2025-2026学年人教A版高中数学选择性必修第二册期末综合检测练习卷

人教A版数学选择性必修第二册期末综合检测练习卷

(时间：120分钟分值：150分)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四

个选项中，只有一项符合题目要求.

1.设f(x)是可导函数，且lim八五3竽-/⑴=2,贝厅⑴=()

Ax->0

A.2B.-

3

C.-1D.-2

2.已知数列｛〃〃｝为等差数列，4|+。2+。3=6,。4+。6=—20,则48=()

A.-12B.-13

C.-22D.—23

3.设Q£R,函数f(x)=e，+0er的导函数是/(X),且了(x)是奇函数.若曲线

y=/。)的一条切线的斜率是|,则切点的横坐标为()

AA.——In2B.-In2

2

D.in2

c.—2

4.已知公差为负数的等差数列｛〃〃｝的前〃项和为S”若。3,6M,S成等比数

列，则当S〃取最大值时，〃=()

A.2或3B.2

C.3D.4

5.若函数/(x)=3—Inx在区间(m,m+J上不单调，则实数机的取值范围

为()

A.0</?/<-B.^<m<\

33

C.法利41D./«>1

3

6.已知数列｛〃〃｝满足Ml=」-〃,”671=1,则〃“=()

n+2

A---B―--

(n+l)2mn(n+l)

C.D.—

2n-l2n-l

7.设〃#0,若。为函数/(x)=〃(x—。)2(大一〃)的极大值点，则()

A.a<bB.a>b

C.ah<a2D.ah>a2

8.南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题.若一

个数列｛小｝本身不是等差数列，但从数列｛斯｝中的第二项开始，每一项与前一项的

差构成等差数列（仇｝,则称数列｛〃〃｝为一阶等差数列，或者伯〃｝仍旧不是等差数列,

但从数列｛a｝中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列｛0｝,则称数列

｛如｝为二阶等差数列，…，一阶等差数列、二阶等差数列等统称高阶等差数列.类

比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1,1,2,8,64,…

是一阶等比数列，则该数列的第8项是（）

A.25B.2

C.221D.228

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选

项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错

的得。分.

9.已知数列｛m｝满足2m+22久+…+2%〃=受空，设数列｛c“｝的前〃项和为

S“，其中——，则下列四个结论中，正确的是（）

2"+1anan+1

A.0的值为2

B.数列｛3｝的通项公式为z=（3〃+1）X2〃

C.数列｛〃〃｝为递减数列

10.关于函数/（幻=^+5布工，x£（—兀，+°°）,下列结论正确的有（）

A.在（0,+8）上是单调递增的

B./（x）存在唯一极小值点

C./（X）在（一兀，+8）上有一个零点

D./（x）在（一兀，+8）上有两个零点

11.已知定义在R上的函数y=/（x）的导函数了（2的图象如图所示，下列说法

正确的是（）

A.hm----—^0

Ax-»OAx

B.函数/（x）在（一8,—1）上单调递减

C.函数/（外在X=1处取得极大值

D.函数/(x)有最大值

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知a=4+2V5,c=4-26.若a,b,c三个数成等差数列，则b=；

若a,b,c三个数成等比数列，则〃=.

13.若曲线y=(x+〃)ei有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是.

14.已知函数/。)=2，一b”—2x.若/”+3)+/Q—尸)>0成立，则实数t的取值

范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

15.(13分)设等差数列｛m｝的公差为d,且办5令包=吐士，记S”一分别

an

为数列｛3｝,｛瓦｝的前〃项和.

(1)若342=3。|+。3,53+73=21,求｛如｝的通项公式;

(2)若｛儿｝为等差数列，且S99-八9=99,求d.

解：(1)因为3。2=3山+。3,所以3d=m+2d,解得0=4

所以S3=3a2=3(ai+”)=6".

16.(15分)己知函数g(»=G+父,其中e=2.71828…是自然对数的

底数，/(x)是g(x)的导函数.

(1)当】=1时,求曲线y=g(x)在点(1,g(l))处的切线的方程;

(2)当"X)存在极值时，证明：的极值小于或等于1.

17.(15分)设函数/(幻='一96帚/，曲线)，=/(尤)在点(1,/⑴)处的切线的方

程为y=—x+1.

