第八章 立体几何初步（单元测试 能力提升）-人教A版高一数学必修第二册

第八章立体几何初步（能力提升）

高一数学人教A版Q019）必修第二册单元测试

【满分：150分】

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都

是正方形的四棱台），如果一个方斗的容积为28升（一升为一立方分米），上底边长为4分米，

下底边长为2分米，则该方斗的表面积为（）

A.|20+3V10）dm2B.（2O+4x/io）dm2

C.56dm2D.（20+12-\/10jdin-

2.如图，在二棱锥A—8C'/）中，△A8C,△8C。都为等边二角形，BC=2,N4CD=9。。，M

为AD中点，则异面直线AB与CM所成角的余弦值为（）

A.；B.与C.当D.0

3.设〃，Z?为两条不同的直线，a、夕为两个不同的平面，下面为真命题的是（）

A.若。〃尸，aua,bu/3,则a〃Z?

B.对于空间中的直线/,若aua,bua,ILa,ILb,则/_La

C.若直线。上存在两点到平面a的距离相等，则a//a

D.若a〃a,alp,则。，力

4.《九章算术》中关于“刍童”（上、下底面均为矩形的棱台）体积计算的注释：将上底面的长

乘以二与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘以二与上底面的长相加，再

与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一现有“刍童"ABC。-，

其上、下底面均为正方形，若斯=2AB=8,且每条侧棱与底面所成角的正切值均为3近，则

该“刍童”的体积为（）

A.224B.448C.—D.147

3

5.如图，在长方体中，AB=AD=3,44=2,则四棱锥A—8片。。的体积是

A.6B.9C.18D.27

6.如图，在四棱锥尸—A8CD中，底面A8CD是正方形，AP=AB=4,侧棱Q4J_底面A8CQ,

7是CD的中点，。是△PAC内的动点，TQLBP,则。的轨迹长为（）

A.拉B.>/3C.2&D.2石

7.如图，在三棱锥4—BCD中，AD=CD=1,AB=BC=AC=s/2f平面ACOJL平面ABC,则

三棱锥38外接球的表面积为（）

D

c-rD.27T

8.成语“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，意思是在小小的军帐之内作出正确的部署，决定了

千里之外战场上的胜利，说的是运筹的重要性.“帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“幄帐”，

如图是一种“幄帐”示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行

于底面.若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为;，底面矩形的长与宽之比为2:1,则正脊

与斜脊长度的比值为（）

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知圆台的上底半径为1,下底半径为3,球。与圆台的两个底面和侧面都相切，则（）

A.圆台的高为4B.圆台的母线长为4

C.圆台的表面积为26兀D.球O的表面积为12"

10.如图，已知二面角a一/—£的棱/上有A,8两点，Cwa,AC11,BDLI,若

AC=AB=BD=2,CO=2加，则（）

A

D

A.直线A4与CO所成角的余弦值为45。

B.二面角2-/-6的大小为60。

C.三棱锥A-BCD的体积为2后

D.直线CO与平面4所成角的正弦值为巫

4

11.设〃2、〃是两条不同的直线，a、〃是两个不同的平面，则（）

A.若a/i0,mVa,〃_L尸，则mJ/n

B.若mlln,kJLa,mHp,则a_L/?

C.若mlln,mlIa,nlip,则allft

D.若m±n,mVa,〃_L夕，则a_L

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.直三棱柱ABC—48c中，ZABC=90°,AB=BC=BB、=1,则Ag与8G所成角大小为

13.在一个棱长为3指的正四面体容器内放入一个半径为1的小球，摇晃容器使得小球在容器

内朝着任意方向自山运动，则小球不可能接触到的容器内壁的面积为.

14.如图所示，在三棱锥。—4BC中，若AB=BC,AD=CD,E是AC的中点，则平面4OC与

平面8DE的关系是__________.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）如图，在四棱锥中，底面A8CD是等腰梯形，AB//CD,AB=2CDt

BD‘AC=E,F为棱PC上一点,Q.PF=2FC.

