2026年人教版八年级数学下册《第十九章 二次根式》教案

19.1二次根式及其性质

第1课时

一、教学目标

【知识与技能】

1.理解二次根式的概念.

2.掌握二次根式有意义的条件，能运用二次根式的概念求被开方

数中字母的取值范围.

3.会利用二次根式的双重非负性解决相关问题.

【过程与方法】

经历观察、比较，总结二次根式的概念和被开方数取值范围的过

程,发展学生的归纳概括能力.

【情感态度与价值观】

经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性

和创造性,体验发现的快乐，并提高应用的意识.

二、课型

新授课

三、课时

第1课时共2课时

四、教学重难点

【教学重点】

会根据二次根式有意义的条件求字母的取值范围，掌握二次根式

的双重非负性.

【教学难点】

运用二次根式的双重非负性解决问题.

五、课前准备

教师：课件、平方根、立方根知识等.

学生：铅笔、平方根、立方根知识等.

六、教学过程

（-）导入新课（出示课件2）

广播电视塔越高，从塔顶发射的电磁波就传播得越远，从而能收

听收看到广播电视节目的区域就越广,实际上,广播电视塔高h（单位:

km）与电视节目信号的传播半径1•（单位：km）之间存在近似关系

r=V2Rh,其中R是地球半径，R-6400km.如果两个广播电视塔的

高分别是％km、h2km,那么它们的传播半径之比是舞.

y/2Rh2

教师问：式子萼表示什么？公式广丽中的丽表示什么意

V2/＜力2

义？

（二）探索新知

1.师生共同探究二次根式的定义和有意义的条件（出示课件4.7）

用带根号的式子填空，看一看写出的结果有何特点：

（1）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2,则它

的宽为m.

（2）一个大正方形的面积是一个边长为。的正方形与另一个边

长为1的正方形的面积之和，则大正方形的边长为.

（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：

s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）的关系近似为h=5t2,

如果用含有h的式子表示t,那么t为.

教师问：上边问题的答案是什么呢？

学生独立思考后，教师找三名学生回答.

学生1答：（1）V65.

学生2答：（2）

学生3答：（3）

教师问：这些式子分别表示什么意义？

学生答：分别表示65,小+i,g的算术平方根.

教师问：这些式子有什么共同特征？

学生答：①根指数都为2；②被开方数为非负数.

教师总结点拨：一般地，我们把形如6（。20）的式子叫作二次

根式.二次根式是代数式.

教师强调：

（1）。可以是数，也可以是式.

（2）两个必备特征：①外貌特征：含有②内在特征：被

开方数壮0.

教师出示问题：

当x是怎样的实数时,kl在实数范围内有意义？

教师问：二次根式有意义的条件是什么？

学生答：被开方数是非负数.

师生共同解答如下；

解：由x—220,得x>2.

当xN2时，后二在实数范围内有意义.

教师问：当x是怎样的实数时，值在实数范围内有意义？

足呢？

学生答：因为必之0,所以x可以为任意实数.因为r30,所以

%>0.

考点1:利用二次根式的定义识别二次根式

下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？(出示课件8)

(1)714；(2)81；(3)(4)7=3x(%<0);

(5)异号,nH0)；(6)V%24-4；(7)V15.

师生共同分析：

是

I是否含二是、i被开方数是—>二次

!次根号

不■■■是非一—负数根式

I|一不・一一是・一一二—一一次一一一根一一一式一一.i

师生共同解答如下:

解：⑴(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正数”的形

式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.

出示课件9,学生独立思考后口答，教师订正。

考点2：利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围

1.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(出示

课件10)

(1)1Vx+3

x-1・

教师问：分式的分母有何要求？

学生答：分母不为0.

学生独立思考后，教师找两位学生解答.

学生1解：(1)由题意得x—l>0,・・.X>1.

学生2解：(2)由题意得x+330,X—1H0.

・二x之一3且xW1.

教师总结点拨：

要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数对，列不

等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.

2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(出示

课件11)

(1)V—%24-2%-1；(2)V—x2-2x-3.

学生独立思考后，教师找两位学生解答.

学生1解：(1);无论x为任何实数，一/+2%-1=

-(%-I)2<0,

.,•当ml时，—+2x-1在实数范围内有意义.

学生2解：(2),・,无论x为任何实数，

，无论x为任何实数，J?一2%一3在实数范围内都无意义.

教师总结点拨：

被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成

含完全平方的形式，再进行分析讨论.

教师总结点拨：(出示课件12)

二次根式有意义的条件应用的不同类型：

(1)单个二次根式如迎有意义的条件：A>0；

(2)二次根式作为分式的分母如持有意义的条件：A>0；

(3)多个二次根式相加如++…+而有意义的条件：A>

0,B>0,N>0；

(4)二次根式与分式的和如，？+J有意义的条件：

人之0且8。0.

出示课件13,学生自主练习后口答，教师订正.