(1)求小力的值；

(2)设函数g(x)=/'(/),求#(戈)的单调区间.

2

18.(17分)在等差数列｛m｝中，其前〃项和为S”且S〃=(等)；在等比数

列｛儿｝中，其前〃项和为4,且T〃=(写y(〃£N*).

⑴求C7〃，bn；

(2)求｛a①｝的前刀项和M”.

19.(17分)己知函数/'(x)=3g(x)=lnx—ar+e,其中e是自然对数的底数.

⑴求函数的极值；

⑵对VxULl，0],3x2e[2,e?],使/(xi)Wg(X2)成立，求实数。的取值范围.

人教A版数学选择性必修第二册期末综合检测练习卷

(时间：120分钟分值：150分)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四

个选项中，只有一项符合题目要求.

）/（1+3A）/（1）

1.B解析：因为lim/（i+33-f（L）=3xHmX-=2,

AX->0AxAx-»03Ax

所以limr（i+3Ax）-r（i）_2

Ax-»03Ax3

所以川尸蚂必铲2

Hmf（i+3A%）-f⑴2

-3Ax3

故选B.

2.C解析：由题意得。1+。2+。3=342=6,解得s=2,

。4+圆=2。5=—20,解得。5=—10,

故等差数列的公差为1=呼=』二=一4,

故々8=42+64=2—6X4=-22.

故选C.

3.D解析：由题可知x£R,因为函数/(/)=3叶“一。所以〃幻=已,一已.

又因为/(x)是奇函教，所以/(0)=1—。=0,

所以。=1,经检验，符合题意，

所以/(幻一叶)[(方=^一白

vL

因为曲线y=/(x)的一条切线的斜率是|,

所以三=^一二，解方程可得X=ln2.

故选D.

4.B解析：设等差数列｛跖｝的公差为成衣0).由43.04.©成等比数列.

得(防+3d)2=(s+2c/)(0+6”)，

解得a\=一乳则。〃=。1+(〃一\)d=(n—.d.

显然等差数列｛〃“｝是递减数列，当〃W2时，。〃>0,当〃23时，^<0,

所以当S“取最大值时，〃=2.

故选B.

5.B解析：函数/'(x)=/—In/的定义域为[0,+°°),且/(x)=,v—'

a+i）d）

令/(x)=0，得，=L

因为/(x)在区间(m,m+1)上不单调,

m>0,9

所以1解得Y〃?V1.

m<1<m4--,3

3

故选B.

6.B解析：由小+1==//〃且m=1,得如i=义，

n+2ann+2

所以%=221=13=2%1=曰工.=上1(〃)2)

所以艺•也•&.....%1・马_=工乂2又三乂...X—X—,所以血=」一.

aa

a〔a2Q3n-2n-i345nn+1Q〔n(n+l)

因为0=1,所以斯=:、.

n(n+l)

因为41=1满足上式，所以4〃=；、.

n(n+l)

故选B.

7.D解析：若。=6,则/。）=〃（工一编3为单调函数，无极值点，不符合题

意，故

所以/（x）有〃和b两个不同零点，且在工=〃左右附近是不变号的，在x=Z?左

右附近是变号的.依题意，4为函数/（＜）=〃（工一〃）2（X—/?）的极大值点，所以在工=4

左右附近/（X）都是小于零的.

当4＜（）时，由心功时，/（X）W（）,画出/（幻的图象如图所示.

由图可知b＜a,a＜0,故出》〃2

当〃＞0时，由心力时，/。）＞0,画出/（幻的图象如图所示.

由图可知b＞ci,。＞0,故出?＞。2

综上所述，aZ?〉/成立.

故选D.

8.C解析：记数列I,1,2,8,64,…为｛词,设从=皿

则Z?i=l,Z?2=2,岳=4,儿=8,…,

所以数列｛儿｝是以1为首项，2为公比的等比数列，所以b〃=2",

,(n-i)(n-2)

1+2+3+

所以当时，an=bn-1bn-lbn-3-***-Z?II=2=22,所以48

7X6

=2—=221.

故选C.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选

项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错

的得0分.