⑴求证：尸4/平面8DF;

（2）若BC=DC=2,求△45E绕直线AB旋转一周所得几何体的表面积.

16.（15分）如图所示,三棱柱A8C-A罔G，底面是边长为2的正三角形，侧棱胴，底面ABC,

点E，产分别是棱CG，上的点，点M是线段AC的中点，EC=2FB=2.

⑴求证〃平面户；

（2）求BM与EF所成角的余弦值.

17.（15分）如图1,已知△A6C是等边三角形，点分别在A。，AC上，MNHBC,AN=2NC,

0是线段MN的中点.将4AMN沿MN折起到APMN的位置，使得平面PMN±平面MNCB,

如图2.

（1）求证：POLCN

（2）若3c=6,求点N到平面P3C的距离.

18.（17分）正方体ABCQ-ABCa的棱长为2,E,F,G分别是，G，BC,AO的中点。

⑴求证：CG//面DIEF；

(2)求点G到平面尸的距离。

19.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PAJ_底面ABCO,若四边形ABC。为菱形,

/BAD=60。,AB=2f且E,尸分别为PC,A3的中点

(1)试判断直线所与3。是否垂直，并说明理由；

(2)若四棱锥P-A3CD的体积为迪,求异面直线PC与A8所成角的余弦值

答案以及解析

1.答案：D

解析：如图所示，高线为MN,由方斗的容积为28升，可得28=g(4+16+V^)-MN,

解得MN=3.由上底边长为4分米，下底边长为2分米可得AM=2&，NB=6,

48=小2+0&一句=布,侧面梯形面积为9(2+4)乂,(布『-(=2)=3>/10,

所以方斗的表面积为s=Q2+42+4x3ji6)dm2=^0+12ji6)dm2.故选：D.

2.答案：D

解析：M为AO中点，取3。中点为N,连接MN,CN,如图所示,

则MN〃A8,NNMC即为异面直线A8与CM所成角，△A8C,△8CO都为等边三角形，BC=2,

Z4CD=90°,则AO=2夜，在中，MN=?AB=1,CN=6,CM=除口=日

22

曳匕^^二上之二。.故选

故cosNMWC'二D.

2MNMC2xlxV2

3.答案：D

解析：对于A：在长方体ABC。-48cA中,

令平面ABC。是平面a,平面44GA为平面用，直线BC为直线〃，直线A4为直线b,显

然a〃尸，qua,bu。，此时直线〃，b是异面直线，纵不平行，故A错误;

对于B：当aua,bua、ILa,ILbD'J',只有m/?相交时才有/_La,比如A选项的长方

体中AOu平面ABC。，3Cu平面A3C£>,AB11AD,A4_L8C,但是A4与平面A3CO不

垂直，故B错误；

对于C：若直线。上存在两点到平面。的距离相等，则a〃a或。与a相交，故C错误；

对于D：如图：

因为a〃a,过a作平面7和平面。交于〃，则。〃〃，而aJL〃，故〃_L夕，又〃ua,故a10,

故D正确.故选：D.

4.答案:B

解析：连接加，EG交于点连接AC,DB交于点5,连接。。2,过C作如

图，

因为“刍童"ABCD-EFGH上、下底面均为正方形，且每条侧棱与底面所成角的正切值均相

等，所以QQ_L底面石FG〃，又所以CQL底面瓦‘GH,所以NCGQ是“刍童”

ABC。-瓦G”,其中一条侧棱与底面所成角的平面角，则tan/CGQ=3&,因为研=2AB=8,

所以EG=8&，AC=4五，易知四边形ACGE是等腰梯形，则QG=；（£G—AC）=2近，

所以在RtACQG中，tanZCGQ=笑=3及，则CQ=3后QG=12,即“刍童"ABCD-EFGH的

QG

占二，一口心/七七&/人工口12x「（2x4+8）x4+（2x8+4）x8]田、4

高为12,则该刍童的体积\/=——H--------L------------L—^=448.故选：B.

