2025-2026学年人教A版高二数学上学期期末模拟卷01（北京专用）全解全析

高二数学上学期期末模拟卷01（北京专用）

全解全析

（考试时间：120分钟，分值：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教A版选择性必修第一册+数列。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.已知点飞-2,1,1）关于z轴的对称点为。，则。的坐标为（）

A.（2,1,1）B.（-2,1,-1）C.（2,-1,1）D.（-2,-1,1）

【答案】C

【分析】利用空间中对称点的性质求解即可.

【详解】因为点尸（-2,1,1）关于z轴的对称点为。，

所以0（2,-1,1）,故C正确.

故选：C

2.方程/+/+2》-6），+1=0表示的圆的圆心坐标和半径分别为（）

A.（L-3）,3B.（-1,3）,3C.（L-3）,9D.（-1,3）,9

【答案】B

【分析】根据圆的一般方程得到圆的标准方程，从而求得圆心坐标和圆的半径.

【详解】由/+/+24-67+1=0,得（X+I『+（J,-3）2=9

所以方程,/+/+2X-6J，+1=0表示的圆的圆心坐标为（T3）,半径为3.

故选:B.

3.已知直线/的方向向量为/=(1,2,-4),平面。的法向量为方=(“,-2),若直线/与平面。垂直，则实数x

的值为()

A.-1()B.1()

C--D-

J22

【答案】D

【分析】根据线面垂直得到E与］平行，设/=储，得到方程组，求出x.

【详解】因为直线/与平面a垂直，故/=(1,2,-4)与万=(乂1,-2)平行；

kx=\

Sv=^KZreR,即k=2,解得x=J.

-2k=-4

故选:D

4.若焦点在)，轴上的双曲线的渐近线方程为歹=±2x,则其离心率为()

A.75B.GC.—D.2

2

【答案】C

【分析】根据渐近线方程得到(=2,再利用求出离心率.

【详解】设双曲线方程为£-£=1，则渐近线方程为》=±—必

a~b-b

则：=2,所以g=g，离心率为，4=亨.

故选：C

5.等差数列｛〃/中，若勺+生+生=3,%+%+4=21,则其公差等于()

A.2B.3C.6D.18

【答案】A

【分析】根据等差数列的通项公式计算即可求解.

【详解】由题意知，设等差数列白〃｝的公差为“，

at+a2+a｝=3at+3d=3,a4+a5+a6=3al+\2d=21,

两式相减，得9d=18,所以4=2.

故选:A

6.设aeR,则“。=2”是直线4：ax+y—2=0与直线/2：2x+(a-l)y+3=0平行的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】求出平行时参数。的值，冉由充分不必要条件定义即可得解.

【详解】由题直线4的斜率为尢=-a，在y轴上截距为2,

若直线4：ax+y-2=O与直线/2：2、+伍-1》+3=0平行，

。工1

2

则----7=_〃=>"=一］或Q=2,

a—\

所以“。=2”是直线4：G+"2=O可直线/2：2x+(〃-l)y+3=0平行的充分不必要条件.

故选：A

7.已知圆G：(X-1)2+/=9,圆G：(x-4)2+(y-4)2=16,则圆G与圆a的位置关系为()

A.外离B.相交C.外切D.内含

【答案】B

【分析】分别求出两个圆的圆心和半径，再判断两个圆的位置关系.

【详解】圆G的圆心为G(l，0)半径为4=3，圆&的圆心为6(4,4)半径为.=4,

则|CC|=J(l_4y+(0_4)2=5,4+弓=7,\rt-r2\=\

因为忆rIVGGU+2,所以圆G与圆。2相交.

故选:B.

8.如图，在平行六面体,48CZ)-48c中，4C与BD的交点为点M,设万=(；,AD=b»-c,则下

列问量中与病相等的向量是()

Bn.—1a-—1b7

2222

1-IT-

C.—a+-b+cD.

22if

【答案】B

【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量基本定理计算即可.

故透:B.

9.己知直线心+尸加+2=0与圆。+2)2+/=25交于人B两点,则|力例的最小值为(

A.40B.273C.4石D.2x/5

【答案】A

【分析】先求出直线所过的定点M，再根据直线/hiCW垂直时，弦|/团最小，结合圆的弦长公式即可.得解.

