2025年高中数学高三大题优练7 圆锥曲线与面积有关的问题（学生版）

大题优练7:圆锥曲线与面积有关的问题

例1.已知椭圆。：吞+£=1（。＞/7＞0）的左、右焦点分别为6,离心率为母，点G是椭圆上一

点，△GKB的周长为6+46.

（1）求椭圆C的方程;

（2）直线/：＞=云+〃?与椭圆。交于A,8两点，且四边形OAG8为平行四边形，求证：0AG8的面积

为定值.

22

【答案】⑴—+^-=1；(2)证明见解析.

123

【解析】⑴因为AG"乙的周长为6+46，所以2。+2c=6+48，

即。+c=3+2G-

又离心率《二£=且，解得。=2❷，。=3,

a2

b2=a2-c2=3

「•椭圆。的方程为工+工=1.

123

⑵设A（N，yJ,3（肛力），G（%为）,

将）,=丘+机代入土+上_=1,

123

消去)'并整理得(l+4X)f+8Qm:+4〃?2-12=0,

nil8km4/-12

则％+--用F'%”二下厂

乂+%=女(芭+W)+2m=.

1十^rK

四边形OAGB为平行四边形,

8km2m

OG=OA+OB=(%+),得G

1+4/'1+4%

3

将G点坐标代入椭圆C方程得〃/=-(l+4F),

点O到直线的距离为〃=-j==,\AB\=VT+F|x,-x2|,

IM-MN一司-|/〃|J(须+汇2)2-4人1汇2

「•平行四边形OAGB的面积为S-ch

帆,3-〃z2+12Z、

=4=44G看记=3百

1+4公1+4-

故平行四边形OAGB的面积为定值为3丛.

例2.已知椭圆M:二十二=1(4>/?>0)的左、右顶点分别为A,B,上、下顶点分别为C,D,右焦点为

a~b~

F,离心率为其中4|E4|=|FB|“CO『.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过椭圆的左焦点F'的直线/与椭圆M交于邑H两点,记ZXABE与的面积分别为5和S?,

求|，一$2|的最大值.

22

【答案】⑴工+工=1;⑵出.

43

a+c\+e

【解析】(I)有条件可知4(4+0)=(〃一。)(28)2,「.从==3,

„c1%=3,.•.八4,

又片5

•••椭圆方程为三十二=1.

43

(2)当直线/无斜率时，直线方程为x=-1,

此时。jcrh-l)"57=0;

当直线/斜率存在时，设直线方程为y=%(x+i)(4w0),

设E(N，yJ,H(x2,y2),

00

21i

联立得ZT"=,消掉），得（3+4公卜2+8公x+4/-12=0,

y=攵（工+1）

822Ab2-12

显然/>0,方程有根，x,+x2=一一J,玉为二丝一容

1-3+4尸1-3+4/

此时|S「S2k2||%|-|乂|卜2|M+凹|=2/伍+1）+左（王+1）|=2%%+&+2）|=3^

1212=—%=J5,（R=±g时等号成立）,

因为&。0,所以|5—S2|=-------------------,

2V122

部4|%|2」工41kl

IM

所以IW-Szl的最大值为J5.

例3.已知椭圆。：二+==1(。>/2〉0)的左、右焦点分别是F,K,且离心率为变，点融为椭圆下

a-b-2

上动点，△与M8面积的最大值为1.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若M是椭圆C的上顶点，直线M"交椭圆。于点N,过点士的直线/(直线/的斜率不为1)与椭圆C

交于产、。两点，点P在点Q的上方.若•S&F\NQ=3:2：求直线/的方程.

【答案】⑴^+/=1；⑵7,E+gy+7=0.

【解析】⑴△4加入面积的最5用=g忻段•〃=g。2c・Z?=0c'=l,

J2[b=]

又£c=注，所以力=。，解得।,

a2[c=l

即。=&,b=\,

故椭圆C的标准方程为—+/=1.

