初中数学压轴100道题

初中数学压轴100道题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知整式M:凡产+明尸+…+白”+为，其中〃…为自然数，句为正整数，且

〃+凡+与一1+―+4+&=5.下列说法:

①满足条件的整式“中有5个单项式；

②不存在任何一个〃，使得满足条件的整式M有且只有3个；

③满足条件的整式M共有16个.

其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

2.如图，在菱形八AC。中，N8M）=60°,。为对角线的交点.将菱形八AC。绕点。逆时针

旋转90。得到菱形A8'C。'，两个菱形的公共点为石，F,G,H.对八边形BFB'GDHDE给

出下面四个结论：

①该八边形各边长都相等；

②该八边形各内角都相等；

③点0到该八边形各顶点的距离都相等；

④点。到该八边形各边所在直线的距离都相等。

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①@B.①@C.②③D.②④

3.如图，在Rl4A8c中，AC=8C=2,点。在人8的延长线上，且CD=A8,则的长

是（）

C.2V2-2D.2V2-V6

4.“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单

的加法运算.淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132x23,运算结

果为3036.图2表示••个三位数与•个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2

中现有数据进行推断，正确的是()

「卜方格中的数据是由其

所对的两个数相乘得到

、的，如:2+2

42

4+9=13

6

满十进)3

O36

图

图

A.“20”左边的数是16B.“20”右边的“口”表示5

C.运算结果小于6000D.运算结果可以表示为4100。+1025

5.平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和

点”.将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数(当

余数为。时，向右平移：当余数为I时，向上平移：当余数为2时，向左平移)，每次平移

1个单位长度.

例："和点”(2,1)按上述规则连续平移3次后，到达点6(2,2),其平移过程如下：

P(2,(3,P2(3,2)±AP3(2,2)

余0余1余2

若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点06(-1，9),则点。的坐标为()

A.(6,1)或(7,1)B.(15,-7)或(8,0)C.(6,0)或(8,0)D.(5,1)或(7,1)

6.如图，在RtZ\ABC中，ZABC=90°,AB=4,BC=2,80是边AC上的面.点E,F

分别在边AA,BC上(不与端点重合)，且。E_LOF.设AE=x,四边形。暇方的面积为

试卷第2页，共65页

y,则y关于x的函数图象为（）

7.如图，四边形八AC。内接于。。,ZA^C=60°,ZZi4C=ZC4£>=45°,A8+4O=2,

则00的半径是（）

8.若。、b、。均为整数,且|。一勿+|。一。|=1,则|a-c|+|c-b|+|b-a|的值为（)

A.1B.2C.3D.4

9.如图，点E为oABCQ的对角线4C上一点，AC=5,CE=\连接。E并延长至点产，

使得EF=DE,连接斯，则所为（）

D.4

10.已知二次函数y=ad+公+C（〃HO）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（-1,0）,

对称轴为直线x=2.对于下列结论：①必c＜。；®a+c=b,③多项式狂+bx+c可因式

分解为（1+1）（工-5）；④当〃〉-9〃时，关于x的方程a/+bx+c=〃2无实数根.其中正确的

11.若abwO,则£+《；+的值可能是（）

\a\\b\\ab\

A.1和3B.一|和3C.1和一3D.一1和一3

12.如图，在正方形A8CD中，分别以点A和8为圆心，以大于;A8的长为半径作弧，两

弧相交于点E和厂，作直线即，再以点A为圆心，以AO的长为半径作弧交直线£少于点G

（点G在正方形4BC。内部），连接。G并延长交8c于点K.若BK=2,则正方形ABC。的

13.如图，已知抛物线y=or2+/»+c过点C（0,-2）与x轴交点的横坐标分别为d，且

-1＜A,＜0,2＜土＜3,则下列结论：

®a—b+c＜（）；

②方程aF+/»+c+2=0有两个不相等的实数根;

③a+。＞0：

试卷第4页，共65天

2

@a>—

3

⑤〃2-4ac>4/.其中正逸的结论有（）

2个C.3个D.4个

二、填空题

14.联欢会有A,B,C,。四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩

排完毕，下一个节FI彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下：

已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这

位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。

若节目按“A-8-C-力”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为min；

若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按的先后顺序彩排

15.如图，VA8C,ZAC5=90°,8=5,6=10,点。，石分别在人GA3边上，AE=^AD,

连接OE,将VAOE沿OE翻折，得到VFDE,连接CECF.若△CE尸的面积是VBEC面

积的2倍，则AO=.

