4.1 函数（导学案）（解析版）

4.1函数1．掌握函数的概念，以及函数的三种表示方法；2．会判断两个变量之间是否是函数关系.从实际问题中准确抽象出函数模型.第一环节自主学习温故知新：思考：（1）早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜，说明：气温随时间的变化而变化.（2）高处不胜寒，说明：温度随海拔高度的变化而变化.（3）在一个变化过程中，如果一个变量y随着另一个变量x的变化而变化.我们就把x叫做自变量，y叫做因变量.新知自研：自研课本P75-76页的内容，思考：【学法指导】情景引入生活中存在着许许多多变化的量，如水龙头漏水量与漏水时间，弹簧的长度与所挂物体的质量，行走的路程与所用的时间……你了解这些变量之间的关系吗？了解这些关系，可以帮助我们更好地认识世界.●探究一：函数的概念及表示方法◆1.情景一：想一想：如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？下图反映了摩天轮上某一点离地面的高度h(单位：m)与旋转时间t(单位：min)之间的关系.（1）根据图填表：t/min012345…h/m31037453711…（2）对于给定的时间t，相应的高度h确定吗？确定；唯一一个.◆2.情景二：圆柱形物体常常像下图那样堆放。随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？（1）填写下表：n12345…y1361015…（2）对于给定任一层数n，相应的物体总数y确定吗？有几个y值和它对应？对于给定的层数n,相应的物体总数y随之确定.唯一一个.◆3.情景三：一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0.(1)当t分别等于﹣43，﹣27，0，18时，相应的热力学温度T是多少？【解答】解：当t=-43时，T=-43+273=230（K）当t=-27时，T=-27+273=246（K）当t=0时，T=0+273=273（K）当t=18时，T=18+273=291（K）（2）给定任一个大于-273℃的摄氏温度t值，相应的热力学温度T确定吗？有几个T值和它对应？确定唯一一个T值.◆4.上面三个情景中都研究了两个变量之间的关系，它们有什么相同点和不同点?三个情景相同点不同点情景一都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值.图象法情景二表格法情景三T＝t＋273.15,T≥0关系式法◆5.总结归纳（1）函数概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量.注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系.（2）函数的一般表示方法：图象法、表格法、关系式法.●探究二：自变量的取值范围上述的三个情景中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？情景一：下图反映了摩天轮上的一点的高度h(m)与旋转时间t(min)之间的关系.自变量t的取值范围:t≥0.情景二：罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？自变量n的取值范围：n取正整数.情景三:一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0.自变量t的取值范围：t≥-273.●探究三：函数值◆1.思考上述问题中，自变量能取哪些值?（1）在摩天轮问题中：t/min012345…h/m31037453711…（2）在圆柱形物体的堆放问题中:n12345…y1361015…（3）在气体与压强的问题中：当t＝－43时，T＝－43＋273.15＝230.15（K）.◆2.在上述三个问题中，你有什么发现？什么是函数值？函数值：对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a,函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值.即：如果y是x的函数，当x＝a时，y＝b，那么b叫做当x＝a时的函数值.注意：函数值是一个数，它是自变量确定时对应的因变量的值.【例题导析】自研下面的例1和例2的内容，回答问题：典例分析例1：下列关系式中哪些是y关于x的函数，哪些不是?(1)y=x；(2)y=x2+2；(3)y2=x；(4)y=±x【分析】根据函数的定义判断即可解答.