高考数学二轮复习：三角恒等变换与解三角形

小题专讲

第2讲三角恒等变换与解三角形

「考情研析」三角恒等变换和利用正弦定理、余弦定理解三角形问题是高考的必考内容.1.

三角恒等变换主要考查：①两角和与差的正弦、余弦、正切公式；②二倍角公式、半角公式

的应用；③辅助角公式的应用.2.解三角形问题主要考查：①边和角的计算；②三角形形

状的判断；③面积的计算；④有关参数的范围问题.由于此内容应用性较强，与实际问题结

合起来进行命题将是今后奇考的一个关注点，不可轻视.

核心知识回顾

»知识串联

2结论记忆

(I)常见公式变形

辅助角公式:

否.-2tan«c1-tan%

@s,n2a=HW；＞cos2a=H^;

小sin2a1-cos2a

lana-l+cos2a-,

(2)三角形中的三角函数关系

①sin(A+B)=sjnC；

②cos(A+8)=—cosC；

与A+BC

③sin—=久呵

A+B,C

④cos

2=S1呼

⑶在"BC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，

4>8=。>》=勺04次加£=皎4今叫£•

(4)三角形的面积公式：(R,「分别为AABC的外接圆、内切圆的半径，〃为半周长)

S=/加inC=^hcsinA=^ctzsinB==2/^sii必sin8sinC=N〃(〃一a)~(/?—/>)~(~p

—c)=

热点考向探究

考向1三角怛等变换

例1⑴已知sin(a+§—cosa=T，则sin(2a+§=()

1

--

Ac.2

33

---

4D.4

答案：B

-cosa^sina-icos^sin,

解析：,・，sin(a+季in(a-聿)=:,/.sin(2a+看)=sin12(a一H-

十2'

2a=12sin2a-=

{(-6)]-(S=72.故选B.

(2)(2024-江苏徐州模拟)若tana,tan/?是方程3f+5》-7=0的两个根，则8s=()

sinx(ntz

A.1B.1

D-V

C--4

答案：B

tana+tan/?=—1‘

解析：因为lana,ta叨是方程3f+5x—7=0的两个根，所以7'则

tanatan//=—，

7

_

cosacosS”sinasin//--

34

cos（a-世）cosacosS+sinasin夕cosacos"丁cosacos夕I+tanalaM-

-5-5

sin（a+夕）sinacos/?+cos«sin//sinacos^cosasin//tana+tan或-

3

cosacos^'cosacos/?

（3）已知Ova/,一多W<0,cos（a+：）=；,cos6一：）=苧，则sina的值为,a-p

的值为________

n

答案;

4

解析：因为Ova与所以;<a+£〈笔

所以sinA=cos[_5=cos[26_；）]=2cos26一；）_

为一卷<成<0,所以cos彼部=2步,由前面sina的求解过程可知,cosa=co｛（a+：）一；|

=cos（a+：）cos；+sin（a+g）兀4.4

lsinj=-^~9所以cos（a-p）=cosacos/?+sinasiny7=-

,则Ova—庐兀，所以a一片;.

方法指导

1.三角恒等变换的常用技巧是“化异为同”，即“化异名为同名化异次为同次‘化异角为同

角”，其中涉及si吟，cos当时，常逆用二倍角的余弦公式降基.

乙乙

2.常见的“变角”技巧：a=（a+6）一夕=尸一梦一a）,a=1［（«+/?）+（«—fi）］,:+。岩一仔一《）,

。=：一（；一〃）等，使用“变角”技巧时，应根据已知条件中的角，选择恰当"变角''技巧.

€O对于三角函数的给值求角问题，应选择在该角所在范围内单调的函数，这样，由三

角函数值才可以唯一确定角，若角的范围是（（），?，选正、余弦皆可；若角的范围是（0,兀），

选余弦较好；若角的范围是（一胃，9,选正弦较好.