16.如图，在RlZ\A8C中，ZC=90°,人。是V/仍。的一条角平分线，E为4。中点，连

则4。=

17.如图，平面直角坐标系心中，矩形。的顶点5在函数y=的图象上,加⑼，

。（0,2）.将线段AB沿x轴止方向平移得线段Ab（点A平移后的对应点为A）,AU交函数

），=2。＞0）的图象于点。，过点。作。石工），轴于点£,则下列结论:

①4二2；

②△OBZ）的面积等于四边形AHDA的面积;

③AE的最小值是拉；

④NHBD=NBRO.

其中正确的结论有.（填写所有正确结论的序号）

18.我们规定:若一个正整数A能写成正-〃,其中机与〃都是两位数，且，〃与〃的十位数

字相同，个位数字之和为3,则称A为“方减数”，并把4分解成〃/-〃的过程，称为“方减分

解”.例如：因为602=25、23,25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8,所以

602是“方减数”，602分解成602=25?-23的过程就是“方减分解”.按照这个规定，最小的

“方减数”是.把一个方减数”A进行“方减分解"，即4="—〃，将小放在〃的左边组

试卷第6页，共65页

成一个新的四位数0,若B除以19余数为I,且2〃7+〃=F（k为整数），则满足条件的正整

数A为.

19.抛物线y二"1+Zu+c（a,b,c是常数，〃<0）经过（T』），（明』）两点，且0<加<1.下

列四个结论：

①〃>0：

②若0<x<l,则a（x-l）-+〃（x-l）+c>1；

③若。二一1,则关于x的一元二次方程依2+版+c=2无实数解；

④点A（%,y）,8（孙力）在抛物线上，若％+%>一（，总有,则。

其中正确的是（填写序号）.

\rs

20.如图，在菱形44co中，对角线AC,8。相交于点。，-^=|.线段A8与AE关于

Bl）3

过点。的直线/对称，点B的对应点8'在线段OC上，AB交CD十点E,则aSCE与四边

形OB'ED的面积比为________

B\

21.如图，在矩形纸片48co中，A8=0,AO=2,E为边AO的中点，点尸在边CD上,

连接叮，将ADEF沿律翻折，点。的对应点为X,连接双孔若BU=2,则。尸=.

A।E_______D

BC

22.如图，A8是0。的直径，A8=2,点C在线段A8上运动，过点C的弦DfXAB,将

沿OE翻折交直线A8于点入当OE的长为正整数时，线段用的长为.

23.如图，以AB为直径的。。与AC相切于点A,以AC为边作平行四边形ACD石，点。、

E均在。。上，OE与A8交于点/，连接CE,与0。交于点G,连接OG.若人3=1(),。E=8,

则人/=.DG=

24.如图，在RtZ\A3C中，ZACB=90°,CA=CB=3,线段CD绕点。在平面内旋转，过

点3作力”的垂线，交射线AO于点E.若6=1,则力E的最大值为,最小值

为_______

25.已知二次函数y=加+版+c的)，与x的部分对应值如下表：

X-4-3-115

y0595-27

下列结论：①而c>0；②关于》的一元二次方程依2+法+。=9有两个相等的实数根；③

当Tvxvl时，》的取值范围为。<丁<5：④若点(见x),(r〃-2,%)均在二次函数图象

上，则y=%;⑤满足af+S+Dx+cyZ的”的取值范围是xv-2或x>3.其中正确结论

的序号为.

26.如图，在oABC。中，ZC=120°,48=8,8c=10.七为边。。的中点，尸为边AO上

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的一动点,将ADEF沿族翻折得AHEF，连接47，笈。，则面积的最小值为.

