高考数学二轮复习培优：立体几何中的动点、翻折问题

专题培优立体几何中的动点、翻折问题

热点考向探究

考向1立体几何中的翻折问题

例1(2024•黑龙江齐齐哈尔一模)如图1,在平面四边形RWC中，PALAB,CD//AB,CD

=2AB=2PD=24D=4.点E是线段PC上靠近P端的三等分点，将△尸DC沿CD折成四棱锥

P-ABCO,且%=2也，连接布,PB,BD,DE,BE,如图2.

B4H

图I图2

(1)在图2中，证明：必〃平面5。氏

(2)在图2中，求直线PA与平面P8C所成的角的正弦值.

解：(1)证明：连接AC交8Q于点尸，连接EF,

■:AB//CD,

JAABFs^CDF,

Ap\

•：CD=2AB,・・・万=彳，

AC3

又黑=；,.\PA//EF,

丁心仁平面EFu平面BDE,

・•.必〃平面BDE.

(2)在题图1中，PAA.AB,AB//CD,

ABAICD,gPPD1CD,ADA.CD,

在图2中，AD=PD=2,B4=2也,

・••必2=AO2+P£>2,.・.PO_LA。，

'：AD(}CD=D,AD,COu平面ABC。,

・・・PZ)J_平面ABCD,

以。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0),8(2,2,0),。(0,4.0),

P(0,0,2),

・,•比=(-2,2,0),防=(2,2,-2),

设平面PBC的法向量为阳=(x,y,z),

fm-«t=-2r+2y=0，

则|

[mPh=Zv+2y—2z=0,

可取m=(l,1,2),又用=(2,0,-2),

..|cos(M,m)|=^一B，

硒前

・••直线以与平面尸BC所成的角的正弦值为*.

，方法指导!翻折问题的两个解题策略

画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系

确定翻折前后

的变与不变.一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系

变与不变的关

不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不

系

变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决

所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点.因为这些点的位置移动，会

确定翻折后关带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位

键点的位置置关系与数量关系的变化.只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参

照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算

对点精练

如图，等腰梯形A8C。中，AD//BC,AB=BC=CD=^AD=2,现以AC为折痕把AASC折

起.使点8到达点尸的位置，旦以_LCC

代fi)

⑴证明：平面秒1C_L平面ACO；

(2)若M为线段。。上的一点，点。到平面八CA/的距离为不，求平面八CM与平面八C£＞夹

角的余弦值.

解：⑴证明：在梯形/WCO中，取人。的中点N,连接CM

'JBC//AD,BC=AN=^AD,

・•・四边形A8CN为平行四边形，

:・AB=CN,・・・CN=；A。，：,CDLAC.

VM1CD,PAC\AC=A,PA,ACu平面必C,

・・・CO_L平面PAC,

•・・CDu平面AC。，・••平近布C_L平面ACD

(2)分别取AC,AO的中点O,G,连接PO,OG,

\*PA=PC,。为AC的中点，：,POLAC,

又平面%C_L平面ACD,平面以cn平面ACD=AC,POu平面PAC,

・・・PO_L平面AC。，

•：O,G分别为AC,AD的中点,：,OG//CDf

・・・OG_L平面PAC,

则以。为原点，oX,而，办的方向分别为工，)，，Z轴正方向，建立如图所示的空间直角

坐标系，则P（0,0,1）,,4（小,0,0）,C（一小，0,0）,D（-小,2,0）,

:•林二（小,-2,1）,茂=（一2小，0,0）,C&=（0,2,0）,劝=（一2小，2,0）,或=

（小，0,-1）,

设成=幺方＞=（小九一2九；）（0＜；.＜1）,

则磁=历+成=(小2—2小，2-2A,2),

设平面ACM的法向量为u=(x,yfz),

(A^/t=-2y/3x=0»

则J

〔隔.〃=(小-2小)x+(2-2A)y+Az=0，

令y=2,解得x=0,z=22—2,

，〃=(0,A,22-2).

・•・点P到平面ACM的距离为仁野二/M产唔解得A=1,

I〃Iy2~+4(2—1)2?乙

••・〃=(o，3'-1).

•・•平面4co_Lz轴，

工平面4C。的一个法向量为m=(0,0,1),

../、,\m-n\I2^/5

•/cos〈〃?，加5'

1X2

・•・平面ACD与平面ACM夹角的余弦值为手.

