2025年高考数学三轮复习冲刺卷：判断三角形的形状（含解析）

高考数学三轮冲刺卷：判断三角形的形状

一、选择题（共20小题；）

I.在△力8c中，若sin/l-cos4<0,则此三角形为（）

A.锐角三角形B.钝隹三角形

C.直角三角形D.锐角或钝角三角形

2.在△4BC中，若2cosBsin4=sinC,则△4BC的形状是（）

A.等边三角形B.等腰三角形

C直角三角形D.等腰直角三角形

3.在△ABC中，若最大角的正弦值是苧，则△力8C必是（）

A.等边三角形B.直角三角形C.钝隹三角形D.锐角三角形

4在中.若sin4=1.4nB=•则△一定是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形

5.4为△48C的一个内角，若sin力+cosA=则这个三角形的形状为（）

A.锐角三角形B.钝角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形

6.71,B,。是的三个内角，且tanA,tanB是方程3/-我+1=0的两个实数根，则公

ABC的形状是（）

A.钝角三角形B.锐角三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

7.在△ABC中，乙8=60°,b2=ac,则△ABC一定是（）

A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

8.△4BC的三边长分别是F，>Jb,若Q2+》2=C2,则△48C的形状为（）

A.直角三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.直角三角形或锐角三角形

9.在△ABC中，若tanAtanB>1,则△ABC是（）

A.钝角三角形B.直角三角形C.锐隹三角形D.无法确定

10.设的内角力，B,C所对的边分别为Q,从c,若Qsin/l+力sinB=csinC,则△4BC的

形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定

11.在4力8。中，bcosB=acosA,则△ABC的形状是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

12.在△48C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c»己知三个向量访=（a,cos［）,n=

（加cos'）,户=（c,cos§共线，则AABC的形状为（）

A.等边三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

13.在△4BC中，若tan/ltanB>1,则△4BC的形状为（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形

C.钝角三角形D.锐角三角形

14.在△ABC中，a2+从+c2=2bccosA+2accosB,则AABC一定是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.直角三角形

15.在△ABC中，三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且W=吗，则△48。是（）

b2tans

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

16.设4,B,C为三角形的三个内角，旦tan/Ltan8是方程3/-5%+1=0的两个实根，则4

ARC为（）

A.等边三角形B.等腰直角三角形

C.锐角三角形D.钝角三角形

17.在AABC中，若前•丽〉|尤巴则有（）

A.IAC|>|BCIB.IBC|>|ACI

c.TAC~\>TAB~\D.VAB~\>TBC~\

18.在△ABC中，关于％的方程（1+x2）sin/l+2x-sinB4-（1—%2）sinC=0有两个不等的实数根,

则角4为（）

A.锐角B.直角C.钝角D.不存在

19.等比数列｛即｝中，%=2,a8=4,函数f（x）=%（%-%）（%—。2）…则/'（0）等于

（）

A.26B.29C.215D.212

20.在△48C中，若sinA:sinB:sinC=2:3:4,则△ABE是（）

A.直角三角形B.钝角三角形

C.锐角三角形D.等腰直角三角形

二、填空题（共5小题；）

21.在△ABC中，若sinAsinBVcos4cos8,则△A8C的形状为.

22.△48C的三内角为儿B,C,且方程8/+G4+C）%+8=0有两个相等的实数根，若

acosC=ccos/1,则△ABC是三角形.

23.已知sin2/l=sin2F,则△ABC的眩状为.

24.对于△4BC,有如下命题：

①若sin2A=sin2B,则△ABC一定为等腰三角形.

②若sinA=sinB,则△ABC一定为等腰三角形.

③若siMA+siMB+cosZCv1,则△48C一定为钝角三角形.

④若tan力+tanB+tanC>0,则△ABC一定为锐角三角形.

则其中正确命题的序号是.（把所有正确的命题序号都填上）

25.在等差数列｛Q"中，a3=0.如果纵是。6与以+6的等比中项，那么女=.

三、解答题（共5小题；）

26.若三角形的两个内角夕满足cosa•cos/?>sina•sin/?,试判断此三角形的形状.

27.在中,已知siMn=siMB+siMC,且sinA=2sinBcosC,试判断△力8C的形状.

28.已知cos6+a)cos售-。W(盟).

(1)求sin2a的值;

(2)求tana-一一的俏.

29.在△ABC中，sin5-sinC=cos2^试判定△48C的形状.

30.已知关于x的方程2/一双+：=0的两根为sinO和cos。,66偿乎）。

（1）求实数b的值.