27.如图，在矩形G4BC和正方形。。£尸中，点A在），轴正半轴上，点C,尸均在％轴正半

轴上，点。在边8c上，BC=2CD,AB=3.若点B,E在同一个反比例函数的图象上，则

这个反比例函数的表达式是.

28.如图，VABC的面积为2,A力为BC边上的中线，点A,C，G，G是线段CQ的五

等分点，点A，R，A是线段。2的四等分点，点A是线段的中点.

（1）△4GA的面积为；

（2）/XgC4A的面积为.

29.一个各数位均不为0的四位自然数M=丽，若满足a+d=〃+c=9,则称这个四位

数为“友谊数例如:四位数127数・・・1+8=2+7=9,・•・1278是“友谊数”.若丽是一个

“友谊数”，且b-a=c—b=l,则这个数为；若财=砺是一个“友谊数”，设

F（M）=（，且F（M）+B"cd是整数,则满足条件的用的最大值是______.

913

30.已知，直线/：｝,=且X-立与X轴相交于点A，以。4为边作等边三角形。44，点用在

33

第一象限内，过点4作X轴的平行线与直线/交于点4,与y轴交于点G，以G4为边作等

边三角形(点层在点片的上方)，以同样的方式依次作等边三角形GA员，等边三角

形GA也…，则点&O24的横坐标为.

三、解答题

31.【问题背景】

如图1,在平面直角坐标系中，点以。是直线)，=〃(。>0)上第一象限内的两个动点

(OD>OB)f以线段30为对角线作矩形ABC。，AD//x^.反比例函数y的图象经过

点A.

【构建联系】

(1)求证：函数)，=A的图象必经过点C.

x

(2)如图2,把矩形A8C。沿B力折叠，点C的对应点为E.当点E落在y轴上，且点8的

坐标为。,2)时，求〃的值.

【深入探窕】

(3)如图3,把矩形AAC。沿3。折叠，点C的对应点为及当点£A重合时，连接AC交

BD于点P.以点。为圆心，AC长为半径作0。.若OP=30，当。。与VAAC的边有交

点时，求々的取值范围.

试卷第10页，共65页

32.已知NM4N=a(Oo<av45。)，点4,C分别在射线AN,AM上，将线段BC绕点3顺

时针旋转180。-2a得到线段BD,过点D作AN的垂线交射线AM于点E.

(1)如图1,当点。在射线AN上时，求证：。是4E的中点；

⑵如图2,当点。在NM4N内部时，作O〃〃AN,交射线AM于点尸，用等式表示线段所

与AC的数量关系，并证明。

33.在平面直角坐标系中，0。的半径为1,对于0。的弦A8和不在直线AB上的点C,

给出如下定义：若点C关于直线A8的对称点C'在0。上或其内部，且=则称点C

是弦A4的可及点

⑴如图，点4(0,1),8(1,0).

(\\

①在点G(2,0),G(l，2)，Q-,0中，点___________是弦A8的“a可及点"，其中“=

12/

②若点D是弦AB的“90。可及点”，则点D的横坐标的最大值为：

(2)已知尸是直线)，=G工-6上一点，且存在。。的弦MN,使得点P是弦MN的“60。可及

点”.记点P的横坐标为八直接写出/的取值范围.

34.已知二次函数的图像经过点A(_2,5),点尸(M，y),Q(%,%)是此二次函数

试卷第12页，共65页

的图像上的两个动点.

(I)求此二次函数的表达式；

(2)如图1,此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B,点P在直线的上方，过点P作

PC_Lx轴于点C,交AB于点。，连接ACDQjQ.若占"+3,求证2的值为定值；

(3)如图2,点P在第二象阪，4=-2%，若点M在直线P。上，且横坐标为玉-1,过点M

作MN_Lx轴于点N,求线段MN长度的最大值.

35.【知识技能】

(1)如图1,在VA8C中，OE是VA8C的中位线.连接C。，将AAQC绕点。按逆时针

方向旋转，得到当点E的对应点£与点A重合时，求证：AB=BC.

【数学理解】

(2)如图2,在VA3C中(A8<8C),OE是VA3C的中位线.连接C。，将AADC绕点。

按逆时针方向旋转，得到△AOC',连接48,CC,作△A3。的中线。尸.求证：

2DFCD=BDCC.

