带电粒子在立体空间中的运动-2026届高考物理（学生版）

螯电麴子在立体空间中的运前

真题演练

1.12021.湖南.高考真题）带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一、带电粒子流

［每个粒子的质量为加、电荷量为+q）以初速度u垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作

用。对处在xOy平面内的粒子,求解以下问题。

口）如图3）,宽度为2n的带电粒子流沿I轴正方向射入圆心为4（0,为）、半径为为的圆形匀强磁场

中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点O,求该磁场磁感应强度Bx的大小；

（2）如图（Q）,虚线框为边长等于2-2的正方形，其几何中心位于。（0，—七）。在虚线框内设计一个区域

面积最小的匀强磁场，使汇聚到O点的带电粒子流经过该区域后宽度变为2/2,并沿出轴正方向射出。

求该磁场磁感应强度B2的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）；

；3）如图（b）,虚线框I和II均为边长等于小的正方形,虚线框III和IV均为边长等于『4的正方形。在

I、n、ni和IV中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为2个的带电粒子流沿彳轴正方向射

入I和n后汇聚到坐标原点O,再经过川和IV后宽度变为2q,并沿/轴正方向射出，从而实现带电粒

子流的同轴控束。求I和in中磁场磁感应强度的大小，以及n和iv中匀强磁场区域的面积（无需写出

面积最小的证明过程）。

图(a)图(b)

1

2.[2025•陕晋青宁卷•高考真题）电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁

控法可测得比荷，一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统,结构简化如图（Q）所示，圆

筒足够长。在O点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为比的也子，某时刻起筒内加大小可

调节且方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图（b）所示，当磁感应强度大小

调至为时，恰好没有电子落到筒壁上，不计电子间相互作用及其重力的影响。求：（△、为、%均为己

知量）

X卷卷

横截面轴截面

图（a）图（b）

⑴电子的比荷哥

：2）当磁感应强度大小调至时,筒壁上落有电子的区域面积S。

3.（2021・广东・高考真题）图是一种花瓣形电子加速器简化示意图，空间有三个同心圆a、从c围成的区

域，圆。内为无场区，圆。与圆b之间存在辐射状电场，圆匕与圆。之间有三个圆心角均略小于90°的

扇环形匀强磁场区I、II和III。各区磁感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外。电子以初动

能即从圆b上P点沿径向进入电场，电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速，已知圆Q

与圆b之间电势差为U,圆b半径为R,圆c半径为右儿乜子质量为恒，电荷量为e,忽略相对论效

应，取tan22.5°=0.4。

：1）当E“）=0时，电了加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角。均为

45°,最终从。点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示，求I区的磁感应强度大小、电子在I区磁场

中的运动时间及在Q点出射时的动能：

；2）已知电子只要不与1区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射。当旦°=keU时，要保证电子从出

射区域出射，求k的最大值。

灌好

U区<-------R------H

-----圆------►

•M

4.（2021・浙江•高考真题）在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。如图所示是离子注入工

作原理示意图，离子经加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，选择出特定比荷的离

子，经偏转系统后注入处在水平面内的晶圆（硅片）。速度选择器、磁分析器和偏转系统中的匀强磁场

的磁感应强度大小均为6,方向均垂直纸面向外;速度选择器和偏转系统中的匀强电场场强大小均为

E,方向分别为竖直向上和垂直纸面向外。磁分析器截面是内外半径分别为总和民的四分之一圆

环，其两端中心位置M和N处各有一个小孔;偏转系统中电场和磁场的分布区域是同一边长为乙的正

方体，其偏转系统的底面与晶列所在水平面平行，间距也为L。当偏转系统不加电场及磁场时，离子恰

好竖直注入到晶圆上的。点（即图中坐标原点，⑦轴垂直纸面向外）。整个系统置于真空中，不计离子

重力，打在晶圆上的离子，经过电场和磁场偏转的角度都很小。当a很小时，有sinqktana^a,cosa

=1一春求：

4）离子通过速度选择器后的速度大小0和磁分析器选择出来离子的比荷：

：2）偏转系统仅加电场时离子注入晶圆的位置，用坐标（3J）表示；

；3）偏转系统仅加磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标（妨J）表示；

；4）偏转系统同时加上电场和磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标（c,g）表示,并说明理由。