2.探究二次根式的双重非负性(出示课件14)

教师问：二次根式的被开方数。的取值范围是什么？

学生答：。的取值范围是非负数.

教师问：命本身的取值范围又是什么？

学生答：的取值范围是非负数.

师生共同总结如下：当。>0时、迎表示。的算术平方根，因此

历>0；当a=0时，，表示0的算术平方根，因此血=0.这就是说，

y/a>0(a>0).

教师总结点拨：(出示课件15)

二次根式的实质是表示一个非负数(或式)的算术平方根.对于

任意一个二次根式祈，必须满足以下两条：

(1)。为被开方数，为保证其有意义，可知。之0;

(2)G表示一个数或式的算术平方根，可知正之0.

二次根式的双重非负性：①二次根式的被开方数非负；②二次根

式的值非负.

考点1:利用二次根式的双重非负性求字母的值

若石闩+|b—2|+（c—I）2=0,求2a-b+3c的值.（出示课件

16）

教师问：二次根式的值是什么数？

学生答：是非负数.

教师问：绝对值的结果是什么数？

学生答：是非负数.

教师问：一个数的平方是什么数？

学生答：非负数.

教师提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零,初

中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幕及二次根式.

师生共同解答如下：

解：由题意可知a+3=0,%-2=0,c-l=（）,

解得。二・3/=2,c=L

所以2〃/+3c=-3x2-2+3xl=-5.

出示课件17,学生自主练习，教师给出答案.

考点2：二次根式的双重非负性和不等式求字母的值

已知实数4y满足等式y=V2-%+Jx-2-5,求％2-2xy+

y2的值.（出示课件18）

教师问：二次根式的被开方数（2・x）和（x・2）有何特点？

学生答：（2-x）和（x-2）互为相反数.

师生共同解答如下：

解：由题意得

U-2>0,

解得42.

把x=2代入得y=-5.

所以工2_2%y+产（工_,）2=（2+5）2=49.

师生共同归纳：若丫=6+/^+小则根据被开方数之。，可

得4=0.

出示课件19,学生自主练习，教师给出答案。

教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么

样吧。

（三）课堂练习（出示课件20-26）

练习课件第20-26页题目，约用时20分钟

（四）课堂小结（出示课件27）

二次根式的

一般地，我们把形如VH（QNO）的式子叫作二

概念

二次根式有

被开方数（式）为非负数

意义的条件

二次根式的

y/a>0(a>0)

双重非负性

（五）课前预习

预习下节课（19.1第2课时）的相关内容.

_2

知道算术平方根的意义和（&）=a,（a>0）.

七、课后作业

1、教材第3页练习第1,2,3题.

2、培优练习19.1第1,6题.

八、板书设计

二次根式及其性质

第1课时

1.二次根式的定义和有意义的条件

考点1考点2

2.二次根式的双重非负性

考点1考点2

3.例题讲解

九、教学反思

成功之处：我们经常说过程比结果更重要.我对整节课的设计力

求符合学生的认知特点，想方设法创设生动活泼的教学情境，使学生

始终处在好奇、好学的高亢的学习情绪当中，同时,整节课争取做到先

有框架，中有深化，后有突破.学生学有情趣，学有所获，并由衷感到:

学习是快乐的事,学会了更是幸福的事.在教学中，我增加了有拓展性

的练习，层层递进,想使不同的学生得到不同程度的发展和提高.

不足之处：知识的掌握需要有一个内化的过程,不可能一蹴而就,

由于课堂时间有限,加上学生个体的差异,有部分学生不能灵活运用

所学来解决相关的问题.

补救措施：在教学方案的实施上,要想方设法调动学生学习的积

极性,尽量发挥学生的主体作用，团队作用.

19.1二次根式及其性质

第2课时

一、教学目标

【知识与技能】

1.理解（论）2=4（420）和信二〃（〃工0）,并利用它们进彳亍计算和化简.

2.用具体数据结合算术平方根的意义推出（迎）2二〃（生0）和探究

介0）,会用这个结论解决具体问题.

【过程与方法】

在明确（仿）2=〃（定0）和后=4（定0）的算理的过程中，感受数学的

实用性.

【情感态度与价值观】

通过运用二次根式的性质进行化简计算，解决一些实际问题，培养

学生解决问题的能力.

二、课型

新授课

三、课时

第2课时共2课时

四、教学重难点

【教学重点】

掌握二次根式的性质，并能将二次根式的性质运用于化简.

【教学难点】

能运用二次根式的性质化简.

五、课前准备

教师：课件.

学生：铅笔、练习本.

六、教学过程

(-)导入新课(出不课件2・3)

观察课件中所列数字的进出情况，想一想你发现了什么？

(二)探索新知

1.探究(迎)2(。30)的性质(出示课件5・7)

教师问：什么叫作一个数的平方根？如何表示？

学生答：一般地，如果一个数无的平方等于。，即％2=以邦么

这个数x就叫作a的平方根.4的平方根是±乃.

