0”的否定是（）

A.VX>0,X2-2X+1<0B.dX>0,X2-2X+1<0

1/15

C.3x<0,x2-2x+1<0D.Vx<0,x2-lx+1<0

【答案】B

【分析】根据全称命题的否定即可得结论.

【详解】“Vx>0,7-2x+l>0”的否定是：3X>0,X2-2X+1<0,

故选：B.

3.在同一坐标系内，函数y=K（。工0）和、=QX-g的图象可能是（）

【答案】A

【分析】根据某函数的图象和一次函数的图象求出a的取值范围，即可进行判断.

【详解】对于A,结合函数、二犬的图象得Q>0,结合y=Q%——的图象得即a>0,可能成立,

故A正确；

对于B,结合函数y="的图象得a>0,结合y=Q%-｝的图象得—工>o,即QV0,两者矛盾，故B错

Ia

误；

1fa>0

对于C,结合函数y="的图象得aV0,结合y=a%—3的图象得_L<0,即a>0,两者矛盾，故C错

Ia

误；

对于D,结合函数y=%a的图象得avO,结合y=a%-5的图象得｛：*o,无解，故D错误；

故选:A.

4.已知正数满足％+y=1,且％Hy,设a=16xy力=4*•4丫《=工+3，则（）

xy

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.Q,b,c的大小关系不能确定

【答案】B

2/15

【分析】利用基本不等式进行分析，从而确定正确答案.

2

【详解】因为正数x,y满足x+y=l,所以%yW(等)=：,当且仅当％=y=5寸，等号成立.

又xHy,所以xyv；,

则aV4力=4》•"=4》+y=4,c=(x+y)Q+1)=2+1+7>2+2=4,

当且仅当x=y=勺寸，等号成立.又x*y,所以c>4.故a<b<c.

故选：B

5.小李同学在学习了《任意先和弧度制》后，临摹了一件扇形瓷器盘(图1)的大致形状，如图2所示,

已知在扇形。48中，Z.AOB=04=2,则下列结论中错误的是()

图1图2

A.N4OB=60。B.弧长荏=与

C.扇形04B的周长为朗+4D.扇形。48的面枳为与

【答案】D

【分析】根据弧度制与角度制的互化判断A；根据弧长公式判断B：根据扇形的周长和面积公式判断C和

D.

【详解】对于A：AAOB=1=60°,A正确；

对于B：而=。力•乙4。8=2X三=1B正确；

对干C扇形。力B的周长为匕^+04+08=与+4,CIF确：

对于D：扇形。48的面积为纸4♦编二h2x^=9,D错误；

故选：D

6.若函数f(x)=loga(x+2)+2(a>。且a61)恒过定点则函数g(x)=(n+l)*-m在[1,2]上

的值域为()

A.[0,2]B.[2,8]C.[2,4]D.[2,3]

3/15

【答案】B

【分析】根据对数型函数过定点求出m,n的值，进而得到g(x)的解析式，根据g(x)的单调性求值域即可.

【详解】因为对数函数y=logM恒过(1,0)，所以当/(%)=loga(x+2)+2恒过定点M(—1,2),

即m=-1,n=2.

所以9(%)=(九+1尸+m=3”—1.

因为9(%)=3*—1在［10单调递增，g(l)=31=2,g(2)=32-1=8,

所以函数g(盼在［1,2］上的值域为［2,8］.

故选：B.

7.设Q=log56-Iog53,b=ln：+ln5,c=10呜，则a”,c的大小关系为()

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<a<c

【答案】C

【分析】利用指数、对数的性质和运算法则，结合换底公式，用作差法计算比较大小.

【详解】•••Q=log56-log53=log5(0=iog52,

/)=ln|+ln5=ln0x5)=ln2,

c=10戚=I，

logs2=y^|,ln5>Ine=1,

:.G=log52<ln2=b,

o

c=log52-1=log52-log553=log5(^

—4D<1,5>1,

二a—cV0,即a<c,

b—c=ln2—g=ln2—Ine彳==也住)'，**'工〉l,e>1,

b-c>0,即b>c,

a<c<b,故C正确.

