第六章 平面向量及其应用（单元测试 基础夯实）-人教A版高一数学必修第二册

第六章平面向量及其应用（基础夯实）

——高一数学人教A版Q019）必修第二册单元测试

【满分：150分】

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.如图，在△ABC中，BO=2OC，则AO等于()

C

:

]—1--]—2—2—12—2一

A.—ABH—ACB.—ABH—ACC.——ACD.—AB—AC

33333333

2如.图，在△ABC中，AN=3NC,尸是BN上的一点若AP=（〃7+£）43+|3C,则实数相

的值为()

A

BC

A.gB.；C.1

D.3

3若.向量方,，满足H=(T1),b=2,且侬+6)"，则。与〃的夹角为（）

Kc71-3兀r5花

A.-B.-C.—D.—

6446

4已.知向量A8=2力C，4b=(3,-0),4D=(1,右)，则四边形人的面积为（）

D.述

A.巫B.36C.3V2

22

5.已知向量。4=(1,-3),08=(2,—1),OC=(m+lm--2）,若点A,B,。能构成三角形，则

实数机不可以是()

A.-2B.-C.1D.-1

2

6.立面向量a,b,c满足a=〃=〃/=2,a+b+c=1,则(a+c)•仅+c)的最小值是()

A.-3B.3-2&C.4-26D.—26

7.已知三角形ABC的外心为。，AB-AC=O,cosZAOC=g,则A3在8c上的投影向量为()

II-99

A.-BCB.——BCC.-BCD.——BC

3333

8.在△48C中，内角A,B,C所对边分别为a,b,c,^2\/3sinAsinBsinC=3sin2B+

3sin2C-sin2A,则^二()

a

A.-B.@C.—D.2

232

二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全

部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知向量1=(3,-4),〃=(2,1),则()

A.a—2b=(-1,-6)

B.\a+b\=\/34

c.与向量“平行的单位向量为。二1

2

D.向量a在向量8上的投影向量为三力

10.已知△A3C内角A,B,。对边分别为a,b,C,则下列说法正确的是()

A.若sinA>sin3,则A>8

B.若4cos8=〃cosA,则△46C为等腰三角形

C.若/+从>。2,则8c为锐角三角形

D.若。=1.5,b=2,4=30。的三角形有两解

11.已知AB=(/l,l),AC=(-1,1),4£>=(1,〃),则()

A.C8+QC=d1—〃)

B.若A8〃A。，则义=2,〃

C.若点A是8。的中点，则8,。两点重合

D.若点B,C,。共线，则〃

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量〃=（1,2）,b=（-2,1）,则使（痴+®•（而-〃卜0成立的一个充分不必要条件是

13.在中3=*,P是直线.上一点，若+则实数*J值为

JF|

14.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为mb,c,B=-,c=6,BC边上的高等于

则△ABC的面积是__________,sinA=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.

1--.?-

15.（13分）如图，在△A3C中，CN=-CBt设AB=a，AC=b.

（1）用〃，b表示AN，MN;

41・

（2）若。为△ABC内部一点，且8P=-铲+§。.求证：M,P,N三点共线.

16.（15分）设A,B,C,。为平面内的四点，已知4（3,1）,网-2,2）,C（-l,4）.

⑴若四边形ABC力为平行四边形，求。点的坐标；

（2）若A,C,。三点共线，8O.AC=-18,求。点的坐标.

17.（15分）已知4=（2。sin苍cosx）,b=（cosx,2cosx）,且函数=.

（1）求函数/（力的对称轴方程与单调递增区间；

137E7T

（2）己知/（小卜丁，XG,求cos2%的值.

5O63

a2+b2-c2

18.（17分）△ABC的内角A,B,。的对边分别为a",c,已知（c—2〃）cosA=0.

2b

（1）若。=4,〃+c=8,求△ABC的面积；

（2）若角C为钝角，求:的取值范围.

b

19.（17分）单位向量〃，力满足（。+劝卜（。-方）=-:.

（1）求〃与〃夹角的余弦值：

（2）若版"与〃i3b的夹角为锐角，求实数人的取值范围.

答案以及解析

1.答案：A

解析：因为。为△A8C的重心，所以04+08+00=0，所以0C=—0A—08，而

AC=OC-OA=-2OA-OB=-2a-b.i&&：A.