6

5.答案：A

在长方体A8CO—AqGR中，/W=A£）=3,连接AC交BO于点0,可得4C_L8。，又由1

平面ABCD，且ACu面ABCD，所以AC1阴，因为8Q「阴=8,且以），阴u平面BDD｝区,

可得4cL平面5。。内，所以四棱锥的高为"=A0=述，所以A-381。。的体

2

^V=-S.Jj=-x3[2x2x—=6.iiL&：

3H万片I/々X/jD3y2A.

6.答案：B

解析：先找到一个平面总是保持与8P垂直，取8P,CP的中点E,F,连接AE,EF.DF.

因为A8CD是正方形，所以因为7%3_底面4及7）.所以Q4_LA”又Q40AB=4,所

以AD_L平面处8.所以因为在△248中，AP=AB,E为8夕的中点，所以AE_LP8.

又AEnAO=4,所以研_1_平面人所力.进一步.取8以CF,A8的中点M,N,S,连接MS,

MN,NT,ST,易证平面MATO〃平面AEFD.故3P_L平面MN75,记S71AC=O,又Q

是△FAC内的动点，根据平面的基本性质得：点Q的轨迹为平面MN75与平面PAC的交线段

NO,在△NOC中，NC=6CO=2叵，cosZNCO=—,由余弦定理得：

3

NO2=8+3-2x20xGx如=3.故NO=G.故选：B.

3

7.答案：B

解析：如图所示，取4C中点E,连接。及8E,在BE上取产点满足2所=月夕,

由题意易知△A8C为正三角形，则尸点为△ABC的外接圆圆心，且EOJ_AC,8EJ_AC,

因为平面AC。_L平面ABC,平面AC。1平面人3C=AC,所以OE_L底面A3C,BE_L底面

ADC,过尸作尸O〃OE,故三棱锥A-3CD外接球的球心O在直线尸。上，作OG〃£F交OE于

G点，设O/="，球半径为R,根据AO=CO=1,A8=BC=AC=后，易知I

BE=旦、AE=^=DE,EF=旦,BF=旦四边形OGEF为矩形,由勾股定理可知:

2263

\2

OB2=OF2+BF2=OD2=OG2+DG2,&PR2=h2+-h+—=>/?=0,/?2=—,故

63

R

其外接球表面积为5=4兀犬='7r.故选：B

解析：如图，多面体8VM中，取AB的中点。，做CQ//8N交MN于Q,

做DE_L底面ABNM于E点,则E点在CQ上，且E点到BN,AM的距离相等，即2EH=AB，

做于“点，连接EH,。七「£7/=石，则AWJ_平面。HE,所以EHJLAM,所以

坡面与底面所成二面角为NQHE,又，则A3_L平面DCE,所以OC_LAA,坡面

与底面所成二面角为/。。凡所以正切值tanNO"E=tan/OCE二!，不妨设DE=1,

2

EH=AC=BC=CE=2,可得斜脊=Jl+4+4=3，因为矩形宽A3=4,

4

所以长为8,这样正脊力歹=8-2x2=4,所以正脊与斜脊长度的比值为4:3即，故选：B.