【拓展探索】

A3?

(3)如图3,在V/WC中，ian/?=m，点。在A8上，AD=—.过点。作。E_LBC,垂足

32

为E,BE=3,CE=y.在四边形AOEC内是否存在点G,使得NAGO+NCGE=180。？

若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.

36.如图，A8是。。的直径，点C,。在0。上，平分/AOC.

(1)求证：OD//BC,

⑵延长。。交。。于点E,连接CE交04于点尸，过点B作O。的切线交OE的延长线于点

P•若O芸F=35，PE=1,求OO半径的长・

BF6

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37.已知抛物线G:），=加-Gar-/+2/+i（a>o）过点A（M，2）和点5（“2）,直线

/:），=疗］+〃过点0（3,1）,交线段AB于点。，记△CD4的周长为G，△68的周长为G，

且储=。2+2.

（1）求抛物线G的对称轴；

（2）求，〃的值;

⑶直线/绕点。以每秒3。的速度顺时针旋转r秒后（0"<45）得到直线r,当r〃人4时，直

线/'交抛物线G于E,F两点.

①求I的值;

②设厂的面积为s,若对于任意的々>0,均有S3女成立，求々的最大值及此时抛物线

G的解析式.

38.问题背景：如图（1）,在矩形人4C。中，点E,尸分别是A3,8C的中点，连接3。,

EF,求证：△BCD^AFBE.

问题探究：如图（2）,在四边形A8C。中，AD〃BC,N/CL>=9（r,点石是的中点，

点厂在边上，AD=2CF,EF与BD交于点G,求证：BG=FG.

问题拓展：如图(3),在“问题探究'’的条件下，连接AG,AD=CD,4G=R7,直接写

出言的值.

39.如图，在圆内接四边形ABCO中，AD<AC,ZADC<ZBAD,延长AD至点E,使

AE^AC,延长84至点广，连结EF,使N4巫h4Z)C.

⑴若4庄=60。，CO为直径，求的度数.

(2)求证：①EF〃BC；②EF=BD.

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40.如图，ARC。为。。的直径，点£在BO上，连接A£，QE，点G在的延长线上,

AB=AG,ZEAD+NEDB=45°.

E

(1)求证：AG与00相切;

(2)若8G=46,sin/D4E=g,求OE的长.

41.数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将

其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和AOE中，

AB=AD=3,BC=DE=4,ZABC=ZADE=90°.

【初步感知】

(1)如图1,连接80,CE,在纸片AOE绕点A旋转过程中，试探究空的值.

CE

【深入探究】

(2)如图2,在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点Z)恰好落在VABC的中线8W的延长线

上时，延长EO交AC于点尸，求C尸的长.

【拓展延伸】

(3)在纸片AOE绕点A旋转过程中，试探究C,D,E三点能否构成直角三角形.若能,

直接写出所有直角三角形6E的面积；若不能，请说明理由.

图1图2图3

42.如图1,oABCO的对角线AC与8。交于点。，点M,N分别在边AO,3C上，且

AM=CN.点、E,产分别是3。与AN,CM的交点.

图I图2图3

(1)求证：OE=O尸；

⑵连接交AC于点"连接HF.

(i)如图2,若HE"AB,求证:HF//AD；

AC

(ii)如图3,若oABCD为菱形,且MZ)=24W,NE”尸=60。，求二的值.

BD

试卷第18页，共65页

43.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a』+次:+4（。=0）经过点（-1,6）,与丁轴交于

点C,与x轴交于A,B两点（A在3的左侧），连接AC,BC,tan/CB4=4.

⑴求抛物线的表达式；

⑵点尸是射线C4上方抛物线上的一动点，过点尸作正_Lx轴，垂足为E,交AC于点。.点

用是线段。E上一动点，WVJ_），轴，垂足为N,点F为线段BC的中点，连接入M,NF.当

线段长度取得最大值时，求AM+MN+的最小值：

⑶将该抛物线沿射线C4方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段P。长度取得最大值时的

点D,且与直线4C相交于另一点K.点、Q为新抛物线上的一个动点，当NQDK=NACR时,

直接写出所有符合条件的点。的坐标.

