北京市延庆区2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷（解析版）

2025—2026学年第一学期期末试卷（一）八年级数学

考生须知：

1.本试卷共7页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟.

2.在试卷和答题卡上正确填写学校名称、姓名和考号.

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效知.

4.在答题卡卜.选择题、作用题用2/J铅笔作答.其他试题用黑色签字笔作答.

一、选择题（共16分，每小题2分）第1・8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.苏州园林的窗是数学与建筑的融合，如同诗意的立体画布.下面这四个窗根纹中，是轴对称图形的是（

）

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握平面内，一人图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能

够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键.

根据轴对称图形的定义进行判断即可.

【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

B、是轴对称图形，故本选项符合题意；

C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

故选:B

2.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A.x^lB.x<lC.x>lD.x<l

【答案】B

【解析】

【分析】根据二次根式的定义求解.

【详解】解：若式子Jt在实数范围内有意义，则有：1-120成立,

即，.丫41，

第1页/共26页

故选B.

【点睛】本题考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键.

3.有J张背面相同，正面分别印有0,-5,n,2.5的卡片，现将这J张卡片背面朝上，从中随机抽取张,

恰好抽到正面印有整数的卡片的概率为（）

31C11

A.-4B.T3C.-4D.不2

【答案】D

【解析】

【分析】直接由概率公式求解即可.此题考查的是概率.用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数

之比.

【详解】解：一共有J张卡片，其中整数有2个，故从中随机抽取张，恰好抽到正面印有整数的卡片的概

21

率为

42

故选:D.

4.用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点乩8在直线上，ZC.-ID=AEBF=90\ZC=45°,

NF=30。，点,LE.D.F在同一条直线上，当CD"H时，则/48E的度数为（）

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了平行线的性质,外角的件质,内角和定理,熟练掌握平行线的件质是解题的美键.

根据平行线的性质可得/£48,根据外角的性质可得/ABE的度数.

【详解】解：•；NC.4D=90。，ZC=45°,

・•・Z^DC=45°,

•：CD/IAB,

：,£EAB=AADC=45°,

笫2页/共26页

vLEBF=90。，ZF=3O°,

:"FEB=60°,

:」ABE二/FEB"EAB=15°,

故选：D.

5.下列计算正确的是（）

A.^|-21=-2B.«=12C.16）=3D.iW=3

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根.根据平方根和算术平方根的定义，逐项判断，即可求解.

【详解】解：A、6斤=2,故本选项错误，不符合题意；

B、JT:2,故本选项错误，不符合题意：

C、=3,故本选项正确，符合题意；

D、二小二二3,故本选项错误，不符合题意；

故选：C

力//8FALA

6.一组按照规律排列的分式：一一，二，一一二…（a?0,SO）,则第个分式是（）

acraa

对小炉炉

A._B.----C.~D.----

aaaa

【答案】D

【解析】

【分析】本题考杳了数式类规律探索，解答本题的关键是发现每一项的变化特点，求出相应的项.观察分

式的规律：符号交替为负、正、负、正，》的指数为奇数序列，，7,,,。的指数为，2,

,4,，归纳出第〃项公式，再代入9计算即可.

【详解】解：•••第〃个分式的符号为（7）",A的指数为2"川，。的指数为〃，

•••第〃个分式为（-|「幺「，

a

•••当〃=9时，第个分式为（-1

aa

第3页/共26页

故选:D.

7.已知32,=1024.33?=1089,34?=1156,35?=1225.若〃为整数且N・1<yfmT<n,则〃的值为

()

A.35B.34C.33D.32

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了算术平方根的估算.根据题意可得J丽<JTi方即可求解.

【详解】解：•・•33'=1089,34?=1156,且1089<1147<1156,

/.Vio^<Vn?7<Vn56,即J卜WHT（“，

I-1<仙，<n,

n=34.

故选：B

8.如图，在ABC中，，48=."./8.4C=,点。是8c的中点，连接,4。，过点8作8£14C于

点E,交ND于点F.给出下面四个结论：①N/C8=65°；②CE=EF；③48=8£+£C；④

NBAC=2/C8E.上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①@B.③④C.②③④D.®@®

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定.根据等腰三

角形的性质可得//C6的度数，再证明△/£尸且aBEC]AASI,可得C£=£F,ZCJD=ZC^£,即

可求解.

