高考数学二轮复习：导数及其应用

3题专讲一第2讲导数及其应用

「考情研析」I.导数的几何意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.2利用

导数解决函数的单调性与极值（最值）问题是高考的一个重点.

核心知识回顾

1,知识串联

数

导的

念

及

概导数在研

义

意

其究函数中

瞬

平:

=:的应用

时

均

H

速

速

H

度

度

抽

象

一

割

H切

线

H线

斜

斜

率

H率

2”结论记忆

⑴“在某区间内/（x）＞0（fQ）＜0）”是，函数/U）在此区间上为增（减）函数”的充分不必要条件.

（2）可导函数人幻在m，勿上是增（减）函数的充要条件是vxE（“"），都有了a）2o（fQ）wo）E」a）

在S，力的任意子区间内都不恒为零.

（3）对于可导函数fix），'了（3）=0”是"函数在x=xo处有极值”的必要不充分条件.

（4）若函数及丫）在区间（〃，份内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点.

（5）导数综合问题中常用的不等式及其关系

同乘”

e'N.r+l》

In(x+2)ln(x+l)^x

川I代出/k+1代替z

e*>x+lInxWi-l

收将图象(直线尸”1放

------1能(宜线)=x+l是沿尸翻折:

।是尸In.'的|阳］”<x

上,产尸e'的图象在'或换元：.

图象在。)

(0,1)处的切线)(1

.r=lnt处的切线)

用T代替

X,*=e>

y

)*=er

取倒数

I

eWI(0<x<l)

热点考向探究

考向1导数的几何意义

例1(1)(2024•海南海口模拟)已知函数,/U)的定义域为R,4x+1)是偶函数，当xV；时，fix)

=ln(l-lv),则曲线尸危)在点(2,犬2))处的切线斜率为()

22

A.5B.一5

C.2D.-2

答案：C

解析：根据题意，函数4。的定义域为R,/U+1)是偶函数，则<l+x)=/(l—x),两边同时

求导，得/(1+外=一/(1一幻，当xV：时，/U)=ln(l—2A),求导可得/。)=三|?则有/(0)

=-2,又由〃l+x)=-/V—幻，令工=1,可得/(2)=-/(0)=2,则曲线y=/(x)在点(2,人2))

处的切线斜率为2.故选C.

V

(2)若曲线yu)=*有三条过点(0,〃)的切线，则实数〃的取值范围为()

A.(0，卜)B.(0，③

C.(。日D.(0今

答案：B

解析：设该切线的切点为(必，制，则切线的斜率为k=/口0)=/，所以切线方程为)，一言

=宏％—功)，又切线过点(0,〃)，则。一言=圣(()一X。)，整理得4=普.要使过点(0,4)

的切线有3条,需方程。=需有3个不同的解，即函数y=日的图象与直线)，=〃在R上有3

Fx(2—x)

个交点.设观幻=上，则天(幻=，令/(幻>0=>04<2,令/(x)v0=x<0或Q2,所

VV

以函数g(x)在(0，2)上单调递增，在(一3,0)和(2,十3)上单调递减，且极小值、极大值分

44ITS

别为g(0)=0,g(2)=£,如图.由图可知，当(Xav0时，函数y=湍的图象与直线在R

上有3个交点，即过点(0,a)的切线有3条.所以实数〃的取值范围为(0，刍).故选B.

(3)已知曲线)，=Inx与y=aF(a>0)有公共切线，则实数a的取值范围为.

答案：性，+8)

解析：设公切线与曲线y=lnx和丁=口1的切点分别为5，Inxi),(如axj),其中为>0.对于

>'=lnx,有片二则y=ln式上的切线方程为y—InM=；(X一处)，即y=、+(ln为-lj,对

于)、=av?,有y=2ax,则,=♦上的切线方程为y—aR=2ax2(x—必)，即y=2ar2X—渥，

1-

~~=7.0X2，11

所以有一石|=lnxi—l,即石="一疝nxi(xi>o).令g(x)=f—/Inx,g(v)

Inx\—\=—axi，

ii

=x-2xlnx=x(l-21nx),令9(x)=0,得x=%,当x£(0,■)时，/。)>0,g(x)单调递增，

1Xiiii

当工£(落+8)时，g，(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)max=g(e5)=ge,故。<心或好，即心美，

所以实数a的取值范围是士，+8).