对点精练

1.（2024•辽宁沈阳二模）已知“£（0,兀），且sina+cosa=5,则tan2a=（）

答案：C

I।|2

解析：sina+cosa=§,则(sina+cosa)2=1+2sinacosa=丞，即sinacosa=一舌，又。£(0,兀),

49

故sina>0,cosa<0,故(sina-cosa)2=1—2sinacosa=行，因为sina>0»cosa<0»所以sin«

7.....1-rz.43-i4,,2tana

-cosa=7，结合sma+cosa=E，可何Bsina=mcosa=­7,贝[tana=-7.故tan2a="；------r-

333331—taira

8

3系故选C.

sin(2a+4),]

2.已知a,蚱（九，为,sina'_2cos(a+所面,n则l()

、।z15n

C.a+片空D.a+P=—

答案：D

五”Le“sin(2«+“)

解析：因为2cos(a+/?)=7^—,所以sin[(a+6)+a]—2cos(a+6)sina=cosa,

sinamncc

所以sin(a+/^)cosa—cos(«+//)sina=cosa,所以sin[(a+夕)一a]=cosa,即sin//=cosa,所以

，所以户或因为«£（冗，咨）,

sin^=sin=3—a+2E/?=a+5+2E,A£Z.a,所以〃

十片笔故选D.

（2024•江西南昌二模）已知2cos（2x+"^）cos（x—专）一cos3x=；,则sin

3.

1B.-3

A.2

7d

C.8-4

答案：D

解析：由已知可知，2cos（2t+专）cos（r一闻一cos［（2.t+"^）+（r—月］=；,化简得

1

制一专)]=-

s^2x+^cos(x—4-sin^Zv+^sin^x—=cos[(2v+g—cos(x+^4

考向2利用正弦定理、余弦定理解三角形

例2（1）（2024•河南郑州三模）在a/WC中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,若帚=

L击篝而2b=2&则sinB的值为（）

A-2B-1

C.坐D.爸

答案：D

解析：由<一=1一R及正弦定理,得一2一=1一士，可得/+/一〃2=从，由余

。十csi.nA二二+°sinBa-rca-vb

弦定理得cosA=2^=2，又0<4<冗,所以A=§,又。=3,b=2y[2f由正前=正值,

得sinB=o-3.故选•D.

（2）在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若。=asinC,c=acosB,则AABC一

定是（）

A.等腰三角形非直角三角形

B.直角三角形非等腰三角形

C.等边三角形

D.等腰直角三角形

答案：D

々2+/一

解析：・・・c=acos3,根据余弦定理可得c=ax—,化简可得/+〃=*,.・.为

直角三角形，又〃=4sinC=〃q=c,故△48C为等腰直角三角形.故选D.

（3）（多选）（2024•江苏南京模拟）在AABC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,设AABC

的面积为S,若2s=3SsinC+csinB）,则下列命题中正确的是（）

A.若4=/且〃=7,则B有两解

B.若C=24,且zUBC为锐角三角形，则c的取值范围为（6•，

C.若A=2C,且sinB=2sinC,则"BC的外接圆半径为2小

D.若b=2c,则S的最大值为6小

答案：ABC

解析:设"BC的外接圆半径为R,由正弦定理得，2s=3（加inC+csinB）=6R（sinBsinC+

sinCsinB）=12RsinBsinC,由S=^«/?sinC=^-2/?sin>4-2/?sin^sinC=2/?2siny4sin^sinC,可知

4/?2sinAsinBsinC=12/?sinBsinC,即欣inA=3,从而n=2欣iM=6.对于A,若A=*且b=

7,由正弦定理得就［=不^，即1卷，解得5吊3=卷因为sinB=f^>；=siM,满足

8>4,所以8有两解，A正确；对于B,若C=24,且A4BC为锐角三角形，由于。=黑苧

・r4

":::A=2acosA=12cosA，而aABC为锐角三角形，即2A与B=n—A—C=n—3A<^,解

‘坐）故的取值范围是（色，）

得*人寸，从而cos4的取值范围是G?c=I2COSA66#,B

正确；对于C,若A=2C,且sinB=2sinC,则b=2c,且2cosc=〃十差一~

Colll-^111Ct

故(i1h=a2c-\-b2c—cit从而a2(h~c)=c(b4-c)(b—c).而b=2c^c,故a2=c(b+c)=c(2c+<?)