【详解】根据题意，圆(x+2)2+/=25,圆心。的坐标为(-2,0),半径尸=5,

直线/:/wx+j-m+2=0,即〃?(x-l)+y+2=0,恒过定点”(1,-2),

又由圆C的方程为(x+2)2+/=25,则点加。，-2)在圆内,

当直线/与CW垂直时.，弦|4创最小,

止匕时|CW4>/4+9-拒,

则I|的最小值为2425-13=4石:

故选：A

10.2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的LOGO(如图所示)，设计师的灵感来

xy

源于曲线C:；+=l(/?>0,/eR).当〃=4,。=3,8=2时，给出下列四个结论:

~b?

①曲线C关于原点对称；

②曲线C所围成的封闭图形的面枳小于24；

③曲线C上的点到原点O的距离的最大值为3；

④没收(右,0),直线x—y+6=0交曲线C于R0两点，则AP。%的周长大于12.

其中正确结论的个数为()

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】确定(一者一刃在曲线上，①正确，曲线在一个长为6,宽为4的矩形内部，②正确，利用三角换元

计算得到③正确，确定椭圆工+亡=1在曲线C：£+己=1内，④错误，得到答案.

948116

【详解】曲线C：—+^=1,

8116

对①：取曲线上点N(x,y),则(r,-y)满足上M+上直.=E+上=i在曲线.上，

81168116

故曲线C关于原点对称，正确；

对②：取x=0,尸=±2,取y=0,x=±3,故曲线在一个长为6,宽为4的矩形内部，

故其面积小于6x4=24,正确：

对③：设曲线上一点为“(苍力，则二十仁=1,设x2=9cos6'

8116y2=4sin6

M到原点的距离的平方为x2+)，2=9cos9+4sine=4sin(e+9),Ow0g，

tan@=4，当sin(0**)-l时，距离平方有最大值为历，故距离的最大值为97。错误;

对④：对于曲线。：』+以=1和桶圆片+片=1,设点(”)在《+m=1上，

8116948116

点(x/2)在二+己=1上，则E。，

949

/4\(2\2(22\(2、2

/-X=161---161--=161-—1+---161-—I

I81JI9；I9)[9J(9I

=16（"卷卜卷一1+葛卜获d1一940,故疗"所以闻士|，

设点（演，力在二+工=1上，点（N，y）在L+匕=1上，则工41，

8116944

所以x：Nx；,即|不注同，

故椭圆上十仁=1在曲线。：=+以=1内（除四个交点外），如图:

22

设直线x-y+>/5=0交椭圆-4-^=1「力1两点，交x轴于％（一6,0）,

94

M,N为椭圆三=1的两个焦点，

94

由椭圆的定义可知：\AN\+\AM\=2a=6f\BN\+\BM\=2a=61

所以△49.”的周长为12,由图可知，的周长大于-12,正确.

故选：B

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.抛物线/=8x的焦点到其准线的距离为

【答案】4

【分析】根据给定条件，求出抛物线的焦点坐标及准线方程即

【详解】抛物线/=8x的焦点坐标为（2,0）,准线方程为％=-2,

所以所求距离为|2-（-2）|=4.

故答案为：4

12.已知｛4｝是等差数列，公差d不为零.若外,出，七成等比数列，且%=7,则数列｛%｝的通项公式

是.

【答案】an=\-n

【分析】根据条件列出关于公差和首项的方程，解之即可求解•.

【详解】因为数列｛6｝是等差数列，公差d不为零，且生,生，生成等比数列，

2

所以a3=%•牝，即(%+2d>=(勺+d)(q+4d),所以q=0,

又因为外■1，所以公差"=%a\=1，则％=，i(〃D〃=ln,

故答案为：an=\-n.

13.光线从点火-3,4)射到x轴上，经反射后经过点8(4,10),则反射光线所在直线的方程为,光

线从A到B的路线长度为.

【答案】2x-y+2=07指

【分析】由题设，反射光线过(-3,-4)和(4,10),应用点斜式写出方程，再由从/到4的路线长度为(-3,-4)

与(410)的距离，两点式求路线长度.

【详解】由题设，反射光线过(-3,-4)和(4/0),故斜率为女=臀半=2,

4一(一5)

所以反射光线为P+4=2(x+3),整理得2x-y+2=0,

光线从4到8的路线长度，即为(-3,-4)与(4,10)的距离，

所以路线长度为7(4+3)2+(10+4)2=V245=775.