5.（2025・湖南•高考真题）如图。直流电源的电动势为瓦，内阻为小,滑动变阻器A的最大限值为27b，平

行板电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为《d,平行板电容器的右侧存在方向垂直纸面向里

的匀强磁场。闭合开关S,当滑片处于滑动变阻器中点时•，质量为a的带正电粒子以初速度比水平向

右从电容器左侧中点。进入电容器，恰好从电容器下极板右侧边缘b点进入磁场，随后又从电容器上

极板右侧边缘c点进入电容器，忽略粒子重力和空气阻力。

XXXX

CB

XXXX

XXXX

b

XXXX

XXXX

⑴求粒子所带电荷量q；

⑵求磁感应强度6的大小；

⑶若粒子离开b点时，在平行板电容器的右侧再加一个方向水平向右的匀强电场，场强大小为

生薯，求粒子相对于电容器右侧的最远水平距离/统

模拟冲关

6.（2025・湖北•二模）匀强磁场6水平向左，一带正电的粒子以速度如进入磁场，初速度方向与磁场反方

向夹角为G,已知粒子质量为加，电荷量为q,忽略粒子重力，粒子运动轨迹如下图所示，则以下说法正

确的是（）

A.螺旋的半径为瞥丝

Bq

B.相邻两螺旋间距为云〃个18so

Bq

C.带电粒子在运动时加速度大小不变

D.若带电粒子速度大小不变,方向可以变化，则当夹角。满足某一条件时，粒子在一个底期运动轨迹

所包围的体积有最大值

7.；2025•全国•模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系1。沙的第三象限内，区域/（%〈—分内有方向垂

直xOy平面向外的匀强磁场:区域〃（一LVcV0）内有一平行纸面且大小、方向均未知的匀强电场

〔图中未画出）。一质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子从点Q（—2L,-2乙）沿g轴正方向、以大小为仙）