方法指导利用导数求切线方程的一般过程

己知曲线,，=｛。过点P(xo,w)，求曲线过点P的切线方程，需分点P是切点和不是切点两

种情况求解：

(1)若P(xo,50)是切点，则曲线的切线方程为厂和=/(祀)。-Xo).

(2)若p(xo,和)不是切点，则分以下几个步骤：

第一步T设出切点坐标(阳，力)

写出在点(孙，加)处的切线方程

>-)'产/'(勺)缶一跖)

将点“(.%,)力的坐标代入切线方程求

招XI的值代入方程)—/|=fr(x))(X-A|),

第四步

得到所求切线方程

()“在”和“过”的区别

(1)“曲线j=«r)在点夕(回，和)处的切线”指点P(xo,和)是切点，切线的斜率女=/(的).

(2)“曲线y=«r)过点P(M),和)的切线”指点P(xo,和)只是切线上的一点，不一定是切点.

对点精练

1.曲线凡i)=W+3x-l在(0,—1)处的切线与坐标轴围成的图形的面积为()

答案：A

解析：/(x)=6f+3,所以八0)=3,故切线方程为y=3(x—0)—l=3x—l,故切线在x轴上

的截距为:，在y轴上的截距为一1,故切线与坐标轴围成的图形的面积为：xlx：=5故选A.

*乙。IJ

2.直线/：y=3x+。与曲线产sin3x相切的一个充分不必要条件为()

B.。=-2兀

答案：B

解析：设函数4r)=sin3x,曲线尸=,曲)与直线)，=3人十a的切点坐标为(刖，yo)»则

f(xo)=3COS3AO=3，

可得a=-2E,&£Z.故选B.

sin3xo=3xo+a，

3.已知函数J(x)=2+lnx,g(x)=g/L若存在两条不同的直线与函数y=/(x),y=g(x)的图

象均相切，则实数。的取值范围为.

答案：(0,2)

解析：设函数_/U)=2+lnx上的切点坐标为(内，2+ln/i),且内>0,函数虱x)=c&上的切

点坐标为。2，gd)，且及20.又/(X)=工，g,x)=2y所■以公切线的斜率左=笠=2\/^'则

II

a>0,所以X2=NV*，所以公切线的方程为y—(2+lnxi)=;-(x—XI),即y=7t+ln内+1.代入

-A|X\

(X2，WE),得W京=：*+lnM+1，所以=}・《x?+ln即+1,整理得q2=41n：i+4若

人］/r人］•人［

4-1n口+4

存在两条不同的直线与函数)，=Kr),y=g(x)的图象均相切，那么方程—有两个不

人]

41nx+4--X-(41nx+4)

同的实根.设人(1)=「一，介0,所以/⑴=2---------------=一般.令"(x)=0,得

人•4人

.1=1,当x£(0,1)时，〃(x)>0,/?(©单调递增，当x£(I,+8)时，"。)<0,力(幻单调递减，

由力(x)=O可得X=L，所以当x->0时，/z(x)->—°°；当X—+8时，力(%)_>0,所以函效力(幻

V

的大致图象如图，所以|[。a<>公0，4,解得°<"2,故实数〃的取值范围为(。，2).

考向2利用导数研究函数的单调性

例2(1)函数八r)=3的单调递增区间为()

A.(―°°»0)B.(0,21og2e)

C.(—8,2log2e)D.(2log2e,+°°)

答案：B

解析：/(x)=⑵，)2=2^=2^»令/(工)>0，仔艮口°<x

V21og2e.故选B.

(2次x)=(〃-31一华+cosx是R上的减函数，则实数，的取值范围是()

A.+8)B.(-8,—1]

C.(-8*D.[1,+8)

答案：B

年“+co，t是R上的减函数，，/(x)=a—，gcos2x-siruWO,

解析:

—sin2A+sinx4-1=—(sinx-；)+土，当sinv=-1时，y=—(sinx-+、取得最小值一1,

・・・〃W-I,・••实数〃的取值范围是(-8,-I],故选B.