故答案为：2x-y+2=0,7后

14.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案(如

图I),把三片这样的达•芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体.若图3中每个正

方体的棱长为1,则点。到平面作。的距离题_________.

G

eE

图1图2图3

【答案】当

【分析】建立空间直角坐标系，求平面。GC的法向量，用点到平面的距离公式计算即可.

【详解】由题可建立如图所示空间直角坐标系。--小：

则C(0,2,0),。(1,0,2),G(0,0,2),P(2,0,l),

贝ij配=(一1,2,-2),函=(-1,0,0),迎=(-1,0,1),

设平面QGC的一个法向量为；;=(xj,z),

\nQC=0[-x=0

则_,BPo,八，

[nQG=0[-x+2y-2z=0

取y=i,则平面QGC的一个法向量为;;=(oji),

则点P到平面0GC的距离d="0=-!==—.

同V22

故答案为：也.

2

15.若无穷数列｛4/满足：《=1,当"22时，|%—%|=max■生，…,j｝,则称｛%｝是“X-数列”，则

下列正确的有

①.若｛%｝是“X-数列”则4=8为假命题

②.若｛%｝是“X-数列”且是等差数列，则｛凡｝单调递增

③.若｛%｝是“X-数歹小且单调递减，则｛%｝是等比数列

若应｝是“X-数列”且是周期数列，则集合｛1<三100|4=1｝的元素个数最多是5()

【答案】①④

【分析】根据新定义X-数列，计算判断①，结合等差数列，单调性，周期数列计算判断②③④.

【详解】对于①，若｛%｝是“X-数列”,当“N2时，|a”-%|=max｛q,42,

%=1,若4-％=-max｛%,生，…，。,｝

当》=2时，⑥=-max｛q｝=-q=-1,所以。2=-4+1=0,

当。=3时,%-。2=-max｛4,%｝=-max｛1,0｝=-I,所以4=&一1二-1,

当〃=4时,aA-a3=-max=-max｛1,0,-1)=-1,所以。4-1二-2,

故命题若｛aJ是“X-数列”则％二8为假命题，①正确；

对于②，若｛%｝是“X-数列”且是等差数列，设公差为"，

当力=2时，-aj=max｛q｝=q,即同=q=l,

当d=-l时，q=l,则%=0,|%-a2|=max｛4，%｝=l,即%=T，

此时4>%，数列｛q｝不单调递增，②错误；

对于③，若｛4｝是“X-数列”且单调递减，

当〃=2时，|出-q|=max｛q｝=q=l,因为数列单调递减，所以生=。.

当"=3时，何-勾二max｛q,%｝二1，因为数列单调递减，所以%=T.

当〃=4时，E-%l=max｛a”生，a3｝=l，因为数列单调递减，所以。4二一2.

可知数列不是等比数列，③错误；

时「•④,若｛凡｝是“X-数歹/且是周期数列，假设周期为7.

当。22时，-%|=max{q,电，…，%}，

当界=2时，Eibmax佃}=4=1,所以&=。或的=2

=2

若。2=2时，当〃=3时，|a3-a2|=max{i/],a2）♦所以%=4或4=。，

若%=4时，当〃=4时，E-a3|=max{q,Q2，4}=4,所以〃4=8或。4=。，

这样数列值会越来越大（非周期），所以“2=0

若的=0时，当〃=3时，|cf3-i?2|=max{ap«2}=l,所以%=1或4=-1，

若%=1时，当〃=4时，卜max{q,a2，%}=l，所以4=2或4=。，

若%=T时，当〃=4时,同一%|=max{%,七,为}=l,所以4=。或4=-2,

同理按此规律计算可得数列{4}的取值可能是LOJOJOJO,…，

所以{13工100应=1}的元素个数最多是50,④正确.

故选：①④.

三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（满分13分）已知向量"=（1,2,2）,5=（—2」,一1）.

⑴求工石；

⑵求|21即|;

（3）若dJ_（1+%B）（/lwH）,求4的值.

【答案】（1）—2（2）5&（3）2=-

【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示即可得解；

（2）求出％-坂，再根据空间向量的模的坐标表示即可得解；

（3）由力0+刀）,可得7（二位）=0,再根据数量积的运算律即可得解.

【详解】（1）由题意，«A=lx（-2）+2xl+2x（-l）=-2.

(2)由＞=(1,2,2),5=(-2,1,-1),得2H=(435),

贝|J忸_B卜"6+9+25=5^2

o

(3)由1，伍+4),得万・伍+万)=0,则£.£+/l7B=0，即9-24=0,解得a=5.