的初速度开始运动，从点b（-C，-L）沿⑦轴正方向进入区域〃，粒子在电场中运动时间上后，从坐

标原点进入第一象限，第一象限内存在垂直①Og平面向里的磁场，该磁场内各点的磁感应强度大小

区与横坐标％满足5=此仅为大于0的常量）。不计粒子重力，求：

•a•

⑴区域/内匀强磁场磁感应强度8的大小；

⑵区域〃内匀强电场场强E的大小；

：3）该粒子在第一象限内运动过程中与g轴的最大距离。

8.；2025•辽宁•三模）质谱仪是用来分离和检测同位素的科学仪器。某种质谱仪的原理如下图，加速电场

的电压为N；速度选择器中磁感应强度为场，两板电压为a，两板间距离为由磁分析器在lOy坐标系

的第一、四象限中，其匀强磁场的磁感应强度为B，各磁场方向如图中所示。一电荷量为q的粒子从

容器4右侧小孔进入加速电场，恰能沿直线运动通过速度选择器，从小孔S出来后，进入磁分析器中

偏转,轨迹如图中虚线所示，到达夕轴上P点时纵坐标为不计粒子重力，整个装置处于真空中，求：

⑴粒子经过小孔S的速度明

⑵粒子的质量m和刚进入加速电场时的初速度认）；

⑶粒子沿直线通过速度选择器后，若由于磁分析器漏气,粒子在磁分析器中受到与速率大小成正比

的阻力，轨迹如实线所示，其运动到Q（a,b）点时速度方向刚好沿g轴正向，则粒子所受阻力与速率的

比值k是多少？

9.（2025・山东•模拟预测）如图所示,在直角坐标系zOp中，以O，（一2R,0）为圆心、R为半径的半圆区域

内存在垂直cOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为&二笔，MN为与切轴重合的直径；在

qK

区域存在垂直仪为平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为氏（未知）；在0&2&

2（2—向）尺区域存在沿v轴负方向的匀强电场氐（未知）；在2（2—J5）R44&4（2—，5）A区域存在

垂直xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为&（未知）。己知xP=2（2-CQ=

4（2—，5）—一质量为m、带电量为q的正粒子从圆周上a点包=一?同沿夕轴正方向以速度为进

入磁场岛,之后经磁场8从y轴上的4点沿I轴正方向送入匀强电场瓦，经P点进入前场民，又经

过Q点射出磁场。不计粒子直力，求：

；2）电场强度E、与磁感应强度5的比值；

⑶粒子从Q点射入磁场到从Q点射出磁场，整个运动过程中需用的时间九

1（）.[2025・重庆•三模）如题图所示，在IOV平面第一象限内，直线0=0与直线y之间存在磁感应强度

大小为反方向垂直纸面向里的匀强磁场I轴下方有一直线CD与二轴平行且与二轴相距为。，1轴与

直线CD之间（包含①轴）存在沿0轴正方向的匀强电场;在第三象限，直线CD与直线EF之间存在磁

感应强度大小也为6、方向垂直纸面向外的匀强磁场。纸面内有一束宽度为Q的平行电子束，如图，

沿沙轴负方向射入第•象限的匀强磁场，各电子的速度随入射位置不同大小各不相等，电子束的左边

界与g轴的距离也为Q,经第一象限磁场偏转后发现所有电子都可以通过原点并进入①轴下方的电

场，最后所有电了都垂直丁火边界离开磁场。已知：电了质量为〃，，电量大小为e,电场强度大小为

E

：1）电子进入c轴上方磁场前的最大速度%的大小；

⑵直线即的方程；

⑶现将第一象限的磁场反向（即垂直纸面向外），大小不变。并将第三象限的磁场去掉，同时在第四

象限直线CD的卜.方，以CD为上边界，右边和下边广阔，左边受限，加上一大小为8,（5未知）垂直

纸面向里的匀强磁场，确保所有电子都汇集到同一点（-8。，-5。）,求第四象限所加磁场的大小名及

磁场左边界满足的关系。

11.[2025•山东济南•二模）如图所示的忒为坐标平面内，v>0的区域内存在着垂直于平面网外的匀强磁

场，磁感应强度大小为Z?,yV0的区域内存在着垂直于平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为23。