44.综合与实践

如图，在R〔Z\ABC中，点。是斜边人8上的动点（点。与点A不重合），连接CO,以。。为

CECB

直角边在C。的右侧构造Rl^COE,ZZ）CE=90°,连接BE,—=—=^.

CDCA

特例感知

（1）如图1,当〃?=1时，3£与40之间的位置关系是,数量关系是;

类比迁移

（2）如图2,当加工1时，猜想房与AO之间的位置关系和数量关系，并证明猜想.

拓展应用

（3）在（1）的条件下，点尸与点C关于OE对称，连接。P,EF,如图3.已知AC=6,

设A0=.t,四边形C£>FE的面积为y.

①求），与x的函数表达式，并求出y的最小值；

②当8/=2时，请直接写出AD的长度.

45.如图，在VA4C中，NKAC=90O,AA=AC,以A8为直径的。0交3C于点。，A£_LX,

垂足为E,BE的延长线交AD于点尸.

试卷第20页，共65页

c

⑴求二u的值；

AE

（2）求证：AAEB^ABEC；

⑶求证：与EF互相平分.

46.如图，在平面直角坐标系x0y中，抛物线L：丁=0?一2以一3々（。＞0）与x轴交于A,B

两点（点A在点8的左侧），其顶点为C,。是抛物线笫四象限上一点.

⑵当〃=1时，若△人8的面积与△/仍。的面积相等，求lanZ/WZ）的值:

（3）延长CO交x轴于点E,当AD=OE时，将△498沿。E方向平移得到△人为4.将抛物线

L平移得到抛物线〃，使得点A,"都落在抛物线〃上.试判断抛物线〃与L是否交于某

个定点.若是，求出该定点坐标：若不是，请说明理由.

47.小云有一个|员|柱形水杯（记为1号杯），在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智

能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯（记为2号杯）示意图如下，

当I号杯和2号杯中都有VmL水时，小云分别记录了I号杯的水面高度九（单位：cm）和

2号杯的水面高度生（单位：cm）,部分数据如下:

V

040100200300400500

/mL

九

02.55.07.510.012.5

/cm

h2

02.84.87.28.910.511.8

/cm

（1）补全表格（结果保留小数点后一位）;

⑵通过分析数据，发现可以用函数刻画九与V,生与丫之间的关系.在给出的平面直角坐标

系中，画出这两个函数的图象;

试卷第22页，共65页

。/cm

13-

i-2T

在T

10—r

：9—

!8—r

I泞一:I

；6■■■

!5-r

；4—

!3--

；2—r

ri

OilWj2QO.i3QO.：40Oj.5OO!^mL

⑶根据以上数据与函数图象，解决卜.列问题：

①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水而高度的差约为

cm（结果保留小数点后一位）；

②在①的条件下，将2号环中的一都分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其

水面高度约为cm（结果保留小数点后一位）.

48.综合与实践

在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补

四边形”进行研究

定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形.

②④

图1

（I）操作判断

用分别含有30。和45。角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补

四边形的有（填字号）.

Q）性质探究

根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质.下面研究与对角线相关的性质.

如图2,四边形ABCO是邻等对补四边形，AB=AD,AC是它的一条对角线.

①写出图中相等的角，并说明理由；

②若DC=n,/BCD=20,求AC的长（用含〃?，〃，。的式子表示）.

⑶拓展应用

如图3,在3c中，?B90?,AB=3,BC=4,分别在边8C,4C上取点M,N,

使四边形A8MV是邻等对补四边形.当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写

出3N的长.

49.将一个平行四边形纸片。/WC放置在平面直角坐标系中，点。（0,0）,点4（3,0）,点艮。

试卷第24页，共65页

在第一象限，且OC=2,/AOC=6().