17.(满分14分)如图，在四棱锥2-力"。力中，底面力8C。为正方形，P4_L平面力BCD,M,N分别

为梭PD,8C的中点，PA=AB=2.

(2)求直线MN与平面PCD所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵噜

【分析】(1)由线面平行的判定定理即可证明：

(2)以点力为坐标原点，AB、AD.分别为％、V、z轴，如图建立空间直角坐标系.求出直线MN的

方问向量和平面尸80的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案.

【详解】(1)证明：在四棱锥P-/18C。中，

取P/的中点E,连接口5、EM,

因为“是尸。的中点，所以EA/〃,4Q,且

又因为底面448是正方形，N是8C的中点，

所以BNHAD,RBN=、AD.所以EM//BN,EM=BN.

2

所以四边形MN8E是平行四边形，所以MN//EB.

由于£5u平面产为8,MN<Z平面R48,所以MN“平面P/B.

(2)因为底面18c。是正方形，所以又因为产力_1_平山/18C。.

所以以点/为坐标原点，AB.AD.力2分别为x、y.z轴，如图建立空间直角坐标系.

4(。,0,0),C(2,2,0),0(0,2,0),P(0,0,2),"(0,1,1),7V(2.1,O).

PC=(2,2,-2),c5=(-2,0,0),

沆PC=0,x+y-z=0,

设平面尸C。的法向量为m=（再歹,z）.有：，_即《x=0,令"L则z"

丽CD=0,

所以5；=（0,1,1）.丽=（2,0,-1）.设直线MN与平面。8。所成角为夕

W：sine如阿，林闻」。、2+；。？（二宝警

1'71氐010

所以直线MN与平面PCD所成角的正弦值为典.

10

18.（满分13分）己知圆。过原点。和点4（1,3）,圆心在x轴上

（1）求圆。的方程；

⑵直线/经过点（1,1）,且,被圆C截得的弦长为6,求直线/的方程.

【答案】⑴（x-5>+「=25

⑵x=l或15x-8y-7=0

【分析】（1）设圆C的圆心坐标为（。,0）,由已知列出方程，求得。，进而求得半径，即可得出结果;

（2）设出直线方程，利用垂径定理，列方程求出直线的斜率即可得出结果.

【详解】（1）设圆C的圆心坐标为（。，0）.依题意，在，2+。2=，3一1）2+32,解得〃=5

从而I员IC的半径为=行d=5，所以圆。的方程为（x-5）2+/=25.

（2）依题意,圆C的圆心到直线/的距离为4,

显然直线x=l符合题意.

当直线/的斜率存在时，设其方程为=即u-y-a+i=o

|必+1|15

所以』工=4解得人=",所以直线/的方程为15%-8），-7=0

y]k2+\8

综二，直线/的方程为x=l或15x-8y-7=0.

19.（满分15分）已知在四棱锥尸-488中，底面力4C。是边长为4的正方形，△4。是正三角形，E、

F、G、。分别是PC、PD、BC、4。的中点.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个条件

作为已知.条件①：。0_1_平而。40：条件②：PC=4V2：条件③：平面平而[8CZ）.

⑴求证：PO_L平面力8c。；

（2）求平面EFG与平面448所成锐二面角的大小；

（3）在线段产力上是否存在点M,使得直线GW与平面EFG所成角为若存在，求线段的长度；若不

6

存在，说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）。（3）答案见解析•.

【分析】（I）选条件①：CD_L平面40,利用面面垂直的判定定理得到平面平面力8c。，再由

POLAD,利用面面垂直的性质定理证明：选条件②：PC=46,由尸得到COJ.尸

又CO_L4。，得到CD_L平面尸/I。，然后利用面面垂直的判定定理得到平面尸力。_1_平面力4。。，再由

POLAD,利用面面垂直的性质定理证明；选条件③：平面4O_L平面力8C。，由尸O14D,利用面面

垂直的性质定理证明；

（2）由（1）建立空间直角坐标系，求得平面EFG的•个法向量为记=（x,y,z）,易知平面/出C。的一个法

m-n

向量为〃=(0,0,1),由cos«%〃=|-||-|求解;

⑶设丽二亦3，^e[0,l],得到的=（24-4,26-26/1）,由⑵知平面MG的一个法向量为

7n=（3,0,6），由辰旧加）卜=&吟=g求解.