2-

(2)由题可得直线M片的方程为y=x+l,

y=x+1

（4n

联立J、»得N-则

IJ3）MF131

I7(1

因为：S.NQ=3:2,则5NK•QEsinNQF,N=-\-MFPFsinNPF、M

JJ\Jli

得QK=2PG，

当直线/的斜率为。时，不符合题意；

故设直线/的方程为工=加）；-1,P（x，x）,Q（w，%），

由点。在点Q的上方，则为=一2片，

x=niy-1

2

联立《x2，得("+2)y2-2m)，-l=0,

丁)'二

2m

y.+>2=^—r

m+2y+%=f

则,得

—1.必二一2才，

>?1>，2=^-T

m+2

2

'2m、,1322\I\A

则一2,得相=~>/〃=±----,

、m~+2,nV+277

又，+%=含"f<°,则'〃"半’不符合题意'

所以机=一恒

7

故直线/的方程为7x+JiW），+7=0.

I.已知抛物线G的顶点为坐标原点。，焦点为圆。2：/+)尸=4与圆G：f+(y-3『=l的公共点.

(1)求G的方程；

(2)直线/:y=?x+3与G交于A,3两点，点P在C1上，且尸在AOB这一段曲线上运动(尸异于端

4

点其与〃)，求△PA5面积的取值范围.

221

2.椭圆C:「+与=1(。〉6>())的左、右焦点分别为耳、F2,离心率e=7,过入的直线/交C于点

crb"2

A、8,且aEAB的周长为8.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)点0为坐标原点，求AAOB面积S的取值范围.

3.已知椭圆。：1+3=1(。>〃>0)的离心率为3,且经过点A设椭圆C的左、右焦点分

别为片、F.尸是椭圆C上的一个动点(异于椭圆C的左、右端点).

(1)求椭圆。的方程；

(2)过点P作椭圆。的切线/,过点£作/的垂线，垂足为Q,求面积的最大值.

4.设点£(一。,0),8(c,0)分别是椭圆。：—+)，2=1(4>0)的左、右焦点，尸为椭圆C上任意一点,

a~

且防•Pg的最小值为0.

(1)求椭圆C的方程；

(2)如图，动直线/：y二"+机与椭圆。有且仅有一个公共点，作耳M_L/,鸟％_1/分别交直线/于

M,N两点，求四边形£MN8的面积S的最大值.

丫25|

5.已知椭圆。:会+会:乂〃〉〃〉。)的长轴长为4,离心率为万.

(1)求椭圆。的方程；

(2)已知点A(40),,直线/交椭圆C于P,。两点(点4,8位于直线/的两侧).

①若直线/过坐标原点。，设直线AP,AQ,BP,4Q的斜率分别为心，&2,心，色.求证：k/S定

值；

②若直线/的斜率为立，求四边形APBQ的面积的最大值.

2

6.已知椭圆C的两个顶点分别为尔一2,0),8(2,0),焦点在x轴上，离心率为正.

2

(1)求椭圆C的方程；

(2)点。为x轴上一点，过。作x轴的垂线交椭圆。于不同的两点M,N,过。作AM的垂线交8N于

点E.求证：△8。£与48。可的面积之比为4:5.

参「考1答:案I

1.【答案】（1）f=8），；（2）

x2+y2=4x=0

【解析】（1）联立〈,得〈

Y+(y_3『=1y=2

因此G的焦点为（0,2）,

设抛物线G：/=2〃），（P>0）,则§=2,则〃=4,

故G的方程为f=8y.

x2=8yx=6

x=-4

（2）联立1Q，得，9或“

y=—x+3,y=2

4

（9x|6-(-4)|=^y^.

不妨假设A6,-,8（<2）,则|阴二

设P(飞,%)，则Tv/<6,

/―；工：+12

『一

P到直线,的距离公皆等^(%-125

2x/T7

因为当-4<x<6时，函数>=（不一1『一25的值域为［-25,0）,

(加-1)、25

所以0<

2V172yfi7，

g1」L川1255>/17125

贝"°<S„=5><dx]A8归于如、亍=

故△PA8面积的取值范围是10，亍.

22/Q-

2.【答案】(1)—+^-=1；(2)SG0,-

43I2」

【解析】（1）因为△耳A3的周长为8,由椭圆的定义知4。=8,故。=2,

（c

又e二二=一，所以。=1=从=/一°2=3,

2a

所以椭圆c的标准方程为三+E=i.

43

(2)由题意可设直线,的方程为x=〃？+l,A(x，yJ,风生/2),

工+21=]

由<43=(3〃P+4);/+6my-9=0,

x=my+1

-6m—9

显然/>0且X+y=

2X%=02」

3〃一+43〃z+4

•••S=S^OFS+s-="|?|-)U=-J(x+)j-4yy2

=_L1(_6m丫।36_6力『+1

-2VlW+4j七〃/+4-3/+4'

令JM+I=/«NI),s=>1),

3〃?+43/+13/+，

t

易知S在，«1,+8)单调递减，从而S£(0,|.