(1)填空：如图①，点C的坐标为,点3的坐标为；

⑵若尸为“轴的正半轴上一动点，过点P作直线轴，沿直线/折叠该纸片，折叠后点。

的对应点。落在％轴的正半轴上，点C的对应点为C.设=

①如图②，若直线/与边C8相交于点。，当折叠后四边形尸O，CQ与口Q4BC重叠部分为五

边形时，O'。与A8相交于点E.试用含有/的式子表示线段班:的长，并直接写出/的取值

范围：

②设折叠后重叠部分的面积为s,当1士44时，求sf勺取值范围(直接写出结果即可).

34

50.如图，在菱形A8CO中，NC=120。.点E在射线8c上运动(不与点〃，点C重合),

△AEB关于AE的轴对称图形为AAEF.

C

(I)当N84产二30。时，试判断线段A尸和线段4。的数量和位置关系，并说明理由;

(2)若从8=6+6退，0。为的外接圆，设0。的半径为

①求「的取值范围;

②连接「7），直线反）能否与。。相切？如果能，求的的长度；如果不能，请说明理由.

51.在综合实践活动中，“特殊到•般''是•种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结

论，然后再研究一般情况，证明结论.

如图，已知VA8C.CA=CB.GX）是VA8c的外接网，点Q在。。卜.（八力＞/?力），连

图1图2备用图1备用图2

【特殊化感知】

（1）如图1,若ZACB=60，，点。在AO延长线上,则AO-8。与CD的数最关系为：

【一般化探究】

（2）如图2,若246=60。，点C、。在A8同侧，判断4）一5。与CO的数量关系并说明

理由；

【拓展性延伸】

（3）若NAC3=。，直接写出A。、BD、CD满足的数量关系.（用含。的式子表示）

试卷第26页，共65页

52.已知抛物线y=a「+也r+c(a,b,。为常数，々＞0)的顶点为尸，且2〃+/?=0,对称轴与

x轴相交于点。，点”(*1)在抛物线上，机＞1,。为坐标原点.

⑴当。=1,c=-l时，求该抛物线顶点P的坐标；

⑵当OM=OP=@^时，求”的值；

(3)若N是抛物线上的点，且点N在第四象限，NMDN=90°,DM=DN,点E在线段MN上,

点尸在线段力N上,NE+NF=4iDM，当OE+M/取得最小值为历时，求。的值.

53.如图，在平面直角坐标系中，抛物线)，=ad+法7与x轴交于A(-1,0),B两点,交丁

轴于点C,抛物线的对称轴是直线x=1.

(I)求抛物线的表达式；

(2)点P是直线8c'下方对称轴右侧抛物线上一幼点，过点P作尸。〃x轴交抛物线于点。,

作PELBC于点、E，求PD+^-PE的最大值及此时点〃的坐标；

2

⑶将抛物线沿射线8C方向平移右个单位，在PD+正PE取得最大值的条件下，点尸为点

2

。平移后的对应点，连接A尸交)，轴于点点N为平移后的抛物线上一点，若

4NMF-ZABC=45°,请直接写出所有符合条件的点N的坐标.

3

54.己知抛物线)，=/+反-1的对称轴是直线x.设加是抛物线)，=/+云7与x轴交

点的横坐标，记知=咤3.

109

(1)求〃的值;

⑵比较M与巫的大小.

2

55.如图，抛物线6：、二加-2%过点(4,0),顶点为Q.抛物线G：y=-g(x-f)2+g『-2

(其中/为常数，且/>2),顶点为P.

试卷第28页，共65页

⑵嘉嘉说：无论，为何值，将G的顶点。向左平移2个单位长度后一定落在g上.

淇淇说：无论，为何值，a总经过一个定点.

请选择其中一人的说法进行说理.

(3)当f=4时,

①求直线PQ的解析式：

②作直线/〃PQ,当/与g的交点到x轴的距离恰为6时，求/与x轴交点的横坐标.

(4)设G与G的交点43的横坐标分别为乙,且/点"在0】上，横坐标为

〃?(2<〃7</).点N在G上,横坐标为"(4.若点M是到直线PQ的距离最大的点,

最大距离为，，点N到直线PQ的距离恰好也为d,直接用含/和m的式子表示〃.

56.如图，圆内接四边形ABC。的对角线AC,BD交于点、E,BD平分NABC,

/BAC=ZADB.

