北京市丰台区2024-2025学年高二年级上册期末数学试题（含解析）

2025北京丰台高二(上)期末

数学

2025.01

考生须知

1.答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、教育〃)号用黑色字迹签字笔填写清

楚，并认真核对条形码上的教育〃)号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码.

2.本次练习所有答题均在答题卡上完成.选择题必须使用25铅笔以正确填涂方式将各小题对

应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项.非选择题必须使用标准黑色字迹

签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚.

3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在练习卷、

草稿纸上答题无效.

4.本练习卷满分共150分，作答时长120分钟.

第一部分选择题(共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.三知向量",3=(°，一1，1),则〃+2否=()

A.(1,-2,2)B.(1,2,-2)C.(1,-2,-2)D.(-1,-2,2)

【答案】A

【解析】

【分析】根据空间向量坐标的加减和数乘运算法则直接计算即可.

【详解】因为£=(1,0,0),S=(0,-l,l),则£+2]=(1,0,0)+2(0,-1,1)=(1,-2,2).

故选：A.

2.直线y-瓜一1的倾斜角为()

5兀2兀兀71

A.—B.—C.-D.-

6336

【答案】C

【解析】

【分析】根据直线方程求得斜率，进而得到lana=百，即可求解.

【详解】由直线y=—可得斜率为左二百，

设直线的倾斜角为a,其中0«a〈兀，可得tana=G，所以a=E.

3

故选：C.

3.与直线2x-y-1=0关于x轴对称的直线方程为()

A.2x+y4-1=0B.2x+y-1=0

C.x-2y+1=0D.x+2y十1二0

【答案】B

【解析】

【分析】设对称直线上的点为求它关于x轴的对称点并代入已知直线的方程，所得方程即为所求

的直线方程.

【详解】设对称直线上的点为。(xj),则其关于x轴的对称点0(羽-丁)在直线上2工一歹一1二0.

所以2x-(一A-1=0,即2x+y-l=0.

故选:B.

4.已知圆G：V+V=1与圆。2：/+/-8y+m=0外切，则"?=()

A.-9B.-5C.7D.13

【答案】C

【解析】

【分析】由题意分别求两圆的圆心和半径，根据两圆外切可得|CG|=4+G，代入运算求解.

【详解】由£：/+丁=1,可得圆的圆心G(o,o),半径为4=1,

由G：/+j?-8y+m=0,可得—+(y-4)2=16-w»

所以圆心为C2(0,4)，半径为f]=x/16-/77(〃z<16),

因为两圆外切，所|。|。2|=乙+4，所以X/O2+42=1+J16—加，

则J16-〃?=3，解得tn=7.

故选:C.

5.已知向量1=(0,1,0),B=(O,-1,G),则向量[在向量々上的投影向量为()

A.-aB.aC.D.同

【答案】A

【解析】

a^b-

【分析】利用百■“”，可求向量］在向量£上的投影向量.

【详解】向量否在向量G上的投影向量为

故选:A.

6.己知画C:(x+l『+y2=i6及点4(1,0),在圆。上任取一点Q,连接C尸，将点尸折叠到点儿记CP

与折痕/的交点为"(如图).当点P在圆。上运动时，点"的轨迹方程为()

r2v2

B.土+匕=1

1612

r2,：

D.-

1612

【答案】A

【解析】

【分析】直接由题意可得：|CM|+HM=〃=4>|4C=2,符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再

由/=/一^=3求得8，可求点M的轨迹方程可求.

【详解】连接必力，

圆。：(x+厅+/=16的圆心坐标为C(-l,0),半径为4.

因为将点.折叠到点小记c尸与折痕/的交点为M,所以1PM=|4例|，

所以CM+MM=|CM|+阿0卜r=4>\AC\=2,

所以点〃的轨迹是以4c为焦点的椭圆，且2Q=4,2C=2,所以〃=2,C=1,

所以〃=/一/=3,所以点M的轨迹方程为工+21=1.