(2)求2sinJcos8+1的值.

cos0-sin0

答案

1.B

2.B

3.C

4.B【解析】因为sinA=，>套=sinB,

所以A>B.

当8为锐角，A为钝角时，8<30°,135°<?1<150°,成立：

当4、8均为锐角时，B<30\A<45°,成立此时。>105。.

故△4BC一定是钝角三角形.

5.B

6.A【解析】可求tan(A+8)="0,则A+8为锐角，所以C为钝角.

7.D

8.B

9.C

10.B

II.C

12.A【解析】因为向量沆=(a,cos§,五二(b,cos§共线，

所以acos^=bcos\

由正弦定理得sinAcos§=sinFcos^.

所以2singcosgcosg=2sin^cos^cos^.

则sin?=sin*

因为0<?<今°<T<5

所以T=*BPA=B.

同理可得B=C.

所以△4BC的形状为等边三角形.

13.D

14.D【解析】因为由余弦定理可得：b2+c2=a2+2bccosA,

所以由已知可得：2a2+2bccosA=2bccosA4-2accosB,

所以可得：Q=CCOS8=C•巴士――,整理可得：a2+b2=c2,

2ac

所以C为直角，△48C一定为直角三角形.

15.D

16.D【解析】因为tanA,tan8是方程3/-5x+1=0的两个实根,

所以tan71+tanB=tanAtanB=

所以

tanC=-tan(/l4-B)

tanA+tanB

1-tan/ltanB

所以］<C<7T.

17.D

18.A【解析】原方程化为

(sin——sinC)x2+(2sinF)x+sin/1+sinC=0,

由题意，得

A=(2sinZ?)2—4(sinA-sinC)(sin4+sinC)

=4(sin2fi+sin2c—sin2/l)>0,

由正弦定理，得

b2+c2-a2>0,

从而由余弦定理，得

b24-c2—a2

cosA=---------->0,

2bc

因此，4为锐角.

19.D【解析】因为％=2,a8=4,

又(x)=(x-%)(%-a?)…(x-。8)+-Qi)(无-。2)…(％-。8)1

所以广(0)=…。8=3i&)4=84=212.

20.B

【解析】因为sinA:sinB:sinC=2:3:4,

所以由正弦定理可得a.b.c=2:3:4.

不妨令Q=2%,b=3x,c=4x(%0),

由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,

a2+b2-c2AX2+9X2-16X2

得cosC=

2ab2x2xx3x4

因为0VCVTT,

所以c为钝角.

21.钝角三角形

22.等边

23.等腰或直角三角形

【解析】24=28或2A+28=m所以△力为等腰或直角三角形.

24.②③④

【解析】①中4=8或4+8=今所以△A8C可以是等腰三角形或直角三角形；

②在△48C中，sin/4=sinB,由正弦定理得a=b,所以△力BC一定为等腰三角形；

③等价于sin24+sin2/?—sin2f<0,由一正弦定理得a2+h2—c2<0,由余弦定理得cosC<0,所以

^ABC为钝角三角形；

④tan71+tanB+tanC=tan/1+tanB-tanQ4+8)=tan力tanBtanC>0.所以△ABC为锐角三角形.

25.9

【解析】设等差数列｛斯｝的公差为d,

由题意得的=%+2d=0,

所以为=-2d,

又因为Qk是。6与a…的等比中项，

所以或—。6。比+6，

即[的+(k-l)d]2=(%+5d)•[%+(k+5)d],

化简得[伏-3)d]2=3d(k+3)d,

解得k=9或k=0(舍去).

26.由cosa•cos/?>sina-sin£,得cosa•cos/?—sina•sin/?>0,即cos(a+/?)>0.

•:a，。为三角形的两个内角，

:.0<a4-/?<n.

又vcos(a+£)>0,

•*-0<a+/?V3，

•••5vn一(a+万)vn，

故此三角形为钝角三角形.

27.由sin2/l=s\n2B+sin2C>a2=b2+c2,

所以△ABC为直角三角形，又sin/l=sin(B+C)=2sinFcosC,

所以sin(8-C)=0,

所以8=C.所以△ABC是等腰直角三角形.

28.(1)cos(1+a)cos—Q)=cos(]+a)sin(.+a)=gsin(2a+g)=—(

即sin（2a+

因为awg］）,所以2a+ge（it,等），

所以COS（2Q+9=-当,所以

sin2a=sin［（2a+g）-g］

=sin（2a+cosg-cos（2a+sing

==X、（一为X立

22\2J2

_1

-2,

（2）因为a£（n）,所以2a£（票,口），

又由（1）知sin2a=；,所以cos2a=-日.

所以

1sinacosa

tana-----=---------------------

unacosasina