【详解】W：VXB=AC^BAC=45°,

第4页/共26页

AZACB=ZABC=----------------=67.5°,故①错误：

2

•・•点。是8c的中点，

AAD1BC,/.BAC=2Z.CAD,

：,£ADC=90°,

AZ.ACB+£CAD=90c,

■:BE1ACf

：.LAEF=ZBEC=90°,

.••/18+/C8E=90c,£ABE=£BAE=45°,

ALCAD=/CBE,AE=BE,

AAJ△5EC|AAS）,

：,CE=EF,ZCJD=ZC5E,故②正确；

•：AE=BE,AB=ACt

・•.，8=/£+C£=8£♦EC,故③正确；

VZBAC=1/.CAD,ZC.4D=ZCBE,

：.£BAC=2ZCSE,故④正确;

故选:c

二、填空题（共16分，每小题2分）

9.若分式口的值为0,则x的值为.

x

【答案】2

【解析】

【分析】本题主要考查了分式值为零的条件.分式值为零的条件是分子为零且分母不为零，据此解答即可.

【详解】解：根据题意得：2・1=0且工工0,

解得：i=2.

故答案为：2.

10.如图，ZD=ZC=90°,请你再添加一个条件，使A.48D三AJBC,你添加的条件是.

第5页/共26页

c

【答案】，6>/8=/。/8或268/=/。8」或」（？二4/）或8（'=8。（选其中一个条件即可）.本题答

案不唯一.

【解析】

【分析】已知NO:/C=90°,图形条件,48=,48,可以从角，边两方面添加条件.

【详解】添加的条件：/以8=/0/8或/。8/=/。84，此时△/SO言△46C（AAS）；

添加的条件：=或8c=8。，此时△,48O=Zk/l8C（HL|；

故答案为；ZC/6=或NC8/=幺。尻4或.4C=.4。或8c=2。（选其中一个条件即可）.本题

答案不唯一.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定.关键是根据题目的已知条件，图形条件，合理地选择判定方法.

”■计算:图¥=—•

【答案】-

X

【解析】

【分析】本题主要考查分式的乘方和乘法运算，需熟练掌握相关运算法则.运用分式的运算法则进行化简

即可.

【详解】解:（上］.虫=二•竺二£.

\2xyy4.Vyx

故答案为：

x

12.方程一J-!=0的解为___________.

X+1X

【答案】x=l

【解析】

【分析】本题考查分式方程的解法，通过去分母转化为整式方程求解，并需验根确保分母不为零.

将分式方程转化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解.

第6页/共26页

21

【详解】解:原方程为。1=0,

x

去分母得：2.r-(x+l)=0,

解得x=l,

检验：当.1=1时，分母XH0且I+1H0,

故原方程的解为.1=1.

故答案为：.1=1

13.如图，是公元三世纪初我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，

赵爽弦图指出：四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形中空的部分是一个小正方形

“6//,若18=1(1."=6,则小正方形£FG//的面积为

【解析】

【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

根据全等三角形的性质得到8G=6,根据勾股定理求得4G,即可得到结论.

【详解】解：•・•四个全等直角三角形可以围成一个大正方形X8C7),

46=JF=6,

:.AG=y/nB?心=8,

：.FG=AG-JF=2,

则小正方形£FG//的面积为2：=4，

故答案为：4.

14.如图所示的网格是正方形网格，L%JD一是网格交点，则N1+/2的度数为

第7页/共26页

【答案】900

【解析】

【分析】本题考查用SAS判定三角形全等，从而将/I与/2转移到同一个三角形中求得.

【详解】解：如图，在和sBFC中：

IIIII

c

[EB=BF=T

NE=NBFC=90。,

EA=FC=2

.•.AEBA*BFCISAS\,

.・・/2=/C",

AZI+Z2=ZKZC5F=90°.

故答案为：90.

15.一个数值转换器的原理如图所示当输入的工的值为64,则输出的数是

【答案】2行

【解析】

【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数冲算，计算出64的算术平方根，若结果为无理数，则输出，

若结果为有理数，则把结果作为新数输入，继续求算术平方根，直至结果为无理数作为输出的结果，据此

求解即可.

【详解】解：64的算术平方根是8,8是有理数，

8的算术平方根是28，

•••2JT是无理数，

第8页/共26页

・••输出的数是2.

故答案为：28.

16.如图，在nBC中，/门8=60°,:6,点”是,48上一点，且〃=2,.40是4BC的角

【解析】

【分析】在』C边上截取』G=JF=2,连接G£,过点G作G//1AB于点〃，先证

^AGE^AFE(SAS)f得到GE=EF,从而得到当点G、E、8三点共线时，EF+EB最小，最小值

为EF+EB=GE♦EB=GB,然后根据含30°角直角三角形的性质，勾股定理，分别在R/A/GH和

R2GH中，解直角三角形求得G8的长即可.