9.答案：BCD

解析：设梯形A8CD为圆台的轴截面，则内切圆。为圆台内切球的大圆如图，

设圆台上、下底面圆心分别为。。2,半径分别为小与则。1,0,。2共线，

且。02，。。连接。。，OE,OA,则OO,04分别平分ZAOC,/DAB,

7T7T

故。E=T],AE=rNOAD+NOZM=—,ZDOA=-OE上AD故OE?=DE-AE,即

2122t

/?2=代=3,解得R=G，母线长为底4二4,故B正确；圆台的高为2R=2右，故A错误;

圆台的表面积为兀x/+"32+”(1+3»4=26兀，故C正确；球。的表面积为S=4求2=12兀,

故D正确.故选：BCD

10.答案：AB

解析：过A作AE//3Q,且AE=BD,连接CE,DE如图，

则四边形1是平行四边形，即。£7//$,。石=AB,NCDE是直线相与。。所成角或补角，

因为AC_U,8。，/则£＞石_1_人七，DE±ACf而AE「AC=A,AE,ACu平面AEC,

所以DE_L平面AEC,又因为CEu平面AEC,所以DELCE,cosZCDE=—=—=—

CDCD2

「./COE=45。，A正确；

因为8O_L/所以AE_U而ACJJ,则NC4E是二面角一夕的平面角，又因为C£=DE=2,

所以CE=AE=AC=2,即ZXACE为正三角形，ZC4E=60°,B正确；

因为OE_L平面AEC,DEu。，所以平面尸_L平面AEC,在平面AEC内过点。作CO_LAE于

。，于是得COL。,CO=*AC=6,S2BD=；AB,BD=2,

吟c错误;

=

^A-BCI)=^C-AHD§CO，$4ABD

连接。O,因为，则NSO是直线CO与平面P所成角，sinACDO=—=^=—,

CD2x/24

D错误；故选：AB.

11.答案：ABD

解析：对于A,若M/月,m±atn10,则相〃〃，故A正确;

对于B,若〃z//〃，〃_La,可得〃z_La,又〃?〃尸，则故B正确；

对于C,若〃?//〃，m〃a,〃传，则。、P可能平行也可能相交，故C错误；

对于D,尸，如图所示，过空间一点P作尸4//加，且BAa=A,作尸4〃〃，且

PB、0=B,则BA，。，PB10,设a1B=c,Q4与依确定的平面交直线。于点C,

则ACua,BCu。，所以尸A_LAC,PBtBC,又m工〃,所以Q4_L必，故四边形尸AC8

为矩形，PA!IBC,PB//AC,所以AC，/,且ACua,所以。_1_4，故D正确.故选：ABD.

12.答案：60°

解析：设BGngC=。，设E是4c的中点，连接无，DE,则。E〃八片，所以4M与8G所

成角是NBDE或其补角，根据直棱柱的性质以及N/3C=9O。，可知44=BG=4C=C,所

以DE=BD=BE4,所以三角形皿是等边三角形，所以4由60。，所以物与g所

成角大小为60。.故答案为：60°

13.答案：4873

考虑小球。即在正四面体的一个角上时，做平面A4G〃平面ABC,R为平面ABG的中心,

则。。।=1.因为％-A4G=4%_人心G可得尸。1=4,所以尸0=3,片=2\/5.由题意，考虑小球与

正四面体的一个面相切时的情况，易知小球在面上最靠近便得切点的轨迹仍为正三角形,

因为尸＜=2血，尸《平分所以阿=0,MP=振.因为正四面体的棱长为3帽，故

小三角形的边长为新，小球与一个面不能接触到的部分的面积为：岑［卜"『-(“『卜］26.

所以几何体的四个面永远不可能接触到容器的内壁的面积是4x126=486.故答案为：486.

14.答案：垂直

解析：因为=4)=C。，七'是AC的中点，所以由等腰二角形二线合一可知8K_LAC,

DE1AC,又BEf］DE=E,6后(=平面8。E，/无：＜=平面8。£1,「.4。，平面8/汨.又47匚平

面AOC,••.平面A£＞CJ_平面8DE.故答案为：垂直.

15.答案：(1)证明见解析

⑵野

解析：⑴证明：因为A3//C。，AB=2CD,

所以竟噬《连接科因为八2-

所以会CE

2~\E

所以EF//PA,因为EFu平面8c犷，PA(Z平面BD产，所以Q4//平面8OP

(2)因为四边形A3CO是等腰梯形，AB//CD,所以NCBA=ND44.又BC=AD,AB=BA,

所以△CB4q△ZM8,所以AC=8Z).