43

7.在空间直角坐标系。工所中，^(1,0,0),8(0,1,0),C(0,0,l),。是平面48C内一点，若

OD=xOA+yOB-OC，则|囱的最小值为()

A.—B.C.V3D.3

33

【答案】C

【解析】

【分析】由点的坐标写出向量历坐标，由空间共面向量定理得到其》的等式，利用基本不等式求出一+/

的最小值，从而求得|砺|的最小直.

【详解】万二(1,0,0),方二(0,1,0),沅=(0,0,1),

OD=xOA+yOB-OC=(x,y1),

又因为。在平面力BC内，所以x+y—l=l,即x+y=2,

所以-+22^工L=2,当且仅当x=y=l时取等号.

2

所以|历卜次+产+(_])22G.

故选：C.

r22v22

8.设椭圆—+4v~=1(。＞力＞0)与双曲线0—v5=1的离心率分别为，，若双曲线渐近线的斜率均

ab~a'b~

小于平，则的取值范围是<)

3131

A.(―,1)B.(―.1)C.(0,—)D.(0,—)

【答案】A

【解析】

【分析】由题意及双曲线的渐近线的斜率可得2〈述，再由椭圆，双曲线的离心率的求法，分别判断出

a5

所给命题的真假.

【详解】由题意可得双曲线的渐近线的斜率的绝对值为2,则o<2〈毡，

aa5

所以弓弓二Ji—/〉Jl—/=|，且牛2=JT-1'

3

则不〈弓/<1，所以A正确.

故选：A.

9.在图形设计和创作中，常常需要用不同的形状和线条进行组合，以创造出独特的视觉效果.某校数学兴

趣小组设计了一个如图所示的“螺旋线”：点4,G在直线/上，△44G是边长为1的等边三角形，京

是以点4为圆心，4G为半径的圆弧，从仅是以点片为圆心，与4为半径的圆弧，超。2是以点G为圆

心，为半径的圆弧，R是以点4为圆心，4c2为半径的圆弧，，依次类推(其中点4,G，4，

共线，点共线，点与，共线).由上述圆弧组成的曲线，与直线

G：4，4，4，4,G，4，B2,

/恰有9个交点时，曲线〃长度的最小值为()

A.30兀B.44兀C.52几D.70兀

【答案】C

【解析】

【分析】第一次以4，用，G为圆心圆弧时，与直线/恰好有2个交点（不包括起点G）,圆弧组成的曲

线H与直线/恰有9个交点时，要使曲线，长度的最小，则刚好转四轮，据此计算即可求曲线〃长度的最

小自

27r

【详解】由题意可知，第〃个劣弧的半径为〃，圆心角为-7，

第一次以4，4，G为圆心圆弧时，与直线/恰好有2个交点（不包括起点G）,

同理第二次以4，4，G为圆心圆弧时，与直线/恰好有2个交点，

以此类推，每一轮以次以4，B、,G为圆心圆弧时，与直线/恰好有2个交点，

上述圆弧组成的曲线，与直线/恰有9个交点时，要使曲线以长度的最小，则刚好转四轮，

27r27rl3x12

所以曲线〃长度的最小值为——（1+2+3+……+12）=—x------=5271.

31732

故选：C.

io.如图，在楂长为2的正方体力sc。-481G3中，尸为棱3用的中点，。为底面44GA上一动点

则下列说法正确的是（）

A.存在点0,使得4QJ_平面吊尸。

B.在棱44上存在点0,使得4。〃平面4Po

C.在线段8区上存在点。，使得直线。。与力4所成的角为四

6

D.存在点。，使得三棱锥。-4P。的体积为2

【答案】D

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法逐项计算判断即可.