质量为m、电荷量为q的两个带正电粒子Q和b,均以相同大小的速率。从。点分别沿y轴正向和g轴

负向同时开始运动，运动过程中两粒子的碰撞为弹性碰撞,碰撞时间忽略不计。设整个磁场区域都处

于真空中，不考虑粒子的重力及两粒子之间除碰撞外的相互作用，求

y

・■•■

.V•■■

O

XX,XXXX

V

XXXXXXX

⑴粒子分别在U>0和gVO的区域内运动时的半径之比和周期之比；

⑵两粒子运动轨迹交点的坐标；

；3）以两粒子在O点开始运动时为t=0时刻,求两粒子在运动过程中某时刻平行y釉方向上相距最

远时的距离及对应的时刻。

10

12.；2025・浙江•二模）某兴趣小组为探索光电效应和光电子在乜磁场中的运动规律，设计装置如图所示，

频率为“=1.06x1015Hz的激光照射在竖直放置的锌板K的中心位置O点，其右侧距离为a=0.4m

处有另一足够大极板力，A上正对。点有一竖直狭缝,并在两极板间加电压U=1.8V,两极板间电场

可视为匀强电场。在人板右侧有宽度为。、方向垂直纸面向内、大小为6=10-57的匀强磁场。锌板

的逸出功W=5.376xlO-叼,普朗克常量拉=6.6x10-3/s,电子质量为m=9xio-："kg,元电荷C

=1.6x10-9。，兀=3,sin53°=0.8,cos53°=0.6o不计光电子重力及光电子间的相互作用。求：

U+B

KA；

XXX

XXX

XXX

XXX

XXX

XXX

X方X

⑴光电子到达极板A的最大速度％,；

⑵极板/上有光电子打中的区域面积；

⑶要使所有光电子均不从右测边界飞出，磁场宽度。应满足的条件，并计算电子在磁场中运动最短

时间（计算结果保留1位有效数字）；

⑷将匀强磁场改为垂直平面向内的非匀强磁场，磁感应强度满足m=M（k=2X1。77/m），立为该位

置到磁场左边界的距离，要使所有光电子均不从右侧边界飞出，磁场宽度〃应满足的条件。

13.（2025•江西•模拟预测）如图所示，S为一离子源，MV为荧光屏。由S到做垂线，垂足为F,SP=

L，整个装置处在范围足够大的匀强磁场中。磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为石。某时刻

离子源S一次性沿平行纸面的各个方向均匀地射出大量的正离子，各离子的质量都为他，电荷量都为

力速率。均相同，不计离子的重力及离子间的相互作用力。

M

S----------P

N

⑴若所有离子都打不到荧光屏上，求射出离子速率的取值范围。

[2）若荧光屏足够大，当离了的速率力一皿时，求同一时刻发射出的离子达到荧九屏上的最大时间

m

差。

⑶若荧光屏足够大，当离子的速率幼=酗时，求荧光屏上被离子打中的区域长度。

•M

14.：2025•河北邯郸•模拟预测）如图所示，质量为项、电荷量为+q的粒子从静止开始经加速电压。加速

后，从三维直角坐标系的原点O处沿不同方向射入匀强磁场，磁感应强度大小为3、方向沿z轴正方

向。已知加速电压U调节范围为仇，其中仇=华生。c轴.上距离。点1.5L处有一长为

8m

L的吸收板，吸收板接地，粒子打在板上即被吸收。不计粒子重力，下列说法正确的是（）

A.当粒子沿v轴正方向射入磁场时，调节U,板上有粒子击中的长度为（V3--|-）L

B.当。=3%粒子从。点射入忒为平面2>0、g>0的区域，速度方向在0〜90°均匀变化,且沿各

方向发射的粒子数目相等,则击中吸收板的粒子占粒子总数的50%

C.当U=U"=0时刻,粒子从O点射入gOz平面g>0、zV0的区域，且速度方向与g轴正方向夹

角为30°,粒子与z轴距离最大时的时间为a="吗（九=1,2,3……）

qB

D.当U=21,粒子从O点射入“Oz平面”>0、zV0的区域，且速度方向与沙轴正方向夹角为45°,

则经过3黯时粒子的坐标为（4，一4，一年⑴

ZQJD■224,

15.；2025•广东•模拟预测）利用电场和磁场来控制带电粒子的运动轨迹，在现代科学实验和技术设备中有

着广泛的应用。如图，在cOg平面的第一-象限内有沿y轴负方向的匀强电场取第二象限内存在垂直

纸面向里的匀强磁场3,P点位于I轴负半轴上，在OP处放有可以接收粒子的接收板，其长度为人

厚度不计。在第三和第四象限区域内存在两个匀强磁场，以坐标原点O为圆心，半径为/的半圆形区

域内存在垂直纸面向外的匀强磁场B?；剩余区域的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为8：,。

某一带正电粒子（已知荷质比为均从二轴上的M点以速度大小为射入电场，与I轴负方向的夹角为

夕，该粒子经电场偏转后，以垂直于y轴的方向从g轴上的N点进入第二象限。已知OM长度为22,

疝⑨=毕,=艰,不计粒子重力.计算结果可保留根号°（仅2、。、k为已知值）

O□

13

⑴求该粒子在第一象限中运动的时间£和电场强度E的大小；

⑵要使该粒子从第二象限射出时被接收板接收,求磁场8的取值范围；

⑶若目=I含，粒子进入第三和第四象限后，仅进出一次磁场耳，且经过磁场边界时速度方向与边

界线垂直，最终回到M点，求磁场民和民的大小之比。

14

16.：2025•青海海东•模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系忒为第二象限内存在一理想边界，边界下侧

和c轴上侧存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为Z?的匀强磁场，边界上侧与沙轴左侧存在沿，轴负

方向、电场强度大小为E的匀强电场，在第三、四象限内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为2B的