故选:C.

8.已知函数f(%)=k)g2X,QN2),若方程/(4*+1)—/(上2'+。=”有唯一实根，则实数A的取值范围为

()

A.[k\k=l]B.[k\k>^2]C.{k|k>a或1}D.依|k>鱼或A:<0}

【答案】A

4/15

【分析】根据/(%)，可得/'(4、+1)的定义域，所以{人241(之2,即可得攵之合■在［0，+8)上恒成立，根

据，'=品■在。+8)上的单调性，可得％的范围，又/'(4x+l)-f(M2x+A)=x,根据对数的运算性质，

可得(攵一1)(2%)2+人2、-1=0,利用换元法，令亡=2"之1,可得佻-1)产+小［-1=0在口,+8)上有

唯一实数根，分别讨论k=1和々〉1两种情况，根据函数的性质，求得“值，综合即可得答案.

【详解】因为/(%)的定义域为［2,+8),所以铲+1N2,解得工20,

所以/(4、+1)的定义域为［0,+8),

由(k-^+k>2f得卜-在⑼+8)上恒成立，

因为y=w在⑼+8)上单调递减，

所以当无—。时，'max=1,所以A—1，

又/(4丫+1)—/(上2*+攵)=%,

xx

所以10g2(#+1)-10g2(/c2+k)=x=log22,

则蒜=2。W(k-l)(2x)2+k-2x-l=0,

令£=2"N1,则(左一1)£2+1.1-i=0在口,+8)上有唯一实数根，

令g(t)=(k-1)〃+k•t-1，t€［1,+co),

当A=1时，令g(t)=0,贝股=1,即2*=1,解得3=0,符合题意，

当A>1时，A=fc2+4(/c-l)>0,对称轴为£=五三77=-4一茄匕〈一3

所以g(t)在［1,+8)上单调递增，

所以只需g(l)=2k—240,解得kWl,

因为k>l,所以此时无解，

综上,实数一的取值范围是伙他=1}.

故选：A

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.己知Q>b,则下列不等式一定成立的是().

A.B.C.2D.|a|>\b\

【答案】BC

【分析】根据不等式的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.

5/15

【详解】对于A,令Q=l,匕=一1,有卜木故A错误；

对于B,当。＞匕A0时，由不等式的性质得：。3＞报：

当匕VQWO,有一匕,一Q工0,所以(一瓦)3＞(—a)3,即一振＞—Q3,“3＞匕3；

当a＞0,bvo时，显然凉〉〃，故B正确；

对于C，煮一9＞0，故C正确.

对「D,令Q=1,b=-1,有⑷=|b|,故D错误,

故选：BC.

10.数学家威廉・邓纳姆认为“终极优雅”是“无言的证明”，即通过一个直观、精巧的图示就能完整传达数学

定理的证明.如图，48C。为矩形,

A.AD=sin2xB.DE=cos2x

C.CE=cos2xD.:丁"。=tan2%

3△人"

【答案】ABD

【分析】根据三角函数定义，诱导公式，余弦的二倍角公式，以及相似三角形的面积比，逐一证明各选项,

判断正确结果.

【详解】

如图所示，Z.DAE=^—2x,

在△力DE中，芸=cosg_2x),由AE=1,可得/W=cosg—2%)=sin2x,所以A正确;

同理黑=sing-2%),得DE=cos2%,所以B正确;

易知喋=47=cosx,得力8=cos2x,

6/15

则CE=AB-DE=cos2%—cos2x=cos2x—(cos2x—sin2x)=sin2x,所以C错误；

易知△力厂8〜△FEC,保)=taMx,所以D正确；

SAABF\/lA/

故选：ABD.

11.已知函数/若关于％的方程/'QOnk/ER)有四个不同的根，它们从小到大依

次记为打，%2»%3，%4，则()

A.0</c<7B.e"心Ve

c.0<<7D.函数g(x)=/(/(x))—涪8个零点

【答案】BCD

【分析】作出函数/'(x)的图象，对于A：直接观察即可；对于B：通过—求解；对于C：根据

图象得到打+M=-1，ln=3-1+In/—1=0，进一步计算求解；对于D：令f(x)=£,求出f(t)一；=0

的根，代入/(%)=£，继续根据图象可求根的个数.