【详解】以。为坐标原点，A4，AG，2。所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(2,0,0),P(2,2,1),2(0,0,0),D(0,0,2),BQ,2,2),。仅1,0),(0仝U42),

则踵=(-2,0,2),福=(0,2,1),BQ=(x-2,y-2-2),

设平面4。。的一个法向量为G=<a也0,

nA.D=—2a+2c=0

则<___,令。=2,则。=2/二-1,

nAlP=2b+c=0

所以平面4。。的一个法向量为G=(2,—1,2),

若8。1平面4/0,所以题//[,则三一=与_=彳，解得x=o,y=3,

此时点。(0,3,0)不在底面481GA内，故不存在点0，使得801平面4PQ，故A错误;

假设在棱4瓦上存在点0(2,^,0),使得2。//平面A/D,

则丽13,所以丽1=0,又丽=(2,乂0),所以4—歹+0=0,解得y=4,

此时点0(2,4,0)不在棱4片上，所以在梭吊片上不存在点Q,使得AQ"平面40。，故B错误;

7T

假设在线段B\D\上存在点。(〃?,〃7,0)(0<m<2)，使得直线C。与AA,所成的角为^,

6

又C(0,2,2),所以诙=(叫加一2,-2),又=(0,0,2),

|C04，|_4兀A/3

所以cos(CQ,cos—=——,

IC(2H4AIJ/+(〃?一21+4x262

________2_________y5

所以加+(加—2『+42整理得6〃/—12加+20=0,

A=(-12)2-4X6X20<0,无解,

IF

所以在线段上不存在点。，使得直线。。与44所成的角为一，故c错误;

6

花=(%—2,80),所以点Q到平面400的距离为d」=K+〔一列v'=2,

所以d£[0,2],又AD=26,A\P=后,DP=+1=3♦

由余弦定理可得cosAA.DP=8+9>===2,所以sinN4。尸=也

2x3x2V2V222

所以SinP=-A,D^DP^\nZA.DP=-x2y[2x3x—=3^

△1八2।।22

所以%；

-*>o=xS,xd=-x3xd=d£[0,2],

4&PD

所以存在点。，使得三棱锥。-4。。的体积为2,故D正确.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：关键在于建立空间直角坐标系，利用向量法处理空间位置关系，求点到面的距离,

从而求得三棱锥。-APD的体积的范围.

第二部分非选择题(共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知平面二的一个法向量为Z=(x,3,2),平面〃的一个法向量为B=(-1,乂1),若a〃4，则

x+P=.

【答案】一,相一0.5

2

【解析】

【分析】利用向量平行的坐标表示即可求解.

【详解】根据题意，若夕〃£,则又Z=(x,3,2),9=(—»/)，

x=-2

x32

所以口=一=,，解得•3，所以x+y二一一

”5.2

故答案为：—

2

12.直线/：x+y+2=0被圆O：/+丁=4截得的弦力〃的长为.

【答案】2五

【解析】

【分析】根据给定条件，利用点到直线的距离公式求出弦46的弦心距即可求解.

【详解】由圆0：/+『=4,可得圆心。(0,0),半径r=2,

于是圆心。到直线/:x+y+2=0的距离d=+2=6,

5/1+1

从而得|43|二2小4一(右)2=2应,所以弦力8的长为2后.

故答案为：2，^.

13.在棱长为2的正四面体486中，M,N分别是IB,CO的中点，贝.

【答案】V2

【解析】

【分析】利用同N二—±4?+七力D+±4C,两边平方可求得|AW

222

【详解】因为四面体45CQ是棱长为2的正四面体，所以N8/C=N8/Q=NC4Q=60。,

w=++=775+175c=-17^+475+1(^-77)),

2222、)

---1_i_i一

所以A/N=——AB+-AD+-AC,

222

两边平方可得MN2=；(万+AD2+AC2-2万耳了万-2ABAC+2^5-jcj

=](2?+22+22-2X2X2Xcos600-2x2x2xcos600+2x2x2xcos60°)

小2一4)=2,

所以|MN|=7份.