【解答】对于(1)、(2)、（3）x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，则y是x的函数；（4）中当x=1时，y=±1对于x的每一个确定的值，y不唯一，则y不是x的函数.例2：汽车的油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y(单位：L)随行驶里程x(单位：km)的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.(1)写出表示y与x的函数关系的式子.(2)指出自变量x的取值范围；(3)汽车行驶200km时，油箱中还有多少油？【分析】(1)每行程x，耗油0.1，即总油量减少0.1x，则油箱中剩下的油为50﹣0.1x；（2）从实际出发，x代表的实际意义为行驶里程，所以x不能为负数又行驶中的耗油量为0.1x，不能超过油箱中的汽油量50L，即可得自变量的取值范围；（3）将x=200时，代入第一问中求出的x，y的关系式即可得出答案:【解答】解：（1）函数关系式为：y=50－0.1x（2）由x≥0及50－0.1x≥0得0≤x≤500，∴自变量的取值范围是:0≤x≤500.(3)当x＝200时，函数y的值为:y＝50－0.1×200＝30.因此，当汽车行驶200km时，油箱中还有油30L.第二环节合作探究小组群学A.探讨函数定义、函数的表示方法以及什么是函数值；B.交流例题的解题思路和易错点.C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.1．下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（D）ABCD2．下列四个选项中，说法不正确的是（

C

）A．在匀速运动公式中，s是t的函数，v是常量.B．入射光线照射到平面镜上，如果入射角的角度为α，反射角的角度为β，那么β是α的函数.C．在圆的周长公式中，2是常量，π，r，C均为变量.D．一种金属，其质量是体积的函数.3.函数y=xx−1的自变量x的取值范围是4.已知y＝𝑥2＋2x－1，当x＝1时，函数值y＝2.5.地表以下岩层温度是研究地球内部热传递和热平衡的关键因素．通过对不同深度岩层温度的测量和分析，科学家可以构建地球内部的热结构模型．测量发现，地表以下岩层的温度与它所处的深度有下表中的关系：(1)在上述变化过程中，自变量是岩层的深度h，因变量是岩层的温度t，表格中m的值为160；(2)请直接写出岩层的温度t与岩层的深度h之间的关系式；t=55+35(h-1)=35h+20(3)当岩层的温度为335时求岩层的深度．当t=335时，35h+20=335,解得h=9即岩层的深度为9km.题型一：函数的识别1．（2024春•巴彦县校级月考）下列关于y与x的关系式中，y是x的函数的是（）A．y＝x2 B．y＝±x C．|y|＝x+1 D．y2＝x【分析】某一变化中存在两个变量x，y，对于x在某一范围内的任意一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，据此进行判断即可．【解答】解：A．它符合函数的定义，则A符合题意；B．对于x在某一范围内的任意一个值，y不是有唯一确定的值与它对应，则B不符合题意；C．对于x在某一范围内的任意一个值，y不是有唯一确定的值与它对应，则C不符合题意；D．对于x在某一范围内的任意一个值，y不是有唯一确定的值与它对应，则D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查函数的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．2．下列各关系中，不是函数关系的是（）A．y＝﹣x（x≤0） B．y＝±x（x≥0） C．y＝x（x≥0） D．y＝﹣x（x≥0）【分析】根据函数的定义，判断y与x的值是否是一一对应关系即可．【解答】解：A．当x≤0时，对于x的每一个值，y＝﹣x都有唯一确定的值与其对应，故其为函数；B．当x≥0时，对于x的每一个值，y＝±x有两个值，不是一一对应关系，故不是函数关系；C．当x≥0时，对于x的每一个值，y＝x都有唯一确定的值，是一一对应的，故其为函数；D．当x≥0时，对于x的每一个值，y＝﹣x都有唯一确定的值，故其为函数．故选：B．【点评】本题考查函数的概念，熟练掌握函数定义是关键．3．下面选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y，其中y不是x的函数的是（）A．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长 B．y：正方形的周长，x：这个正方形的边长 C．y：圆的面积，x：这个圆的直径 D．