【详解】因为f(x)=卜:+，

(|lnx-l|,x>0

当欠<0时/(x)=%2+x4-1=(x+1),

所以/■㈤在(一8,—J上单调递减,在［4,。］上单调递增，且/'(())=；，/(-^)=0；

当％>0时，/'(乃=阿％—1|={1「*"二：久，所以/QQ在［e,+8)1：单调递增，在(0,e)上单调递减，

作出函数f(x)的图象如下：

对于A：关于x的方程/(x)=k(kWR)仃四个不同的根，

即函数y=/(x)与y=k的图象有4个交点，由图象可得0<kW；,故A错误;

1a3

对「B：由图可知0Vl—ln%3工为即:41w3<1，解得所W会<e,故B正确;

对于C：由图象知空=一支所以％1+力=-1，且

7/15

2

所以4i%2=(-1—X2)X2=—^2-X2=—(%2+^)

2

又由|ln》3—1|=|lnx4-l|=>lnx3—1+lnx4-1=0=>lnx3x4=2=>%3%4=e,

所以0Wx^2X3X4<故C正确；

对I-D：对「函数g(x)=/(/(x))-p令/'(x)=t,则g(x)=f[t}-^=0,

即/(£)=}因为f(O)=f(—1)=0，f(e7)=1—IneZ=",/(,)=Ine；-1=]

3e25

可存垃=04i=-1工3=est=-3=e4,

4e*

当"x)=t2=0时，由图可得，有2个根，

当/㈤=ti=-1时，由图可得，有0个根，

当/(%)=13=/>1时，由图可得，有3个根，

当/。)=，4=2>1时，由图可得，有3个根，

综合得函数g(x)=/(/(x))一能有8个零点，故D正确.

故选：BCD.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

,一cos34°—2sin64°弘[上

12・s34・的值为

【答案】一旧

【分析】根据两角和的正弦公式计算化简可得结果.

。

【详解】cos34"-2sin64_cos34°-2sin(34°+30°)

sin34e_sinW

_cos34--2sin34"ccs30"-2ccs34"sin3(T_ccsB4'-V^sitW-cosBl__pz

sin34*sin34°

故答案为：一VJ

13.我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但实际上，因为纸

张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当纸张的厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，

张长边为wmm,厚度为xmm的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为gw)mm,厚度

变为(4%)mm.在理想情况下，对折次数n有下列关系：n<|log27(i±：1g2po.3,lg3«0.5,lg7«0.9),

根据以上信息，一张长边长为210mm,厚度为0.05mm的纸最多能对折一次.

8/15

【答案】8

【分析】根据题意解不等式打三彳。g24200得到答案.

【详解】由题意n<|log24200=|(log244-log21000+log21^)=1(2+310g210+log2，

-101701

因为log210=7^=—>0<log2—<1所以n<8+w】og2而=几的最大值为8.

故答案为：8.

14.已知定义在实数集R上的函数/'(x)满足/(%+1)=；+J/Q)一尸(“),则/•(())+/(2025)的取值范围

为.

【答案】停,1+同

【分析】移项平方，令9(%)=『(%)—4"，判断其周期，利用三角代换即可求出；

【详解】定义在实数集R上的函数f(x)满足fOI1)=1I<f(x)-产(x),

则/(%+1)>?

移项平方得：[f(%+1)一才=f(x)-/2(x)=>[/(x)-l]2+[/(x+1)-1]2=:,

令00)=[fW-4,则g(x+1)+g(x)=I，故g(x+2)+gQ+1)=；,

相减可得g(x+2)=g(x),g(l)=g(3)=g(5)=•••=g(2025),

故0(。)+0(2025)=g(0)+g(l)=即[f(0)—J"+『(2025)-^二

设“0)=1+1cos0,/(2O25)=1+1sin仇0W8转,可得打6+x年

•­•/(0)+/(2025)=1+争in(8+?喏」+卦

故答案为：国1+势

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)已知函数/(无)=siiwx+V5COSMV(3>0)的最小正周期为m

⑴求3及府)；

(2)若/(%)的图象向右平移三个单位长度得到函数以乃的图象，求g(x)在区间[合上的值域.