考向2立体几何中的动点问题

例2已知三棱锥4一3。。,“8。和2\3。。是边长为2的等边三角形,平面相。_1平面8。。.

(1)求证：AC±BD；

(2)设G为8。的中点，，为△八CO内的动点(含边界)，且G"〃平面人8C,求直线6〃与平

面ACO所成的角的正弦值的取值范围.

解：⑴证明：连接AG,CG,

△ABO和aBCQ是等边三角形,

・"G_L8。，CG1BD,

又AGCICG=G,・・・3Q_L平面ACG,

又4Cu平面4CG,AAC1BD.

（2）以G为原点,GC,G。,G4所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标

系.取A。的中点E,C。的中点F,连接GE,GF,EF,则平面GE/7〃平面A8C,・•.万在

线段EF上运动,

-1,0),C(小，0,0),D(0,1,0),A(0,0,小)，电4,平^

则G(0,0,0),5(0,

将大0），

，祀=（小,o,一小），办=（一小，1,0）,船=俘

设由=屏(04/1),

1亚运、

屋2-2社

I近亚

:,Gh=，/，2-2.

设平面ACZ）的法向量为〃=（%,y,z）,

H-A^=0，小x—9z=0，

则即

nCt>=0,—小X+）=0，

令x=l,得y=小，z=L

,小,1),

设直线G”与平面4C。所成的角为仇则

I而1川木7枳一寺

・•・直线G”与平面AC。所成的角的正弦值的取值范围为［华，明.

,方法指导1在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小卜角的范围等问题，常用

的解题思路

(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大(小)值.

⑵函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法

求目标函数的最值.

对点精练

1.如图所示，C为半圆锥顶点，0为圆锥底面圆心，BD为底面直径,A为弧曲的中点.hBCD

是边长为2的等边三角形，弦上点七使得二面角七一4。一。的大小为30。，且丘=/力).

⑴求，的值；

(2)对于平面4C。内的动点P,总有OP〃平面8EC,请指出点P的轨迹，并说明该轨迹上

任意点P都使得OP〃平面BEC的理由.

解：(I)易知OCJ_平面/WO,OAA.BD,以。为原点，OD,OA,OC所在直线分别为第)，，

z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,1,0),B(-l,0,0),0(1,0,0),C(0,

0,小)，

证=(i,o,S),A75=(i,-1,0),

成=(1,1,0),

展=成+助=庾+应)=(1,1,0)+/(1,-1,0)=(1+/,1-z,0),

易知平面4CQ的一个法向量为温=(0,1,0),

设平面8CE的法向量为〃=(x,y,z),

]〃•说=x+小z=0,

则1

•就=(1+f)x+(I—/)y=0，

令x=1,则〃=(1,jzy’一甯，

解得或3,

又点E在弦4。上，故/=；.

(2)P的轨迹为过4。靠近D的三等分点及CD中点的直发.证明如下：

取4。靠近。的三等分点即OE的中点M,CO的中点M连接MMOM,ON,

由O为8。的中点，易知ON〃BC,

又ONC平面BEC,BCu平面BEC,

所以ON〃平面BEC,

又MN//EC,MNC平面BEC,ECu平面BEC,所以MN〃平面BEC,

又ONC\MN=N,

所以平面OMN〃平面BEC,

即0和MN所在直线上任意一点连线都平行于平面BEC,

又MNu平面ACD,故点P的轨迹即为MN所在的直线，

即过4。靠近。的三等分点及C。中点的直线.

2.（2024•江苏徐州期中）如图，在三棱锥「一A8c中，侧面以3是锐角三角形，PALBC,平

面以4_1_平面人8。.

P

⑴求证：AB1BC；

（2）设必=PB=2,4c=4,点。在棱BC（异于端点）上，当三棱锥P-ABC的体积最大时，

若二面角。一附一。大十30。，求线段8。长的取值范围.

解：（1）证明：过点P作PE_LA3于点E,因为平面以8_L平面48。，平面〃8八平面4BC

=AB,且PEu平面PAB,

所以平面ABC,

因为BCu平面ABC,所以PELBC.

又3_L8C,且尸£TIA1=P,

所以8C_L平面PAB,

因为48u平面38,所以A3J_8C.