教师问：什么叫作一个数的算术平方根？如何表示？

学生答：正数有两个平方根，其中正的平方根G叫作。的算术

平方根用VH(eo)表示.

教师出示问题：

填空：

(V3)2=(),(V05)2=()

(g)=()，(而)2=()

学生答：(遮)2=3,(/)2=0.5,

倡4(迎)2=0.

教师问：通过（1）的计算，你能确定（6）2（6/>0）的化简结

果吗？说说你的理由.

师生一起解答：国是3的算术平方根，根据算术平方根的意义，

四是一个平方等于3的非负数，因此有（点）2=3.

同理，<5,VU分别是0.5,。的算术平方根.

N33

2

因此，（瓜）2=0.5,=[（V0）2=0.

教师总结点拨：（出示课件8）

（VH）2（定0）的性质：一般地，（血）2=4（a>0）.

即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.

教师强调：不要忽略67>0这一限制条件.这是使二次根式迎有意

义的前提条件.

考点1：利用（正）2（6/>0）的性质进行计算

计算：（1）（4）2；（2）（2遮）2.（出示课件9）

师生共同解答如下：

解：（1）（VL5）2=1.5；

（2）（2V5）2=22x（V5）2=4x5=20.

出示课件10,学生自主练习，教师给出答案。

考点2：利用（VH）2（4/>0）的性质分解因式

在实数范围内分解因式：（出示课件11）

（1）4%2—5；（2）m4—6m2+9.

师生共同解答如下：

解：(1)4x2-5=(2%+V5)(2x-V5);

(2)m4—6m2+9=(m2—3)2=(m+V3)2(m—V3)2.

教师总结点拨：

本题逆用了由2=a(a>0)在实数范围内分解因式.

出不课件12,学生自主练习，教帅给出答案.

2.探究后的性质(出示课件13/5)

教师问：你能解释下列式子的含义吗。

叵屑,府.

学生独立思考后，教师找四名学生回答.

学生1答：也表示2的平方的算术平方根.

学生2答：析表示0.1的平方的算术平方根.

学生3答：J针表示豹勺平方的算术平方根.

学生4答：府表示0的平方的算术平方根.

教师展示问题：

化简下列根式，想一想.

教师追问：请说出得到结论的依据.

学生独立思考后，教师找四名学生回答.

学生1答:・・・4=22,・・,标=75=2,因此序=2;

学生2答：•・,0.01=0.11V0J2二迎面=0.1,因jltV0?12=0.1;

学生3答：十(|)2,,同=后因此屑=|;

学生4答：・・・0=02,...府=历=0,因此亚=0.

教师问:从以上的结论中你能发现什么规律?你能用一个式子表

示这个规律吗？

师生讨论后共同解答如下：一个非负数的平方的算术平方根等于

这个数.即刈.

教师问:根据算术平方根的意义填空.

J(-2)2=一；J(—0.1)2=----------；J

学生分组讨论后回答如下：

学生答：J(-2)2=2;J(-0.1)2=0.1;

教师问：请说出得到结论的依据.

学生独立思考后，教师找三名学生回答.

学生1答：•・・(-2)2=4,・・・J(一2)2=〃=2,因此2)匕2;

学生2答：(-0.1)2=o.oi,・・.J(-o.i)2=Vo3i=o.1,因此

2

(-0.1)=0.1;

学生3答：•.•(-|)2=级.尼7=1=|,因此贿力!.

教师问:从以上的结论中你能发现什么规律?你能用一个式子表

示这个规律吗?

师生讨论后共同解答如下：一个负数的平方的算术平方根等于这

个数的相反数.即m="(〃<()).

教师总结点拨：(出示课件16)

疹的性质：

次=|小卜(八0)，

[-a(a<0).

教师强调：任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对

值.

考点1：利用必(a>0)的性质进行计算

化简：(出示课件17)

(1)V16；(2)J(一5)2；

(3)V10-2；(4)J(3A4-IT)2

学生独立思考后，师生共同解答如下：

解：(1)A/T6=V42=4；

(2)I(一5)2=5=5；

(3)V10-2=J(IO-1)2=1(尸；

(4)J(3.14-K)2=|3.14一止五-3.14.

出示课件18,引导学生讨论相关问题.

师生共同归纳：(出示课件19)

计算后一般有两个步骤：

①去根号及被开方数的指数，写成绝对值的形式，即V^=|a|;

②去掉绝对值符号，即㈤=惶工）.

出示课件2（）.21,学生独立思考后口答，教师给出答案。

教师拓展归纳：（出示课件22）

（VH）2和必的区别

(Va)27^2

从运算顺序看先开方，后平方先平方，后开方

从取值范围看a>0a取任何实数

从运算结果看aM

表示一个非负数。表示一个实数。

意义的算术平方根的的平方的算术平

平方方根

考点2：几何图形与后的性质相结合的题目

实数Q、b在数轴上的对应点如图所示,请你化简:（出示课件23）

y[a^—-6产

Alliabi

-3-2-1023

学生独立思考后，师生共同解答如下:

解:由数轴可知QV（）,b>0,a・b<0,

二,原式二同-依+例

=-a-b-Ca-b）

=-2a,

出示课件24,学生自主练习，教师给出答案。

（三）课堂练习（出示课件25・30）

练习课件第25.30页题目，约用时15分钟.

