高考数学二轮复习：成对数据的统计分析

j大题专讲”第3讲成对数据的统计分析

「考情研析」高考解答题中时常出现关于成对数据的统计分析的题目，考查统计图表、经

验I可归方程、独立性检验等知识，中低档难度，热点是概率与统计的交汇问题.

热点考向探究

考向1线性回归分析在实际中的应用

例1（1）假设变量x与变量丫的〃对观测数据为（为，>-1）.。2,”），…，（山,.%）,两个变量

fy=bx+e，

满足一元线性回归模型、八八，、,请写出参数。的最小二乘估计；

（2）为推动新能源汽车产业高质量发展，国家出台了系列政策举措，对新能源汽车产业发展

带来了巨大的推动效果.下表是某新能源汽车品牌从2019年到2023年新能源汽车的年销量

卬（单位：万），其中年份对应的年份代码，为1〜5.已知根据散点图和相关系数判断，它们之

间具有较强的线性相关关系，可以用线性何归模型描述.

年份代码/12345

年销量卬/万49141825

令变量x=t—t,y=iv—vv,则变量x与变量了满足一元线性回归模型

Y=bx+e，

〈厂，、八八，、、利用（1）中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2025年该品

E（e）=0，D（e）=b»

牌新能源汽车的年销量.

2

解：（I）Q=£〃=£（yi-bXi）=i（）*—2取必+尻舅）=力2£才-

?=1*=1»=1i=li=li=I

A£孙

要使残差平方和最小，当且仅当1=3—.

|=>

gx通E（4一/）（Wi—W）

人/=I[=।5]

（2）**x=t-t,y=M*-vv>由（1）知5=-5=5=T77=5.1»

S-V?£（4-7）210

*=1e=i

关于x的经验回归方程为f=5.1x,

w-w=5.1（/-t）>

*/t=3,w=14,

/.vv=5.1(z—t)+vv=5.k—1.3»

当，=7时，w=5.1x7-13=34.4(万),

因此，预测2025年该品牌新能源汽车的年销量将达到34.4万辆.

方法指导线性回归分析问题的类型及解题方法

（1）求经验回归方程

（2）对变量值预测

①若已知经验回归方程（方程中无参数），进血预测时，可以直接将数值代人求得特定要求卜

的预测值；

②若经验回归方程中有参数，则根据经验回归直线一定经过样本点的中心（1,7）,求出参

数值，得到经验回归方程，进而完成预测.

对点精练

（2024•广东汕头二模）2023年，我国新能源汽车产销量占全球比重超过60%,中国成为世界

第一大汽车出口国.某汽车城统计新能源汽车从某天开始连续的营业天数x与销售总量y（单

位:辆），采集了一组共20对数据，并计算得到经验回归方程j=0.67x+54.9,且这组数据

中，连续的营业天数X的方差点=200,销售总量），的方差d=90.

（1）求样本相关系数r，并刻画），与x的相关程度；

20_

（2）在这组数据中，若连续的营业天数x满足ZK=2.2xl。、试推算销售总量），的平均数y.

附：经验回归方程y=公+小其中。=

〃一一

Z（xi—x）（＞7—y）

j=|A—A—

-------------------------------,a=y—bx.

Z（即一x）2

z(为一x)(>7-)')

样本相关系数「=J」—〃_

yjZ{»_x)4(>'/-y)2

V5-2.236.

20

£(即—x)(y,—y)

解：(I)*.*r=­,20_20_

2

A/X(XLx)?£(y,—>')

Vi=\i=\

A20-

b-E(x,—x)2

i=l

・•・可以推断连续的营业天数x与销售总量y相关程度很强.

120_

（2）=静=而£（Xi—x）2

1

2ZO

-.(X7~2XX/+x2)

20L

120—20—120_

=而（2蜡—24^X/+20X2）=2Q£A7—X2

Vi-1j-1r-1

=^x22000-x2=1100-P=200,

，；=30（负值已舍去），

A—A一

又。=y-bx>

:.~y=b~x+1=（）.67x30+54.9=75.

考向2非线性回归分析在实际中的应用

例2一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术

创新投入M单位：千万元）对•每件产品成本y（单位：元）的影响，对近10年的年技术创新投

入即和每件产品成本y<i=l,2,3,…，10）的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得X

—1011011i0uv

=6.8,y=70,I二=3：£?=L6,Z；=350.