(1)求证。8平分/人£心，并求N84O的大小；

(2)过点。作C/〃AO交43的延长线于点尸.若AC=AO,BF=2,求此圆半径的长.

57.已知抛物线丁=f+及+c(〃vO)与x轴交点的坐标分别为(5,0),(玉,0),且EV%.

⑴若抛物线+云+c+l®vO)与x釉交点的坐标分别为(00),(x4,0),且七<起.试

判断下列每组数据的大小(填写<、=或>)：

①％+玉工3+兀；②%一%39一匕；③占+工3_______芭十%.

⑵若$=1,2<X2<3,求〃的取值范围;

⑶当0W1时，y=f+历:+4〃<o)最大值与最小值的差为多，求人的值.

16

试卷第30页，共65页

58.如图，在RtZvlBC中，ZC=90°,。为斜边A8上一点，以8。为直径作。。，交AC于

E,厂两点，连接M,BF,DF.

(1)求证：BCDF=BFCE；

(2)若NA=NCBF,tan/B/C=不，AF=45求C77的长和。0的直径.

59.在VABC中，4B=4C,点。是8C边上一点(点。不与端点重合).点。关于直线4B

的对称点为点E，连接ADDE.在直线上取一点尸，使/*7)=/84。，直线炉与

直线AC交丁点G.

BD

图1

(I)如图I,若NBAC=60。,BD<8,/BAD=a,求ZAGE的度数(用含。的代数式表示);

(2)如图I,若/6AC=60c,6D<C。，用等式表示线段8与。石之间的数量关系，并证明;

(3)如图2,若NWC=90。，点。从点〃移动到点。的过程中，连接AE,当△AEG为等腰

三角形时，请直接写出此时三三的值.

60.在平面直角坐标系xQv中，点P(2,-3)在二次函数「=加+加-3(〃>0)的图像上，记

该二次函数图像的对称轴为直线工=〃?.

⑴求加的值：

⑵若点。(以-4)在)，=a¥+版-3的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度,

得到新的二次函数的图像.当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；

⑶设)，=尔+以_3的图像与x轴交点为(4,0),(玉,())(％<£).若4<七-为<6,求〃的

取值范围.

61.如图1,抛物线y=ad+公-3与x轴交于点4(-3,0)和点8(1,0),与y轴交于点C.点

。是抛物线的顶点.

试卷第32页，共65页

⑴求抛物线的解析式；

(2)如图2,连接AC,DC,直线AC交抛物线的对称轴于点若点P是直线AC上方抛

物线上一-点，且S△尸MC=2SMMC,求点P的坐标；

⑶若点N是抛物线对称轴上位于点。上方的一动点，是否存在以点N,4,。为顶点的三

角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.

62.如图，在平面直角坐标系xQy中，已知抛物线>=。/+版+3经过点4(3,0),与)，轴交

于点B，且关于直线x=l对称.

(1)求该抛物线的解析式；

⑵当时，y的取值范围是求t的值:

⑶点。是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点。作X轴的垂线交直线A4于点。，在)，

轴上是否存在点£，使得以从C,D,£为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边

长；若不存在，说明理由.

63.加图1,在矩形A8CZ)中，点E为ADi力上不与端点重合的一动点，点b是对角线8。上

一点，连接跖，4厂交于点。，且NA8E=Nmb.

【模型建立】

(1)求证：AF±BE；

【模型应用】

(2)若AA=2,A力=3,DF=；BF,求OE的长；

【模型迁移】

I4/7

(3)如图2,若矩形A8C。是正方形，DF=-BFf求而的值.

试卷第34页，共65页

64.已知O。的半径为3,弦MN=2逐，VA3C中，ZABC=90°.AB=3.BC=372.在平

面上，先将VABC和。。按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在上，点C在。O内）,

随后移动VA8C,使点8在弦MN上移动，点A始终在。。上随之移动，设8N=x.

（2）当O4〃MN时，如图2,求点3到。4的距离，并求此时x的值；

⑶设点。到8c的距离为d.

①当点A在劣弧MN上，且过点A的切线与AC垂直时，求d的值;

②直接写出d的最小值.