22

3.【答案】(1)—+^-=1；(2)2.

43

c1p-1

【解析】(1)由椭圆C的离心率一=不，可得二二一，即有/=4。2,

a2cr4

再结合。、b、C三者的关系可得从二3。2,

椭圆C的方程可化为二十工=1,

4c~3c~

将点AJ5,4)代入上述椭圆方程可得击+―=1,

求解得《2=1,所以c=l,。=2：b=B

X1v2

椭圆C的方程为上+工=1.

43

(2)设直线/：，=丘+加，

联立直线/与椭圆C的方程可得(m+3)x2+8%tv+4〃P-12-0.

若直线/与椭圆C相切，可得上述方程只有一个解,

即有4=(85，『一4(4公十3乂4〃/-12)=0,化简可得加=4/+3,(*)•

设点Q的坐标为(乂)，)，过点耳作/的垂线为《：)，=一；(％+1),

K,

.,..—km—1-k+m

联立乙与/求得x=।,)，=「『，

1+&-1+K

++（加一人）~k2m2+k2+n?2+1

由上式可得Y+)'2=

（20+4

将(*)代入上式可得Y+y2=4：故可知点。的轨迹为以原点为圆心，以2为半径的圆.

P是椭圆。上的异于端点的动点，故该轨迹应去掉点(±2,0).

△QK鸟的面积为5八。尸石=；•田周•|y0|=»Q归2,即△。匹行面积的最大值为2.

4.【答案】⑴—+/=1；(2)2.

2•

【解析】(1)设P(x,>'),贝iJ=(-c-x,-y),PF2=(c-x,-y),

2i

所以耳尸Q=/+一°

P),22=£^1X2+1_C2,XG[-FL,«],

a

当x=()时，PRPF2取到最小值()，

则1一。2=0,c?=l,则白2=/+从=2,

2

所以椭圆C的方程为三+y2=].

2

(2)将直线/的方程y=丘+m代入椭圆。的方程上+丁=1中，

2

2

得（2公+1）X+4kmx+2nr-2=0,

由直线/与椭圆c有且仅有一个公共点可知J=16攵2〃/-4（2公+1）（2〃/-2）=0,

化简得m2=2k2+1.

根据点到直线距离公式,

①当々工。时，四边形月MNg是梯形,

设直线/的倾斜角为仇则忻H|=l4—d2l=|MVHtanq,所以四叫-出I，

K

7=状.|4一%|.（4+&）,化简整理5=智=碧=4

同+百

加后＞2,

,病=2公+1,.,.当人工0时，同＞1.-.0<S<2;

②当左=0时，四边形FuWNB是矩形，S=lx2=2,

所以四边形FiMNF?面积S的最大值为2.

5.【答案】（1）—+^-=1；（2）①证明见解析；②2后.

所以椭圆C的方程为工+工=1.

43

（2）①点A,B的坐标分别为（2,0）,（0,＞/3）.

设点P的坐标为（小，〃），由对称性知点Q的坐标为（一〃?,一〃）,

所以人=",公二〃,所以=n

m-2~6+2m—2〃z+2m2-4

又因为点，在椭圆C:工+±二1上，所以‘4--=1,EPm2-4=--H2,

43433

33

所以"2==一“同理幽"K

——rr

3

所以桃卜:,33

2+&&=+为定值.

②由题意,4（2,0）,B（0,5/3）

设/:y=^-x+t•

由点A（2,0）,B（0,@位于直线/的两侧,x2—0+f—X0-V3+Z<0,

2)

解得-6.

y=x+r

由《T,消去丁并整理，得3/+26a+2〃-6=0,

二+上=1

43

由判别式4二修疯）—-4x3x（2/一6）>0,得/<6.

当时，显然，判别式/>0.

设P（X］，y）,。。2，）’2），

由根与系数的关系得x+w=一半，玉々二空/

.ja+w)2_4.“2=，•浮邛.N.

闸=

争2一。+）

点4（2,0）到直线/：y=冬+/的距离4

Lr-2(后+4

因为一JJvfvQ,所以4=IL)

x/7