y：一个正数的平方根，x：这个正数【分析】根据函数的定义（在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的么一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数）解决此题．【解答】解：A．若y为正方形的面积，x为正方形的周长，则y=(x4)2=x2B．y表示正方形的周长，x表示正方形的边长，则y＝4x，故y是x的函数，B不符合题意．C．y表示圆的面积，x表示圆的直径，则y=(x2)2=14D．y表示一个正数的平方根，x表示这个正数，那么y=±x，故y不是x的函数，D故选：D．【点评】本题主要考查函数，熟练掌握函数的定义是解决本题的关键．4．（2024春•巴南区期末）下列各图中，表示y是x的函数的是（）A． B． C． D．【分析】根据函数的概念判断可得．【解答】解：如图所示，在B、C、D三个选项中，在x允许的取值范围内，x任取一个数值，函数y都有2个值与之对应，不符合函数的概念，故选：A．【点评】本题主要考查函数的概念，函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．题型二：确定函数自变量的取值范围5．（2024秋•包河区校级期中）函数y=3x−2中自变量A．x≠2 B．x＞2 C．x＜2 D．x≤2【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可．【解答】解；∵y=3∴x﹣2≠0，∴x≠2，故选：A．【点评】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，正确记忆有意义的条件是解题关键．6．（2024秋•七星关区校级期中）函数y=x−2中自变量xA．0 B．1 C．2 D．﹣2【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．【解答】解：由二次根式的被开方数为非负数可得x﹣2≥0，∴x≥2，故自变量x的取值可以是2；故选：C．【点评】本题考查求自变量的取值范围，二次根式的被开方数为非负数是关键．7．（2024•中卫模拟）已知函数y=1x−2+A．x＞1 B．x≥1且x≠2 C．x≥1 D．x≠2【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案．【解答】解：由题意得：x﹣1≥0且x﹣2≠0，解得：x≥1且x≠2，故选：B．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．8．（2024秋•定陶区期末）函数y=x+12−x的自变量的取值范围是【分析】要使分式有意义，分母不为0；要使二次根式有意义，被开方数为非负数．由此即可求解．【解答】解：由题意知x+1≥0，2﹣x≠0，解得x≥﹣1且x≠2，故答案为：x≥﹣1且x≠2．【点评】本题考查求自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件及二次根式有意义的条件是关键．题型三：求函数值9．（2023秋•梧州期末）当x＝2时，函数y=6−xA．y＝4 B．y＝3 C．y＝2 D．y＝1【分析】把x＝2代入计算，再根据算术平方根的定义可得答案．【解答】解：当x＝2时，y=6−2故选：C．【点评】本题考查函数值，将自变量的值代入求出函数值是解决问题的关键．10．（2024春•海沧区校级期末）下面四个函数中，符合当自变量x为1时，函数值为1的函数是（）A．y＝2x﹣2 B．y=2x C．y＝x2 D．y＝【分析】把x＝1代入每一个选项的函数关系式中，进行计算即可解答．【解答】解：A、当x＝1时，y＝2×1﹣2＝0，故A不符合题意；B、当x＝1时，y=21=C、当x＝1时，y＝12＝1，故C符合题意；D、当x＝1时，y＝1+1＝2，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了函数值，函数的概念，准确熟练地进行计算是解题的关键．11．（2024秋•西安期中）用如图所示的程序框图来计算函数y的值，当输入x为﹣1和7时，输出y的值相等，则b的值是（）A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2【分析】将x的值分别代入对应的函数，进而求出b的值．【解答】解：根据题意，当x＝﹣1时，y＝3x+b＝3×（﹣1）+b＝﹣3+b；当x＝7时，y＝6﹣x＝6﹣7＝﹣1．∵﹣3+b＝﹣1，∴b＝2．故选：D．【点评】本题考查函数值，掌握求函数值的方法是本题的关键．12．（2024春•博山区期末）变量x，y的一些对应值如下表：x…﹣2﹣10123…y…﹣8﹣101827…根据表格中的数据规律，当x＝﹣5时，y的值是．