(3)(2024•湖南益阳三模)若a=21nLI,b=0.2Lc=tanO.2L则()

A.b<c<aB.a<c<b

C.c<a<bD.a<b<c

答案：D

解析：根据题意，a=21nl.l=lnl.l2=ln(1+0.21),设/z(x)=taru—x,则h\x)=

COSACOSX—(—siiix)siiu-1J.X、E…

---------左二----------1=7^2；—1>0,所以Mx)=(an.v-X在(0，司上单调递增，所以

vUoA-------VUbA\乙)

h(x)=tanv—x>/?(0)=0,HPtaiu>x,0<x<^,令危)=1一In(1+x)，0<i,专则/(x)=l—y^=

所以於)=x—In(1+x)在(0，与)上单调递增，从而危)=x—In(l+x)>A0)=0,即x>ln

(1+x)，工£((),与),所以tan.r>x>ln(1+x),x£(()，今)，又0<0.21<会所以tan0.21>0.21>ln121,

即“<Xc.故选D.

方法指导

i.利用导数研究函数yu）的单调性

求凡¥）的定义域T求导数/（八•）一求/（A）=0在定义域内的根一用求得的根划分定义域—确定

/（X）在各个开区间内的符号-确定相应开区间上的单调性.

2.已知函数在某区间上的单调性求参数取值范围的两种思路

（1）转化为不等式恒成立问题

若函数在某区间上单调递增，则/a）2o在该区间上恒成立；若函数在某区间上单调递减,

则,［（工）《0在该区间上恒成立.

（2）利用区间之间的包含关系

若已知），=/（©在区间（小。）上单调，则区间（〃，切应该是相应单调区间的子区间.

衽，当方程/。）=0不可解时，根据/（x）的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其

图象与性质确定人%）的符号，得单调区间.

对点精练

I.（2024.湖南常德一模）将三个分别标注有以x,占的质地均匀的小球放入一个不透明的

111人

小盒中，无放回地随机取出两个小球（每次取一球），分别记录下小球的标注为人0g（x）.若

力(x)=/U)g(x),则〃(x)在(0,1)上单调递减的概率为()

A.1B.

C.1D.1

答案：D

解析：若力。)=<》)以1)=足',由y=e,)，=x在(0,1)上均单调递增，且为正，故力。)在(0,

XInx—1

1)上单调递增，若〃(x)=/lt)ga)=j^,则当x£(o,1)时，〃(尤)=一/一<0,故人(X)在(0,1)

eteHnx-e-e.v(vlnv_n

上单调递减，若力(幻=人工)£。)=方？则当x£(0,1)时，〃(/)=—不—二不7-

2

故/心,)在(0,1)上单调递减，故贴)在(0,1)上单调递减的概率为吊故选D.

2.函数凡t)=2d—Hnx+l在(〃-3,0上不单调，则实数。的取值范围为()

A.1»4B.'4)

C.[3,4)D.[3,4]

答案：C

解析：函数yU)=2d—Mnx+l的定义域为(0,+8),由题意，函数4x)=2「一Hnx+1在

(a—3,a)上不单调，所以/(x)=4x—在("—3,a)上有零点，即方程/(x)=4x—^=0在(〃-3,

(4(</—3)'v〃v4a'，

a)上有根，即方程4A2=。在(a—3,a)上有根，所以〈、即3W〃v4,所以实

1a—330»

数〃的取值范围为[3,4).故选C.

3.(2024.福建厦门第四次质检)已知奇函数火处及其导函数/(x)的定义域均为R,火1)=2,当

A->0时，W)+AA-)>0,则使不等式成0>2成立的X的取值范围是.