=3/,从而。=方=2小，b=2c=4小,又/+。2=36+12=48=/，所以8=看故

r-"rtlr-\-(r—(r5c2_3659_.„

—2\3»C正确；对于D,若0—2c,则cosA----------------—击一~4~^,因为兀，

所以sinA=yj1—cos2A=yj—'+我—4,所以aABC的面积S=力csinA=

,/81.45~~9

、一筋+%一讳=

N_卷，+余_81=\15)+144,当?=20,即c=2小时(满足2<«6),S取最

大值12,D错误.故选ABC.

方法指导

1.解三角形问题的求解策略

已知条件解题思路

两角A,B与一边a由4+8+。=兀及&=七=击，可先求出角C及儿再求出c

s1n/As1ns】n

两边4c•及其夹角

由〃2=。2+^—2方CCOS/L先求出4,再求出角8,C

4

三边a,b,C由余弦定理可求出角4,B,C

思路一：先由瘾=岛求角8（可能有一解、两解或无解），再由A+B

SII1/1M11O

两边4,8及其中一+C—兀或sinC-sin（A+B）求帮C,最后由si£-si；身,；

边的对角A

思路二：先由42=〃+/—2枚C0S4构建关于c的方程求c（可能有一解、

两解或无解），再由正弦定理及4+8+。=兀，求角8和角C

2.判定三角形形状的两种常用途径

利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系

角化边

进行判断

通过正弦定理、余弦定理，化边为角，利用三角恒等变换得出三角形内角之间的

边化角

关系进行判断

（1）使用正弦定理时易忘比值还等于2R,即就=磊=e=2&诉为AABC外接

圆半径）.（2）在已知两边和其中一边的对角利用正弦定理求解时，要注意检验解是否满足“大

边对大角“，避免增解.

对点精练

1.（2024•山东聊城二模）如图，在平面四边形A3C。中，A3=AO=2,N4=2NQ=120。,

记与ZkACO的面积分别为Si，S2，则S2—S1的值为（）

A.2B.

正

C.1D.2

答案：B

5“工」1人0AB2-\-BC2-AC214+BC2-AC2内、

解析：在Zk/WC中，由余弦定理得cosff=­2AB.BC—，a即n一£=----4BC----，得BC

人力2+「力2—八「2.

2

-AC=-2BC-4①，在AACD中，由余弦定理得cosD=1Arirn~~，即不=

4+CD2-AC2z-XrI

------------,得CZ)2—AC2=2CO—4②，又S=gAB・8Csinl20o=，S2=E4DCDsin60。

，所以S2—S]no③，由②一①，得CD2—〃。2=2(€7)

+BC）,由CO+KOO,得C。一BC=2,代入③得52—&=小.故选B.

2.（2024•黑龙江哈尔滨三模）已知MBC的内角4,B,C的对边分别为。，b,c,且〃=小,

8c边上的中线AZ）的长为1,则反的最大值为（）

A-4B-2

C.小D.2小

答案：A

解析：由题意得N4O8+/AOC=兀，所以cos/AO8+cosNAOC=0,又。=小，且。是

7_2

4。2+8。2_d4一

BC的中点，所以。8=Z)C=与，在△A8。中，cos/AO8=—诉诉-=~fT,在

ZZ./\LJ-L5Lfp3A4OC

Al^-VCrP—b24—4—4—c"

中，cosZADC=\\DCD二小，所以cosNA£)C+cosNAQ8=小+5=0,即

02+/=*得2〃CW/+C2=]即/"V，当且仅当4。=乎时取等号，此时

+乎.故选A.