（2）设A5=2a,BC=2b,

因为8c_LA4,所以A序+BC2=AC2,

即4/+4护=|6,

所以/+/>2=4,所以力=#4一片,

又PE=\IRA2—AE2=\l4—a2>

所以“-A8c=；x1x2ax2bxq4-a"

=^aby[4—^=|«（4—a2）.

令火。）=,。（4—a2）（0<a<2）,

2

可得J（a）=§（4—3片）,

令f（a）=O,解得a=2^^,

J

当时，f（a）＞（）,人〃）单调递增;

当邛^＜a＜2时，/m）＜0,加）单调递减,

所以当。=¥，即A8=芈，8。=乎时，三棱锥P—48c的体积最大.

以8为原点，BC,84所左直线分别为x,），轴，过点8垂直于平面ABC的直线为z轴，建

立空间直角坐标系，如图所示.

设BD=m,则D（m,0,0）,《*0,0）,尸（0,平普）A（0,竽，0）,

可得小（—半,*0）,成=（。,芈，一明办c.

设平面C%与平面两。的法向量分别为〃1=（汨，V，Z|）,“2=（X2，”，Z2），

（（fb/64^/3

〃「冉=0，3V1+3＞，1=°'

则V即＜rr

汨=0，半嗓尸0,

I3,j

令加=小,可得为=1,Zi=l,

所以〃i=（L*^2»1）»

（f2^32^6n

小月=0，3^-322=01

又I即Ir

[W2DA=0，1―〃立+^2=0,

令”=也，可得工2=5监，Z2=I,

所以做=（普小t）

设二面角C-M—D的平面角的大小为0,

|短+3]

所以8s夕=嬲=2j短Y+3«°s30°=田'解得00〃*'

所以线段长的取值范围为(0，噌.

真题答押题

►真题检验

(2024•新课标H卷)如图,平面四边形48CD中,48=8,CD=3,A£>=5小,ZADC=90°,

ZBAD=3()0,点E,下满足彳为=|/。，去，将△入巨尸沿石尸对折至aPE凡使得PC=

4小.

⑴证明：EFA.PD；

(2)求平面PCD与平面P8厂所成的二面角的正弦值.

解:⑴证明：由48=8,AD=5小,

Ai=^A2t—),#=］|油_，

得AE=2小，AF=4,

又N8AD=30。，在ZkAE尸中，

由余弦定理，得

EF=7AE?+AF2-2AEA尸cosNBAD

所以入序+七/二人尸，

贝i|AE_LE尸，MPEF1.AD,

所以EF1PE,EFLDE,

又PEClDE=E,PE,QEu平面POE,

所以E凡L平面PDE,

又PDu平面PDE,故£/_LPD

⑵连接CE,由NAQC=90。，ED=34，CD=3,

得CE2=E£)2+CD2=36,

在APEC中，PC=44,PE=2小,EC=6,

因为EC2~iPE2=PC2,

所以尸反LEC,由⑴知PE_LER

又ECCEF=E,EC,EFu平面ABCD,

所以PE_L平面4BCQ,又£Qu平面A3CQ,

所以PEJLE。,则PE,EF,E。两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系E°，z,则E(0,

0,0),尸(0,0,2V5),。0,3小，0),C(3,3小，0),尸(2,0,0),A(0,—2小，0),

由”是A8的中点，得仅4,2小，0),

所以无=（3,3小,一2币），Pb={0,35，一2小）,两=（4,2小,一2小）,汴=（2,0,

一2小），

设平面PCO和平面的法向量分别为〃=（k，>,1，Z1）,加=。2，、2，Z2）,

[n-Pt=3x）+3yf3yi—2^j3z）=0»

则J'_'

[nPb=3y[3y\-2y[3zi=0，

，加成=4戈2+2小）空—2小22=0'

111^=2x2~2^3Z2=0，

令A=2,X2="得

Xl=0,Z1=3,>'2=-1♦22=1,

所以〃=((),2,3),m=(小，—1,1),

所以|cos(m,"〉1=胎=舄G=嚼，

设平面PCO与平面P8”所成的角为仇

则而用小鲁嚼

即平面PCO与平面P8”所成的二面角的正弦值为固然

►金版押题

如图所示，正方体OA8C—O1A由|G的棱长为3,动点历在底面正方形OA3C内，且M与

两个定点O,A的距离之比为;.

(1)求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状;

⑵求动点M到平面OAC的距离的取值范围.

