2026届高三数学二轮复习：三角恒等变换与解三角形

微专题2三角恒等变换与解三角形

高考定位1.利用三角恒等式及其变换对三角函数式化简、求值是高考命题的热点,常以选择题、

填空题的形式考查,难度中档偏下.2.利用三角恒等变换研究三角函数的性质，是高考常见题型，多

为中档题.3.应用正弦定理、余弦定理解三角形是高考的必考内容,主要考查边、角、面积、周长

等的计算,既有选择、填空题,也有解答题,难度为中档或偏下.

【真题体验】

•新高考卷)已知=日，则：

1.(2025II0<a<7i.cos/sin(a—)=()

A.它B.它C.这

10510D呼

答案D

解析由题得cosa=2cos2^-1=2X1-1

因为0<a<n,所以sina=y/l—cos2a=^,

、y/2^7742

所以sina-cosa)=——X-=—.

72510

•全国甲卷)己知=陋,贝)(

2.(2024c°saIjtan(a+H=)

cosa-sina\4/

A.2V3+1B.2V3-1

C—D.l-Vs

2

答案B

解析根据题意有"“一四&

cosa3

即1-tan

所以tana=1-y,

所以tan(a+3二空竺二岁二26-1.

\4/1-tana空

3

3.(2025・新高考H卷)在△A8C中,BC=2,AC=1+V3,AB=&,则A=()

A.450B.60°C.12O0D.135°

答案A

心+482-8。2_(1+於)2+6-4V2

解析由题意，得cosA=

2AC-AB~2(l+V3)xV6~2

因为0。<4<180。，所以A=45°.

4.(多选)(2025•新高考I卷)已知△A8C的面积为二若cos24+cos2B+2sinC=2,cosAcosBsinC=",则

44

()

A.sinC=sin2A+sin2BB.AB=^2

C.sinA+sinB=—D.AC2+BC2=3

2

答案ABC

解析由cos2A+cos2B+2sinC=l_2sin弘+1-2sin%+2sinC=2,得sin2A+sin2B=sinC,A正确；

由cosAcosBsinC」可知A,B皆为锐角；

4

若A+8v；,则sin2A+sin2B<sinAcos8+sinBoosA=sinC,不合题意，

若贝1sin2A+sin2^>sinAcosB+sinBcosA=sinC,不合题意，

2

所以C=A+B=^,

所以cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=0,

又cosAcosBsinC=cosAcosB=-,

4

所以sinAsinB=~.

4

因为SMBC」ACBCsinC=-ACBC=\所以ACBC=:

2242

所以二氢

sin

AsinB-4

故止加,B正确；

(sinX+sin^)2=sin2>4+sin2/?+2sinAsinB=l+2*inAsin1+2X-=^,

42

所以sinA+sinB二半,C正确;

AC2+BC2=AB2=2,D错误.故选ABC.

5.(2024•新高考II卷)己知a为第一象限角，/?为第三象限角,tana+tan/?=4,tanatan/?=V2+1,则

sin(a+^)=

答案~~

解析由题知出（回加需喘二号h-2战

即sin(a+£)=-2&cos(a+6,

又sin2伍+夕)+cos2(a+^)=1,

可得sin(a+夕)=±手.

由2kjt<a<2kn+~,%£Z,

2,zm+7t</?<2/?m+^,mZ,

2

得2(k+/〃)兀+7rVa+£<2(Z+〃。兀+2花,k+mSZ.

又tan(a+0)vO,所以a+B是第四象限角,

故sin(a+/?尸-苧.

6.(2024.新高考I卷)记△ABC的内角A,8,C的对边分别为〃,c,已知sinC=V2cosB,cr+b2-

(?=\[2ab.

⑴求B；

⑵若△ABC的面积为3+V3,求c.

解⑴由余弦定理得cosC^^三考

2ab2

又0<C<7i,AC=-,

4

/.V2cosB=sinC=},.'cos

又()<B<n,AB=-.

3

⑵由⑴得A=7i-3-C=§

由正弦定理马二告，

sinAsinC

zacl+“

何B囱逅=亘，・・。二亍°.

△A8C的面积S=-«csin"巨/X—=3+V3,

242

解得C=2V5.