匀强磁场，g轴上半轴均匀分布着电荷量为q、质量为a的带正电粒子，带电粒子由静止被电场加速后

进入磁场区域，均能垂直穿过/轴，图中尸点坐标为（-乙，0）,不计粒子受到的重力及粒子间的相互作

用，求：

XXX

XXX

⑴边界曲线的方程；

⑵同一粒子在c轴上、下方运动的轨迹半径之比M

⑶粒子经过P点时的最大速度储心

15

17.(2025•河北张家口•三模)如图所示，在iQ/竖直平面坐标系内的第一、三、四象限存在相同的垂直纸面

向里的匀强磁场，第二象限存在沿I轴负方向的匀强电场c一质量为m、电荷量为+q(q>0)的小球

从z轴上的P点以速度大小为为、方向与c轴正方向成。=45°角射入匀强电场，小球到达坐标原点

。时恰好竖直向下运动。已知重力加速度大小为g,磁感应强度大小8=空唱。求：

晒

月

XXXX

E

XXXX

XXXX

.咫

xpXXXO

XXXX

XXXXXXXX

B

XXXXXXXX

⑴第二象限的电场强度的大小召和O、P两点间的距离出

⑵小球第一次到达最低点时速度的大小小

⑶小球过坐标原点后第一次通过2轴的位置坐标。

•M

18.[2025・河南・二模）用磁场实现对微观粒子的控制有着广泛的应用，如核磁共振、微流控芯片等。如图

所示为一种用磁场控制微观粒子的装置内部磁场分布图，之轴上方和下方均存在方向垂直I。y直角

坐标平面向外的匀强磁场，下方的磁感应强度大小是上方的2倍。某时刻在坐标原点。将相同的带

正电粒子P、Q同时分别以速度伙）和2伙）沿g轴正方向射出。两粒子的质量均为馆,电荷量均为q,不

计粒子重力及相互作用。

*

............................................................

■%，............................................................・

~^OPQ•••~~x

⑴要使两粒子运动轨迹的第1个交点在（与,0）位置，求工轴上方磁感应强度的大小8:

⑵若》轴上方磁感应强度大小为b且整个磁场分布在一个矩形区域内，要使两粒子的运动轨迹在N

轴上有n（n>2）个交点,求磁场面积的最小值Sm；

⑶若c轴上方磁感应强度大小为尊口,下方磁感应强度大小为b将Q粒子的速度大小变为比，方

向变为沿y轴负方向，要使两短子相遇时横坐标最小，求两粒子从。点射出的时间差△心

17

19.（2025•重庆•三模）如图所示，空间直角坐标系O叼z（z轴未画出，正方向垂直于纸面向外）中，①Oy平

面内半径为R的圆形区域与纱轴相切于。点，圆心在Q处，区域内的匀强磁场沿z轴正方向，磁感应

强度为>0区域内，匀强电场和匀强磁场的方向均沿6轴正方向，电场强度为E,磁感应强度为

82。平面的第三象限内有一平行于c轴、中点在。2处的线状粒子发射器，。1与。2的连线平行

于U轴。粒子发射器可在宽度为1.6R的范围内沿沙轴正方向发射质量为电荷量为q（q>0）,速度

大小可调的同种粒子，已知sin53°=0.8,cos53°=0.6。则下列说法正确的是（）

E

/.By：

（）

Bz

O2

A.若发射速度大小渔3,从。2点发出的粒子，飞出圆形磁场时速度偏转了30°

m

若发射速度大小且处,在磁场H中运动时间最长的粒子进入圆形磁场时的位置到OQ?的距

B.

m

离为蒋R

若发射速度大小遗匹，则从发射器最左端发射的粒子进入/>0区域后，运动轨迹上与x轴距离

C.

m

最远点的，坐标为驾

qBlR

D.若发射速度大小，则从发射器最左端发射的粒子进入G>0区域后，运动轨迹上与力轴距离

m

最远点的z坐标为—^―

20.（2019・江苏・高考真题）如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为3.磁场中的水平绝缘薄板与磁场的

左、右边界分别垂直相交于M、N,A/N=L，粒子打到板上时会被反弹（碰撞时间极短）,反弹前后水平

分速度不变,竖直分速度大小不变、方向相反.质量为m、电荷量为-q的粒子速度一定，可以从左边

界的不同位置水平射入磁场，在磁场中做圆周运动的半径为d,且dvL,粒子重力不订，也荷量保持不

变.