答案：(-8,-1)U(1,+8)

解析：因为当QO时，,叭K)十外)>0，所以LV㈤片0,令F(©=MX),则析a)X),F(x)单调递

增，因为人¥)是奇函数，所以人幻=一/(一X)，所以尸(一了)=(一刈/(一幻=一工[一/(.0]=双幻=

厂(工)，所以尸(工)为偶函数，图象关于y轴对称，因为/(I)=2,所以F(1)=/(1)=2,所以必(幻>2,

即尸(外>尸(1),得|A»1,解得左一1或Q1,所以使不等式灯(x)>2成立的x的取值范围是(一

8,—1)U(1,+8).

考向3利用导数研究函数的极值、最值和零点

例3(1)(2024•广东执信中学二模)已知函数yU)=lnx十siiu,，式入尸底十sinx,若函数於)的

图象上存在点M且g(x)的图象上存在点N,使得点M和点N关于坐标原点对称，则。的取

值范围是()

A.[-3+8)B.(_8,一£|

C.[-/+8)D.(-8，一百

答案：A

解析：设M(x,fix)),则N(—x,—/U))在g(x)的图象上，，g(—x)=—,fix),即尔+sin(—x)

Inx.,Inx,x_2xlnx21nx~1.,,

=-Inx-sinr,・・〃=一-.令力Czr)=-则rtl〃'(.r)=--------=--p—,令"(用>0,

则正，此时力。)单调递增，令，(x)V0,则OVxV/,此时/?(x)单调递减，・•・〃(心的最

小值为/?(#)=-=工心一I.故选A.

NRDND

(2)(多选)已知函数危尸尸“一『(》0)有两个极值点汨和必且即<口，则下列结论正确的是

()

A.0<ii<lB.0<xiejt2<l

C.0勺3)<1D.fl>l-ln2

答案：ACD

e"砂e"(X1)

解析：/。)=&厂。一2¥,令/(x)=0,则：=2e“，令g(x)=:，则g'(x)=—力---，当XE(一

•V人

8,0)时，g'(x)<0,g(x)单调递减,当xW(O,1)时，g")<0,g(x)单调递减，当xW(L+8)

时，g'(x)>。，g(x)单调递增，故身。)的大致图象如图所示，依题意，若J(x)有两个极值点，则

2ert>e,即a>l—ln2,故D正确；注意到/(0)=©一">0,八1)=©皿-2<*2—2=0,故存在

川£((),1),使得/(xi)=。，故A正确；又e”-4=2XI，故/Cri)=e、i—〃一入彳=2xi—x?=l—

\f(xi)=0，Qx\—a=lx\*

(1-xi)2,由于内£(0,1),故0<人孙)<1,故C正确；因为即,C故

\f(及)=0，cx\—a=2x＞，

e]

菽=?，即1d2=犬2小，由于为£(0,1),工2>1，所以X2印>1，从而入田2>1,故B错误.故

ezX2

选ACD.

⑶(2024•全国甲卷泄线)，=V-3x与)，=一。-1)2+”在［0,+8)上有两个不同的交点，则“

的取值范围为.

答案：(一2,1)

解析：令『-3x=一(X—1)2+4,即4=丁+f—5x+1,令g(x)=V+f—5x+l(.¥>0),则g，(x)

=3f+2工一5=(31+5)・(工一1),令g")=0(A>0),得x=l,当J£(0,1)时，g'(x)<0,g(x)单

调递减，当xE(l,+8)时，/(外>0,g(x)单调递增，g(0)=l,g(l)=—2,因为曲线丫=.P

—3x与)，=—(x—1)2+〃在(0,+8)上有两个不同的交点，所以等价于直线)，=“与以后的图

象有两个不同的交点，所以a的取值范围为(一2,1).

方法指导

1.求函数的极值需先研究函数的单调性，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导

函数由负变正的零点是原函数的极小值点.

2.函数的极值的重要应用是研究函数对•应方程的根(或函数零点)，求解此类问题时可画出

函数草图，结合图形分析.

3.求函数)，=/(》)在M，句上的最值需先研究函数极值，函数的最值点必在以下各点中取到：

区间的端点、极值点或导数不存在的点.