解：(1)以。为坐标原点，04,OC所在直线分别为x,y轴，建立平面直角坐标系，如图,

设M(x,_y)(x^O>y20),

,MOI

由祝LT

以后？]

、1—3)2+产r

化简得A-+y2+2A,—3=0,

即(x+1)2+9=4(0★]在1,OWyW小)，

故动点M的轨迹方程为(X+1)2+V=4(0WXW1,OWyW小)，轨迹是以(一1,0)为圆心，2

为半径的圆在正方形OA5c内的一段圆弧能.

(2)以。为原点，OA,OC,OOi所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图,

则A(3,0,0),C(0,3,0),。|(0,0,3),

所以祀=(-3,3,0),初1=(-3,0,3),

设平面。1AC的法向量为,=(x,y,z),

•祀=-31+3y=0,

则

=-3x+3z=0»

令x=l,则y=l,z=l,故〃=(1,1,1),

由(1)可设M(a,h,0),其中3+l)2+〃=4(0W,Wl,OWbW小),则编=(〃一3,b,0),

设点M到平面QAC的距离为d,

I。-3+川3—(。+〃)

则d=同=小=―m

由⑴可令〃+l=2cos0,b=2sina

其中0.0芍，贝I]a+b=2cos0+2sin。-I=2^/2sin(6>+^-1,

因为0W0芍，所以卜〃+长相,

所以乎Wsin（e+£）W1,

即g一1,

4^22^63-（a+Z7）12s

所以3&-忑一忘3,

一4十一2、后,2叫

所以动点M到平面QAC的距离的取值范围为

专题作业

基础题（占比50%）中档题（占比30%）拔高题（占比20%）

题号123456

难度★★★★★★★★★★

翻折问题翻折问题、动点问题

翻折问题动点问题翻折问题

----面面探索性问——线面

——线线——二面——四棱

垂直的证题——线垂直的证

垂直的证角；圆锥的锥的体积；

对点明:利用线线垂直的明;利用线

明;利用二展开图及求线段长；

面角求点证明；利用面平行求

面角求参最短距离平面与平

到平面的线面角求三棱柱的

数值问题面的夹角

距离线段长度体积；二面

之比角

1.(2024-/*东广州模拟汝I图，已知长方形4BCD中,八〃=2,4。=I为DC的中点.将△AOM

沿AM折起，使得平面ADM_L平面ABCM.

(1)求证：ADLBM-,

(2)若仍=2函0<kl),当二面角£一AM—。的大小为争寸，求2的值.

解：⑴证明：取AM的中点。，A8的中点N,连接。。，ON,

因为M为。。的中点，且。O=A3=2,

所以DM=1,

又。4=1,。为AM的中点，所以OQ_LAM,

又平面AOM_L平面AACM,平面AOMfl平面ABCM=4历，OQu平面AOM,所以0。_1_平

面ABCM.

又AM=8M=5，4B=2,所以4M_L8M.

因为。为AM的中点，N为A8的中点，

所以ON〃3M,所以ON_LAM.

所以ON,。4,。。两两后直.

以。为原点，OA,ON,0。所在直线分别为x,户z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则^2'°,°)8(—乎，也，0)，

'-乎，()，0),*，0,啕.

由于初=(一堂，0,巧，就=(0,一巾,0),

则融•丽=0,故AD_L8M.

(2)因为的=2万瓦

则QE，yE，ZE-亨=(一坐，啦，—乎)，

所以点E的坐标为(一冬，孚一笔i)(其中人£(0,1)).

易得平面AOM的一个法向量为〃i=((),1,0),

设平面人ME的法向量为/t2=(x,yfz),

由于磁=(一6，o,0),戏=卜冬一冬也小喙一当力,

/i2-AJ/=0，

〃2•勘=0，

!一曲=0，

所以J察邛}+皿+惇—喙)=0，

取y=A-l,则〃2=(0,A-l,2A).

由于二面角E—AM—D的大小为争

冗〃「小A-1]_L

则co丐=|cos<Mi，112)1=而嬴={(/])“卜不=2-由于入£(0，1)，故2=2小一

3.

2.(2024L东潍坊二模)如图1,在平行四边形A8CO中，AB=2BC=4,ZABC=60°,E为

8的中点，将AAQE沿AE折起，连接笈£>,CD,且AD=4,如图2.

图1图2

(1)求证：图2中的平面ADE_L平面A8CE：

(2)在图2中，若点尸在棱8。上，直线A/与平面ABCE所成的角的正弦值为曙，求点F

到平面DEC的距离.