（四）课堂小结（出示课件31）

师生共同回顾本节课所学主要内容：

知识要点关键点注意事项

任何非负数的算术平

（夜）2=〃（吟0）方根的平方，其结果仍被开方数〃是非负数

然是它本身

任何实数的平方的算

后二⑷术平方根是它的绝对底数。可以是任何实数

值

（五）课前预习

预习下节课（19.2第1课时）的相关内容.

知道二次根式的乘法法则及其逆运用.

七、课后作业

1、教材第4页练习第1,2题.

2、培优练习19.1第2,3,4,5,7,9题.

八、板书设计：

二次根式及其性质

第2课时

2

l.(Va)(a>0)的性质

考点1考点2

2.后的性质

考点1考点2

3.例题讲解

九、教学反思：

本节课通过“观察——归纳——运用”的模式，让学生对知识的形

成与掌握变得简单起来,将一个一个知识点落实到位，适当增加了拓展

性的练习，层层递进,使不同的学生得到了不同的发展和提高.在探究

二次根式的性质时，通过“提问——追问——讨论”的形式展开，保证了

活动有一定的针对性，但是学生发挥主体作用不够.在探究完成二次

根式的性质1后,总结学习方法，再放手让学生自主探究二次根式的性

质2.既可以提高学习效率,又可以培养学生自学能力.

19.2二次根式的乘法与除法

第1课时

一、教学目标

【知识与技能】

1.掌握二次根式的乘法法则.

2.会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简

单运算.

【过程与方法】

1.经历“探索——发现——猜想——验证”的过程，使学生进一步

了解数学知识之间是互相联系的.

2.培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力.

【情感态度与价值观】

鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲,体验数

学活动中的探索和创新,感受数学的严谨性.

二、课型

新授课

三、课时

第1课时共2课时

四、教学重难点

【教学重点】

会利用积的算术平方根的性质化简二次根式，会进行二次根式的

乘法运算.

【教学难点】

二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用.

五、课前准备

教师：课件.

学生：铅笔、练习本.

六、教学过程

(-)导入新课(出示课件2)

李大爷家有一块长方形菜地，它的长为花米，它的宽为百米,

求它的面积.

学生列式：V5xV3

教师提出问题：想想如何计算这个式子呢？

(二)探索新知

1.探究二次根式的乘法法则(出示课件4-6)

教师展示问题：

计算下列各式：

(1)V4xV9=x=,《4x9==；

(2)VT6x^/25=x=,V16x25=______=

(3)V36x^<49=x=,V36x49=______=

学生独立思考后，教师找三位学生回答.

学生1答：

(1)V4xV9=2x3=6,V43T9=V36=6；

学生2答：

(2)V16xV25=4x5=20,V16x25=V400=20；

学生3答：

(3)V36xV49=6x7=42,V36x49=A<1764=42.

教师问：观察计算结果，你有什么发现？

学生答：观察三组式子的结果，我们得到下面的等式：

(1)V4xV9=V43C9.

(2)716xV25=V16x25.

(3)V36xV49=V36x49.

教师问：你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律

吗？

学生答：Va>\^F=VOF(4Z>0,/?>0)

教师问：想一想：J7-4)x(-9)=7^乂7^成立吗?

学牛.答：不成立.

教师问：为什么呢？

学生答：因为口、『没有意义！

教师问：因此被开方数。，b需要满足什么条件？

学生答：a,b是非负数，即在0,应0.

师生一起归纳总结：(出示课件7)

二次根式的乘法法则是:仿•Vb=VoF(4/>0,/?>0)

二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘.

教师追问：你能用语言描述一下二次根式的乘法法则吗？

学生答；算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.

教师强调：〃,b都必须是非负数.

考点1:简单的二次根式的乘法运算

计算：（出示课件8）

⑴|倔⑵JjxV27；（3）JxJ

师生共同解答如下：

解：（1）百x遍=V33C5=V15；

（2）fixV27=J|x27=V9=3；

教师追问：下边的式子如何运算？（出示课件9）

V2xV3xV5

师生共同分析如下：可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法

法则

学生解答如下：

解：V2xV3xV5=（V2xVF）xV5=V6xV5=V30.

师生共同总结如下：

只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法

则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘（6VF•…・4=

7a♦b*k（a>0,b>0,...,k>0））

出示课件10,学生自主练习，教师给出答案.

教师问：你还记得单项式乘单项式法则吗？（出示课件11）

学生答；单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幕分别相

乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指

数作为积的一个因式.

教师问：计算4Q2.5Q4.

