2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷（北师大版高效培优提升卷）（全解全析）

九年级数学上学期期末模拟卷（北师大版）

提升卷・全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：北师大版九年级上册第一章〜第六章。

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。）

1.如图是一个螺母的示意图，它的俯视图是（）

【答案】B

【分析】本题考查了简单几何体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图.根据从上面看得到的图形是俯

视图，可得答案.

【详解】解：从上面看该零件的示意图是一个正六边形，中间有一个圆且无圆心，

故选:B.

2.若关于x的方程（左-2）/+3、-1=0是一元二次方程，则上的取值范围是（）

A.B.k>2C.k<2D.k丰2

【答案】D

【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的二次项的系数不为0,得到左-2=0,进行求

解即可.

【详解】解：由题意，k-2工。，

A工2：

故选D.

3.不透明的袋子中装有2个红球和1个绿球，它们除颜色外无其他差别.从中随机摸出一个小球，不放回

并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）

4「2-2〜1

A.-B.—C.-D.-

9933

【答案】D

【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.树状图法H以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，

适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率=

所求情况数与总情况数之比.

画树状图得出所有等可能的情况数，找出第一次摸到红球、第二次摸到绿球的情况数，即可确定出所求的

概率.

【详解】解:画树状图如下：

开始

红红绿

/\^\/X

红绿红绿红红

所有等可能的情况有6种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有2种情况，所以第一次摸到红球、

第二次摸到绿球的概率为32=1

63

故答案为：D.

4.如图，在中，ZJCB=90°,。。是斜边上的中线.若。）=6,则.48的长为（)

A.3B.2C.12D.6

【答案】C

【分析】本题主要考查直角三角形的性质：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的•半.根据直角三角形

的性质解决此题即可.

【详解】解：在Rt△48c中，ZACB=90°,CZ）是斜边上的中线，

:.CD=-AB.

2

:.AB=2CD=2x6=\2.

故选：C.

5.反比例函数y=A的图象经过点(_3,5),则女的值为()

x

A.15B.1C.-15D.-1

【答案】C

【分析】本题考查反比例函数的概念，熟练掌握反比例函数的概念是解题关键.

将点坐标代入反比例函数解析式，直接计算k的值.

【详解】•••点(-3,5)在函数y=±的图象上，

x

(k

:.5=—,

—3

k=-\5.

故选C.

6.关于x的方程/+2x+/+4=0的根的情况是()

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等RJ实数根

C.只有一个实数根D.无实数根

【答案】D

【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，当△<()时，方程无实数根.通过计算一元二次方程的判别

式判断根的情况即可.

【详解】解：对于方程/+2X+±2+4=0,

,••<7=1,b=2,c=k2+4^

...判另ij式A=〃-4ac=22-4xlxk2+4)=4-4(/+4)=—4F-12,

•.•40,

…入。，

.♦.△=-4/一124-12<0，

••・方程无实数根，

故选D

7.如图，在平行四边形48CQ中，点£在。。上，若DE:CE=1:2,则ACM与△虫尸的面积比为()

A.1:2B.1:4C.4:9D.2:3

【答案】C

【分析】本题考杳了平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键.根

据平行四边形的性质，可得然后证明△。即S448/，接着根据DE:CE=1:2,得到

三CE二彳2，最后利用相似三角形的性质求得答案.

AB3

【详解】解：•••四边形力88是平行四边形，

AB=CD,AB||CD,

:ACEFsAABF,

V£）£：C£=1:2,

.•.CE:CO=2:3,

CE2

••・一——，

AB3

.•.△CM与△力斯的面积比为：4:9,

故选：C.

8.如图，在正方形/8CO中，对角线4C与8。相交于点。，点E是边8c上一点，连接。E,点C关于直

线。E对称的点尸落在上，若AB=e，则0尸的长为（）

A.2&B.2-V2C.V2-ID-3-72

【答案】C

【分析】先根据正方形的性质和勾股定理求出6。=。0=；8。=1,由折叠得到&，然后求出分

即可求出答案.

【详解】解；正方形488,

/.AB=AD=BC=CD=02ABC=ZZ?CD=90°,NCBD=45。,BO=DO=；BD,

-BD=>]AB2+AD2=2»BO=DO=^BD=\,

•••点C关于直线DE对称的点F落在BD上,

•••DF=DC=4i，

:BF=BD-DF=2-6,

：.0F=BO-BF=\-[2-y/2^=yf2-\,

故选:C.

【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，折叠的性质等知识点，熟练掌握正

方形的性质和折叠的性质是解题的关键.