3.在ZkAAC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知。=小，^^=施+系，sin2B

—cos2C=—I，则4=,△ABC的面积是

较案.工亚

a米.62

解析：因为消彳i1俄,cos—cosBcosCsinCcosB+sinBcosCsin(衣+C)

lanBlanC''sinA-sinBsinC-sin^sinC-sin^sinC

志袅，所以cosA=U^=^=*d，所以/+/=3品即sin*+sin2c=3siiM,

因为si/B—cosyusi/B+si/C—l=—所以sin25+sin2C=3sin2A=^,所以sinA=^,

由高=磊++可知人为锐角，所以A*，又仇=品=2小，所以S△，帆=》csiM=

立

2•

考向3正弦定理、余弦定理的实际应用

例3（2024.云南昆明一模）早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径.假设一种理

想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置

如图所示.地球在员位置时，测出NSEoM=^；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地

球运动到了臼位置，测出N5BM=苧，NES氏=].若地球的轨道半径为R,则下列选项中

与行星M的轨道半径最接近的是（参考数据：5=1.7）（）

A.2.1/?B.2.2/?

C.2.3RD.2.4/?

答案：A

解析：连接氏鼠，在中，SEo=SEi=R,又NEiSEo=?则AS瓦E是正三角形，近日

27r3冗得臼"=居，在中，N&MEi

=R,由NSEiM="^",NEifoM=?NEoAMaEi

方法指导解三角形实际应用问题的步骤

分

析*理解题意，分析已知与未知，画出示意图

建根据已知条件与求解目标，把已知量与求解

模量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解

三角形的模型

利用正、余弦定理解三角形，有时需设出未

求知量，从几个三角形中列出方程（组），解方

解程（组）得出所要求的解，从而求得数学模型

的解

检检验上述所求出的解是否具有实际意义，从

验而得出实际问题的解

对点精练

（2024♦江苏南京开学考试）某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树的高度,

选取与红豆树根部。在同一水平面的A,B两点，在A点测得红豆树根部C在北偏西60。

的方向上，沿正西方向步行40米到达B点，测得树根部。在北偏西15。的方向上，树梢。

的仰角为30。，则红豆树的高度为（）

A.1（啦米B.2M米

答案：D

解析：依题意可得如右图形，在△AAC中，ZBAC=30°.NABC=105。，NBCA=75。-30。

=45°,AB=40,所以由正弦定理，得解得BC=20Vl在RtAfiCD中，N

CBD=30°,所以。。=4。31130。=2（班'堂=当值，则红豆树的高度为多值米.故选D.

I)

真题”押题

,真题检验,

1.(2024•新课标I卷)已知cos(a+H)=/〃，tan«tan/?=2,则cos(a一6)=()

A.-3mB.-y

C./D.3m

答案：A

解析:因为cos(a+6)=〃i,所以cos«cos/?-sinasin^=in,又tanatan/?=2,所以sin«s:n/?=

2cos«cosy?,故cosacos"-2cosacos/?="b即cosacos戒=一小，从而sinasin6=-2〃?，故cos(a

—")=cosacos万+sinasi叨=—3〃?.故选A.

2.(2024•全国甲卷)在△ABC中，内角4,B,C所对的边分别为小b,c,若B哼〃=%,

则sirt4+sinC=()

3

A

.-

2B.V2

C亚D.V23

2

答

募c

解

棉941

庐

因---

=493

a131313

斗ac=i“c',即a1-\-c2,=~^ac,再由正弦定理，得sin?人4~$拓2。=才$仙人《11。=佐.所以（sinA

+sinC）2=sinM+sin2C4-2sin^sinC=^»因为A,C为三角形的内角，所以sinA+sinOO,

所以sinA+sinC=乎.故选C.

3.（2023•新课标H卷）已知a为锐角，cosa=g普，则s诺=（）

3—小-1+小

A.gB.g

3—小一1+小

C.-V-D.4

答案：D

解析：因为cosa=l-2sin2f=-L^,而a为锐角，所以si琮=y^=肝=

/（正1）2小一1

V16-=丁•故选D.