【详解】解：如图所示，在.“边上截取』G=JF=2,连接GE,过点G作GH1AB于点〃，

Z.CAE=ZEAF=-Z.CAB=30°,

2

XvAE=AE,

:^AGE^t,AFE{SAS),

GE=EF,

・•・当点G、E、8三点共线时，EF+E8最小，最小值为EF+E8=G£♦£8=G8,

在M4GH中，ZGAH=60°,

ALAGH=90°-60°=30°,

第9页/共26页

：.AH=-AG=l

2t

/.GH=>1AG2-AH2=,2?-F=G»-AB-AH=6-1=?,

•••在R〃8G//中，GB={GH?+BH=*可+5?=25,

EF+EB的最小值是2JT,

故答案为：2".

【点睛】本题考查了线段和差的最值问题，涉及对称的性质，含30c角直角三角形的性质，勾股定理，全

等三角形的判定与性质，角平分线的性质，两点之间线段最短等知识点，解题的关键是根据对称性构造辅

助线将线段和最值问题转化为两点之间线段最短问题.

三、解答题（共68分，17题4分，18题8分，19题5分，20题4分，21题6分，22题7

分，23题5分，24・25题6分，26题5分，27题7分，28题5分）

【答案】2

【解析】

【分析】本题考查了分式的加法，熟记“同分母分式的加法法则”是解答本题的关键.按照同分母分式的

加法法则计算即可.

2+勿

【详解】解：原式=——-

。+1

二2（"）

=2.

18.计算：

（1）而-卜闽+师

（2）（26+旬（2—•向+历*.

【答案】（1）26・4

⑵7.56

【解析】

【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算:

第10页/共26页

(1)先根据二次根式的性质，立方根和绝对值的性质化简，再计算即可;

(2)先根据平方差公式，二次根式的性质化简，再计算即可.

【小问1详解】

解：而-卜外病

=aVT-4

=2>/r+4

小问2详解】

解：(26.冏(2小孙疯+&■

=12-5+4g6

=7+5>/7

x+14.

19.解方程：一7一「「二1.

x-\x-1

【答案】无解

【解析】

【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求

解.解分式方程一定注意要验根.

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到未知数的俏，经检验即可得到分式方程的解.

x+14]

【详解】解：一r--「=1，

x-1x-1

去分母得：(X+1)2-4=X2-1,

解得：x=l,

检验：当工=1时，x:-1=0,

・•・原方程尢解.

20.如图，AD.8c相交于点£,且北二DE/8〃CD.求证：BE二CE.

【答案】见解析

第11页/共26页

【解析】

【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握判定定理以及平行线的性

质.根据184CD,可得N8=NC,乙4=结合［£=/)£,可证明AEB^OEC,即可得到

BE=CE.

【详解】证明：・；481CD,

/8=NC,Z/f=ZD»

•・,在和AOECW，

ZB=NC

Z4=NQ,

AE=DE

.•.△J£7?^ADEC(AAS|,

AKE=CE.

lIla.}a:-lab+b'

21.已知："b一6=0,求代数式一--I+--------7-的值.

\a'¥ba+b

【答案】

在

3

【解析】

【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键.先对括号内

的分式通分，再将除法转化为乘法，同时分解因式约分，化简后再将4方的值整体代入计算即可.

52。.a2-lab-¥b'

【详解】解：一--1・一

\a•¥ba+b

2aa+八1a-bj

(a+ba+b)a-¥h

2a-|a+/>ja+b

=--------------x---------r

。+力|a-/j)*

la-a-ba+b

a+b(a^by

第12页/共26页

—a-hxa+b

1

a-b

vd-h-VT=0»

:.a-b=&，

,百汗16

733

22.已知：Z408和边08上一点C.

求作：ZOCD,使/OC。=/.AOB.

卜.面是利用直尺和圆规作图的思路：

①作N40B的角平分线0尸；

②以点C为圆心，C0为半径作孤，与0P交于点。，连接C0：

③延长0C至。.

则NOCD=/.AOB.

(1)使用直尺和圆规，根据上面的思路在图1中完成作图(保留作图痕迹，不写作法)；

(2)完成下面的证明;

・・・0P平分/AOB，

：.^AOP=/.BOP.

・.・C0=CO,

：.LCQO=①(②).

/.ZA0P=LCQO.

:.DQHAO(③).

:“OCD=£AOB•

第13页/共26页

（3）请你再另外设计一种作法，利用直尺和圆规在图2中完成.（保留作图痕迹，不写作法和证明）

【答案】（1）见解析（2）/C。。；等边对等角；内错角相等，两直线平行

（3）见解析

【解析】

【分析】本题考查了作角平分线，作一个角等于已知角，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质.