学生答：20a6

考点2：因数不是1二次根式的乘法运算

计算:(出示课件12)

(1)2V5x3^;(2)4V27x

师生共同解答如下：

解：(1)2V5x3V7=(2x3)x(V5xV7)=6xV35=6：

(2)4727x(-|V3)=(4x(-1)]x(V27xV3)=(-2)x9=

-18.

教师总结点拨：

当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项式的法

则计算，即7?16・小历=(mn)VaF(4z>0,/?>0).

教师总结点拨：(出示课件13)

二次根式的乘法法则的推广：

①多个二次根式相乘时此法则也适用，即

->J~b•・・・•yfn=^Jab•...•n(6r>0,Z?>0,...//i>0)

②当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单项式的法则

计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数的

积作为被开方数，BPmVa-nVb=(mn)Vob(6/>0,/;>0).

出示课件14,学生自主练习，教师给出答案.

考点3：二次根式的大小比较

比较大小：(出示课件15-16)

(1)2遥与3^3;(2)・2后与一3遍;

师生共同解答如下：

解：(1)方法一：

V2V5=V223C5=V20,3A/3=73^73=727,

又,.,20V27,.\V20<V27,HP2V5<3V3.

方法二：

V(2A/5)2=22X(V5)2=20,(373)2=32x(V3)2=27,

又,.,20V27,・・・(2V5)2<(3V3)2,H|J2V5<3V3.

(2)V-2V13=-V22x13=-V52,-3V6=-V32x6=-V54,

又・・・52V54,Z.V52<V54,

A-V52>-V54,GP-2V13>-3遍.

教师问：比较二次根式大小的方法有哪些？

师生共同归纳：(出示课件17)

比较两个二次根式大小的方法：

(1)被开方数比较法，即先将根号外的非负因数移到根号内，当

两个二次根式都是正数时，被开方数大的二次根式大.

(2)平方法，即把两个二次根式分别平方，当两个二次根式都是

正数时，平方大的二次根式大.

(3)计算器求近似值法，即先利用计算器求出两个二次根式的近

似值，再进行比较.

出示课件18,学生自主练习，教师给出答案。

2.探究二次根式乘法法则的逆用(出示课件19)

从前面知识点1的题目我们可以得到下面三个等式：

(1)V4x9=V4xV9.

(2)V16x25=V16xV25.

(3)V36x49=V36xV49.

教师问：你发现了什么规律？

学生答：两个非负数积的算术平方根等于它们算术平方根的积.

教师问：你能用字母表示你所发现的规律吗？

学生答：VaK=4a,Vb(a>0,b>0)

考点1：利用二次根式的乘法法则的逆用计算

化简：(出示课件20)

(1)716x81；(2)74a2b3.

师生共同解答如下：

解：⑴V16X81

=V16xV8T

二4x9

=36;

(2)V4H2&3

=V4•

=2-a-7b2•b

=2<\[b

=2abVb.

出示课件21,学生自主练习，教师给出答案。

考点2：利用二次根式的乘法法则及逆用计算

计算：（出示课件22）

（1）V14x^;（2）375x2710；（3）V3x-

师生共同解答如下：

解：（1）旧xV7=V14x7=V72x2=V72xV2=7A/2；

（2）3V5x2\f10=3x2x<5x10=6A/52X2=6V51xV2=6x

5V2=30V2；

（3）V3x•J|xy=^3x•^xy=y/x2y=y[x^♦y/y=Xy/y.

教师问：你能说一下化简二次根式的步骤吗？

引导学生回答并总结如下：（出示课件23）

化简二次根式的步骤：

1.把被开方数分解因式（或因数）；

2.把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算

术平方根的积；

3.如果因式中有平方式（或平方数），应用关系式后=|可，把这

个因式（或因数）开出来，将二次根式化简.

出示课件24,学生自主练习，教师给出答案。

教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么

样吧。

（三）课堂练习（出示课件25・33）

练习课件第25-33页题目，约用时20分钟

（四）课堂小结（出示课件34）

二次根式的乘法内容

二次根式的乘法算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.

法则即=y[ab（a>0,b>0）

①多个二次根式相乘时此法则也适用，即

二次根式的乘法Va-•...•Vn=Vab••n（6r>0,Z?>0,...^>0）

法则拓展

②myfR，(mn)y/ab(a>0,h>0)

二次根式乘法法积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.

则的逆用即=y/a,yfb（a>0,b>0）

（五）课前预习

预习下节课（19.2第2课时）的相关内容.

知道最简二次根式的定义及其二次根式的除法法则

七、课后作业

1、教材第7页练习第1,2,3题.

2、培优练习19.2第3,6,7题.

八、板书设计

二次根式的乘法与除法

第1课时

1.二次根式的乘法

考点1考点2考点3

2.二次根式乘法法则的逆用

考占1考占，

3.例题讲解

九、教学反思

成功之处：本节课以问题的方式提出要解决的问题,让学生观察、

计算、归纳，不断进行自主探究，在探究过程中注意观察知识产生发展

的全过程，从而让学生的学习情感和学习品质得到升华,学生的创新精

神得到发展.本课时设计充分反映了课堂教学的灵活性与探究性，基本

达到了通过再创造培养学生创新精神和创造能力的教学目标.