故答案为：\/2-

14.已知点R(0/)，直线/：歹=T,动圆尸过点儿且与直线/相切，则圆心P的轨迹。的方程为

若直线>=履及>=一去分别与曲线C交于异于原点的M,N两点.当直线过点/时，k=

【答案】①x2=4y②士)

•右

【解析】

【分析】由点尸到点尸的距离等于点P到直线/的距离，可得点尸的轨迹是抛物线，求解可得曲线C的方

程；由题意可得N两点关于y轴对称，可求得财，N两点的坐标为(2,1)或(—2,1),代入方程可求h

【详解】因为动圆。过点E且与直线/相切，所以点P到点尸的距离等于点P到直线/的距离，

所以点尸的轨迹是以点尸(0,1)为焦点，直线/：>=—1为准线的抛物线，

所以圆心P的轨迹C的方程为x2=4y；

因为直线歹二船与y二-H关于，轴对称，抛物线/=4y关于N轴对称，

所以〃，N两点关于V轴对称，又直线A/N过点凡所以M,N两点的纵坐标为1,

所以/=4,解得工=±2,所以M,N两点的坐标为(2,1)或

将(2,1)与(一2,1)代入直线方程好去，可得1=±2人解得』

故答案为：x2=4y；±1.

15.已知方程J<F-K)=2所表示的曲线为c给出以下四个结论：

①曲线。与旷轴有两个不同交点；

②曲线。关于原点对称；

③x轴及直线N=x为曲线C的两条渐近线；

④若曲线C与圆/+/=f2(r>0)有公共点，则厂的最小值为O.

其中，所有正确结论的序号是.

【答案】①②③

【解析】

【分析】对于①，令x=o,求解即可判断；对于②，用一x代替工，一丁代替y,判断方程的表达式是否一

_2

样即可；对于③，将方程进行变形得x=y--,当y=o时方程没有意义，故可判断故y=o是曲线c的另

2

一条渐近线，又yrs时，故v=x为曲线c的一条渐近线；对于④，联立x=)—及

y

x2+/=r2(r>0),消去x并整理得2/+｝=/+4,转化为函数图象有交点即可求解厂的范围.

【详解】对于①，令1=0,得丁=2,即y=±及，所以曲线C与y轴有两个不同交点，故①正确；

对于②，在曲线方程_y(y-x)=2中，用t代替x,二V代替九得(—y)[(—y)—(r)]=2,即

y(y-x)=2,

所以曲线。关于原点对称，故②正确；

对于③，因为方程卜3-幻二2,所以y=所以x=y-一,

y

当pre时，xry,故丁=不为曲线c的一条渐近线；

又？=()时，没有意义，故y=0是曲线C的另一条渐近线，即x轴为曲线C的另一条渐近线，

y

故工轴及直线y=x为曲线c的两条渐近线，故③正确；

对于④，联立及/+2=/&>0),消去X并整理得2/+以=r+4,

因为2/+j22J2y2告=4口,当且仅当2/=即/=2时等号成立，

若曲线C与圆V+/=/(/•>0)有公共点，则户+424及，所以产24右一4，

所以，•的最小值为“6-4,故④错误.综上，正确结论的序号是①©③.

故答案为：①②③

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知数列｛%｝是等差数列，=-7,且生+4=2.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)求｛〃“｝的前〃项和S”的最小值，以及S”取得最小值时〃的值.

【答案】(1)an=4n-ll

(2)〃=2时，S”有最小值—10.

【解析】

【分析】(1)根据等差数列基本量的运算求得公差，即可求得通项公式.

(2)利用等差数列求和公式求和，进而利用二次函数性质求解即可.

【小问1详解】

设等差数列｛〃”｝的公差为d,则，7”=q+(〃-1)4，

因为q=-7,生+4=2,

所以/+4=2〃]+4d=44—14,

所以4d—14=2,解得d=4,

所以见二4〃-11.

【小问2详解】

因为｛%｝是等差数列，所以S“=〃q+"5”,

由(1)可知，=-7//+=2n2-9«=2(//--)2--,

"248

所以当〃=2时，S.有最小值-10.