?2

又AE=—AC,BE=—BD,

33

所以AE=3E在平面48CO中，作CM_LAB,EN上AB,垂足分别为M,N,

则CM=JBC2-BM2=自一（'2尸=G，CMHEN,

「A£2…ENAE2

又恁=3'从而ET益=1所以£N=2CM=—,

33

所以AABE绕直线AB旋转一周所得儿何体的表面积是两个底面半径均为冬巨,

3

高均为2的圆锥的侧面积之和，

故所得几何体的表面积为2XTTX竽xj(竿y+22=肾.

16.答案：(1)证明见解析；

(2)BM与EF所成角的余弦值为—.

解析：(1)取AE的中点。，连接Ob,OM,

因为。，M分别为AE,AC的中点，「.OM〃CE,=

由BF//CE,^EC=2FB=2,:.OMHFB,且OM=FB,

四边形OM3厂为平行四边形，故,BMMOF,

又8W(Z平面A£7L。/(=平面4万尸，.・.而〃平面4£7一

(2)因为BM//OF,

所以NEFO为直线AM与所所成角，

□△A3/中，AF=JAB?+FB2+f=石，

直角梯形8CE/中，EC=2,BC=2,BF=T,ZCBF=ZBCE=90,

过尸作FG_LCE,G为垂足，如图所示,

则BF=CG=1,FG=BC=2,GE=\,EF=』GE?+FG?=炉方=5

AF=EF,所以△AM为等腰三角形，则/O_LAE,

□△ACE中，AE=y]AC2+CE2=722+22=272»所以40=七。=血，

22’所以cos/EFO噜=%号

RtAAOF中,FO=yjAF2-AO2=^(A/5)-(V2)=V3

所以矶7与石尸所成角的余弦值为巫.

5

17.答案：(1)证明见解析

(2)巫

5

解析：(1)证明：因为△A8C是等边三角形，且MN//BC,

在△PMV中，可得PM=PN,

又点。是线段"N的中点，所以夕O_LMV.

因为平面PMN_L平面例NC8,且POu平面AWN,平面尸MN。平面MVC3=MV,

所以PO_L平面MNCB,又CNu平面MNC3,所以PO_LCN.

(2)由△A8C是等边三角形，BC=6,可得△ABC的高为36，

取的中点。，连接PD,OD,OB,OC,如图所示.

因为MNHBC,AN=2NC,可得尸0=2百，0。=石,

所以△OBC的面积为SM8C=；BC・OD=；X6XV5=3百，

又PO_L平面MNC3,且PO=2G，

所以三棱锥P-OBC的体积为匕WB。=1S：cxPO=gxx26=6.

因为PO_L平面MNCB,ODu平面MNCB,所以尸OJLOO.

在△「◊£>中，PO=26,OD=g,POLOD,

所以PD=ylPO2+ODr=y/\5，

所以△PBC的面积为S△咏=[8CPZ）=gx6x厉=3后.

设点0到平面PBC的距离为d,

因为％.AW'=P-OBC»可得!xS“蛇•d=!x3jf?xd=6,解得d="l°.

3J5

又由MN//BC,且M/Vu平面尸3C,BCu平面P3C,所以MN〃平面P8C,

则点N到平面PBC的距离与点0到平面PBC的距离相等，

所以点N到平面P4C的距离为亚.

5

18.答案：（1）证明见解析；

⑵2

3

解析：（D

连接RA,FA,8G，因为E,尸分别是CG，8C的中点,

由中位线定理得E///8G，又BC、//D、A,

所以£///。①，所以A,F,E,仅四点共面，

由于G是AD的中点，则AG///C且AG-"C,

那么四边形AGCF为平行四边形,