（1）求粒子运动速度的大小0；

⑵欲使粒子从磁场右边界射出，求入射点到M的最大距离点；

；3）从P点射入的粒子最终从Q点射出磁场，PM=d,QN=4，求粒子从P到Q的运动时间t.

18

XXXXX

•M

21.：2025•福建福州•三模）在一真空区域的竖直平面内建立如图所示的直角坐标系水为，第一象限内存在

沿N轴正方向的匀强电场，第三象限内存在沿沙轴正方向的匀强电场，电场强度大小均用等；g>0的

区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，gVO的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大

小均相等。一质量为山、带电量为q的微粒恰好沿虚线40做匀速直线运动，速度大小为四伙p方向

与1轴负方向夹角为45°,重力加速度为g。求：

八45。

⑴电场强度的大小和磁感应强度的大小；

⑵微粒在第三象限内运动的时间和离开第三象限时的位置坐标;

⑶微粒在第四象限内运动过程中速度的最大值。

20

22.（2025•全国•模拟预测）如图所示，在空间坐标系中vOz坐标平面左侧有水平向右（沿①轴正向）的匀强

电场，在gOz平面右侧有水平向右的匀强磁场，在P（-0.15m,0.0.45m）点由静止释放一质量为m、电

荷量为+q的小球，一段时间后恰经过坐标原点O进入到式及平面右侧。已知譬=4m/s,重力加速

bq

度g=10m/s2,下列说法正确的是（）

A.小球经过。点时的速度大小为4m/sB.小球所受电场力大小等于重力大小

C.小球运动过程的最大速度为，够m/sD.小球在磁场中向下运动的最大距离为1.2小

23.（2025・湖北•模拟预测）如图甲所示，空间中存在匀强电场与匀强磁场，宽度均为d,匀强电场竖直向下,

匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重

力）从电场的上边界的O点由静止释放，运动到磁场下边界的P点时恰与下边界相切。

O

E

P

图甲图乙

⑴求匀强电场的电场强度大小。

：2）求粒子在电场中运动时间与在磁场中运动时间t2的比值。

⑶若把该电场下移至磁场所在区域，如图乙所示，重新让粒子从上边界M点由静止释放，经过一段时

间粒子第一次到达最低点，求粒子到达N点的速度大小和M、N两点间的竖直距离。

21

24.（2025・山东济宁•模拟预测）现代电子设备常用电场和磁场控制带电粒子的运动。如图，第三象限存在

竖直向上的匀强电场。一质量为M、电荷量为q的带正电粒子，以初速度0。从第三象限中的尸点水平

射入电场，尸点坐标为（一七一，•£）,从坐标原点O进入第一象限区域。第一象限中04/&L为【区

域，七*%&得心为II区域，两区域分布磁感应强度分别为8、22,方向均垂直纸面向里的匀强磁场。

粒子重力忽略不计，sin37°=0.6,cos37°=0.8o求

⑴该粒子进入第•象限时的速度”；

⑵若从。点进入磁场的粒子恰好不能进入H区，求I区磁场B的大小；

⑶若82=23,粒子能到达n区⑦处，求用的最大值；

⑷若撤去【、n区域的磁场，第一象限充满方向垂直纸面向里，磁感应强度大小随2方向均匀增大，

关系为石=3舐®已知，k为常数）的非匀强磁场。求粒子从o点运动到离g轴最远位置的过程中,

运动轨迹与u轴围成的面积s。

22

25.（2025・陕西•三模）如图所示，直角坐标系Og/z所在的空间内，在z>0的范围内分布着沿z轴负方向

的匀强电场，在ZV0的范围内分布着沿V轴负方向的匀强磁场。质量为皿、电荷量为q的带正电的

甲粒子在z轴上坐标为（0,0,L）的P点以沿4轴正方向的初速度开始运动，并从I轴上的Q点以速