A,

/-Ii-\J-1

每件产品成本/元

0246«101214

年技术创新投入/T万元

（1）根据散点图可知，可用函数模型＞，=§+〃拟合y与x的关系，试建立y关于x的回归方程;

5/001

（2）已知该产品的年销售额〃?（单位：千万元）与每件产品成本.y的关系为m=

詈产。。.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要"其他成本I。千万元，根据

（I）的结果回答：当年技术创新投入X为何值时,年利润的预报值最大？（注：年利润=年销

售额一年投入成本）

参考公式：对于一组数据（两，也）,（〃2,V2），…，(th啕，其经验回归直线V=0+的的斜率

^iiiVi—nuv

和截距的最小二乘估计分别为》------

£w?一〃u2

1-1

IAAA

解：（1）令〃=：,则.V关于“的经验回归方程为y=a+£〃，

10___

10%)，

j=i350-210

由题意可得用=io_EL。,

£而一10〃2

«=)，-pii=70—200x0.3=10,

则£=10+200小

所以），关于X的回归方程为£=10+¥.

・-200_一=200

(2)由y=10+丁可得x=7-------

j-10

年利润M=〃?一工一10

袅期量+吁量T。

y-10y—10

=-菽-20）2+%

当£=20时，年利润M的预报值取得最大值,

200200“

此tl时x=7=20—]()=2°，

y-10IU

所以当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值最大.

方法指导求非线性经验回归方程的一般步骤

第一步H根据原始数据（m,y）作出散点图

第二步T根据散点图，选择恰当的拟合函数

作恰当的变换，将其转化成线性函数,

第三步

求经验回归方程

在第三步的基础上通过相应的变换，即

第四步H

可得非线性经验回归方程

对点精练

（2024•福建泉州模拟）某公司为了解年研发资金文（单位:亿元）对年产值），（单位:亿元）的影响，

对•公司近8年的年研发资金为•和年产值wi£N,IW/W8）的数据对比分析中，选用了两个回

归模型，并利用最小二乘法求得相应的y关于x的经验回归方程：

@y=!3.05x-48.4：②f=0.76f+；.

（1）求2的值;

（2）已知①中的残差平方和S户361（）,②中的残差平方和1次58,请根据决定系数选择拟合效

果更好的经验回归方程，并利用该经验回归方程预测年研发资金为20亿元时的年产值.

8888

参考数据：£为=64,£券=448,£姆=684,£⑴-1）2=32900.

1=11=11=1J=i

A

E"Go）

参考公式：刻画回归模型拟合效果的决定系数R2=1-V-----二一.

Z（9一y）2

f=l

解：⑴令〃=.3,贝心=0.76〃+2,

8

因为gx?=684,

_I8I86R4

所以”=gEwf=gS-^=-g-=85.5.

I-1f-1

—18448

又y二员工>产~^-=56,

°i=l°

因为直线y=0.76“+c,过点（〃，y）>

所以56=0.76x85.5+2所以:=一8.98.

（2）因为3610658,

“，、，3610658

所以-------二—<---------二—

E（V—>'）2Z（V—>'）2

i=li=l

361（）,658

所以1~~<]一~~~

X（y_y）2Z（yj-y）

/=1/=1

即Z??<7?2»

因为心越大拟合效果越好,

所以回归方程②£=0.76『-8.98的拟合效果更好,

当x=20时，y=0.76x202-8.98=295.02亿元，

所以预测年研发资金为20亿元时，年产值大约为295.02亿元.

考向3独立性检验在实际中的应用

例3（202小湖北十一校第二次联考）2023年12月30口，长征二号丙/远征一号S运载火箭

在酒泉卫星发射中心点火起飞，随后成功将卫星互联网技术实验卫星送入预定轨道，发射任

务圆满完成，此次任务是长征系列运载火箭的第505次飞行，也代表着中国航天2023年完

美收官.某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机地从本市大

学生和高中生中抽取一个存量为〃的样本进行调查，调查结果如下表：

关注度

学生群体合计

关注不关注

17

大学生声而〃

高中生

3

合计??