【热点突破】

热点一化简、求值

2cos65°cos150

例1(1)的值为（)

tan15°cos100+sin100

A2+32-V3

A.---rD

2•2i

（2）（2025•合肥模拟）已知tan«=2,则上空二二（)

cos2a

A--B-3C.3D.±3

3

答案(1)A(2)B

2cos650cos1502COS650COS215°

解析（1）：

tan150cos100+sin10°sin150cos100+sin10°cos150

_sin25。(1+g30。)_2+b

sin25°-2

⑵因为tana=2,

所以1+sin2al+2sinacosa

cos2al-2sinza

siMa+cos2a+2sinacosa

siMa+cos2a-2sin2a

tan2a+l+2tana

tanza+l-2tanza

4+1+4)

-------=~J.

4+1-8

规律方法L无条件三角函数式的化简求值要从“角”“名”“形”三个角度分析，注意“1”的

代换.

2.条件等式的化简求值要探究、发现条件等式与待求式间的内在联系,进而求值.

训练1(1)(2025•广东部分名校模拟产更二空变的值为_______.

1+-...-

2COS200

(2)(2025•兰州诊断)已知。£&11),夕£(0q)，若sin(a+^)=icos,则cosa=.

答案(1)275(2)-^

解析(l)tan8()。-tan20。

=tan(80°-20°)(l+tan80°-tan200)

+sin80°sin20°\

cos80°cos20°/

*cos10°sin20°\

sin10°cos20°/

+2cos210。)

cos20°/

V3(l+1+cos200

cos20°

所以tan80°-tan20°

⑵由

得研蚱

而sin(a+^)=|,故a+夕

cos(a+/?)=-71—sin2(a+

由cos夕二指/?£(0()，

可得sin/?二£

则cosa=cos[(«+/?)-/?]

=cos(a+^)cos夕+sin(a+/?)sinp

、17ay[G

-------ZX------+-Z\------=―-----.

333

热点二求角问题

例2(1)(2025•九江二模)己知a,Bcos(a-fi)=j,tan«-tan^=7,贝。a+fi=

\2/64

⑵已知a£(：，])，且4cosa-tanQ—a)=V5,贝U«=

答案(叫Q诰

解析(1)因为cos(a-^)=|,

6

tanatan/?=[,

(5

cosacosP+sinasin/?=-,

6

所以sinasin0_1

、cosacosB4'

，2

cosacosP=-»

解得]

sinasin/?=-,

6

所以cos(a+/?)=cos«cos4一sinasinp=-

2

又火夕£（04），所以a+夕£（0,兀）,

所以a+04

/\sin(9a)

(2)4cosa-tan[-K-a)=4cosor——~~v

\2/cos(g-a)

.cosa4cosasina-cosa

=4cosa—

sinasina

2sin2a-cosa

V3,

sina

所以2sin2a=V3sina+cosa=2sin(a+£).

ITn

因为

4'2.

所以&口），/步偌，等

贝ij或2a+a+^=n,

66

得aW（舍去）或

6lo

规律方法求角问题的解题策略

（1）求相关角的某一个三角函数值.

⑵由求得的三角函数值求角，如果根据求得的函数值无法唯一确定角的大小，应根据已知角的范围

和已知角的三角函数值把所求角的大小作相对精确的估计,以排除多余的解.

训练2(1)(2025•盐城模拟)已知tantana=-^,"&((),n),则2p~a的值是()

11

AA.—CD.宁

4B-7-T

⑵(2025・长春摸底)若且(Leos2a)(l+sin/?)=sin2acos则下列结论正确的是()

A.2a+6岑B.2a-^=Y

C.a+少=-D.a/=1

答案(1)D(2)A

解析⑴法一因为tan(^-«)=|,

tana=-1<(),a,4£((),兀),

所以a£,TT),tan.=tan[(fi-a)+a]=辛(0,I),

J

可知少£(0,以，则印-a£(-兀,0),

又因为tan2代号=奇/

tan2/?-tana

所以tan(2fi-a)=

1+tan2^tana

所以2sw-拳故选D.

法二因为tan(^-a)=1,

tan6c=~1<(),a邛e(0,兀),

所以a£,u),tan^=tan[(fi-a)+a]=*(0,1),

可知4W(0,9,贝12/?-ae(-n,0),

tan(0-a)+tan0_

所以tan(2^~a)=tan[(fi-a)+p]=

1-tan(/?-a)tan0i-|x1

所以2"z=-掌故选D.

(2)因为a,^eg,ir),所以sinaWO.

由(1-cos2a)(l+sin0)=sin2acosp,

可得2sin2a(1+sin夕)=2sinacosacosB，

即sin«(1+sin4)二cosacos/).