度。进入磁场，速度。的方向与c轴正方向的夹角夕=60°,甲粒子从磁场第一次回到电场并运动到与

第轴相距为力的位置时与z轴的距离为遍不计粒子的重力及粒子间的相互作用。

⑴求匀强电场的电场强度大小；

：2）求匀强磁场的磁感应强度大小；

13）在甲粒子开始运动时，另一与甲粒子相同的乙粒子在z>0的空间中的A点（未画出）沿g轴正方

向以速度。开始运动，甲、乙两粒子均在第二次进入磁场后相遇，相遇点处于IV0的空间且在各自轨

迹的最低点。求两粒子相遇前乙粒子运动的时间。

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26.（2025・广东珠海.模拟预测）如图所示，在直角坐标系以为中，y＞（）区域有垂直纸面向里的匀强磁场,

磁感应强度区域内有沿v轴正方向的匀强电场，电场强度为质量为加、电

荷量为+q的粒子从矶0,一乙）出发，初速度方向沿c轴正方向，经过一段时间后从瓦2乙，0）处第一次

进入磁场。粒子运动过程中，只考虑其受到电场和磁场的作用力。求：

X

X

⑴带电粒子初速度。。的大小：

⑵带电粒子第一次从磁场返回电场的位置；

⑶带电粒子从出发到第二次经过b点所用时间。

•M

27.（2025•广东•模拟预测）如图所示，在。oy坐标系cVO区域内存在平行于6轴、电场强度大小为颐未

知）的匀强电场，分界线O尸将为＞0区域分为区域/和区域〃，区域/存在垂直纸面向外、磁感应强度

大小为8（未知）的匀强磁场，区域〃存在垂直直面向里、磁感应强度大小为®的匀强磁场及

沿9轴负方向、电场强度大小为后'=4•后的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从劝（

-d,o）点以初速度为垂直电场方向进入第二象限，经N点进入区域/，此时速度与沙轴正方向的夹角

为60°,经区域/后由分界线。尸上的4点（图中未画出）垂直分界线进入区域〃，不计粒子重力及电磁

场的边界效应。求：

y

⑴电场强度E的大小；

⑵带电粒子从M点运动到A点的时间以

⑶粒子在区域〃中运动时.，A点到笫1次最低点的水平位移。

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28.（2025•浙江温州•三模）如图所示，在光滑绝缘水平面上建立IOV直角坐标系，足够长的收集板置于v

轴上。在g>0区域存在方向竖直向下、磁感应强度大小5=17的匀强磁场。绝缘挡板MN表面光

滑，长度L=2mo-质量/71=0.1kg,电荷量q=0.1C的带正电小球紧贴挡板放置，初始位置与M端

的距离为小现用挡板推动小球沿g轴正方向运动，运动中挡板始终平行于。轴，小球紧贴挡板。进

入磁场后，挡板保持速度仙）=2m/s沿j/轴正方向做匀速直线运动，经过一段时间带电个球离开挡板

M端。小球可视为质点，运动中带电量保持不变，且到达收集板立即被收集。

y收集板

XXXXXX/，XXXXXX

*

XXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXxnx

OMk-d-4|Rx

L

X。

当4=L257n时，求带电小球离开挡板M端时•的速度大小打；

：2）调节挡板M端与y轴距离为g时，无论d多大,都可以让小球垂直打在收集板上。

①求知

②求小球垂直打在收集板上的位置坐标g与d之间的函数关系。

③撤去收集板，在劣&g区域施加电场强度九，方向沿g轴正方向的匀强电场。当d=Ini时,

求小球在磁场区域运动过程中距1轴的最远距离小、。

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29.（2025・广东深圳•二模）如图所示,在三维坐标系0gzz中，zVO的空间同时存在沿z轴负方向的匀强