【分析】根据表格中两个变量对应值的变化规律得出答案．【解答】解：由表格中两个变量对应值的变化规律可知，y＝x3，当x＝﹣5时，y＝（﹣5）3＝﹣125，故答案为：﹣125．【点评】本题考查函数值，根据表格中两个变量对应值的变化规律可得函数关系式，将自变量的值代入计算函数值．题型四：列函数表达式13．（2024春•商河县期中）为打造“比、学、赶、帮、超”良好的班风和浓厚的学风，数学白老师为8班孩子购买了5包卡通橡皮和x包表扬信，卡通橡皮每包12元，表扬信每包30元，共花费y元，则关系式为（）A．y＝5x+6 B．y＝12x+30 C．y＝8x+12 D．y＝30x+60【分析】根据题意正确列式即可．【解答】解：由题意可知，y＝30x+5×12＝30x+60，故选：D．【点评】本题考查了用关系式表示变量之间的关系，解题的关键是正确运算．14．（2023秋•大埔县期末）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系式是（）A．y＝2n+1 B．y＝2n+n C．y＝2n+1+n D．y＝2n+n+1【分析】根据题意得：第1个图：y＝1+2，第2个图：y＝2+4＝2+22，第3个图：y＝3+8＝3+23，…以此类推第n个图：y＝n+2n，即可得到答案．【解答】解：根据题意得：第1个图：y＝1+2，第2个图：y＝2+4＝2+22，第3个图：y＝3+8＝3+23，…，以此类推第n个图：y＝n+2n，故选：B．【点评】本题考查了函数关系式和规律型：图形的变化类，正确找出规律，进行猜想归纳即可．15．（2024春•陈仓区期中）小丽给新办的饭卡充值100元，学校餐厅每顿午饭均为5元，则饭卡余额y（元）与购买午饭的次数x（次）之间的关系是．【分析】用100减去x次的消费，即可确定函数关系式．【解答】解：依题意，饭卡余额y（元）与购买午饭的次数x（次）之间的关系为y＝100﹣5x，故答案为：y＝100﹣5x．【点评】本题考查了函数关系式，理解题意列出关系式是解题的关键．16．（2024•南山区校级开学）长方形的周长为20cm，其中一边为xcm（其中x＞0），面积为ycm2，则y关于x的关系式为．【分析】根据题意表示出另一边长，再利用长方形面积求法得出答案．【解答】解∵长方形的周长为20cm，其中一边为xcm（其中x＞0），∴另一边长为：（10﹣x）cm，故y＝x（10﹣x）＝﹣x2+10x．故答案为：y＝﹣x2+10x．【点评】本题考查函数关系式，掌握长方形的面积计算方法是得出正确答案的前提．题型五：实际问题中的函数图象17．（2024•连云港开学）妈妈骑自行车去超市，骑了一会下雨了，她立刻加快速度返回家开车去超市（取车、停车时间忽略不计），下列图（）能正确反映妈妈去超市的情况．A． B． C． D．【分析】依据题意，妈妈先骑自行车去超市，下雨后又加快速度返回家，回家的速度大于去时的速度，回家用的时间少于去时用的时间；然后开车去超市，速度比骑车的速度要快．据此解答．【解答】解：由分析得，选项D是先从家出发，然后又以稍快的速度返回家，最后又以更快的速度开车去超市．故选：D．【点评】本题主要考查了函数的图象，解题时要熟练掌握并能读懂题意是关键．18．（2024春•渭南期中）如图是某汽车从A地去B地，再返回A地的过程中汽车离开A地的距离与时间的关系图，下列说法中错误的是（）A．A地与B地之间的距离是180千米 B．前3小时汽车行驶的速度是40千米/时 C．汽车中途共休息了5小时 D．汽车返回途中的速度是60千米/时【分析】根据图象上特殊点的实际意义即可求出答案．【解答】解：A、由图象得知A地与B地之间的距离是180千米，故A不符合题意；B、前3小时汽车行驶的速度是1203=40千米/时，故C、由于不知道第6小时出发时的速度，所以求不出汽车中途共休息时间，故C符合题意；D、汽车返回途中的速度是18012−9=60千米/时．故故选：C．【点评】本题考查了函数的图象，解题的关键是根据题干了解行驶过程，结合图象获取相关数据．19．（2024秋•广饶县校级期末）如图，折线ABCDE描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是（）①汽车在行驶途中停留了0.5小时；②汽车在整个行驶过程的平均速度是60km/h；③汽车共行驶了240km；④汽车出发4h离出发地40km．A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【分析】根据停留时距离S不发生变化可判断①；根据速度＝路程÷时间列式计算即可判断②；求得往返的路程和得出答案即可判断③；先求出3h到4.5h的速度，再求据出发地的距离可判断④．