所以sina=cosacos4一sinasin/?=cos(a+^),

所以cos(a+^)=cos(1—a)，

因为a/£&所以R<a邛<2TI,

且(<。<0，

根据函数_y=cosk的图象易知。+6=]-。+2兀，

贝2。邛号.

热点三利用正、余弦定理求边或角

例3(1)(2025•广州模拟)在△ABC例内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知a=acosB+bcosA=l,

sinC=y,则()

A.b=lB.h=V2

C.c=V2D.c=V3

(2)(2025・安徽A10名校联考)在△ABC中，内角A,3,C的对边分别为ci,b,c,若“c,且

鬻=2(1+V5sin8),则8=()

A.-B.-C.—D.-

3346

答案(1)B(2)D

解析(1)法一0为a=acos5十Z?cosA,

所以由正弦定理可得

sinA=sinAcos8+sin8cosAf

即sinA=sin(A+B)=sinC,

又sinC=y,所以sinA二今

因为A,CW(0,兀)且A+Ce(0,7i),

所以A=C=所以8=5，

42

又a-\,所以c-1,b=7a2+。2=应.故选B.

法二根据三角形中的射影定理c=acos8+〃cosA.

因为a=acosB+bcosA=1,所以有a=c=1,

所以匕ABC是等腰三角形,sinC=sinA=今

故A二CW，

4

贝I所以b=y/2.

(2)由鬻=2(1+V5sinB)及正弦定理得《=2(1+V5sin8),

即Z?2=2tz2(l+V3sinB),

由a=c及余弦定理可得Z?2=«2+c2-2tzccosB=2cr{1-cosB),

2序(1+\/3sinB)=2a2(1-cosB),

V3sinB=~cosB,/.tanB=~~.

XO<^<71,：.B=—.

6

规律方法当题目条件中出现边和角的“混利体”时有两种方案:(1)全部统一为角，将“边的齐次

式”中的边直接化为对应角的正弦;(2)全部统一为边，利用王、余弦定理将角转化为边，最后用因式

分解等代数技巧化简即可.

训练3(1)(2025・赣州调研)在△ABC中,A8二夕,AC=2,0120。,贝UsinA=()

A.——B.—C.—D.------

14141414

(2)(2025・烟台质检)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,c.若2Z?cosC=a(2~c)fH则

a二()

A.lB.&C.V3D.2

答案(1)B(2)A

解析(1)・・・AB=V7,AC=2,0120。，

・・・由余弦定理A82=8C2+AC2-2BCACCOSC可得BC2+2BC-3=0,

解得BC=1(负值舍去)，

・••由正弦定理可得sin4=^萨二等.

AB14

(2)因为2/?cosC=a(2-c),

所以2他cosC=cr(2~c),

由余弦定理可得a2+b2-c2=2abcQSC,

则a2-hb2-c2=a2(2-c),

则^-b2=a2c,

又cr^-b^laccosB,

所以a2c=2accosB,

又所以4=1.

热点四三角形的面积问题

例4在△4BC中，内角A,B,C的对边分别是/?,cy且asinAcosB+bsinAcosA=V3tzcosC.

(1)求角C的大小；

(2)若。=3,且而•前二1,求△ABC的面积.

解(1)法一因为asinAcosB+匕sinAcosA二VJacosC,

所以根据正弦定理得

sinAs,\nAcos/?+sinAsinReas.AcosC,

因为sinAWO,

所以sinAcosB+sinBoosA=V3cosC,

即sin(A+B)=V5cosC,即sinC=A^3COSC.

因为cosCW(),所以tanC=x/3.

因为0<C<7i,所以C=g.

法二由三角形内的射影定理知

acosB+ZJCOSA=C,

所以tzsinAcosB+bs\nAcosA=(acosB+bcosA)sinA=csinA=754cosC,

又由正弦定理得sinCsinA=V3sinAcosC,

因为sinAWO,所以sinC=V3cosC,

因为cosCWO,所以tanC=V3,

因为()<Cv兀，所以C=*

(2)AB-AC=hccosA=].

因为tz2=Z?2+c2-2Z;ccosA,

所以/?2+(?2=9+2/?CCOSA=]1.©

因为C2=CZ2+/?2-2CZ/?COSC,

b2~c2=2abcosC~a2

=2X3XbXcos--32=3b~9.@

3

联立①②可得2"-362=0,

解得尻2(负根舍去)，

故△ABC的面积为

-^sinC=ix3X2X—.

2222

规律方法与三角形面积有关问题的解题策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相

关边、角之后，直接求三角形的面积；

⑵把面积作为已知条件之一,与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.