【详解】（1）证明：选条件①：CDJ•平面4。,

又COu平面44CQ,

所以平面PAD±平面ABCD,

因为△4。是正三角形，且O是力。的中点，

所以尸OJ.4O,又平面力PZ）c平面力4D,POu平面力PD

所以PO_L平面力4CO；

选条件②：PC=4A/2：

因为尸。=。。=4,所以尸02+以2=2。2,

则COJ.PO,又COJ_A。，且PDc4D=D,

所以83_平面尸力。，

又C£>u平面44。。，

所以平面PAD±平面ABCD,

囚为△尸力。是正三角形，且。是一。的中点，

所以PO_L4。，又平面力PQC平面488=40,POu平面/IP。

所以PO_L平面48c。；

选条件③：平面产4。1平面力8CD.

因为△"/）是正三角形，且。是力。的中点，

所以PO_L4Q,又平面力POc平面44。0=力。,POu平面力月。

所以尸O1平面48C7）：

（2）由（1）建立如图所示空间直角坐标系：

则J（2,0,0）,5（2,4,0）,C（-2,4,0）,D（-2,0,0）,

P（D,O,2V3）,E（-l,2,V3）,F（-l,O,V3）,G（O,4,O）,

所以前=（0,-2,0）,£G=（l,2,->/3）,

设平面EFG的一个法向量为〃?=（戈，乂z）,

mEF=O卜2y=0

则_,即，.6z

in-EG=0[x+2y-y/3z=0

令2=百，则x=3,y=0,所以=,

易知平面488的•个法向量为7=（0,0,1）,

所以平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为。；

（3）设丽=PA3,&[0川,

则两=户而一的=/1方-A分=（24一4,2行一2。）,

由（2）知平面EFG的一个法向量为：m=（3,0,V3）,

兀1

所以直线GM­=—

62

_______________6_______________」

即2"«2炉+16+仅6-260-5,整理得2万-32+2=0,

因为A=-7<0,所以方程无解，即不存在满足条件的点

20.（满分15分）已知椭圆氏?+/=1（。>1）的左右顶点分别为4、4,点用在石上（异于左右顶

点）、且△44M面积的最大值为2.过点M和点N（4,o）的直线/与上交于另外一点&且8关于X轴的

对称点为C.

（I）求椭圆E的标准方程；

（2）试判断直线"C是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由;

（3）线段MC的长度阿。能否为下列值：与、y?（直接写出结论即可）

【答案】（1）二+「=1

4

⑵宜线MC过定点，定点坐标（1,0）；

⑴我段MC的长度必能为学，不能为£

JJ

【分析】（1）当“在短轴的端点时，△44”取得面积的最大值，表示出△44"的面积即可求出。的值,

即可求出椭圆E的标准方程；

（2）联立直线/的方程和椭圆方程，化简写出根与系数关系，求得直线MC的方程，结合根与系数关系来

判断出直线MC过定点.

（3）求出|MC|的最大值和最小值却可得出答案.

【详解】（I）当“在短轴的端点时.△44M取得面积的最大道.

则电=。=2,所以椭圆£的标准方程为：?+/=1.

（2）N（4,0）,依题意可知直线/的斜率存在且不为0,

设直线/的方程为歹=k（x-4）,设8（石,乂）,“小,外），。（石，一必），

=Ar(x-4)

X*22消去》并化简得(1+”2卜2一32八+64/一4=0,

一+V—1

32k?64k2-4

再+'演"=不记

直线的方程为y+乂=&a•（》-王）,

X2~Xi

根据椭圆的对称性可知，若直线MC过定点，则定点在x轴上,

由此令3=0得必=为士及.(x一/),

马一天

即工=>1(工-内)+玉=M(工一』)一二(乃十M)="…必

8+乂'8+必为+乂

x1(kx2-4Zr)+x2(AX1-4k)x1(xj-4)+x2(x,-4)2x1x2-4(^+x2)

kx2-4k+kxi-4kx2+x,-8x2+x,-8

64k2-432k2128公-8-128公

2x-------4Ax------------；----

=1+4公1+467=1+4/=]

32k?§~32-—8-32炉-，

1+4户—1+4公

所以定点为(1,0).

(3)因为直线过点。(1,0),所以MG的最小值为过点。(1,0)且垂直X轴与椭圆的交点，

令X=l,则”=1,解得:y=±今,故|