17.已知圆C经过点M(4,0),且圆心。是直线x-y+2=0与歹轴的交点.

(I)求圆C的方程：

(2)若直线/与圆C交于4B两点、,且四边形。"8为菱形，求直线/的方程.

【答案】⑴1+3-2)2=20

(2)2x-y-3=0

【解析】

【分析】(1)求得圆心与半径可求圆的方程；

(2)由已知可得力8垂直平分CM,求得Q“，进而求得CM的中点，可求直线48的方程.

【小问1详解】

因为圆心C是直线工一^+2=0与卜轴的交点，

所以圆心C的坐标为(0,2),

又因为圆C经过“(4,0),所以圆C的半径为|MC|=J(4-0『+(0—2>=2石,

所以圆C的方程为f+(y-2)2=20.

【小问2详解】

因为四边形C4W8为菱形，

所以X8垂直平分CM,

因为屹“=言=_/，所以3B=2

又因为CM的中点坐标为（2,1）

所以直线48的方程为y-l=2（x-2）,即2x—y—3=0.

18.已知抛物线C:炉=2px（p>0）的焦点为R过点厂的直线/与C交于44两点（其中点力在第一象

限），点4到抛物线C的准线的距离为2.

2

（1）求直线/的斜率；

（2）若|45|=9,求〃的值.

【答案】（1）2后

（2）p=4

【解析】

【分析】（1）设点力的坐标（x”Ji）（M>0，M>0），由已知可得内+5二求得力，可求直线/的斜率；

（2）由（1）可得直线/的方程为：y=2V2（x-1）,与抛物线联立方程组，设点8的坐标（％,为），可

得士+々=与，由焦点弦长公式可求夕.

【小问1详解】

设点4的坐标（％,凹）（3>0,乂>0）,

因为点A到抛物线准线的距离是",

2

所以玉+勺争所以x=p,代入抛物线方程得：y、=6p

所以点4p,后p）,又因为点尸（§,0）,

_\[2p历

所以直线/的斜率/=―n=2

。一5

【小问2详解】

因为抛物线C的焦点嘴,0）,所以直线/的方程为：尸9

、y=2®x_2),)

由＜2得：4厂一5px+p~=0,

1/=2px

可知△=9p2>0恒成立,

设点8的坐标（它,必），则内十七=乎,

|/8|=阳+%2+.=乎+〃=9,所以p=4.

19.如图，四棱锥尸中，P4工底面4BCD,AB1BC,4D〃平面PBC,PA=AC=2.

（1）证明：ADA.PB；

（2）再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求平面4cp与平面3b夹角的余弦值.

条件①：点B到平面PAC的距离为1；

条件②：直线PC与平面以8所成角的大小为30。.

【答案】（1）证明见解析

⑵当

【解析】

【分析】通过线面垂直的性质可得尸4_L3C,再利用线面垂直的判定可得4C_L平面尸再利用线面

垂直的性质和线面平行的性质可得ADCB；若选①，利用点到平面的距离可得BM的值进币得到点B和

点C的坐标，通过平面的法向量的求法可得平面P8C的法向量：利用向量夹角的余弦值公式可得夹角的余

弦值；若选②，根据线面夹角可求山点。的坐标，进一步求得平面的法向量，利用向量夹角的余弦值公式

可求得两平面夹角的余弦值.

【详解】解：（1）因为尸/J_底面力8C。，BC,4Cu平面力BCD,

所以P/J.8C,

因为BC_LA8,PA[}AB=A,"JBu平面418,

所以8CJL平面P48,

因为P8U平面48,所以BC工PB,

因为ADH平面PBC,ADu平面ABCD,平面力8con平面PBC=BC,

所以4O〃〃C,

所以408.

（2）由（1）可知，PA,AB,力。两两垂直，以力为原点，AD,AB,/尸所在直线分别为x轴，y轴,

轴，建立如图所示坐标系.