训练4如图，在△ABC中，点力在边AC上，且已知cos4=2sin^sin臂！AB=^2.

(1)求角A的大小；

(2)若/\BCD的面积为点求BC.

解(1)因为cosA=2sin4in£

2

c.A.n-A_.AA..

=2sin-sin---=2sin-cos-=sinA

2222f

可得tanA=吆二1,

COSA

因为A£（0,兀），所以

⑵作8E_LAC,垂足为£

在△ABO中，由A=-,

4

AB_L8D,知△48。为等腰直角三角形，

囚为AB=V2t所以BD=42,AD=2,BE=1,

由△BCD的面积为^BECD=3,

解得CD=1,

可得AC=AD+CD=3y

所以BC3AB2+4C2-2AB•AC•cos4二遮.

【精准强化练】

一、单选题

1.（2025•山东名校联考）已知sina）喙则cos。+多的值为（）

5511

c

-B---D-

A.9933

答案B

解析

5

•2n

=2s1na+--

=-COS2a+-•69

2.（2025・新乡模拟）在中，内角A,B,C的对边分别为〃，儿。且。=7,b=3,c=5,则（）

A.ZV1BC为锐角三角形

B.ZXABC为直角三角形

C.4A3c为钝角三角形

D.AABC的形状无法确定

答案C

222222

缶4人工Ab+c-a3+5-79+25-49八

解析由于COSA二一--二一--二一--<0,

2bc3030

故4为钝角，进而△ABC为钝角三角形.

3.（2025・河南名校联考）已知aW（0,9,cos卜a+:）=*则tana=（）

A.-B.-C.2D.4

42

答案A

解析由cos（2a+费）*得sin2a号，

所以2sinacosa吟，

«.|2sinacosa_8日口2tana_8

“siMa+cos2a17*l+tan2a17，

解得tanct=4或tan«=-.

4

又a£（0,：）,所以0<tana<l,所以tana=^.

4.（2025・北京门头沟区模拟）在△A8C中，内角A,8,C的对边分别为a,b,c,A=120°,«=<19,b~c=l,

则△ABC的面积为（）

A3百

A—C当

答案A

解析C0SA=^g^f+y+：］9=T

2bc2（c+l）c2

解得c=2（负值舍去），则〃=3,

所以SMBC亭csinA三X2X3X段号

5（2025.宁波调研）已知sin停+戊）=：,那么tan借—a）=（）

c2>/6

A--B.i2V6cvD.2V6

5

答案B

解析因为sin（茎+

所以cos（工一a）=cosn|n+a）卜sin但2n+a

.27）4

则sin偌-。）川―。s，借-。）=士乎

所以，管一力篇二±2传

6.（2025•池州模拟）己知角6,（0,兀）,tan（a+/?）=1,cos夕=黑,贝角2«+/?=（）

/XV*

A97T

AB

4T吟

答案D

解析•:Be（。，兀）,COS左答,

:邛e（。，7），sintan吟

tana+tan/?_tana+-

由tan（a邛）

1-tann-tan/?i-ltana2,

解得tanct=1,（°，：），且（）＜a+S＜：，

1,1

tan(a+/?)+tana_/鼻

tan(2a+丑尸tan[®+4)+a]

l-tan(a+/?)tanai-|x|

,・・20+夕£（0弓），・・・2a+6=今

7.（2025・重庆段测）在△ABC中，内角4,8,C的对边分别为b,c,且〃+/+A=。2若

b=瓜,〃=3&sinB,贝ijC=()

A.-C，-

4V8呜

答案D

b2+c2-a21

解析在中，由222及余弦定理得

ZXABCb+c+bc=acosA=-2bc

又0<A<n,所以A=

又^=3V2sinB,

所以由正弦定理得sin=段。%.

a3V2sinB3V2sinB2sinB

而sinB>0,解得sinB=^、

又0<8v；,所以

34

所以C=Tt~A-B=^.

8.（2025・西安模拟）在同一平面上有相距14千米的A,B两座炮台,A在3的正东方向.某次演习时,A

向西偏北。方向发射炮弹,区则向东偏北。方向发射炮弹，其中。为锐角,观测回报两炮弹皆命中18

千米外的同一目标,接着A改向向西偏北g方向发射炮弹,弹着点为18千米外的点M,则B炮台与

弹着点M的距离为（）

A.7千米B.8千米

C.9千米D.10千米

答案D

解析结合题意作出图形,AC=8C=18,43=14,ZCBA=ZCAB=0,ZMAB=^,

182+142-1827

在AABC中，由余弦定理得cos

2X18X1418

1+COS0256、

因为二一，且CaOS->0,

22-------362

所以cos

26

在中，由余弦定理得cos9,解得MB=10.