解：(1)证明：连接8E,

由题意AD=O七=2,ZADE=60°,N4CE=120。,

则AAOE为等边三角形，

由余弦定理得80=4+4—2x2x2x(-3)=12,

所以BE=2小,

则。炉+8层=8。2,AE2+BE2=AB2,

所以BE_LOE,BELAE,

又AECDE=E,AE,DEu平面ADE,

所以4EJ_平面AQE,又BEu平面ABCE,

所以平面人。£!_平面ABCE.

（2）如图，以上为原点，EA,E8所在直线分别为K轴、｝轴，建立空间直角坐标系,

则A（2,0,0）,8（0,2小，0）,C（-l,小，0）,。（1,0,小），£（0,0,0）,

设济=7丽0W2W1）,

故比=（一1,小，0）,£0=（1,0,5），加=（-1,2小,一木），

#=劝+麻=（-1,0,邛）+，一1,2S，一小）=（一1一2,2V53小一小2）,

因为z轴垂直于平面4BCE,故可取平面/WCE的一个法向量为机=（0,0,1）,

所以|cos<m,#）|=।加而

_______________h/3一遭川________________V3o

一yl（一1一2）2+（2小i）2+（小一小以2-1°'

化简得3/+&1—3=0,

解得2=1或2=—3（舍去），

所以办=界=（斗¥，用，

设平面。EC的法向量为〃=（x,y,z）,

\n-Et=—X+A/5y=0，

则j可取〃=（5，1,-1）,

・应）=x+Sz=0,

所以点尸到平面。EC的距离为

小2小事|—

阱〃3十3十3|_2仃

Ml=下=15.

3.(2024•河北石家庄二中模拟)在直角梯形48C。中，AD//BC,BC=2AD=2AB=2y{i,Z

人8c=90。，如图1.把△人8。沿8。翻折，使得平面/WQJ_平面BC。，如图2.

(1)求证：CO_LA8；

RN

(2)在线段6c上是否存在点N,使得AN与平面AC。所成的角为60。？若存在，求出能的值；

UK--

若不存在，说明理由.

解：(1)证明：因为AO〃BC,且8c=2人/)=2/14=26，ABL13C,所以？1。=人8=也，BD

=y)AB2+AD2=2,

又因为ZDBC=N4/)B=45。，

所以CD=\!22+g吸)2—2X2X2、COS450=2,

所以Ba+CD?=BC2,则CD上BD,

因为平面AB。！,平面BCD,平面A8OA平面BCD=BD,CQu平面BCO,所以CD_L平面

ABD,

又因为A8u平面A8。，叶以CQ_LA及

(2)由(1)知CQ_L4。，连接AC,如图所示，以。为原点，DB,QC所在直线分别为工地、)，

轴，建立空间直角坐标系，

所以劭=(0,—2,0),劝=(-1,0,-I).

设平面ACO的法向量为〃=(JGy,z),

nCb=-2y=0»

n-Ab=—x—z=0»

令Ix=l,可得y=0,z=-1,

所以n=(l,0,—1),

假设存在点N,使得人N与平面ACO所成的角为60。，

设的=2讹(0W2W1),则NQ—2九2/.,0),

京=(1一2九22,-1),

的1•rno1〃•确

所以sin60—

I川函

_____________|1一27+1|____________

(1-2A)2+(2A)24-(-1)2xy[2

—立

一2，

整理得8乃+力-1=0,

解得2=；或义=一女舍去)，

所以在线段8c上存在点M使得AN与平面ACQ所成的角为60。，此时到=；.

DC4

4.(202小河南洛阳二模)已知圆锥的顶点为2底面圆O的直径AA的长度为4,母线长为/.

⑴如图I所示，若/=#，C为圆O上异于点A的任意一点，当△以C的面积达到最大时,

求二面角(7一%—8的大小；

(2)如图2所示，若/=6,点G在线段附上，一只蚂蚁从点A出发，在圆锥的侧面沿着最

短路径爬行一周到达点G，在运动过程中，上坡的路程是下坡路程的3倍，求线段PG的长

度.(I二坡表示距离顶点P越来越近)

解：(1)由/=#,A8=4,易得圆锥的高〃=啦，

sinN4Po=诟吗~,所以NAP0>?