附:

a0.10.050.0250.010.001

Xa2.7063.8415.0246.63510.828

_______〃(ad-be)2__________.

,2=(a+〃)(c+d)(〃+c)(〃+d)'其中〃=a+b+c+d・

(1)完成上述列联表，依据小概率值a=0.05的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群

体有关，求样本容量〃的最小值；

(2)该巾为了提高本巾学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个问

题，有两种答题方案可供选择：

方案一：回答三个问题，至少答对两个可以晋级；

方案二：在三个问题中随机选择两个，都答对可以晋级.

已知小华同学答对三个问题的概率分别是3j且回答三个问题正确与否相互独立，为

使晋级的可能性更大，则小华应该选择哪种方案？(说明理由)

解：(1)

关注度

学生群体合计

关注不关注

117

大学生2n尹正〃

113

高中生To,?铲诃

32

合计

5〃n

零假设为儿：关注航天事业发展与学生群体无关.

(nnnnA2

“出一亍司8〃

根据列联表中的数据，

In3〃3〃2n63,

1010'5'5

因为依据小概率值。=0.05的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关,

Q/7

所以Z2=TT>3.841,解得心30.25.

由题可知，〃是10的倍数，所以〃min=40.

⑵记小华同学答对三个问题的事件分别为A,B,C,

321

则P(A)=?P(B)=yP©=5,

记选择方案一晋级的概率为Pi，

则Pi=P(A8e)+P(ABC]-\~P(ABC)+P(ABC)

321,311,121.32117

=4X3X2+4X3X2+4X3X2+4X3X2=25-

记选择方案二晋级的概率为上，

则P2=^P(A5)4-1P(5C)+|P(/1o

I<32,21.31、29

-3+不9—72。

因为外>。2,所以小华应该选择方案一.

方法指导有关独立性检验问题的解题步骤

第一步H作出2x2列联表;

:二二二―二....

第二步H根据公式计算尸的值:

［d查临界值，运用临界值作出判断，并

."<n根据题目要求进行正确回答

,对点精练

某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了

100名学生一个月（30天）完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表:

天数[0,5](5,10](10,15](15,20](20,25](25,30]

人数4153331116

（1）由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼的天数X近似服从正态分布M4，『），其中"

近似为样本的平均数（每组数据取区间的中间值），且〃=6.1,若全校有3000名学生，求参

加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数（精确到1）；

（2）调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在（15,3（）］的学生中有30名男生，天

数在［0,15］的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动超过15天的学生

授予“运动达人”称号.请填写下面列联表：

活动天数

性别

[0,151(15,30]合计

男生

女生

合计

依据小概率值a=0.()5的独汇性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联？如

果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响.

附：参考数据：若X〜NQi,/)，则

P(/i-GWXWN+。)W.6827,

PQi~2。WXW”+2亦0.9545,

-3。WX<〃+3加).9973.

__________〃(ad-be)2__________

/2=(a+〃)(c+d)(a+c)/+()(

a0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

解：(1)由频数分布表知

4x2.5+15x7.5+33xl2.5+31xl7.5+l1x22.5+6x27.5

4=100

=14.9,

则X〜Ml4.9,6.12),

•/P(〃-oWXW"+m0.6827,

1-0.6827

・•・P(X>21)=P(X>14.9+6.1)=--5-------=015865,

・•・3(X)Ox().15865-475.95-476,

工参加“每天锻炼I小时”活动超过21天的人数约为476.

(2)由频数分布表知，锻炼活动的天数在［0,15］的人数为4+15+33=52,

•・,参加”每天能炼1小时”活动的天数在［0,15］的学生中有20名男生，

・•・参加“每天锻炼1小时”活动的天数在［0,15］的学生中女生有52—20=32名，

由频数分布表知，锻炼活动的天数在(15,30］的人数为31+11+6=48,

:参加“每天锻炼1小时”活动的天数在(15,30］的学生中有3()名男生,

・•・参加”每天锻炼1小时”活动的天数在(15,30］的学生中女生有48—30=18名,

填写列联表如下：

活动天数

性别合计

[0,15](15,30]

男生203050

女生321850

合计5248100

零假设为Ho：学生性别与获得“运动达人”称号无关联，

l(X)x(20x18—30x32)2

/2=50x50x52x48~5.769>3.841,

依据小概率值a=().O5的独立性检验，我们推断为不成立，即可以认为学生性别与获得“运

动达人”称号有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.