65.综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A,与），

轴交于点C,过A,C两点的抛物线广加+及+4”工0）与X轴的另一个交点为点WT0）,

点。是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点。分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线

AC于点E，点F.

->

X

⑴求抛物线的解析式：

(2)点。是x轴上的任意一点，若AACD是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐

标；

⑶当所=AC时，求点尸的坐标；

(4)在(3)的条件下，若点N是)，轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为

连接N4,MP,则M+M9的最小值为.

66.在RtZXABC中，NAC8=90。，AC=BC,过点8作8O〃AC.

D\-------8%---------功以-----------7。

GC

图2

⑴如图1,若点。在点8的左侧，连接CO,过点A作AE_LCO交8c于点E.若点、E是BC

的中点，求证：AC=2BD,

(2)如图2,若点。在点B的右侧，连接AO,点尸是4。的中点，连接小厂并延长交AC于点

试卷第36页，共65页

G,连接CF.过点r作J.8G交43于点例，CN平分/ACB交BG于点、N,求证：

AM=CN+显BD；

2

⑶若点。在点4的右侧，连接A。，点尸是A。的中点，且Ab=AC.点~是直线AC上一

动点，连接尸P，将FP绕点产逆时针旋转60。得到/Q,连接8Q,点R是直线八。上一动点，

连接欧，QR.在点P的运动过程中，当BQ取得最小值时,在平面内将ABQR沿直线0R翻

折得到△7QR,连接口.在点R的运动过程中，直接写出旻的最大值.

67.在平面直角坐标系x。1y中，已知抛物线），=ad+Zu--1（〃、〃为常数，a>0）.

⑴若抛物线与x轴交于4-1，。）、8（4.0）两点，求抛物线对应的函数表达式；

⑵如图，当〃=1时，过点C（-1"）、D（1,a+2点）分别作>轴的平行线，交抛物线于点M、

M连接MN、MD.求证：MD平分NCMN；

（3）当〃=1,84-2时，过直线丁=1-1（1工143）上一点6作），轴的平行线，交抛物线于点

H.若G”的最大值为4,求人的值.

68.抛物线y=g*2+2x-|交x轴于A,"两点（4在B的右边），交V轴于点C.

⑴直接写出点A,B,。的坐标：

⑵如图（1）,连接AC,BC,过第三象限的抛物线上的点〃作直线夕。〃AC,交y轴于点

Q.若3c平分线段P。，求点尸的坐标；

（3）如图（2）,点。与原点0关于点C对称，过原点的直线£尸交抛物线于E,F两点（点£

在x轴下方），线段。石交抛物线于另一点G,连接AG.若NEG产=90。，求直线。石的解

析式.

69.如图①，二次函数），=/+/u-+c的图象G与牙？画下的二次函数图象G均过点A（TO）,

8（3,0）.

试卷第38页，共65页

⑴求图象C1对应的函数表达式;

⑵若图象G过点c（o,6）,点。位于第一象限，且在图象。上，直线/过点。且与工轴平行，

与图象G的另一个交点为Q（Q在尸左侧），直线/与图象C1的交点为M,MN在M左侧）.当

PQ=MP+QN时，求点P的坐标：

⑶如图②，D,E分别为二次函数图象C1,G的顶点，连接A。，过点A作A/_LAO.交图

象C?于点四连接E凡当所〃4。时，求图象4对应的函数表达式.

70.如图，在平面直角坐标系中，二次函数丁=加+法+。（。工0）的图像经过原点和点

A（4,0）.经过点力的直线与该二次函数图象交于点8（1,3）,与），轴交于点C.

(1)求二次函数的解析式及点C的坐标；

(2)点。是二次函数图象上的一个动点，当点〃在宜线AB上方时，过点。作轴于点E,

与直线A8交于点。，设点。的横坐标为机.

①，〃为何值时线段尸。的长度最大，并求出最大值；

②是否存在点P,使得也与△AOC相似.若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说

明理由.

71.数学实验，能增加学E数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，

创新能力的一种手段.小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形

(如图I)产生了如下问题，请同学们帮他解决.

试卷第40页，共65页

cc

B

D

图1图2

图3图