所以NAPB为钝角，

S△限c=%sinZAPC=3sin/APCW3,当且仅当N4PC4时取等号,

满足条件的点C有两种对称位置，只研究其中的一种.

此时易得从。=啦/=2小，在RSA8c中，由勾股定理，得8c=2,

从而ZAOC=y,△08。为等边三角形，以。为原点，建立如图所示的空间直

角坐标系，

则40,-2,0),8(0,2,0),P(0,0,柩,C(小，1,0),#=(0,2,巾)，祀=(小,

3,0),

设平面的法向量为〃i=(x,y,z),

n\・#=0，2y+#z=0，

则即，

小1+3了=0*

・祝=0，

令％=小，得y=—1,z=y[2,

所以〃]=(小,一1，也)，

易知平面RW的一个法向量为也=(1，()，0),

设二面角C一布一4的平面角为以显然。为锐角,

△|〃|同事小

8s3|〃山同=倔<1=2'

所以二面角。一期一月的大小为去

(2)将圆锥的侧面展开成扇形，如图，扇形的瓠长为4兀，扇形的半径/=6,

则扇形的圆心角a=y=y,

在△%G中，过尸作AG的垂线，垂足为K,在AK段距离顶点P越来越近，为上坡，KG

段为下坡，所以AK=3KG,

设可=a,Pti=b,

易得尿=%+%,GX=a-b,

因为用匕1_成所以&+和)(。一力)=0,

4—3

-=O

4

2a-

得田F+2步|-12=0,

解得俗|=回一1,即PG=E-I.

5.如图，三棱柱ABC-AiBiG中，△A8C是正三角形，AiClBC,AiC=BC,平面A4GC

_L平面ABCE,尸分别为4G，SG的中点.

(1)证明：ACJ_平面A8C；

(2)若尸为底面ABC内(包括边界)的动点，4P〃平面EFC,且点P的轨迹长度为1,求三棱

柱ABC—4SG的体积；

(3)在(2)的条件下，求二面角A1一A8—C的正切值.

解：(1)证明：取AC的中点。，连接8D

••.△ABC是正三角形，

：,BD1AC.

又平面A4CCJ_平面ABC,且平面A4CCn平面4BC=AC,BDu平面ABC,

・・・M_L平面44CC

•「ACu平面AAGC，14c.

H

,.MiCIBC,BDCBC=B,BD,

BCu平面ABC,

・・・AC_L平面ABC.

(2)取8c的中点M,连接。M,A。，AiM,

VE,尸分别为A]G，81G的中点，

:.EF〃A\B\,•・•£),M分别为4a8c的中点，：.DM//ABt

•・•侧面A\B\BA,为平行四边形,

:.DM//EF,

EFC,DMC平面EFC,

・・・QM〃平面EFC,

•・•侧面ACCA为平行四诂形，D,E分别为AC4G的中点，

：.A\E//DC^.A\E=DC,

・•・四边形4EC7)为平行四边形，

:AD〃EC,

TECu平面E/C,AiDC平面EFC,

・・・4。〃平面EFC,

又4£>nOM=Q,Ai£>,AWu平面4QM,

工平面4QM〃平面EFC.

TP为底面ABC内(包括边界)的动点，当时，APu平面AiOM,

尸〃平面EFC,

・•・点尸的轨迹为线段OM,

••・OM=1,・・.A8=2,

又AAbC是正三角形，

:.SAABC=；X2X小=小.

由(1),知三棱柱48C-ABG的高为4C,

.*.AiC=BC=2,

・••三棱柱八8C一人山©的体积V=S^ABC-AiC=y/3x2=2y[3.

(3)取AB的中点，，连接C",AtH,

•••△A3C是正三角形，〃为A4的中点,

：.CHA.AB,

•・・ACJ■平面4BCABu平面ABC,

：.A}CLAB,

又C"nAC=C,CH,ACu平面AC”,

••.A8_L平面AC”,

又AiHu平面AC",：.AB±A}H,

J二面角4一48一。的平面角为NAiHC,

_2__2^3

在RS4HC中，41c=2,CH=小，ian/4"C=

忑=3

，二面角A—AB—C的正切值为手.

6.如图1所示，长方形ABCO中，AD=1,A6=2,〃是边CO的中点，将△4。“沿AM

翻折到△小)以连接P8,PC,得到如图2的四棱锥P—A8cM.

图2

⑴求四