【答案】(1)2;小

⑵[-1,2]

9/15

【分析】（1）利用辅助角公式化简函数式，结合三角函数的周期性可计算参数并求值；

（2）根据三角函数图像变换先得g（x）解析式，再利用正弦函数的性质计算值域即可.

【详解】（1）易知/'（%）=sincox4-V3coso>x=2sin（a）%+三），

又最小正周期为生所以3=2,

C0

即/（%）=2sin（2x+则/1（?=2siny=近

（2）/'（%）的图象向右平移三个单位长度得到g（x）=2sin[2（x--^）+^]=2sin（2x-^）»

因为代片』时，2x-ie[-^],

根据正弦函数的单调性可知2%—^=一押X时，sin（2%-?min=

sin

2%―5=5时即％=*$皿（2%一/1^*=1，W（2x-j）E_；」]，则。（工）W[

16.（15分）

如图圆。和矩形为BCD的周长均为L

（1）当矩形4BCD为正方形时，比较两个图形的面积，并由此解释人们通常把自来水管的横截面制成圆形，而

不是正方形的原因.

⑵当，=12时，设力。，把A/IBC沿AC向△4DC折叠，折过去后交DC于点P,求△/1DP面积的最大值.

【答案】（1）圆面积大于正方形的面积；原因见解析

（2）27-1872

【分析】（1）分别计算圆的面积和正方形的面积，作差比较即可.

（2）设48=无（3<%<6）,则力D=6-X,利用已知条件求出DP,可求得三角形面积，然后利用基本不

等式即可求解面积的最大值.

2

【详解】⑴由题意可得圆0半径为《，面积为Si=n（5）=£；

正方形48。。边长为：，面积为52=白，

aio

所以NT=『K=笔詈=给>。，故SQS2.

10/15

因此，相同材料制成的自来水管，横截面周长相同的条件下为圆形时面积大，因而出水快.

(2)设4B=x(3<xV6),则4D=6一y

设PC=y,则。P=x—y,

由已知可得ib4C=/PAC,

因为力8//CD,^^Z.PCA=Z.BAC,

所以4P/1C=NPC4,

AP=y.

由+。尸2=4P2得侄-x)2+(%—y)2=y2,

6x—18

解得y=i+18,DP=x—y=

所以△40P的面积为

S=^AD-DP=女6—无)^^=3-+^—18=3[—々+当)+可<3X(-672+9)=27-18VL

当且仅当x=Y，即x=3或时得面积的最大值为27-18V2.

17.(15分)设函数/(x)=%+logM，其中Q>0,且QH1.

(1)当Q=2时，求/'(%)的零点个数；

(2)若/")在区间(1,2)和(4,6)内均存在零点，写出一个满足题意的。(结果保留两位小数)，并说明理由.

参考数据:1.486=10.509....

【答案】(1)函数代工)恰有一个零点

(2州的可能值为0.71,或0.72,或0.73,或0.74,理由见解析

【分析】(1)根据函数/(%)的单调性和零点存在性定理判断；

(2)由(1)可知0<。<1,根据零点存在性定理得｛62；g,从而求解a的值.

【详解】(1)a=2时,f(x)=%+log2x,

因为=1°g2T+|=-1+7<0,f(D=bg21+1=。+1>0，

所以/'G)f(l)V0，由零点存在定理，/(%)在区间@,1)存在一个零点，

因为y=%和、=log2%均在(0,+8)单调递增，

所以/(工)="+log2%在(0,+8)单调递增，

所以函数/(外恰有一个零点.