（1）按照题意,作图即可：

（2）利用角平分线的概念可得乙40。二，再利用等腰三角形的性质可得/CO。=/OQC,根据

平行线的判定和性质即可解答;

（3）利用作一个角等于已知角即可解答.

【小问I详解】

【小问2详解】

证明：・・・0P平分/AOB，

：.ZAOP=/.BOP.

•：CQ=CO,

；・£CQO=2C0Q（等边对等角）.

：.LA0P=LCQO.

:.DQ.\0（内错角相等，两直线平行）.

"OCD=/AOB.

故答案为：LCOQ；等边对等角；内错角相等，两直线平行;

【小问3详解】

解：如图，ZOCD即为所求.

第14页/共26页

A

23.近年来，延庆区无人机产业在多个领域蓬勃发展，开通的北京首条无人机配送航线备受关注.张山营邮

政所至冬奥村游客中心的直线距离仅5公里，但地面配送需绕行25公里盘山公路，雨雪天气通行较为困难,

为了提高物流效率，2025年12月12日延庆开通邮政无人机航线，配送时间比原来节省了40分钟.若该款

无人机的平均速度是物流车平均速度的3倍，求无人机的平均速度.

【答案】105公里/小时

【解析】

【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用.设无人机的平均速度为x公里/小时，则物流车平均速度为

公里/小时，根据题意，列出方程，即可求解.

【详解】解：设无人机的平均速度为X公里/小时，则物流车平均速度为公里/小时,

25540

根据题意得：1--x=60,

-X

3

解得：x=105,

经检验：工二105是原方程的解，且符合题意,

答：无人机的平均速度为105公里/小时.

24.阅读材料：小明遇到这样一个问题：如图，在.48C中，/“8=90。，Z5.4C=300,求证:

BC=-AB.

A

BC

图2

小明研究发现，在.48上截取8。=8。，连接CO,经过推理和计算就能解决问题.

(1)请根据小明的思路完成本题的证明过程;

(2)利用(1)中的结论解决问题：如图2,在ABC中，』B二,且N48C=15°,=4.求点

C到直线,48的距离.

第15页供26页

【答案】(1)证明见解析；

(2)2.

【解析】

【分析】本题考查了等边三角形和等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质、30c所对的直角边等于斜

边的一半等，证明出30c所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.

(1)在.48上截取8。=8C,连接CD,再通过角度得计算和边相等证明ABC。为等边三角形，^ACD

为等腰三角形，推==即可证明=

(2)先过点C作CF_L.48交18延长线于点“，即CF为点C到直线,48的距离，再通过边相等证明

月8c为等腰三角形，得到/."C=AACB=15°,然后通过外角得出/C.4F=30c,最后根据(I)得

出的结论求解即可.

【小问1详解】

解；证明：•・,在・48C中，ZACB=90°,£BAC=30°,

“B=90°・/8.4C=90°-30°=60c,

•：BD=BC,Z8=60。，

・••△BCD为等边三角形，

"DCB=Zfi=60%BC=CD=DB.

WACB=90°,£DCB=60°,

AZ.4CD=ZACS-£DCB=9€°-60°=30°.

WACD=ABAC=30。，

・・・“C0为等腰三角形，

••Ab=DC.

：・AB=AD♦DB=DOBC=BC♦BC=2BC，

2

【小问2详解】

过点C作CF1AB交AB延长线于点“，即CF为点C到直线48的距离，

第16页/共26页

：.AC=4,

・•・为等腰三角形，

AZABC=/.ACB.

VZJBC=15。，

・"48C=ZACB=15°.

,・NC"为C"的外角,

・"C"=ZABCi£ACB=15C-I5°=3O°.

••农CAF中，CF148，ZC.4F=30°，

由（1）得结论可推出：在直角三角形中，30c所对的直角边等于斜边的一半，

：,CF=-AC,

2

••CF=-x4=2•

2

25.对于非负实数。，我们规定：用符号[4：表示不大于，；的最大整数，称为。的根整数，例如，

=4,[4]=।<

CAB

0'I"~

（1）计算：[4]=；[753]=；

（2）若[JF]=3,则满足条件的工的取值范围是.

（3）如图，数轴上的点4,8表示的数分别为和JT，C是数轴上一点，且点片是8c的中点.设点C表

示的数为主，求[k-||+36+「.

【答案】（1）2，7；

（2）9^x<16；

（3）.

【解析】

【分析】本题考查了实数的运算，实数与数轴，估算无理数的大小，理解符号表示不大于，；的最大

整数是解题的关键.