2.答案：A

解析:因为』=《2,1)+(3,6)=(3+31+6),所以3a-c=3(4，+6+f+6)=15f+36,

B1=6f+9+6f+36=12f+45,所以⑸+36=12/+45,f=3.故选:A.

3.答案：A

解析：由。=(1,1),〃=(〃7,2),所以4—〃=(1—因为所以

万卡―2)=1-"2—1=0,得〃2=0,所以W=J()2t"=2,故A正确.故选：A.

4.答案：B

解析：因为AB=2OC，A8-AO=3-3=0，所以四边形ABC。为直角梯形」48|=26，

|£>C|=V3,IADI=2,则面积S=(G+26)x2=3日故选：B.

2

5.答案：C

解析：因为48=08—04=(2,-1)一(1,-3)=(1,2),

AC=OC-OA=(，〃+l,m—2)-(1,—3)=(加,m+1).假设A,8,C三点共线，则以(6+1)-2〃?=0,

即加二1.所以只要〃则4B,C三点即可构成三角形.故选：C.

6.答案：B

解析：设A(2,0),B(1,V3),C(x,y),易得C:(x+3『+=1,

(a+c)•(/?+c)=f+y2+3x+y/3y+2=—3x—6y—9,设x=—3+cos0、y=—G+sin0,

则|：Q+C)•仅+c)=-3x—一9=3-2Gsin0+方卜3—26,故选：D.

7.答案：D

解析：因为A8.AC=0,所以A3_LAC,所以△ABC是直角三角形.又。为△ABC的外心，

所以。为斜边8C的中点，所以。4=OB=OC.如图，过点A作AQJL8C,垂足为Q,故在

8d上的投影向量为—8Q,又BQ=BO+OQ=；BC+OQ,

BCInAI)]一_.।一।一2

OQ=\OA\cosZAOC--——-cosZAOCBC=-BC,故BQ=-BC十一BC=—BC,因

TBC\JBC\)6263

2一

此AB在8c上的投影向量为故选D.

J

8.答案：B

解析;由题可得2/csinA=3b2+3c2-a2,/.a2=3b2+3c2-2®csinA=b2+c2-2/A.COSA,

/.yf3bcsinA-bccosA=b2+c2,/.\/3sinA-cosA=+C=—+—>2,2sin4-22

bechI6；

|=1,当且仅当2取等号，・.・0<A<7i,.•.A—5=3，.•.?1==,

k07cb623

.71

兀,bsinBSin6出

B=C=_,=------=------=----,故选B.

6asinA.27t3

O111.一

3

9.答案：ABD

解析:由题意=(-1,-6),A正确;

a+b=(5,-3),。+可=《52+(-3—=V34,B正不角;

与〃平行的单位向量有两个，它们是相反向量，C错；

ab225/5I」l

G6=6-4=2〉()，向量4在向量力上的投影向量与〃同向，~\T=~^=~5~f而M=J5,所

2

以向量〃在向量力上的投影向量为，D正确.故选：ABD.

10.答案:ABD

解析：对于A,因为sinA〉sinB,则由正弦定理一二二一勺可得,

sinAsinli

/二半＞1，所以即故A正确；

bsinB

对于B,由余弦定理得ax‘厂+d=：，/+(―/,化简得。=人故4ABC为等腰三角形，

24c2bc

故B正确；

对于C,由余弦定理cosC='+"-cj,因为标+从,c0所以cosC＞0,故只能判断。为锐

2ab

角，无法判断A,B,故C错误；

l

对于D,若。=1.51=2,4=30°,则由正弦定理得＜.absinA2x22,因为B£((U),

sinD=-----------=------=—

a1.53

所以三角形有两解，故D正确，故选：ABD.

11.答案：ACD

解析：因为AB=(Z1),AC=(-1,1),AD=(1,〃)，所以

C8+OC=O8=43-4。=(/1,1)-(1,〃)=(4-1,1-〃)，A正确；

因为A8〃AO，所以办一1=0,所以切=1,取4=3,则〃=!，B不正确；

因为点4是B。的中点，所以A8+AO=(/U)+(1,〃)=(0,0),即4=一1,4=一］，从而有

^C=AC-AZ?=(-lJ)-(-U)=(0,0),所以B,。两点重合，C正确；

因为点3,C,。共线，所以存在实数/,使得40=(1,M=fA8+(lT)AC

=/(2,1)+(1-r)(-l,l)=(U+t-1,1),所以〃=1,D正确.故选ACD.