9.如图，在平面直角坐标系中，的顶点4在x轴正半轴上，0C是△O"的中线，点8,C在反比

例函数》=9的图象上，则△048的面积等于（）

x

A.6B./C.8D.9

【答案】D

【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数A的几何意义，相似三角形的判定

与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

CFAFAC

过点4、点C、作x轴的垂线，垂足为。、E,则8O〃CE,得出==r=片，设CE=x,BD=2x,

BDADAB

根据反比例函数的解析式表示出。。=二，OE=-,OA=-,然后根据三角形面积公式求解即可.

2xxx

【详解】解：过点8、点。、作x轴的垂线，垂足为。、E,

^AEC=ZADB=90°

则8O〃CE,

^ACE=/ABD、

.•.△AECS^DB

CEAEAC

•.•(9C是的中线,

CEAEAC_[

••茄一布一方二5’

y

%

(9[DEAx

设CE=x,BD=2x,

••.C的横坐标为9,8的横坐标为:，

x2x

：.OD=—,0E=-t

2xx

.-.DE=OE-OD=—,

2x

AE=DE=(,

9

.-.OA-OE+AE--,

x

119

S=—xOAxBD=—x—x2x=9.

QOA8R22X

故选：D

10.如图，在Rt^/18。中，/C=90>4C=12cm,8C=9cm,点p、。同时从4、8两点出发，分别沿4C,

8c方向匀速运动到终点C,其速度都为2cm/s.若要使△PC。的面积为△44。面积的一半，则需要运动

()

A.1.5sB.9sC.1.5s或9sD.6心

【答案】A

【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决几何问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解.

设运动的时间为fs,表示出相关线段的长度，根据面积列出方程求解即可.

【详解】解：设运动的时间为然,根据题意得,

PC=AC-2t=\2-2t,CQ=BC-2t=9-2t,

.•.|pCC0=1x(12-2/)x(9-2r)=1x|xl2x9,

解得，=1.5或，=9,

当点尸到达终点时,所需时间为12+2=6s,

当点。到达终点时，所需时间为9+2=4.5s,

•••取”1.5,

故选:A.

二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分.)

11.方程(x-l>=x-1的根为—.

【答案】$=1,々=2

【分析】本题考查了因式分解法进行解方程.先移项，再运用因式分解法解一元二次方程，即可作答.

【详解】解:v(x-l)2=x-l,

.,.(j-l)--(x-l)=O,

.­.(i-l)(x-2)=0,

解得玉=1,X2=2,

故答案为：N=1,x2=2.

12.一个不透明袋子中，装有除颜色外完全相同的2红1白两种颜色的3个小球，摸出1个球后记下颜色

放回，再摸出第二个球，连续两次摸到红球的概率是.

【答案】］4

【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识.正确的列出树状图是解决问题的关键.

首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，然后利用概率公式

求解即可求得答案.

【详解】解：画树状图得:

开始

/TxXT\

红红白红红白红红白

•••共有9种等可能的结果，两次都摸到红球的有4种情况,

4

二两次都摸到红球的概率是：-

4

故答案为：

13.如图是由一些相同的小正方体搭成的几何体的三视图，那么搭成这个几何体的小正方体有个.

0

主视图左视图

俯视图

【答案】4

【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题关键是根据主视图、左视图、俯视图分别确定每层

小正方体的个数，再求和.

先看俯视图确定底层小正方体个数，再结合主视图和左视图确定上层小正方体个数，最后将各层个数相加

即可.

【详解】•••俯视图是3个小正方形，

底层有3个小正方体，

0,"主视图中右侧有两层，左视图显不有两层，

・.・上层只有1个小正方体，位于底层最右侧小正方体的上方，

，总共3+1=4个.

故答案为4.

14.如图，已知矩形/对角线4C和4。相交于点。，点E为边45中点，CE与4。相交于点尸，连结

【答案】y

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质.

根据矩形的性质可得点。是4。的中点,再结合已知可得原是ZU8C的中位线，从而可得OE〃BC,

OE=^BC,然后证明△OEFSABCF,利用相似三角形的性质进行计算即可解答.

【详解】解：:。为矩形对角线交点，

••.OA=OC.