（1）先求出,7〈屈<8,再根据符号表示不大于右的最大整数求解即可：

（2）先根据符号「表示不大于，；的最大整数求出J7的取直范围，再求解即可；

第17页/共26页

（3）根据数轴上两点间距离求出工的值，然后代入式子中进行计算即可解答.

【小问I详解】

解：•・,"=2，

乂•・•符号表示不大于右的最大整数，

・•.["]=2；

■:朝〈尽〈国，

・,"＜屈＜8，

,:符号表示不大于右的最大整数，

・,.[病]=7；

【小问2详解】

.,[4]=3，

又1•符号表示不大于，;的最大整数,

:・33«<4»

**•9Wx<16;

【小问3详解】

丁点/，8表示的数分别为和JF，

:-n=VT-i-

•・♦点c表示的数为主，点4表示的数为，由数轴可知点c在点片的左边,

,•AC=1-X-

•・•点/是8C的中点，

•C=ABf

i-x=7T-r

-i=VF-i-r

第18页/共26页

・••点C表示的数为2・JT.

・・.”3凡1=p-VT-1卜3"+I="闽+3”+1,

VI<&,

・・・||・外361="-1+3旧1=4&&、2=g.

,:届<显〈后，

：・5<底〈6,

口侧二5，

・•・[”1|+3后+|]=5.

26.从“特殊到一般”是研究数学问题的一般思路，某兴趣小组探索：“任意一组都不为0的实数C.d

,当巴=£时，判断分式空2与£卫的大小关系”，进行了如下的操作：

bdhd

（1）特殊化探索：找3组满足已知条件的具体的数进行验证、得到猜想.

填写下面的表格：

a+bc+d

abd

b

①

②

③

・・・・・・・・・・・・・・・・・・•••

根据上面的计算结果，则有：—____________—（填“>”

hd

“”或“v”）；

（2）一般化探索：任意一组都不为0的实数a.b,c,d,当:=£时，（I）中的结论是否还成立？如果成立,

bd

请证明：如果不成立，请说明理由.

【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析

第19页/共26页

【解析】

【分析】本题主要考查分式的性质、分式的加减运算等知识点，掌握相关定义和运算法则成为解题的关键.

（I）采用特殊值法进行验证即可解答;

（2）由?=$，给左右两边同时加1,然后再进行运算化简即可解答.

oa

【小问1详解】

解:

c+d

abd

hd

©112222

②214233

33

③1224

22

・・・・・・・・・・・・・・・•・・・・・

根据上面的计算结果，则有：

a+b_c+d

hd；

小问2详解】解：成立，证明如下:

••一a=一c

.bd

atctabed

・・・丁丁,即尸，二丁7

27.如图，.48。是等边三角形，点。是,48上任意一点，连接CO,=a,点$关于直线CO的

作射线EB,与CZ）的延长线交于点G.

（1）依题意补全图形;

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（2）求出NCG8的度数；

（3）用等式表示GC.G8,GE之间的数量关系，并证明.

【答案】（1）见解析（2）60°

（3）GC=GB♦GE,理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据题意补全图形即可；

（2）先根据轴对称性质得得出』C=CE,£ACD=ZECG,再根据等边三角形的性质得出C」=CB

.N"8=601从而可证明ACG80KH£（SAS）,于是可得2BCG=/HCE,再结合

ZJCDtZBCG=60°,ZACD=Z£CG,可证明AGCH是等边三角形，从而可求得NCG8=60°；

（3）先证明ACGN是等边三角形，再证明△.“'G^a8CW（SAS|,从而可得GC=G8+*,再结合轴

对称的性质得出AG=EG,从而可得GC=GB・GE.

【小问I详解】

解：如图,

解：如图，延长凡,到〃，使得£，=BG,连接CH,

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•・•点A关于直线CO的对称点为E，

：,AC=CE,ZACD=ZECG,

•・•.48C是等边三角形，

：.CA=CB.LACB=60c,

・・・BC=CE,

："CBE=/.CEB,

/.1800-ZC5£=180°-ZC£S,

：.£CBG=ZC£//,

在ACGB和ACHE与中，

BG=EH

ZCBG=Z.CEH,

BC=CE

・I・.SAS),

：.』BCG=£HCE,

又N"D♦28CG=60°,ZACD"ECG,

：.LGCH=ZECG+Z//C£=ZJCDf/BCG=60。,

:.XGCH是等边三角形，

：.LCGH=60°,

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即NCG8=60。；

【小问3详解】

解：GC=GB+GE.

证明：延长G8到N,使得GN=GC,连接4G,CN,

•・•.48C是等边三角形，

AAC=CB,^BAC=60°,

,