,金版押题

古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基

础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，己知点A是球体建筑物与水平地

面的接触点（切点），地面上B,。两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧.若在B,

C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60。和20。，H.5C=100m,则该球体建筑物的高度

约为(cosl(TM).985)()

AHC

A.49.25mB.50.76m

C.56.74mD.58.60m

答案：B

DR

解析：如图，设球的半径为R,则48=小R4。=而而.・・・8。=高而一#/?=100,・•・/?

=100=IQOsinlO。=lOOsinlO。=50sinl00=50sinl00=25

1_rr-coslO°—V3sinlO0-2sin(30°—10°)-sin20°-2sinlO°coslO°-cos10°

tanIO。—J

%.985.'2比0：9卜5676故选B.

专题作业

基础题（占比50%）中档题（占比30%）拔局题（占比20%）

题号1234567

难度★★★★★★★★★

利用正弦

同角三角

定理判断三角形的两角和、

函数的基

三角函数三角形的面积公余弦定理差的余弦

两角和的正本关系；

对点的定义；形状；充式；余弦的实际应公式；二

弦公式两角和的

半角公式分条件、定理的应用倍角的余

正弦公式

必要条件用弦公式

的逆用

的判断

题号891011121314

难度★★★★★★★★★★★★★★★

正、余弦

定理；两两角差的正利用正、两角差的

角和、差弦公式：两角余弦定理解三角形正切公

解三角形利用正、

以及二倍和的正切、余求解三角与数列、式、基本

对点与平面向余弦定理

角的正弦弦公式；二倍形中的最平面向量不等式在

量的综合解三角形

公式；边角的正弦公值、范围的综合实际中的

角互化求式问题应用

范围问题

一、单选题

1.(2024•广东佛山模拟)已知点P(3,4)是角a终边上的一点，贝km宁=()

A.2B.1

C.2或义D.—2或义

答案：B

,4433

解析：因为点P(3.4)是角a终边卜的一点.所以3n“=不#=亍8恒=/专方二亍

。

si.n彳ac2si.nTcosaT.74,

.a__£22sina3I.,.

则n>tanz-~-~-=~~~~i।=5.故选>4B.

26tMcosa+131,2

co822COS^25+1

2.(2024.浙江宁波二模)若a为锐角，sina=£,则sin(a+1)=(

)

4+3小

A.

10

3+4小3-45

C.D.

1010

答案：A

431更143

V23

--=---*-十q

解析：因为a为锐角，sina52s«25

5,°2c

4+3小

一IQ.故选A.

2

3.(2024•浙江杭州模拟)匕知sin4+cosR=3，cosA+sinB=l,则sin(A+B)=()

A—二B&

A.18U.9

C.-JD.7

3o

答案：A

2.4

解析：因为sin/l+cos8=G，cosA+si［】B=l,所以(sinA+cos〃)2=§,(cosA+sin8)2=1,即

siirA4-2sin4cosB+cos2B=^,cos2A+2cosAsinB+siir/?=1,两式相加可得2+2(siiL4cosb+

4.5

cosAsin8)=g+1,所以sin(A+8)=一本.故选A.

4.(2024•山东大联考二模)在A48C中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,设甲：b-c

=«(cosC-cosB),乙：△A8C是直角三角形，则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案：D

解析：在A43C中，由正弦定理及〃-c=a(cosC-cos8),得sinB—sinC=sirt4(cosC-cos8),

即sin(4+C)—sin(A+4)=sin4(cosC-cos4),整理得cosAsinC—cos4sin3=(),由正弦定理得

ccosA—bcosA=0,则cos,4=0或方=c,即A=卷或/?=c,因此甲：人=亨或〃=c,显然甲不

能推出乙；乙：△A8C是直角三角形，当角3或。是直角时，乙不能推出甲，所以甲既不

是乙的充分条件也不是乙的必要条件.故选D.