•・•点E为4B中点,

.•.OE为。的中位线，

.-.OE//BC,OE=-BC,

2

-OE//BC,

•••4OEFs^BCF,

OF_OE

故答案为：

15.如图，已知口44。。的顶点力在反比例函数.丫='。>0)的图象上，点8,C,。在坐标轴上，连接。1交

X

BC于点E.若S^BCE=3,S四边形/EC。=8，则k的侑:为-

【详解】ft?：-oABCD,

:.AB〃CD,AB=CD,

SitAIOUBo=—2ABOB=2—OS/I,D,LBIJCD,

设S“3£=。，

;若S&B0E=3,S网边窗ECO=8,

4+3=；(a+8),

解得a=2,

,•・顶点A在反比例函数y=-(x>0)的图象上,

=3+2=5=”，

故答案为：10.

16.如图，在正方形力8c。中，AB=5tE为对角线3。上一点，F为。。延长线上一点，满足力E=EE,AD

平分/E4E,则。尸的长为.

【答案】5&-5/-5+5&

【详解】解：作MNJ.AB,如图所示:

AMB

AM=DN,ZENF=NAME=90°,

由题意得："DN=45。,

；.ADEN=45o=/EDN,

:.EN=DN=AM,

•：AE=EF,

:.R^AME^Rt^ENF(HL),

4EM=4EFN,

•：4EFN+NFEN=9M,

：ZEM+NFEN=9。。,

.ZEF=附，即/是等腰直角三角形,

；.AEFA=NEAF=45。,

-AD平分ZFAE,

Z.FAD=-Z.FAE=22.5°,

2

•.•Z4DF=90°,

：.4FD=615°,

:.ZEFD=NAFD-Z.EFA=22.5°,

^DEF-乙EDN-乙EFD-22.5°-乙EFD,乙FEN-67.5°-乙EAM,

:.DF=DE,

•.，AABE=45°,/EAM=67.5°,

：./BEA=67.5。=NE4M,

:.BE=AB=5,

,:BD=6AB=54i，

■DF=DE=BD-AB=542-5,

故答案为：572-5.

三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分.解答

应写出文字说明、证明过程或演算步躲.）

17.解方程：

（l）.r2-4x-l=0;

（2）r-4=2（x+2）.

【答案】⑴%=2+石,X2=2-45

（2）再=4,x2=-2

【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键.

（1）用公式法解一元二次方程即可；

（2）先移项，然后用因式分解法解一元二次方程即可.

【详解】（1）解：X2-4X-1=0,

£7=1,=-4,C=—1,

A=Z?2-4ac=(-4)'-4xlx(-l)=20,

为座=2±忖

2

二百=2+逐，x2=2-V5：

（2）解：X2-4=2（X+2）,

移顶得：X2-4-2（X+2）=0,

因式分解得：（x+2）（x-4）=0,

x+2=0或x-4=0,

解得：％=4,%=一2.

18.某校支部每月开展党员主题教育，并组织老师进行了主题教育征文活动，评选出一、二、三等奖若干

名，绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图(不完整).

请根据上述信息解答下列问题:

⑴补全条形统计图：

⑵求扇形统计图中“一等奖”所对应的扇形的圆心角度数；

⑶学校计划从甲、乙、丙三位一等奖获得者中随机抽取2人参加主题教育宣传活动，请用列表法或画树状

图法求恰好抽到甲和乙的概率.

【答案】(1)见详解

(2)36°

叫

【分析】此题主要考查了统计图的运用及概率的求解，画条形统计图，扇形与条形统计图的综合，求圆心

角，解题的关键是根据题意列出树状图，再利用概率公式求解.

(1)由二等奖人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去一等奖、二等奖人数求出三等奖人数，即可补

全图形；

（2）用360。乘以•等奖人数所占百分比可得答案;

（3）画出树状图，由概率公式即可解决问题.

（人）,

3

（2）解；扇形统计图中“•等奖"所对应的扇形的圆心角度数为360。乂4-36。.

（3）解：树状图如图所示，

/\/\/\

乙丙甲丙甲乙

•••从三人中随机抽取两人有6种等可能的结果，恰好是甲和乙的有2种可能,

21

,推取两人恰好是甲和乙的概率是

63

19.已知一个几何体的三视图和有关的尺寸如图.

⑴写出这个几何体的名称;

（2）求出这个几何体的表面枳.

【答案】⑴直三棱柱

（2）144cm2

【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体以及几何体的表面积，几何体的表面积等于底面积加上侧面

积.

（1）根据几何体的三视图，可得出几何体是直三棱柱；

（2）由图可得底面三角形的三边分别为6,8,10,正三棱柱的高为4,侧面积等于三个矩形的面积，表面

积等于侧面积加上两个底面积.