9.ACD解析：对于A,2ai=3xi2『xi=4,即如=2,故A正确.

ni

对于B,20+22a2十・••+2'3=网产①，2的+22。2H----F2an-1=

迎外空哉心2)②，

2

①一②得2%〃=3〃+1,an=甯.

当n=\时，0=有丑=2,

故数列伍〃｝的通项公式为所=答，故B错误.

计千「人〃z,_3n+43n+i_3n+4-(6n+z)_-3n+2

可丁C，T〃〃-齐T-方------衣7-----------------乔k，

因为〃21,所以圆+1—。“=募了＜0,数列｛m｝为递减数列，故C正确.

对于D,Cn=3n+i3n+4

/2n2n+1

故D正确.

3\43n+4/12n+16,

故选ACD.

10.ABD解析：由已知/(1)=&叶$吊x,xG(—Jr,+°°),得/(x)=e*+cosx,

令g(x)=/(x)，则g'(x)=^—sinx,

当x£(一九,0]时，ev>0,—sing'(%)>0,

当x£(0,+3)时，e'>1,-sinxG[-|,l]0,

即当尤e(—兀，+8)时，g<x)>o恒成立，

/Q)在(一兀，+8)上单调递增.

又/(T=e-l鸟0,/(-9=e-i>0,/(0)=2>0,

所以当工£(0,+8)时，/(幻>/(0)>0,且存在唯一实数.£(一?，一；)，使

/(xo)=O,即e"。=-cosx0,

所以f(x)在(0,+8)上是单调递增的，且/(工)存在唯一极小值点次，故A,B

选项正确.

由上述知f(X)在(一兀，X0)上单调递减，(X0,+8)上单调递增，

x

又f(一兀)=©一"+0〉0,/(xo)=e°+sinxo=sinxo-cosxo=V2sin(与一:卜0,

/(0)=1>0,所以/(x)在(一兀，+8)上有两个零点，故D选项正确，C选项错误.

故选ABD.

11.ABC解析：对于A,由题图可知，

lim/(Ax-2)-/(-2)=/(-2)<0,故A正确；

对于B,由题图可知，当工£(一8,—1)时，f(x)W()恒成立，

故函数/(x)在(一8,—1)上单调递减，故B正确；

对于C,由题图可知,当一(一1,1)时，/(x)>(),当x£(l,2),/(x)<().

故函数/⑴在工=1处取得极大值，故C正确；

对于D,由题图可知，当x&(3,+8)时，八戏>0恒成立，

故/(/)在(3,+8)上单调递增，无最大值，故D错误.

故选ABC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.4±2

解析：若a,b,c三个数成等差数列，

若〃，b,c三个数成等比数列，

则庐="=(4+2再)x(4-2>/3)=4=>Z?=±2.

13.(一8,-4)U(0,4-oo)

解析：因为y=(x+a)e',所以/=(%+1+<7)e\

x

设切点为(无0,和)，则f)=(无0+Q)。"。，切线斜率k=(xQ+1+a)e0,

xx

切线方程为y—(x0+a')e0=(x0+1+a)e0(x—xo).

x

因为切线过原点，所以一(X。+Q)e'o=(x0+1+a)•e°(—xo),

整理得就+axo—a=0.

因为切线有两条，所以/=Q2+4〃>(),解得〃<—4或a>(),

所以〃的取值范围是(一8,-4)U(0,+8).

14.(-1,3)

解析：由题得画数的定义域为R.囚为f(—x)=e-T—ev+2.r=—f(x),所以画数

/(x)是奇函数.又/(x)=e'+er—222Ve"•e—-2=0,

当且仅当x=0时，等号成立.

所以函数/(%)在R上单调递增，f(什3)-/(£一尸)>0等价于/(什3)>

-/(t-t2)=/(t2-t),

所以，+3>尸一f,所以尸一2r—3<0,解得一la<3.

所以实数f的取值范围为(-1,3).

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

15.

解：(1)因为3〃2=3ai+〃3,所以3d=m+2d,解得m=d,

所以S3=3〃2=3(4i+d)=6d.

又乃=①+历+历=：+$+三=3所以53+乃=64+之=21,

d2d3ddd

即2/—71+3=0,解得d=3或d=N舍去)，

2

所以a〃=m+(〃-l>d=3〃.