(〃+〃)2-c2

5.(2024・重庆模拟)已知△工8c的内角A,8,C的对边分别为a,b,c,若面积S=-----------,

则sinC=()

24八4

A-25B-5

C，5D,25

答案：A

e、i1"J(a+8)2-c2/+属一■，+2ab,,i

解析：因为S=]4Z?sinC,所以]aZ?sinC=-------------------=-----------§----------，又由d=tr+Zr

,“212而cosC+2a〃一

—labcosC,得cr-\-tr—(r=2abcosC,所以ga/?sinC=------------------,即4cosC+4=3sinC,

所以4cosC=3sinC—/1=>(4cosC)2=(3sinC—4)2=>16cos2C=9sin2C—24sinC4-16nl6(】—sin2C)

=9sin2c—24sinC+16,所以25sin2c—24sinC=0,又因为在AABC中,sinC^O,所以sinC

=黄24故选A.

4J

6.(2024.山东临沂一模)在同一平面上有相距14公里的人，8两座炮台，A在8的正东方.某

次演习时，A向西偏北。方向发射炮弹，8则向东偏北e方向发射炮弹，其中。为锐角，观

测问报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着A改向向西偏北孝方向发射炮弹，弹着点

为18公里外的点M,则B炮台与弹着点M的距离为()

A.7公里B.8公里

C.9公里D.10公里

答案：D

解析：依题意，设炮弹第一次命中点为C,则A3=14,AC=8C=AM=18,ACBA=ZCAB

n

=仇/M48=5,在△ABC中，BC2=AC2+AB2—2ACABCOS。，即18?=18?+14?—2x18x14cos。,

解得80。=看所以以演=285专一1=看又夕为锐角，解得cos|=*负值舍去).在A4BM

中，8例2=人”+人82—2人”./Wcosg=182+142-2xl8xl4x京=10(),所以83=10,即8炮台

与弹着点M的距离为10公里.故选D.

7.(2024•浙江金华模拟)已知cos(a-.)=/sinasiM=—七,则cos%—sin%=()

A.zB.T

答案：C

由cos(a—/0=g得cosacos或+sinasin夕=g,

解析:又sinasin//=—所以cosrzcos//二^,

I+cos2aI-cos20cos2a+cos2£

所以cos2a—sin2/?

-2-22=

cos[(a+6)+(a—。)]+cos[(a+Q—(«—/?)]

------------------------------'---------------------L---------------L-----=cos(a+£)cos(a—//)=(cosacos。—

仔+?5)x(五

sin«sin//)(cos«cos//+sinasin/0==妹4故选二

8.已知△”(?是锐角三角形，内角A,B,C的对边分别为小b,c.若足一吩=儿,贝岩的

取值范围是()

A.(0,1)B.

C停1)

答案：D

解析：由cr—b2=hc,得a?=b2+bc,由余弦定理，得a2=h2-\~c2—2bccosA»所以lr~\rbc

=b2-\-(r—2hccosA,即〃=c—2〃cosA,由正弦定理，得sinB=sinC—2sin〃cosA,因为。=兀

一(八+8),则sinC=sin(A+4)=sinAcosB+cosAsin/?,所以sin8=sin/lcos8-cosAsinB,即sinB

=sin(A—8).因为AABC为锐角三角形，所以0<4<与，0<8告，所以一字"一8号又》=$加

在（一微，5）上单调递增，所以8=A—8,则A=28.因为△A8C为锐角三角形，所以0<4=23<当

，、一―兀“山兀c兀匕。sin4sin2B2sinficosB八」6yj3\,,,一

0<0=兀一3庆亍，/T以《〈庆币所以五=2sinB=2sinB=2sinB=cos84？'2）故选,4口

二、多选题

9.（2024.江苏扬州模拟）下列等式正确的是（）

A.sin20°cos100+cos1600sin10°=5

B.(14-tanl80)(l+tan27o)=2

cos7804-sinl8°sin6001

Jcos1802

D.sin100cos20°sin300cos400=1

答案：BC

解析:对于A,sin20°cos100+cos1600sin10°=sin20°cos100-cos20°sin100=sin10°^,A错

误；对于B,(1+tan18°)(i+tan270)=1+tan180+tan27°4-tan180lan27°=14-tan(180+27°)(1

000

,丁<cos784-sinl8sin60

—tan18°tan27°)+tan18°tan27°=2,B正确；对于C>------…iQ。----=

COS1o

cos(18°4-60°)4-sinl8°sin600cosl8°cos6001…L

-----------cos18°----------=—cos]8。---=2fC正确：对于D,sin10°cos200sin300cos40°

1r八c”、co1sin40°sin80°sin160°1AU,D

=2COs20°.cos40cos8(r=?2^20S^n40o-2-n80o=76*口错乐•故选BC.