存在问题：学生已经掌握了二次根式的乘法法则和积的算术平方

根性质，但在实际计算时，部分学生倾向于直接计算被开方数的乘积,

而没有先行分解因数,正确的做法应该是先将被开方数分解因数，以

便将可以开方的因数提到根号外，这样能使计算过程更加简便.

自我反思：进一步放手让学生自学本节内容,让学生在观察、归

纳出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质基础上，重点进行

计算和化简方面的练习，让学生先练，教师后教.

19.2二次根式的乘法与除法

第2课时

一、教学目标

【知识与技能】

1.会进行简单的二次根式的除法运算.

2.能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.

3.理解最简二次根式的概念，能熟练地将二次根式化成最简二次

根式.

【过程与方法】

1.在学习了二次根式乘法的基础上进行总结对比，得出除法的运

算法则.

2.引导学生用从特殊到一般的方法及类比的方法，解决数学问题.

【情感态度与价值观】

在经历探索二次根式除法运算法则的过程中，认识到事物之间的

相互联系，获得成就感，建立学习数学的信心和兴趣.

二、课型

新授课

三、课时

第2课时共2课时

四、教学重难点

【教学重点】

会进行简单的二次根式的除法运算，会用商的算术平方根的性质

进行二次根式的化简与运算.

【教学难点】

二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.

五、课前准备

教师：课件.

学生：铅笔、练习本.

六、教学过程

（-）导入新课（出示课件2-3）

站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近

似地符合公式为d=8.

问题1某一登山者爬到海拔100米处，即g=20时，他看到的水

平线的距离5是多少？

学生答：山二8＞画=166.

问题2该登山者接着爬到海拔200米的山顶，即g=40时，此

时他看到的水平线的距离d2是多少？

学生答：di=8同=16A/TU.

问题3他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看

到的水平线的距离是原来的多少倍？

解.生=竺回

教师提出问题：乘法法则是如何得出的？二次根式的除法该怎样

算呢？除法有没有类似的法则？

（二）探索新知

1.探究二次根式的除法（出示课件5-7）

教师出示问题：

计算下列各式：

学生独立思考后，教师找三名学生回答.

学生1答：⑴<=2但,信;

学生2答：⑵强=4代腾*

学生3答：⑶焉=6+7喙居*

教师问：观察两者有什么关系？

学生答：⑴弟写⑵嘿/⑶爵帽

教师问：通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式乘法

运算法则，你能说出二次根部的结果吗？

学生答:I.

教师问：在前面发现的规律宏=电中,4,b的取值范围有没有

限制呢？

学生讨论回答；定0,b>0.

师生一起归纳总结：（出示课件8）

二次根式的除法法则：

*=』（地b>0）

教师问：你能利用文字描述二次根式的除法法则吗？

学生答：算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.

教师追问：当二次根式根号外的因数（式）不为1时,如何处理呢？

学生答：类比单项式除以单项式法则进行化简.

教师总结如下：

文字叙述：

算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.

当二次根式根号外的因数（式）不为1时，可类比单项式除以单项

式法则，易得嘿=郎（血b>。"。）

考点1:利用二次根式的除法法则计算根号外因数是1的二次根

式

计算：（出示课件9）

⑴警⑵上点.

师生共同解答如下：

解：⑴等案=V8=V4^2=2^2;

教师追问；像（2）中除式是分数或分式时，如何化简呢？

学生答：先要转化为乘法再进行运算.

出示课件10,学生自主练习，教师给出答案.

考点2：利用二次根式的除法法则计算根号外因数不是1的二次

根式

计算：（出不课件11）

学生独立思考后，师生共同解答如下:

4xJ|x6=12.

教师问：类似（2）中被开方数中含有带分数的怎样计算呢?

学生答：应先将带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进

行运算.

出示课件12,学生自主练习后口答，教师订正.

2.探究商的算术平方根的性质

从前面知识点1的题目我们可以得到下面三个等式:

教师问：通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式乘法

运算法则，你能说出二次根式J蓝的结果吗?

'巴—叵

学生回答:

b

教师问：在前面发现的规律器=当中，Q,b的取值范围有没有

限制呢?

学生回答：f/>0,b>0

师生一起归纳总结：（出示课件13）

二次根式的商的算术平方根的性质：

正熹（定0,b>0）

教师问：你能利用语言描述商的算术平方根的性质吗？

学生答:商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的

算术平方根.

考点1:商的算术平方根的性质的应用

化简：（出示课件14-15）

学生独立思考后，师生共同解答.

0.64X196V0.82X1420.8X14-112

教师问：像（5）可以如何计算的呢？

学生答：可以先用商的算术平方根的性质，再运用积的算术平方

根性质.