(2)因为｛瓦｝为等差数列,所以25=为+加,即/=三+工，

。2ala3

所以6(~^----,即6"=1,即—3ale/+2cP=0,解得ai=c/或ai=

2d.

因为c/>l,所以加>0.

又S99—乃9=99,由等差数列的性质知，

99。50—99b50=99,即aso—Z?5o=1,

所以t/50~2550=],即逞0—。50—2550=0,

a50

解得450=51或。5。=一50(舍去).

当〃i=2d时，g)=〃i+49d=51d=51,解得d=1,与内>1矛盾，故余云：

当〃i=d时，。50=m+49d=504=51,解得4=黑>1,符合题意.

综上所述，d=W

oU

16.

(1)解：由题设/。)=匕'+。/，当。=1时，^(xi=ev4-V,/(x)=ev+x,则/(I)

=e+l,^l)=e+g

故曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线的方程为y—g(1)=/(1)(x—1),

整理得2(e+l)x-2y-1=0.

(2)证明：由(1)得/(幻=匕叶，。•，求导得/(x)=e'+a

当C720时，/(x)>0,/(x)单调递增，故/(X)不存在极值.

当4Vo时，存在xo£R,

使得了(煮))=0,且刈=ln(—a),

在(-8,xo)-k-/(x)<O,/(x)单调递减，

在(加，+8)上/(万>0,/(此单调递增，

此时,(x)存在极值/(回).

由计算得/(加)=/(1【1(一〃))=”[")+〃In(—ci)=~a+aIn(—a).

设/?(〃)=—〃+〃In(―。)，。<0,则〃'(〃)=—l+ln(—〃)+1=ln(-a).

当a<-l时"(a)=ln(-a)>0,当一lv〃vO时，"(a)=ln(-a)vO,

所以〃=—1时，力(〃)取得极大值，也是最大值，故力(a)</7(—1)=1—In1=1,

即/(x)的极值小于或等于1.

17.

解：⑴因为/(3)=%一汽小二XGR,所以/a)=l—(3f+0?)即”.

因为曲线y=/(x)在(1,/(1))处的切线的方程为y=-x+1,

所以f(l)=O,/(1)=-1,

,(1-I3xea+b=0,(a=-1,

则，八'解得ztJ

11-(3+a)ea+z?=-1,U=l,

所以〃=-1,b=\.

(2)由(I)得g(x)=/(.v)=1一(3f—2把一户1(xeRi,

则g\x)=-x(x2-6x+6)e-x+,.

令x2—64+6=0,解得I=3±B,不妨设才1=3一遍，肛=3十V5,则0<AI<X2,

易知？一仆|>()恒成立，

所以令g'(x)<(),解得0441或X>X2；

令g'(JV)>0,解得^<0或X\<X<X2.

所以双犬)在(0,Xi),(X2,+8)上单调递减，在(一8,0),3,上2)上单调递增,

即g(x)的单调递减区间为(0,3—8)和(3+遮，4-00),单调递增区间为(一

8,0)和(3-V5,3+73).

18.

解：(1)由Si=(巴>)=m,解得ai=l.

2

又S2=m+s=l+42=(^^),所以。2=3或一1.

因为。2=—1时，。3=—3,此时S3=ai+a2+a3=—3W(殁^>=1，故或=一

1舍去.

所以等差数列｛〃”｝的公差4=42—41=2,

所以an=2n—\.

同理可得Z?i=l,。2=3或一1.

2

因为历=3时，加=9,此时八=4+历+加=13羊(")=25,故历=3舍去.

又｛'｝为等比数列,所以儿=(一1)”“.

(2)因为M〃=〃必|+。2岳H-----\-anbn,

所以M〃=lX(-l)')+3X(-l)i+5X(-l)2+・・・+(2〃-l)><(-l)"B,

则一M“=lX(—l)l+3><(-l)2+5X(—l)3+…+(2〃一l)X(-l)〃②，

①一②得2Mi=l+2X(—l)l+2X(—l)2+2X(—l)3+…+2X(—l产l一(2〃一

l)X(—l)〃=l+2X^^ip^^一(2〃-l)X(-l)〃，

所以M尸〃X(-l)叫

19.

解：(1)因为/(©=[,该函数的