若选条件①：

方法1：过点B作BMLAC,交AC于点M,

因为应工底面48CQ,8MU平面/8C,

所以以,BM,

因为4Cn%=/l,

所以AM1平面PAC,

又点4到平面A1C的距离为1,所以ZM/=1,

在RfZ\4BC中，4c=2,所以4B=BC=亚•

因此8（0,夜,0）,。（后,0,0）,"（半，芋,0）,

又,4（0,0,0）,尸（0,0,2）,

所以8A=（0,-右,2）,5C=（72,0,0）.

设方=（x,乂z）是平面P9C的法向量，则山旃=0，万.比=0,

-V2y+2z=0,「

即<厂，取y=&，则z=1,x=0»

、V2x=0,

所以后二（0,JI』）是平而PBC的一个法向量.

因为的"平面PAC,所以瓦汗=（岑,_曰,0）是平面必。的一个法向量.

设平面ACP与平面BCP的夹角为0,则

8S”网瓯讣踪［=看邛,

所以平面4CP与平面BCP夹角的余弦值为由.

3

方法2：40,0,0）,方法0,2）,设3（0,〃7,0）（小＞0）,则。（"^?,也0）

可求得平面％C的法向最为江;卜〃产,0）,则

1=幽"=‘正正，得〃?=应以下同方法1

向2

若选条件②：

方法1：由（1）知•平面PAB，

因为直线PC与平面PAB所成角的大小为30。，

所以/4PC即为PC与平面PAB所成的角，即/BPC=30°.

在出△%C中，AC=PA=2,所以。。二2及，

在R/△尸8C中,PC=26，NBPC=30°,所以4C=收，

方法2；由条件①方法2得到斤=（，4一,〃2“〃,一2），

前二（14二〃」,。0）是平面的以6的一个法向量,

卡s画质）卜第

sin30°

所以:二厂4："1得用.以下同条件①.

2瓜

综上，可得平面4cp与平面8c尸的夹角的余弦值为工2.

3

20.已知椭圆从；■+二=］（〃＞/）＞0）过点（0,1）,长轴长为4.

crb~

（1）求椭圆E的方程及离心率；

（2）若直线/：歹=后•+2与椭圆£交于力，4两点，过点4作斜率为0的直线与椭圆的另一个交点为D求

证：直线力。过定点.

【答案】（1）工+y2=],离心率立

42

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用已知易求得Ac,易求得椭圆方程与离心率;

（2）设点力的坐标（阳，必），点B的坐标CG，H），则点。的坐标（一七，%），联立方程组，结合韦达定理

16〃

须+/=---2——

个+1,表示出直线力。的方程为：？-必=匕口（工-内），令x=0得：计算可求得定

可得

12再+x,

占

【小问1详解】

因为椭圆E过点（0,1）,所以〃=1,

又因为长轴长为4,所以2。=4,所以。=2,

所以。2“2一方2=4一1=3.

椭圆E的方程为：—+y2=l，离心率e=£=立.

4‘a2

【小问2详解】

y=kx+2,

由；/、得：(1+4-)/+166+12=0,

"+少=1

、4

由A=(16A)2-4(1+4F)X12=16(4A2-3)>(K*k>皂或k<

22

设点A的坐标（*,乂），点B的坐标（々，先），则点D的坐标（-%2，为），

16A

X+X-,=---r——

4k2+\

12

X•X,=--——

4/+1

yt

由已知得直线“有斜率，直线“。的方程为：匕必=黄1(.-3

i一田二西必+马必一$必+司必

令工=0得:

X1+x2

x2(kxx+2)+x((kx2+2)_2kxxx2+2a+x2)

X[+x2演+x2

244

=竺退+2=^^+2」，

j(+x2_16〃2

1+4户

所以直线过定点(0,；).

2).已知无穷数列｛%｝各项均为正数，且。“+。〃+222。向(〃£1<).

(1)请判断如下两个结论是否正确：

①%一。22a3一%;②3(生一。6)之。6一%；

(2)当左<加<〃(上加,