2025-2026学年微课一等奖教学设计数学

2025-2026学年微课一等奖教学设计数学科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2025-2026学年微课一等奖教学设计数学课程基本信息一、课程基本信息1.课程名称：一次函数的应用。2.教学年级和班级：八年级（3）班。3.授课时间：2025年9月15日第2节课。4.教学时数：1课时（45分钟）。核心素养目标二、核心素养目标通过一次函数应用的学习，发展数学抽象与数学建模素养，能从实际问题（如行程、利润计算）中抽象出一次函数模型；提升逻辑推理与直观想象素养，结合函数图像分析变量关系，解决最值、取值范围等问题；强化数学运算与应用意识，通过函数表达式求解与计算，体会数学在解决实际问题中的价值，培养用数学眼光观察现实世界的能力。教学难点与重点三、教学难点与重点1.教学重点，①从实际问题（如行程问题、利润计算）中抽象出一次函数表达式；②利用一次函数的增减性和图像特征解决最值、取值范围等实际问题。2.教学难点，①准确理解实际问题中的变量含义及函数关系，避免变量对应错误；②结合一次函数图像分析复杂问题（如分段函数、多变量约束）时的逻辑推理与直观想象结合。教学方法与策略四、教学方法与策略1.教学方法采用讲授法结合案例研究法，通过课本中的行程、利润问题引导学生抽象函数模型；小组讨论法促进学生合作分析变量关系。2.教学活动设计角色扮演模拟行程问题中的速度与时间变化，小组合作解决课本例题中的最值问题，增强互动体验。3.教学媒体使用多媒体展示动态函数图像，实物投影展示学生解题过程，直观呈现函数性质与实际问题的联系。教学过程（一）情境导入，激发兴趣（5分钟）

同学们，早上好！今天我们要解决一个生活中常见的问题：快递公司收取费用。课本P98页提到，某快递公司规定：首重1公斤收费5元，超出部分每公斤加收1.5元。现在请你们帮小明算一算，寄一个3.5公斤的包裹需要多少钱？（停顿，让学生思考）

（学生回答）

很好！有同学说首重5元，超出部分是2.5公斤，2.5×1.5=3.75元，总共5+3.75=8.75元。但如果我们寄5公斤、10公斤甚至更重的包裹，每次都这样算是不是太麻烦了？有没有更通用的方法？

（学生讨论）

没错！我们可以用一次函数来解决这个问题。今天我们就来学习一次函数在实际问题中的应用。（板书课题：一次函数的应用）

（二）模型建构，抽象关系（10分钟）

请大家打开课本P99页，观察例1的表格：

|重量x（公斤）|费用y（元）|

|--------------|------------|

|1|5|

|2|6.5|

|3|8|

|4|9.5|

（教师引导学生观察）

请你们观察：重量每增加1公斤，费用增加多少？

（学生回答）

对！费用每次增加1.5元。这说明y与x之间存在线性关系。我们设y=kx+b，当x=1时y=5，x=2时y=6.5。代入得：

5=k×1+b

6.5=k×2+b

解这个方程组，k=1.5，b=3.5？不对！为什么？（停顿）

（学生发现矛盾）

哦！首重1公斤收费5元，但超出部分才按1.5元算。所以当x≤1时，y=5；当x>1时，y=5+1.5(x-1)。化简后得y=1.5x+3.5。验证一下：x=1时y=5，x=2时y=6.5，正确！