对点精练

2

1.(多选)(2024.山东青岛二模)若函数负x)=ln(l+x)—ln(l—x)+「则()

A..人幻的图象关于点(0,0)对称

B../U)在(0，孝)上单调递增

C.凡1)的极小值点为当

D.«i)有两个零点

答案：AC

1+xX)，

2

解析：对于函数危)=ln(1+x)—In(1—x)+；,由j1—x>0，解得一lO<0或O〈E1,所以函

.#0，

2

数的定义域为(-I,0)U(0,1),又|一工)=ln(I—x)—In(1+幻一；=一

[in<1+x)—In(1-x)+：=—/x),所以人x)为奇函数，图象关于点(0,0)对称，故A

___1__2___1,一12—22—2.一2(«—1)

正确；乂〃“)=而一=一｝=木十二一9=4-，=~(>—1)『

(F当x£(0♦¥)时,/(4)<0,凡r)在(0*上单调递减，故B错误；当工仁(当，1)

时，/。)>0,凡中在停，1)上单调递增，根据奇函数的对称性可知7U)在(一1，一室)上单调

递增，在(一堂，0)上单调递减，所以凡0的极小值点为乎，极大值点为一堂，故c正确；

又/(X)恢小管=/G?=ln(3+2g)+26>0,且当x趋近于1时，J(x)趋近于无穷大，当x趋近

于。时，火处趋近于无穷大，所以人工)在(0,1)上无零点，根据对称性可知7U)在(一1,0〕上也

无零点，故«外无零点，故D错误.故选AC.

|2xlnx5x>0»

2.(2。24.广东广州六中二调)已知函数所葭+L，若杵且加)=加)，ML

Ml的最大值为.

答案：f3

解析：当x>0时，fix)=2x\nx,/(x)=2(l+lnx),当0<工<；时，/(x)VO,力。单调递减；

V

119

当时，凡单调递增，可得力在工=处取得极小值，且为一季作出

V/(x)>0,t)6V1Vy=/U)

的图象，如图所示，由图象可设X|VO,X2>0,由./Ui)=y(X2),可得2xi+l=2x21n%2，则比

—X2|=X2-X!=X2-G21n&一，=工2—12加不+9.设g(©=L.Hnx+^,X>0,则g'(x)=1-I-

lnx=-lnx,当x>l时，g'a)VO,g(x)单调递减；当0<v〈l时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

133

可得g(x)在x=l处取得最大值，且为1-0+]=》，则|xi—刈的最大值为]

算题勺押题

W>真题检验,

I.(多选)(2024.新课标I卷)设函数人工)=*-1)2(工一4),贝|J()

A.x=3是凡i)的极小值点

B.当oavl时，./U)勺U2)

C.当la<2时，一4JZL1)VO

D.当一1<x<0时，贝2~x)>fix)

答案：ACD

解析：对于A,因为函数人幻的定义域为R,而/(x)=2(工一l)(x—4)+(x—l)2=3(x—l》(x—

3),易知当x£(l,3)时，/(幻<0,当工£(一8,1)或X£(3,+8)时，〃X)>0,所以函数人》)

在(-8,])上单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3,+8)上单调递增，故x=3是九丫]的极

小值点，故A正确；对于B,当Owl时，因为x—f=x(l—%)>0,所以IXAv2〉。，而由A

项分析可知，函数./U)在(0,1)内单调递增，所以«¥)》(*)，故B错误；对于C,当1W2

时，l<2r-l<3,而由A项分析可知，函数｛r)在(1，3)内单调递减，所以13)勺(左-1)勺(1),

即一4<夕2^-1)<0,故C正确；对于D,当一1々<0时，42—幻一/(幻=(1—工)2(—2—4)一(犬

-l)2(x-4)=(x-l)2(2-2v)=2(l-x)3>0,所以12一幻刃"),故D正确.故选ACD.