12.答案：2=0(答案不唯一)

解析：因为3=(1,2),/?=(-2,1),所以2々+。=(4-2,2%+1),Atz-/?=(2+2,2/1-1),

所以(•+E)•(然一方)=(储_4)+(4笛—1)=5笛_5＜0,解得一1＜几＜1,所以使

(4Q+〃)•(/1/-〃)＜()成立的一个充分不必要条件是/1=0.故答案为：2=0(答案不唯一)

2

13.答案：-《/-0.4

解析：因为P是直线8。上一点，故可设5P=/8。，

所以==+-+又AD=；OC,所以

3.3r3

AD=]AC,所以A尸二(l—f)AB+]AC,又AP=〃*B+mAC,AB，4c不共线，所以1—1=6，

；3/==3,所以f=7=,〃?=—2：.故答案为：一2：

75555

,33x/10

14.答ti案：-,二U

210

解析：在△A8C中，作AO_L3C,垂足为点。，

则AQ=；。，又8=；,°=8，在Rt^ABO中，AB2=AD2+BD2，即=2,解得。=3,

所以S△.8c=1/^^C.sinZABD=^xV2x3x^y=.|,在RtAACO中，

,3亚

/,/•>__▼

AC2=>AD24-CD2=1+4=5,所以/?=右，由正弓玄定理，二一；==丁，即而九一-jF,可

sinAsinBsin—

4

得siM=3叵.故答案为：I；巫.

10210

12一1-1-

15.答案：(1)AN=78+彳。，MN=-b+-a

3336

(2)证明见解析

解析：(1)由题可知，

221-2rl2

AN=AC^-CN=AC+-CB=AC+-(AB-AO=-AC^-AB=-b+-a,

333333

MN=AN-AM=(-b+—a)-—a=-b+—a.

33236

—•——1-4-1-1-1-

(^)MP=MB+BP=-a+(--a+-b)=-b+—a

MN=3MP，且有公共点M,「.M,P,N三点共线.

16.答案：（1）。（4,3）

6118

解析：⑴因为A（3,l）,B（-2,2）,C（-l,4）,所以8c=0,2）,

因为四边形ABC。为平行四边形，所以=

设。(x,y),所以AQ=(x—3,y—1),

x-3=1x=4/、

所以,，所以04,3.

y-\1=2[y=3

(2)因为AC,。三点共线，AC=(-4,3),

所以设AO=；L4C=4(T,3)=(jU,3；l),

又A(3,l),所以0(3—441+34),所以30=(5—443/1—1),

---------z1<118

X^DMC=-4(5-4/l)+3(32-l)=-18^/1=-,所以0—

5\55

17.答案：（1）——+kn,—+ku(A£Z)

(2)cos2x()=^

解析:(1)/(x)=2-V3sinxcosx4-2COS2X=V3sin2x4-cos2x+1=2sin2x+—+1,

67

令2<+e=]+%兀，得工=看+?兀（&£2）,

所以函数〃力的对称轴方程为x=g+！兀（攵eZ）；

62

^-1+2Z7r<2x4-^<|+2^(ileZ),解得一方+E+£Z),

故函数/(x)的单调递增区间为|"-9+也3+攵兀］(旌Z).

3o

(2)/(%))==即2sin(2%+^+1=^,所以sin(2%+看=g

又[与方「兀，兀升]所曰以-…2-»号+兀引匕「兀，不5n

所以cos

兀、71.，兀、.兀4-3>/3

所以cos2%)=cos+—cos—+sin2%+工sin—=

6J6ko；6"io-

18.答案：(1)4月

(2)(2,-KO)

2.22

解析：(1)因为(c—2〃)cos2+"+"-c=0,

2b

所以由余弦定理可得：(c-2/?)cosA+«cosC=0,

由正弦定理得：(sinC-2sin2?)cosA+sinAcosC=0,

又因为sinCeosA+sinAcosC=sin(A+C)=sin(兀-B)=sinB,则有sin8(1—2cosA)=0,

因为0<3<兀，所以sin8>0,则cosA二二■,

2

jr

因为0<4<兀，所以4=耳，由余弦定理得：b2+c2—be=16,

因为〃+c=8,所以(b+»—3A=16,解得拉丁16,

所以△A3C的面积S=」〃csin4=‘X16x@=46

222

271

⑵因为。为钝角，所以。,解得。＜3＜工