根据列联表中的数据售到男生、女生中活动天数超过15天的频率分别为4第()=0.6和1第X=。.36,

可见男生中获得“运动达人”称号的频率是女生中获得“运动达人”称号的频率的儡L67倍，

于是依据频率稳定于概率的原理，我们可以认为男生获得“运动达人”称号的概率大于女生，

即男生更容易获得“运动达人”称号.

真题7$押题

,真题检验,

I.(2024.全国甲卷)某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个

车间的产品中随机抽取1,0件进行检验，数据如下：

优级品合格品不合格品总计

甲车间2624050

乙车间70282100

总计96522150

(])填写如下列联表:

优级品非优级品

甲车间

乙车间

能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、

乙两车间产品的优级品率存在差异？

(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率〃=0.5,设万为升级改造后抽取的〃件产品的优

级品率.如果万产则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的

15()件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？

(仃限12.247)

(a+b)(c+d)(〃+c)(b+d).

P(即以)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

解：(1)根据题意可得列联表如下:

优级品非优级品

甲车间2624

乙车间7()30

“R-T内,150X(26x30-24x70)275

由表中数据可得K-=50x100x96x54=讳=4.6875,

因为3.841<4.6875<6.635,

所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲、

乙两车间产品的优级品率存在差异.

(2)由题意可知，生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为言=0.64,

用频率估计概率可得万=0.64,又因为升级改造前该工厂产品的优级品率〃=0.5,

贝!|p+1"=0.5+1.65x

/().5x(1—().5),0.5

V1501h65x12.247

M.57,

可知万邛+1.65产衿，

所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.

2.(2022.新高考【卷)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生

习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调杳了100例(称为病例

组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

(2)从该地的人群中任选一人，4表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到

的人患有该疾病"，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度

P(8H)P(B\A)

的一项度量指标，记该指标为此

P(A|6)P(A\B)

(i)证明:A—・一

P(彳⑶P(川石)

(ii)利用该调查数据，给口尸(A|6),P(川万)的估计值，并利用(i)的结果给出大的估计值.

〃(ad-be)2

(〃+”)(c+d)(a+c)(Z?+d)

P(K2^k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

解：⑴列表:

不够良好良好合计

病例组4060100

对照组1090100

合计50150200

200x(40x90—60x1022x(4x9—6x1)2

K=100x100x50x150-=5xL5=24>6.635,

故有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.

P(用八)「(AB)P(XB)

P(B\A)P(A)尸(4)P(A8)P(AB)

(2)(i)证明：由题意，R=--------------------------=---------,---------

P(B|Z)P(甘豆)尸(彳耳)P(AB)P(AB)

P(A)P(A)

P(B\A)

P(A8)0'入卫)

丁尸(A|8)P(A\'B)P(3)PF)

而---二------------

P(A|B)P(A\B)P(彳B)P(4豆)

P(A8)P(彳/)

P(AB)P(AB)

P(川B)P(1|加

故足=

P(A\B)PCA\'B)

4()?—1()I—3----

(ii)由调查数据可得P(4|8)=而=亍P(A\B)=丽=而，且P(4|B)=1一P(A|B)=W，尸(A|8)

—9

=1一尸(43)=宜,

29

所以R='x-j-=6.

5To

►金版押题

某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入.该公司近5年的年广告费M单

位：百万元）与年销售量乂（单位：百万辆）的关系如图所示：

年销售一值万辆

14

12・*

10•

8•

6

4•

2

o1-----1--------1-----'-------*-------1-------►

012345

年广告费佰万元

令0=1【】为（，=1,2,…，5）,数据经过初步处理得：

5

£⑴一亍/£(V/-V)2

*如工(X/—X)2

444.81040.31.612

5__5__

N(XLx)(5>,—y)N(yi~y)(%-v)

19.58.06

现有①〉=云+。和②y=〃lnx+m两种方案作为年销售量y关于年广告费工的回归分析模型,

其中小b,〃?，〃均为常数.