【解答】解：①汽车在行驶途中停留了2﹣1.5＝0.5h，故①正确；②平均速度：120×2÷4.5=160故②错误；③汽车共行驶了120×2＝240km，故③正确；④汽车自出发后3h到4.5h速度为：120÷（4.5﹣3）＝120÷1.5＝80千米/小时，∴汽车出发4h离出发地距离为120﹣（4﹣3）×80＝120﹣80＝40千米，故④正确．∴正确的是①③④，故选：C．【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了速度、路程、时间之间的关系，准确识图并获取必要的信息是解题的关键．20．（2024春•卢龙县期中）某次大型活动，组委会启用无人机航拍活动过程，在操控无人机时应根据现场状况调节高度．已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间x（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：（1）在上升或下降过程中，无人机的速度是米/分；（2）图中a表示的数是，b表示的数是；（3）无人机在60米高的上空停留的时间是分钟．【分析】（1）根据图象信息，根据速度等于路程除以时间计算即可；（2）根据（1）的结论，结合图象可得a与b的值；（3）根据b的值可得结论；【解答】解：（1）在上升或下降过程中，无人机的速度是：60÷（12﹣9）＝20（米/分）；故答案为：20；（2）a＝40÷20＝2；b＝5+（60﹣40）÷20＝6．故答案为：2；6；（3）无人机在60米高的上空停留的时间是：9﹣6＝3（分钟），故答案为：3；【点评】本题考查了函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键．题型六：函数的三种表示方法21．（2024春•榆树市校级月考）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下：温度（℃）﹣20﹣100102030声速（m/s）318324330336342348下列说法错误的是（）A．在这个变化中，自变量是温度，声速是温度的函数 B．温度越低，声速越慢 C．当温度每升高10℃时，声速增加6m/s D．当空气温度为40℃时，声音可以传播354m【分析】A．根据自变量与函数的定义判断即可；BC．通过观察数据即可得出结论；D．根据C计算出空气温度为40℃的声速，即此时每秒传播的距离．【解答】解：∵声速随温度的变化而变化，∴自变量是温度，声速是温度的函数，∴A正确，不符合题意；从而表格数据可知，随着温度的降低，声速变慢，∴B正确，不符合题意；从数据可知，温度每升高10℃，声速就增加6m/s，∴C正确，不符合题意；由C可知，当空气温度为40℃时，声速为348+6＝354（m/s），即当空气温度为40℃时，声音每秒可以传播354m，∴D错误，符合题意．故选：D．【点评】本题考查函数的表示方法、常量与变量，掌握自变量与函数的定义是本题的关键．22．（2024春•秦都区期末）课外科技小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机飞行高度h（米）随飞行时间t（秒）变化的规律如下表所示．t/秒00.511.522.533.544.5…h/米1.87.311.815.317.819.319.819.317.815.3…下列说法正确的是（）A．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就增加5.5米 B．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就减少5.5米 C．飞行时间t为2秒和4秒时，飞行高度h相同 D．从0秒到2秒飞机飞行的高度是15米【分析】根据表格中飞机飞行高度h（米）随飞行时间t（秒）变化的规律进行逐一判断即可求解【解答】解：由表格数据可得，0～3秒过程中，随着飞行时间的增加，飞行高度增加，从3秒后，随着飞行时间的增加，飞行高度减小，故A、B不符合题意；由表格可得，飞行时间t为2秒和4秒时，飞行高度h相同，故C符合题意；由表格可得，从0秒到2秒飞机飞行的高度是17.8﹣1.8＝16（米），故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查函数的表示方法，函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．23．（2024秋•让胡路区校级期中）在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，如表是海拔高度h（千米）与此高度处气温t（℃）的关系．海拔高度h（千米）012345…气温t（℃）201482﹣4﹣10…根据