电场和沿⑦轴负方向的匀强磁场/，磁感应强度大小为口）,在z>0的空间存在沿"轴正方向的匀强磁

场〃，磁感应强度大小为带正电的粒子从0,-a）点以速度研）沿g轴正方向射出，恰好做

直线运动。现撤去电场,继续发射该带电粒子，恰好垂直平面进入z>0空间。不计粒子重力，正

B.带电粒子的比荷为2个

aBo

C.第二次经过/Oy平面的位置坐标为（Q,0,-Q）

D.粒子第三次经过①Oy平面的位置与。点距离为3，Q

30.（2025・广西南宁•三模）如图所示,在空间直角坐标系中，无限大平面（与j轴垂直且交于。点）

左侧区域I存在沿I轴正方向的匀强磁场，OC=2L,右侧区域II存在沿z轴正方向的匀强磁场，左、

右两侧磁场的磁感应强度大小相等;现从坐标为（0Z,0）的4点沿9Oz平面发射一质量为小,电荷量

为十q的粒子，粒子的初速度大小为“）、方向与9轴负方向的夹角为60°,经一段时间后粒子恰好垂直

于平面MNPQ进入区域【I,不计粒子的重力，求：

⑴磁感应强度B的大小；

⑵粒子从4点出发至第2次到达平面MNPQ的时间；

⑶若在区域II力n•电场强度为E、方向沿z轴负方向的匀强电场，求粒子从力点出发后第ri次经过平

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面M7VPQ时的速度大小。

31.（2025・安徽滁州・二模）如图所示，长方体ABCD—48GDI所在空间存在与方向立行的匀强磁

场，磁感应强度大小为瓦）,一质量为加、带电量为+q的带电粒子以一定的速度从4点沿力4方向射

入长方体区域，并恰好从G点离开该区域。己知人6=人。=八44=22,不计粒子的重力。下列

说法正确的是（）

A.磁场方向由。指向6

B.粒子的速度大小为空地

m

C.若仅增大粒子的入射速度,则粒子在长方体区域内运动的时间将减小

D.若在该区域增加•匀强电场使粒子沿做直线运动，则该电场的电场强度大小为避

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32.（2024・北京・一模）2021年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗略了解等离子

体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水

平向右的匀强电场和匀强磁场（如图），电场强度大小为E,磁感应强度大小为若电荷量为q的正

离子在此电场和磁场中运动，某时刻其速度平行于磁场方向的分量大小为幼，垂直于磁场方向的分量

大小为5,不计离子重力，则（）

A.电场力的瞬时功率不变B.该离子的加速度大小保持不变

C.该离子受到的洛伦兹力大小为qB%D.劲与外的比值保持不变

33.（2025•吉林松原•模拟预测）如图所示为一•中空长方体形管，力6=2d、6c=2,4、工河=16乙OO,为

管的中轴线,管内分布着沿中轴线OO'方向的匀强电场，电场强度大小为后=型口。带电粒子与管

qd

内壁发生碰撞时会被反弹（碰撞时间极短），反弹前后沿管壁切向分速度不变，垂直管壁方向分速度大

小不变、方向相反。一质量为m■、电荷量为q的带正电粒子以垂直于中轴线OO'方向的速度5从。点

沿+z轴方向射出，不计粒子的重力。

⑴求带电粒子从。点出发与管壁发生碰撞后第一次经过中轴线OO'（带电粒子仍在长方体形管内）

时的速度仍大小；

⑵调整带电粒子的射出方向（仍垂直于OO'）和管内匀强电场的大小，大小未知，发现在管中碰撞次

数最少的粒子恰好能从O'点离开长方体形管,且速度方向与+c轴成37°角，求匀强电场的大小和带

电粒子在管中与管壁碰撞的次数；

⑶在（2）的条件中若将该长方体形管替换为它的外接圆柱体管（图中未画），其他条件不变，若粒子第

一次经过中轴线OO'时撤去电场，并立即换成与电场方向相同的匀强磁场，磁感应强度大小为6=

瞿工求带电粒子第4次经过中轴线时（带电粒子仍在圆柱形管内）的位置与O点之间的距离。

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34.（2025•安徽蚌埠,三模）如图所示的三维坐标系中，在gV0、z>0的区域I内有沿g轴正方向的匀强