（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合效果更好？

（2）根据（I）的分析选取拟合效果更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的经验回归

方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？

（3）该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投

入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利演受年

广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随矶变量4服从正态分布M600,/）,

且满足尸4>800）=03在⑵的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概

率.（年净利润=毛利润x年销售量一年广告费一年研发经费一随机变量）

z(X1—x)()Ly)

附：①相关系数r=/J_/”_，回归直线£=1+如中£=

A/Ix)飞£(到一y)2

Z(XLX)(yi-y)

j=।A-A

-----n-----二------，a=y—bx；

I(X,-X)

②参考数据：^40.3X1.612=8.06,屈5y20.1,In5-1.6,In6-1.8.

解：(1)设模型①和②的相关系数分别为门，小

5__

2(3一x)(y-y)

i-l19.519.5

由题意可得口=-0.97,

£U-7)\/£(y,-7)2

r=lV/=1

E()Ly)(v/­v)

8.068.06

=1,

_、2>40.3x1.612806

(V/—V)

所以I川vg|，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合效果更好.

<86

5

1.062-

2))/?61

5

—5

-I-

由

又-

V-z9y--ZV-8

5O.6,5I

f-ll

得机=7—5方=8.8-0.96x5=4,

所以y=5u+4,即经验回归方程为y=51nx+4,当x=6时，y=5ln6+4^13,

因此当年广告费为6(百万元)时，产品的年销售量大概是13(百万辆).

(3)年净利润为200x(51nx4-4)-200.v-6.v>0,

令g(x)=200x(51nX+4)-200A—6

所以g'(x)=——200，

当0W5时，/QAO;

当x>5时，g(t)v0,

可得y=g(x)在(0,5)上为增函数，在(5,+8)上为减函数.

所以g(x)nm=g(5)=2OOx(51n5+4-5)-^1400-^

由题意，有1400—今1000,即长400,

尸（声400）=P08OO）=0.3,

所以该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率为0.3.

专题作业

基础题（占比50%）中档题（占比30%）拔高题（占比20%）

题号123456

难度★★★★★★★★★★

线性回归犯立性检线性回归独立性检

非线性回线性回归

在实际中验在实际与非线性验在实际

归在实际在实际中

的应用；相中的应用；回归在实中的应用：

对点中的应用；的应用；古

关系数的二项分布际中的应条件概率、

残差图的典概型的

计算及应概率的最用；决定系全概率公

应用概率计算

用值问题数的应用式的应用

1.（2024.江西九江三模）车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨

损.某实验室通过实验测得轿车行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据，如下表所示:

行驶里程X/

0.00.41.01.62.42.83.44.4

万km

轮胎凹槽深

8.07.87.26.25.64.84.44.0

度力/mm

88

九=79.68,£（为-7）2=16.24,

£（九一万）416.56.

ZCxj-x）

（1）求该品牌轮胎凹槽深度。与行驶里程x的相关系数r,并判断二者之间是否具有很强的线

性相关性；（结果保留两位有效数字）

（2）根据我国国家标准规定：轿车轮胎凹槽安全深度为1.6mm（当凹槽深度低于1.6mm时刹

车距离增大，驾驶风险增加，必须更换新轮胎）.某人在保养汽车时将小轿车的轮胎全部更

换成了该品牌的新轮胎，请问在正常行驶情况下，更换新轮胎后继续行驶约多少公里售对轮

胎再次更换？

£孙一〃,1y

附：变量工与y的样本相关系数…〃_；对于一组数据3，yD，

、2U-7）2Z（＞v-7）2

V1=11=1

（X2，%），…，（X”，）力），其经验回归方程

Z孙一〃彳y

y=/zr+〃的斜率和截距的最小二乘估计分别为£=^^!-----二，a=y-bx.

Z（x-x）2

i=1

解：（1）由题意可知，x=2,/?=6,

5^.r,/?,—8xh

所以相关系数,=/8-8J9.6：漆2叱-099,

/8—、8—A10.30

A/z5—X）~z（hi—h）-

\jI=IJ=I

因为1-0.991的值很接近于1,所以二者之间具有很强的线性相关性.

（2）由（I）可知，K=2,h=6,

8___

Yxihj-Sxh

g、工占79.68-8x2x6

所以=1一丁=一向一：1.00,

E（为一x）/

所以。=h—/）x-6+lx2=8,

所以/?=—x+8,

令一x+8V1.6,得x>6.4,

即更换新轮胎后继续行驶约6.4万公里需对轮胎再次更换.