（教师强调）

这就是分段函数！课本P100页明确指出：实际问题中，函数关系可能因条件不同而分段表达。

（三）变式训练，突破难点（15分钟）

现在请你们完成课本P101页练习第2题：某商场促销活动，购买A商品超过50件时，超出部分打8折。已知原价每件20元。

（学生分组讨论）

（教师巡视指导）

第一组同学请汇报你们的函数表达式。

（学生回答）

当x≤50时，y=20x；当x>50时，y=20×50+20×0.8×(x-50)，即y=1000+16(x-50)。化简后y=16x+200。

（教师追问）

很好！但这里有个易错点：为什么b=200而不是1000？请第三组同学解释。

（学生回答）

因为当x=50时，y=1000元，代入y=16x+b得1000=16×50+b，所以b=200。

（教师总结）

没错！分段函数的关键是找到分段点（x=50），并确保分段点处函数值连续。现在请你们解决实际问题：小明购买60件A商品，需付多少钱？

（学生计算）

y=16×60+200=1160元。

（四）图像分析，深化理解（10分钟）

（教师展示动态函数图像）

请看屏幕：当x≤50时，图像是斜率为20的直线；x>50时，斜率变为16。注意在x=50处有一个"拐点"。

（学生提问）

老师，为什么促销后斜率变小了？

（教师解答）

因为打折后每件多付的钱变少了，所以y随x增长的速度变慢，斜率减小。这对应着课本P102页的"函数增减性"：k>0时，y随x增大而增大，但k值越小，增长越慢。

（五）综合应用，解决问题（5分钟）

现在请你们解决课本P103页例3：某工厂生产零件，固定成本2000元，每件可变成本30元。售价每件50元。

（学生独立完成）

（教师点名回答）

请小亮说说你的利润函数。

（学生回答）

利润=收入-成本=50x-(2000+30x)=20x-2000。

（教师追问）

工厂至少生产多少件才能盈利？

（学生回答）

令20x-2000>0，解得x>100。所以至少生产101件。

（教师补充）

这就是一次函数在利润最值问题中的应用，课本P104页强调：通过求函数零点确定盈亏平衡点。

（六）总结提升，归纳方法（5分钟）

今天我们学习了什么？请你们用数学语言总结。

（学生回答）

一次函数解决实际问题的步骤：1.确定变量关系；2.建立分段函数模型；3.利用图像分析性质；4.求解最值或取值范围。

（教师板书）

特别要注意：课本P105页的"数学建模五步法"——问题抽象、模型建立、求解验证、解释应用、反思优化。现在请大家完成课后作业：P106页习题第5、7题，下节课我们检查！学生学习效果学生掌握了利用函数图像分析实际问题的方法。在动态图像演示中，学生能识别分段函数的"拐点"特征，解释斜率减小对应促销后增长速度变慢的数学原理。工厂利润问题中，学生能建立利润函数y=20x-2000，通过求零点确定盈亏平衡点x=100，推导出至少生产101件才能盈利，体现数学建模的完整过程。

学生提升了数学抽象与逻辑推理能力。在小组讨论中，学生能准确识别实际问题中的变量含义，如区分行程问题中的s=vt与分段函数中的约束条件，避免变量对应错误。通过例题变式训练，学生能自主解决课本P106习题第5题（手机话费套餐选择）和第7题（出租车计费问题），正确表达分段函数并计算最优方案。

学生强化了数学运算与应用意识。在独立完成课堂练习时，90%学生能准确计算分段函数值，如快递3.5公斤包裹费用8.75元、购买60件商品费用1160元。在课后作业反馈中，学生能应用"数学建模五步法"分析生活案例，如设计最优购物策略、计算水电费阶梯计价，体现数学眼光观察现实世界的能力。

学生形成了严谨的数学表达习惯。在板书展示环节，学生能规范书写函数表达式，注明定义域范围，如y=1.5x+3.5（x>1）。在错误分析中，学生能自主发现并修正分段点函数值不连续的问题，如当x=50时y=1000元需同时满足y=20x和y=16x+200，强化数学语言的准确性。

学生发展了合作探究精神。在角色扮演活动中，学生通过模拟行程问题中的速度变化，直观理解函数增减性；在小组合作解决最值问题时，能分工绘制图像、计算代数式、验证结果，提升团队协作效率。课堂提问显示，85%学生能主动提出质疑，如"为什么促销后斜率变小"，体现批判性思维。

学生建立了数学与生活的紧密联系。通过快递、促销、利润等课本案例，学生认识到一次函数在商业运营中的实际应用，能举例说明类似问题如水电费阶梯计价、个人所得税分段计算。在课后反思中，学生记录了用函数模型优化家庭购物计划的实践案例，体现数学应用意识向生活场景的迁移。

学生巩固了核心知识体系。通过课堂小结，学生系统梳理了一次函数应用的步骤：确定变量关系→建立分段函数模型→分析图像性质→求解最值范围。在知识检测中，学生对课本P105"数学建模五步法"的掌握率达92%，能独立完成从问题抽象到反思优化的完整闭环。典型例题讲解例1：某市出租车起步价10元（含3公里），超出部分每公里2元。求车费y（元）与行驶距离x（公里）的函数关系式。

解：当x≤3时，y=10；当x>3时，y=10+2(x-3)，即y=2x+4。

例2：手机套餐月租30元，通话费每分钟0.2元。若用户本月通话100分钟，求总费用。

解：设通话时间为x分钟，总费用y=30+0.2x。当x=100时，y=30+0.2×100=50元。

例3：工厂生产产品，固定成本5000元，每件成本20元，售价35元。求利润函数及盈亏平衡点。

解：利润函数y=35x-(5000+20x)=15x-5000。令y=0，得x=5000/15≈333.3，故至少生产334件盈利。

例4：书店购进图书，进价每本15元，售价25元。若售出x本，求利润函数及售出多少本时利润达1000元。

解：利润函数y=(25-15)x=10x。令y=1000，得x=1000/10=100本。

例5：甲车以60km/h行驶，乙车晚出发1小时以80km/h追赶。求乙车出发后t小时两车距离y（km）的函数关系式。

解：甲车行驶时间为(t+1)小时，距离y=60(t+1)-80t=60-20t。教学反思这节课通过快递计费、商场促销等课本案例，学生基本掌握了分段函数建模的方法。课堂中学生对快递案例的首重处理存在混淆，部分同学直接设y=1.5x+3.5而忽略x≤1的特殊情况，反映出对分段函数定义域的理解不够深入。商场促销的变式训练效果较好，85%学生能正确写出y=16