出示课件16,学生自主练习，教师给出答案。

3.探究最简二次根式的定义（出示课件17-18）

教师出示问题：

设长方形的面积为S,相邻两边长分别为已知S=国力二

求Q.

可小型._三_包_叵_叵亘_叵_同一同

a2

了.C.-b-^3~\33X33_而—3,

教师问：这个结果能否再化简.

学生答：不能.

教师问：观察下面式子中的二次根式.

2技3a,冬,"学

10%3

它们有什么共同特点，类比最简分数，你认为一个二次根式满足

什么条件就可以说它是最简了？

教师引导学生归纳总结(出示课件19)

最简二次根式应满足的条件：

(1)被开方数不含分母或分母中不含二次根式；

(2)被开方数中不含开得尽平方的因数或因式.

教师强调：当被升方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然

后再观察各个因式的指数是否是2(或大于2的整数)，若是则说明含

有能开方的因式，不满足条件，不是最简二次根式.

考点1：分母有理化

计算：(出示课件20)

(1)隼,(2)些；(3)嗅.

岳'、国，V2a

学生独立思考后，师生共同解答.

z1)/3_73XV5_代_叵.

J5-75xV5-(V5)2-5'

372_3-/2_3x^2_V2_V2xV3_V6

(2)>

y[27~V3zx3-一遮一6-3'

V8_

(3)\js-yj2a_4x[a_2y[a

42a\[2a.,\l2a2aa

教师总结点拨：

分母形如九瓶的式子，分子、分母同乘以迎可使分母不含根号.

方法点拨：(出示课件21)

化成最简二次根式的一般方法：

(1)将被开方数中能开得尽平方的因数或者因式进行开方，如

V8=V4x2=V4xV2=2V2;

(2)若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再去分

母,并将能开得尽方的因数或者因式进行开方，如£=/=£

_273

—

3

（3）若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数后再进行化简,

如汨="=陛=叵.

710710010

出示课件22,学生自主练习，教师给出答案。

教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么

样吧。

（三）课堂练习（出示课件23-27）

练习课件第23-27页题目，约用时20分钟.

（四）课堂小结（出示课件28）

二次根式的除法内容

算术平方根的商等于被开方数商的算术平方

二次根式的除法

法则根•即培=/I（应0,b>0）.

二次根式的除法m4amla

法则的拓展

商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除

商的算术平方根

的性质以除式的算术平方根.即率介020）.

最简一次根式满足两个条件：①被开方数不含

最简二次根式分母；

②被开方数中不含能开得尽平方的因数或因

式.

（五）课前预习

预习下节课（19.3第1课时）的相关内容.

知道二次根式加减运算的法则.

七、课后作业

1、教材第10页练习第1,2,3题.

2、培优练习19.2第1,2,4,5,8,9题.

八、板书设计

二次根式的乘法与除法

第2课时

1.二次根式的除法

考点1考点2

2.商的算术平方根的性质

考点1

3.最简二次根式

考点1

4.例题讲解

九、教学反思

成功之处：本节课以问题的方式提出要解决的问题,让学生观察、

计算、归纳，运用类比学习的方法探究得出二次根式的除法法则.在探

究过程中注意观察知识产生、发展的全过程，从而让学生的学习情感

和学习品质得到升华，学生的创新精神得到发展.本课时的设计充分反

映了课堂教学的灵活性与探究性,基本达到了通过再创造培养学生创

新精神和创造能力的教学目标.

存在问题：由于本节课内容较多，练习量大,学生基本掌握了二次

根式的除法法则和商的算术平方根的性质，但一些学生在计算时，没有

把结果化成最简二次根式.

补救措施：在总结二次根式乘法一课的学习方法之后，进一步放

手让学生自学本节内容，让学生观察、归纳出二次根式的除法法则和

商的算术平方根的性质，重点进行计算练习，提高二次根式乘除运算的

能力.

19.3二次根式的加法与减法

第1课时

一、教学目标

【知识与技能】

1.理解二次根式可以合并的条件.

2.类比整式的合并同类项，掌握二次根式的加减运算法则.

3.能熟练地进行二次根式的加减法运算.

【过程与方法】

先提出问题，分析问题，在分析问题过程中，渗透对二次根式进行

加减的方法的理解,再总结经验，用它来指导二次根式的计算.

【情感态度与价值观】

体会合作学习的乐趣.

二、课型

新授课

三、课时

第1课时共2课时

四、教学重难点

【教学重点】

二次根式加减法的运算.

【教学难点】

快速准确进行二次根式加减法的运算.

五、课前准备

教师：课件.

学生：铅笔、练习本.

六、教学过程

（-）导入新课（出示课件2）

引导学生观察每只小白兔身上的最简二次根式，进行分类整理。

（二）探索新知

1.探究二次根式可以合并的条件（出示课件4-5）

教师问：在七年级我们就已经学过合并同类项的法则.观察下图

并思考，你能得到什么算式呢？

学生答：由上图，易得2Q+3〃=5Q.