2.（2024・湖南衡阳模拟）为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科

技研发投入.下图1是该公司2014年至2023年的年份代码x和年研发投入），（单位：亿元）

的散点图，其中年份代码1〜10分别对应年份2014〜2023.

年研发投入）/亿元

>

85

80>

75A

70A

65

〃A

t

12345678910年份代码x

根据散点图，分别用模型①y=/zr+m②y=c+'M作为年研发投入N单位：亿元）关于年份

代码X的经验同归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图.结合数据，计算得

到如下表所示的一些统计量的值：

10_

fZ(Xi-x)2

y*1

752.2582.5

10_10__10__

Z(6-t)2Z(yi-y)U—x)Z(y—y)(6-t)

;=1J=Ii=1

4.512028.35

一|10

表中t=而2，"

（I）根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入义单位：亿元）关于年份

代码x的经验【可归方程模型？并说明理由；

（2）（i）根据⑴中所选模型，求出），关于X的经验回归方程；

（ii）设该科技公司的年利涧L（单位：亿元）和年研发投入乂单位：亿元）满足£=（111.225），）5

（x£N‘且20］）,问该科技公司哪一年的年利润最大？

附：对于一组数据（为，>>1）,（X2,”）一..，（为，为），其经验回归直线源的斜率和截距

z（Xi-X）（y,—y）

的最小二乘估计分别为£=口一;------二--------，2=7-^7.

£（为一x）2

解：（1）根据题图2可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合效果较差；

模型②的残差波动性很小，基本分布在0的附近，说明拟合效果很好，所以选择模型②更适

宜.

(2)(i)设i=F，所以y=e+力,

10

(y-y)(。-I)

28.350c=y-2r=75-6.3x2.25=60,825,

所以ioZ=-=6.3,

Z(6-I)2

所以,，关于x的经验回归方程为£=60.825+6.3山.

（ii）由题设可得L=（l11.225-VA/I^（111.225-6.3^/1—60.825h/x=-6.3%+50.4^-,

当爪=恶』=4，即X=16时，年利润L有最大值，

/人U・J

故该科技公司2029年的年利润最大.

3.（2024.宁夏石嘴山模拟）某手机生产企业枳极响应政府“创新发展”的号召，大力研发新产

品，争创世界名牌.为了对研发的一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的

价格进行试销，得到一组销售数据（即，＞7）（/=1，2,6）,如下表所示:

单价*千元345678

销量W百件706562595648

（1）若变量x，y具有线性相关关系，求产品销量N百件）关于试销单价M千元）的经验回归方

程y=Z?x+a；

（2）用⑴中所求的经验回归方程得到与为对应的产品销量的估计值以当销售数据（刘，羽对应

的残差的绝对值WW1时，则将销售数据（为，羽称为一个“好数据”.现从6个销智数据

中任取2个，求“好数据”至少有I个的概率.

66

参考数据：Zx/V/=1910,ZA7=199.

/-Ir-l

Z.一〃工y

参考公式：经验回归方程中1的估计值分别为£=T----—，a=^~bl.

£.v?-/zx2

i=\

5/、mk*—3+4+5+6+7+8_

解：（1）依越意，x==5.5,

70+65+62+59+56+48

）'='6=60，

66

而ZMM=1910，5＞，=199,

i=l/=!

6___

yxa?r—6xy

一「曰个W-1910-6x5.5x60-70

于A-2=199-6x5.52=7T5=一4，

EAT-6x2

i-l

a=y—bx=60+4x5.5=82,

所以所求经验回归方程为：；=-4%+82.

（2）利用（1）中所求的经验叵归方程f=-4x+82,得

当即=3时，）“=70；当X2=4时，”=66；

当心=5时，53=62；当川=6时，《4=58；

当右=7时，夕=54；当补=8时，£=50,

与销售数据对比知满足加一方|&1（，=1,2,…，6）的共有4个“好数据”：（3,70）,（4,65）,

(5,62),(6,59),

记6个销售数据中的4个“好数据”分别为a,b,c,d,另两个数据为1,2,

从6个销