10.(2024•河北邯郸三梭)已知A48C的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,面枳为乎

（〃2+c2—序），则下列说法正确的是（）

A.cosAcosC的取值范围是（一；，:

B.若。为边AC的中点，且3。=1,则△48C面积的最大值为坐

C.若△ABC是锐角三角形，贝耳的取值范围是（；，2）

D.若角B的平分线8E与边4c相交于点E,且BE=小，则“+4c的最小值为10

答案：ABC

解析：由题意知S=Jacsin8=芈（/+c2—/），整理得标十/一/二手公^m从由余弦定理知

/+/一82=24。0$8,.•.tan8=小，冗），•"=争对于A,cosAcosC=cosAcos停一A）

一退;一.1、^31+cos2A1(ii\I（0,却・・・乂-会

=^-sirL4cos4-/cos-A=Hsin2A--------=]sin(2A一己一币・人^

（一套'子），'sin（2A一1）£（一£，1,，cosAcosC的取值范围是（一；［,故A正确；对

于B,VD为边AC的中点，・・・2瓦）=麻+法，则4=£?+/+2或.比=。2+/+讹23。。，

，acW,,当且仅当〃=c=时，等号成立，••・SZiA8c=&csin8=97cW小?=坐，故B

..sin停一C）坐cosC+gsinC坐1

正确；对于C，羡=th=F^=一寂—=限+于.・.△ABC是锐角三角形，

••春C号.・・tanCW惇，+8）,・・/6,2）,故C正确；对于D,由题意得S”班+SAME

=Su8C，即%xBExs磕+；4x8Exsin*=9cx〃xsi号整理得o+c=ac,MP^+^=I,.*.a+4c

=3+4。）（［+））=5+}+些5+2、泛|=9,当且仅当a=2c,即a=3,c=，时，等号成

\C-<V/C<C.Clc乙

立，故D错误.故选ABC.

11.（2024•广西南宁二模）已知△A4C的内角A,B,C的对动分别为a,b,c,。为△45C的

重心,COSA=5，AO=2,则（）

A.

B.瓦祀W3

C.A48C面积的最大值为3#

D.。的最小值为

答案：BC

解析：。为AABC的重心，延长A0交BC于点。，则。是8c的中点，花=轲）=|鸟（力

+/）=专存+〃/诂，A错误；由农>=/存+点正，得油+企=3/⑦，所以9/22=（初+彳2户

=初2+祀2+2油.祀22|mII祀|+2助.祀，又劝祀=|油||At|cosA=9|融||乃，即|德||茂|

=5Ah-At,所以2x5⑰":+2初•祀W9X22,所以油.比W3,当且仅当|戏|=就］时，等号

成立，B正确；|曲||祀|=坐军W15,当且仅当|初|=|觉|时，等号成立，sinA=ylI—cos2A

COS/iY

=2普，所以S“I8C=；|砌祀|q114弓乂15金^=34，c正确；由9公>2=（露+祀）2=露2

+祀2+2盘.祀得I部F+I祀|2=36—2露・祀=36—勾通［叱］,所以a2=b2-\-（r-2bccQsA=

\A^\2+|At|2-2|^||AtlcosA=36-1|>36-1x15=24,当且仅当丽=|祀］时，等号成

立，所以。的最小值为2#,D错误.故选BC.

三、填空题

12.（2023•全国甲卷）在中，AB=2,N84C=60。，BC=#,D为BC上一点,为

NB4C的平分线，则4。=.

答案：2

解析：如图所示，记A8=c,AC=b,BC=a.

解法一：