教师问：当。的值分别是企,百时，结果怎样呢？

学生独立思考后，教师找两名学生回答.

学生1答：当归加时，分别代入左右得2/+3/=5鱼；

学生2答：当好旧时，分别代入左右2旧+3旧=5K；

教师问：观察上边的算式结果，你发现了什么？

学生答：二次根式的被开方数相同的可以合并.

教师讲解:继续观察下面的过程：

+=2a+3b

当。、b的值分别是泥，时时，结果怎样呢?

学生答：当〃=&,b=我时，得2。+3b=2a+3强.

教师问：这两个二次根式可以合并吗?

学生回答：不能.

教师问：2遮和3声都是最简二次根式吗?

学生答：3我不是最简二次根式.

教师问：把3m化为最简二次根式是多少?

学生答：因为3我=3A/22X2,所以3Vs=6&.

教师问：化简后可以合并了吗?

学生答：可以.

教师问：你又有什么发现吗?

学生共同讨论后解答如下：二次根式化简后，被开方数相同的可

以合并.

教师总结点拨：（出示课件6）

将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二

次根式可以合并.

教师强调:

1.判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式

再判断;

2.合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数（式）相加，根

指数和被开方数（式）不变汝口：mVa+nVa=（m+n）yfa.

出示课件7,学生独立思考后口答，教师给出答案。

考点1：利用二次根式可以合并的条件求字母的值

若最简二次根式-2九与旧可以合并，求质的值.（出示

课件8）

教师提示：求可以合并的最简二次根式中字母取值的方法：利用

被开方数相同，根指数都为2列关于字母的方程（组）求解即可.

师生共同解答如下:

解：由题意得｛2几+1=2,

3m—2n=3,

解得

出示课件9,学生自主练习，教师给出答案。

2.探究二次根式的加减（出示课件10-11）

教师出示问题：如何计算内+m?

教师问：何与丁豆能直接相加吗？

学生答：不能.

教师问：如果不能，把式中各个二次根式化成最简二次根式后,

再试一试（说出每步运算的依据）.

师生共同解答如下:

解：V27+T12

=3V3+2V3(化简)

=(3+2)73(利用分配律合并)

=5V3.

帅生分析如下：

二次根整式加

式彳质分,律减f则

y/27+712=3^3+273=(34-2)V3=5^.

化为最简用分配整式

二次根式律合并加减

依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.

基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题.

教师总结点拨：(出示课件12)

二次根式的加减法法则：

一般地，二次根式加减时，先将二次根式化简，再将被开方数相

同的二次根式合并.

加减法的运算步骤：

(1)化——将非最简二次根式的二次根式化简；

(2)找——找出被开方数相同的二次根式；

(3)并——把被开方数相同的二次根式合并.

“一化简二判断三合并”

考点1：二次根式的加减计算(较简单)

计算：(出示课件13)

(1)V80-V45;(2)V9a+V25a；

(3)2712-63V48.

学生独立思考后，师生共同解答.

解：(1)V80-V45=4V5-3V5=V5；

(2)V9a+V25a=3V^+5-\/a=8Va；

(3)2V12-6Ji+3V48=4百一2遮+12国=14百.

出示课件14,学生自主练习，教师给出答案.

考点2：二次根式的加减运算(较复杂)

计算：(出示课件15)

(1)V12+V20+2(V3-V5);

(2)1(V3-V2)-|(V2-V27).

师生共同分析后，教师找两位学生解答.

学生1解：

(1)712+V20+2(V3-V5)

=2V34-2V54-2V3-2V5

=48；

学生2解：

(2)|(V3--|(V2-V27)

=|V3-|V2-^V2+^V3

二—V3--V2.

44

出示课件16,学生自主练习，教师给出答案。

3.探究二次根式的加减的应用(出示课件17-18)

教师出示问题：有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图

的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形

木板？

7.5dm

师生共同分析如下：

由图可知，只要木板的宽大于大正方形木板的边长，木板的长大

于两个正方形木板的边长的和，就能截出所要求的两个正方形木板.

师生共同解答如下：

大正方形木板的边长为gdm.

因为0国＜5,所以这块木板够宽.

两个正方形木板的边长的和为(VS+V18)dm,

而我+V18=2A/2+3V2=(2+3)V2=5Vz

而+V18=2V2+3V2=(2+3)V2=5A/2?

因此，可以用这块木板按要求截出两个面积分别是8dm2和18dm2

的正方形木板.

出示课件19,学生自主练习，教师给出答案。

教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么

样吧。

（三）课堂练习（出示课件20-26）

练习课件第20-26页题目，约用时20分钟

（四）课堂小结（出示课件27）

二次根式的

内容

加减

一般地，二次根式加减时，先将二次根式化简，

法则

再将被开方数相同的二次根式合并.

（1）实数的运算律仍然适用；（2）与实数的运算顺

注意

序一