2f6”2X14X二18产

二、多选题

9.（2025・昆明诊断）△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足下列条件的三角形有两个解的

是（）

A.C=54,加39,0120。B./?=ll,d=20,8=30。

C.«=2,b=6,/4=3O°D.b=26,c=15,C=30°

答案BD

川XA-nbsinC39x日

解析对于A,sinB=-------=—^-<1,

C54

又b<c,只有一解，不合题意;

〃工口-A«sinB20x1.

又asinB<b<a,则有两解,符合题意;

对于C,sin氏也

a2

则3不存在，无解，不合题意；

对于D,sinB=bs1^C=~~<,

又hsinC<c<bt则有两解，符合题意.

10.（2025・清远质检）已知tana-tan//=tan（a/）,其中“容依Z）且尸詈（〃{Z）,则下列结论一定正

确的是（）

A.sinasin/?=0B.sin(a-£)二O

C.cos(a-/?)=0D.sin%+cos2p=\

答案BD

解析因为tana-tan/Man(a/),

其中且尸W”(mEZ),

22

匕匕八］csinasin(i

所以tana-tan-----------

cosacos0

_sinacos6-sin/?cosa

cosacosB

_sin(a-/?)_sin(a-/?)

cosacospcos(a-/?),

所以sin(a/)=0或cos(a-//)=cosacos夕,

即sin(a/)=0或sinasin£=0.

因为a#口k£Z)且后到m£Z),

所以sinasin£W(),所以sin(a/)=(),B正确,A错误；

因为sin(a-/?)=O,所以Z,

所以cos(a-/?)=±1,C错误；

因为arB=nit,〃WZ,

所以sin2a+cos2/?=sin2(n7r+^)+cos2/?=sin2^+cos2/?=1,D正确.

11.(2025・湖南教研联盟联考)记△ABC的内角4,凡C的对边分别为a,b,c,若c2%"力),则()

A.”。B.C=2B

C.8£(05)D於(0,3)

答案BCD

解析对于A,因为<?=/?(〃+/?),a+b>c>0,

所以(r>bcy所以c>b,所以A错;吴；

对于B,因为cr=b(a+b)f

所以由余弦定理得cosM卢咛叽竽考啧

2ac2ac2c2c2b

所以由正弦定理得cos左芈，

2sinB

所以sinC=2sinBcosB=sin28,

因为CW(0,兀),2Be(0,2n)f

所以C=23或。+28=兀，

若C-2B=m则A=B,

222

所以a=b,此时c=b(a+b)=a+bi

所以则A=B=^

24f

此时028,所以B正确；

对于C,由选项B可知C=2。，

所以8+033W(0,7T),

所以3£(0,；),所以C正确；

对于D,由正弦定理得

a_sin4_sin(n-B-C)_sin(B+C)_sinBcosC+cosBsinC

zzzzzzzz

bsinBsinBsinBsinB

sinBcos2B+cosBsin2B_„2sinBcos2B

二----------：------------二COS28+----：-----

sinBsinB

=2cos2B-1+2cos2B=4COS2B-1,

因为5£(0,9，

所以COS8WG，1),

所以cos1),

所以4cos2BE(1,4),

所以4cos28T£(0,3),

所以;£(。,3),所以D正确.

三、嗔空题

cos700-cos20°

12.

cos650

答案-企

解析法一cos700-cos20°

cos650

cos(90°—20°)-cos200

cos65°

sin20°-cos200

cos(45o+20o)

sin200-cos20°

cos450cos200-sin45°sin20°

法二cos700-cos20°sin200-cos20°

cos65°cos65°

-x/2cos(45°+20°)__

cos650

法三cos700-cos20°

cos65°

70°+20°70°-20°

-2sin•sin

2

cos65°

-V2sin250__

cos650'

13.已知cos(a+g+cos(a+4贝ijcos0a+g)二

答案容

解析法一因为cos(Q+自+COS(

所以cos(a+-sin[a+一今

两边平方得l-sin(2a+?)4,

\6/25

则sin(2a+弁，

故cos(2a+g)as3+H9二-sin(2a+力噗

法二由cos(a+凯os(a+工)

=2cos守cos亨Seos(a+海

得cos（。+家祭

2

・・・cos（2a+y）=2cos2（