【详解】（1）解：这个几何体是直三棱柱；

（2）解：主视图是一个直角三角形，直角三角形斜边是：

yjb'+82=10（cm）,

这个几何体的表面积为：

5=2xfix6x8^+8x4+10x4+6x4=144（cm2）,

即几何体的表面积为144cmt

20.如图，在中，连接力C,45=4。，过点。作。上〃4C,交易I的延长线于点E,连接CE交力。

于点H.

⑴求证：四边形4CDE是菱形：

（2）若/1C=JJ,8C=2,求CE的长.

【答案】（1）见解析

⑵4

【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的

关键.

（1）先根据四边形/8CO是平行四边形，得4B=CD,4E〃CD,结合OE〃力C,得四边形/CD七是平行

四边形，结合力8=OC,/8=4C,则OC=4C,故四边形力处是菱形，即可作答.

（2）根据菱形的性质，得4DLCEMH=DH,CH=gcE,因为四边形/8CO是平行四边形，则

AD=BC=2,AH=^AD=\,运用勾股定理得=々^=^=2，则CE=2C〃=4,即可作答.

【详解】（1）证明：•.•四边形力88是平行四边形,

：.AB=CD,AE//CD,

又•.DE//AC,

.•.四边形力CDE是平行四边形，

vAB=DC,AB=AC,

.\DC=AC,

四边形力。E是菱形.

(2)解：•.•四边形/CDE是菱形,

AD1CE,AH=DH,CH=；CE,

•••四边形力8C。是平行四边形，

AD=BC=2,

:.AH=-AD=],

2

•:AC=亚,

二CH=>JAC2-AH2==2，

：.CE=20/7=4.

k

21.如图，正比例函数y=2x与反比例函数），=:的图象交于4（2,Q）,8两点,4C1.X轴于点C,连接

BC.

⑴求。，人的值；

⑵若点尸是反比例函数歹二"图象上的一点，且满足度）。。与△/出C的面积相等，请求点。的坐标.

x

【答案】（1）。=4,4=8

(2)工8)或(-1,-8)

【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式及函数的交点问题、三角形的面积等知识，解题的关键是灵

活运用待定系数法确定函数解析式，学会利用图象根据条件确定自变量取值范围.

（1）把A（2,Q）代入正比例函数，可求得。的值，然后代入反比例函数解析式，可求得左的值；

（2）根据图象观察可得正比例函数的图象在反比例函数图象的下方，即可写出x的取值范围.

【详解】（1）解：把x=2代入y=2x中，得y=2x2=4,

即a=4,

・••点力坐标为（2,4）,

•••点力在反比例函数歹=上的图象上，

x

.-.A-=2x4=8；

（2）解：•：ACLOC.

0C=2,

•・•/、8关于原点对称，

*'-8（-2,-4）,

.•.3到OC的距离为4,

：・S：=2S“co=2x—x2x4=8,

•*Sgpc=8»

设p点坐标为卜1），则p到oc的距离为目，

-,-^x|-^|x2=8,解得％=1或

・•・点坐标为（1,8）或（-1,-8）.

22.某商场“宝乐〃牌童装的进价为120元/件，若每件这种童装以200元出售，则每天可售出20件.为了庆

祝该品牌童装上市二周年，商场决定采取适当的降价措施、经调查，如果每件童装每降价2元，那么平均

每天就可多售出1件.

⑴若这种童装以180元/件出售：那么每天销售这种童装可盈利多少元？

⑵销售这种童装每天可盈利”50元吗？如果可以，请求出每件童装的销售价格；如果不能，请说明理由.

【答案】（1）1800元

⑵可以，每件销售价格为190元或170元

【分析】本题考查一元二次方程的应用，有理数的混合运算的实际应用.

（1）利用童装平均每天售出的件数x每件盈利=侨大销售这种童装的利润，列式即可：

（2）设降价%元，根据每天售出的件数x每件盈利=每天销售这种童装的利润，列出方程解答即可.

200-180)=1800元;

【详解】（1）解：每天销售这种童装可盈利（180-120）x20+

2

（2）解：设每件这种童装降x元出售，每天销售这种童装可盈利1750元,

pllj<(200-x-120)xl20+|j=1750,

解得：再=30,*2=10，

200-30=170或200-10=19()

答：每件这种童装销售价格为170元或190元时，每天销售这种童装可盈利1750元.

23.如图1,点夕是正方形48CZ）的边C。上一点（点户与点C。不重合），点七在8C的延长线上，旦

EC=PC,连接BP,DE.