(2)当Q>1时，由(1)可知，f(x)=X+loga不是增函数，

/(X)至多有一个零点，不符合题意；

11/15

当0<QVl时，/(I)=1,/(2)=loga2+2,

f(4)=log«4+4=2/(2),/(6)=log„6+6,

当｛随K时有/WfQ)V。"4)/(6)VO,符合题意;

此时，｛悔■:如得淤心«6<?

因为0.742>俘丫=去(或0.7">0.7082>(乎丫=驰可)

且0.746=(芋)、缪〈詈4

所以〃的可能值为0.71,或0.72,或0.73,或0.74.

18.(17分)设力为实数，已知/'(%)=a+8是定义在R上的奇函数.

(1)求b的值，并用定义证明函数/(%)在R上的单调性；

(2)若对任意Si,S21-l,；］,都存在使得何⑸>心口一/⑸汁成立，求实数〃?的取值范围;

(3)设方程/(Iog4“og2》=一卷的两个根为孙如若1<。工4,求空的取值范围.

【答案】(l)b=一去证明见解析；

小，1j、14

(2)m<-m或m>—：

⑶宸令乂4,4呵

【分析】(1)利用奇函数的定义求出b的值；再利用函数单调性定义，结合指数函数单调性推理得证.

(2)由(1)的信息，求出/(%)在［一1/上的最值，结合已知构建不等式分类求出范围.

(3)由单调性脱去法则“广，利用对数运算建立关系10g2》的一元二次方程，利用韦达定理得(1。&9)2=4+

x2

(log2a)2,再利用对数函数单调性，结合已知求出范围.

【详解】(1)由函数"%)=焉+b是定义在R上的奇函数，得/•〔一%)+/•(%)=(),

则备+>+*+力=°，即WI+2b=0,所以8=一今则八%)=备一也

11414—4,3

设X3X4WR,」53<*4，则/(%3)一/"(孙)=4x3+1—4^4+1=(4*3+1)(4*4+1),

由％3<%4,得0<4孙<4%/(X3)-/(X4)>0,则f(%3)>/(父4)，

所以/(%)在R上单调递减.

(2)依题意，pnf(S3)］max>I/G1)-fMImax=/Q)max一/Wmin，

12/15

而函数/(%)在［一琦上单调递减，

则/(x)max=/(-1)=-1+^=^/Wmin=/(1)=~11~

因此lf(Sl)-f(S2)|max=3+3=V，

当m>0时，［m/(S3)］max=—>|，解得m>拳则m>手

当?71V0时，［m/(S3)］max=—3>V，解得m<-¥,则巾<~T,

OTO。D

所以m的取值范围是m?或m>4.

(3)由⑵知，门1)=一4，且函数f(x)是A上的单调递减函数，

方程/(logfl；,10g2令=一得=f(l)等价于(鬻一1)(唾2%—2)=1,

整理得华鬻一一log2%+1=0,化为(Iog2%)2—(2+log2a)log2x+log2a=0,

令log2%=t,则有/—(2+log2a)t+log2a=0,

且A=(2+log2a尸—41og2a=(log2a尸+4>。恒成立,

则关于t的-■元二次方程有两个不等实根，设为£1、以，且£1=Iog2》i，以二1Og2》2，

于是G+£2=2+log2a,ti•以=log2。，

(ti-以)2=(ti+t2y-4ti-t2=(2+log2a¥-41og2a=4+(log2a尸,

2,2

又(1-C2=lug2^1-lug2X2=lug2；：，W'J(lug2—)=4+(lug2^'»

2

由1VQW4,得4+(log2a产€(4,8］,<(log2^-)<8,

*2

解得一2口<log2^<一2或2<log2^<2近，因此4-*<^</或4<~^<4代，

所以聿勺取值范围是［篇》U(4,4%.

【点睛】结论点睛：函数y=f(Xl的定义区间为。，

①若VxGD,总、有m</'(无)成立，则m</(x)min：

②若WrGD,总有m>f(x)成立，则m>/(x)max：

③若eD,使得m</(x)成立，则m<fWmax；

④若ED,使得m>f(%)成立，则m>/'(%)min.

19.(17分)固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链

线,，方程、=吟3,其中c为参