图1图2

⑴求证：ABCP^DCE；

⑵直线EP交4。于「连接8歹,点G是广。与8P的交点.

①如图2,若PD=PC时,请写出8尸与CF的关系并说明理由;

②如图3,若PZA2PC时，求证：S.BPF=4SDDPE；

S^BPF

③若PD=〃PC（〃是大于1的实数）时,的值为

S&DPF

【答案】（1）见解析

⑵①3=8尸，CFLBP,理由见解析:

②见解析:

③1+2

n

【分析】（1）利用SAS证明

（2）①在（1）的基础上，再证明进而得至IJN尸CO+N8PC=90。，从而证明8P_Lb：

②设PC="，则夕。=2*OC=3Q,EC=a,得出=-DCCE=--3aa=—

222

SABPE=5•2。♦4=a",SABFP=S梯亮出CDF-S.Bep-SAFDP=44，即可得出结论:

③设CP=CE=1,则8C=CO=〃+1,DP=n,分别求出S与S2的值，得鸟=；(/+2〃)，S2=^n\即

可得出答案.

【详解】(1)证明：•••四边形48co是正方形，

BC=CD,ZBCD=NDCE=90°,

在与△OCE中，

BC=CD

NBCP=NDCE=9伊,

CP=CE

/.△5CP^ADC£(SAS)；

(2)①解：CF=BP,CFIBP；

理由：vCP=CE,ZPCE=90°t

ZCP£=45°,

/.£FPD=/CPE=45°,

2PFD=45°,

•••FD=DP,

•••CD=2PC,

DP=CP,

：.FD=CP-

在衣P与△(?"中，

BC=CD

ZBCP=NCDE=90。,

CP=FD

...A5CP^ACDF(SAS)；

BP=CF,4FCD=4cBp,

•••£CBP+/BPC=9伊,

ZFCZ)+Z^PC=90°,

:.NPGC=90°,EPBPICE；

故C尸与笈P的关系：CF=BP,CFLBP.

②证明：设PC=Q,则aO=2a.DC=3a,EC=a,

3/

・•・SADCE=-DCCE=--3aa=—,

22，

SmE=；Za=",

由(1)可知ABCPg△"£,

.n_3£

一八8CP一0ADC£一，

•・•4尸。尸为等腰直角三角形，

.'.FD—DP=2a.

S&BPF=S梯形BCDF~SKP—S^FDP

=-(BC+FD)CD--BCCP--FDDP

2、,22

=-(3a+2a)-3a~———--2a2a

2')22

=4a2.

S^BPF=4SgPE:

③设C尸=CE=1,则。尸=〃，BC=CD=n+\,设尸尸的面积为△。尸尸的面积为S2.

同理△以)尸为等腰直角三角形，

FD=DP=a.

S|=S楮形8C。户-S^BCP-S^FDP

=-(BC+FD)CD--BCCP--FDDP

2V722

=-i(zi+l+w)-(/j+l)--^(/?+l)xl-i；r

=1(W2+2/?)；

S,=-DPDF=-nn=-n2

22221

SBPFS[;(/+2〃)2

/.-7^-=-^=^—：---------=1+-；

S^DPF$2_〃2n

2

故答案为：〃+2.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三珀形的判定与性质、等腰直角三角形、图形

的面积等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键.

24.如图，在平面直角坐标系MT中，一次函数乂=ax+“QW。）的图象分别与x轴，N轴交于点C,点。,

⑴求一次函数和反比例函数的表达式:

⑵根据图象直接写出当乂>为时I的取值范围；

⑶点仪-6,〃）是反比例函数为=2图象上一点，连接8E、CE,求A8CE的面积；

X

⑷点P是坐标轴上的点，点。是平面内一点，是否存在点P、0,使得四边形/18P。是矩形？若存在，请

直接写出所有符合条件的点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）反比例函数的表达式，=-9，一次函数的表达式y=-：x+2

X2

（2）x<-2»£0<x<6

⑶S.CBE=12

⑷存在，P点的坐标为（0,7）或卜/0）

【分析】（1）用待定系数法先求反比例函数解析式，再求一次函数解析式即可；

（2）先求出点用力的横坐标，再利用图象法求解即可；

（3）过4点作8〃_Lx轴，垂足为H；过E点作轴，垂足为尸，先求出点及C的坐标，根据

S«BE~SACBH+S梯形-59的求解即可：

（4）（0,7）或（-g,o）.分情讨论：当尸在y轴止半轴上，作轴，垂足为A,先址GRBs/RP,求

出网=4,根据OP