2.(多选)(2024.新课标II卷)设函数人工)=2^—3加+1,则()

A.当。>1时，/U)有三个零点

B.当时0时，％=0是凡()的极大值点

C.存在a,6使得工=力为曲线y=yU)的对称轴

D.存在a,使得点(1,川))为曲线y=/U)的对称中心

答案：AD

解析：对于A,/(RuSF-GarnGxa—〃)，由于当/£(—8,o)u(a,+8)时，/(©>(),

故J(x)在(一8,0),3,+8)上单调递增，当x£(o,4)时，/(x)<0,故7U)在(0,a)内单调

递减，则火幻在x=0处取到极大值，在x=a处取到极小值，由的)=1>0,梃")=1-43<0,

则火0求。)<0,根据零点存在定理，可知_/U)在(0,幻内有且只有一个零点，又五-1)=一1一

3〃<0,人24)=4〃+1>0,则人一1加0)<0,.&?)42〃)<0,则.")在(一1,0),(a,2a)内各有一个

零点，于是当时，人灯有三个零点，A正确；对于B,/(x)=6x(x—a),由于〃<0,故当x

£(小0)时，/(X)<0,Qx)单调递减,当工£(0,+8)时，/)单调递增,此时凡。在x

=0处取到极小值，B错误；对于C,假设存在这样的a,b,使得犬=力为曲线)，=凡目的对

称轴,即存在这样的a,b,使得fix)=fl2b-x)t即2?—3加+1=2(26一劝3—30(26一灯+1,

易知等式左右两边％3的系数不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的〃，b,使得

为曲线y=/(x)的对称轴，C错误；对于D,解法一(利用对称中心的表达式化简)：人1)

=3—3〃，若存在这样的a,使得点(1,3—3〃)为曲线)，=组)的对称中心，则段)+,42—1)=6

-6a,事实上，贝x)+«2-x)=2?-3at2+1+2(2-x)3-3a(2~x)2+1=(12-6a)jr+(12a-

12—6〃=0，

12a—24=0，

(18—I2a=6—6a，

解得。=2,即存在a=2,使得点(1,/U))是曲线)，=/(x)的对称中心，D正确.解法二(直接

利用拐点结论)：任何三次函数的图象都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，

%)=2/—3OT2+I,f(x)=6.x2—6cix,f'(x)=\2x—6a,由(⑴=()=x=g,于是该三次函数的

图象的对称中心为点年后))，由题意可知点(1，川))也是对称中心，故胃=104=2,即存

在4=2,使得点(1,人1))为曲线y=«x)的对称中心，D正确.故选AD.

3.(2023•新课标H卷)已知函数以)=/一1口在区间(1,2)上单调递增，则〃的最小值为()

A.e2B.e

C.e-1D.e-2

答案：C

解析：依题意可知，/(4)=49—920在(1,2)上恒成立，显然a>0,所以设g(x)=

人Cc

xe(l,2),所以/(x)=(x+l)e、>0,所以g(x)在(1,2)上单调递增，g(x)>g(l)=e,故e*,

即心即〃的最小值为e?故选C.

hc

4.(多选)(2023•新课标II卷)若函数/5)=alnx+;：+?(a/))既有极大值也有极小值，则()

A.bc>()B.ab>0

C.Z?2+8ac>0D.ac<0

答案：BCD

解析：函数/U)=Hnx+§+5的定义域为(0,+8),求导得/(x)=f一9一手=丝~『2’，

因为函数凡r)既有极大值也有极小值，则函数/(处在(0,+8)上有两个变号零点，而存0,

"N=〃+8〃c>0，

因此方程加一队-2c=0有两个不等的正根汨,Q，于是4A，1A2=^°'即有〃+8*>0,

ab>0,〃c<0,显然〃26c<o,即从y。，A错误，B,C,D正确.故选BCD.

5.(2022•新高考I卷)设a=0.1e°Lbjc=~ln0.9,则()

A.a<b<cB.c<h<a

C.c<a<bD.a<c<b

答案：C

Y

解析:设析力=xe*(0VxW0.1),v(x)=-j^(O<x^O.I),n(x)=-ln(I-x)(0<x^0.1),则当

1X

OVxWO.l时，〃(幻>0,1，(外>0,Mx)>0.①设/U)=ln[Mx)]-ln[vCr)]=lnx+x-Unxfn(l

1x

-x)]=x+ln(l-x)(0<x<0.1),则/(x)=l—h=「<0在(0,0.1]上恒成立，所以/U)

在(0,0.1]上单调递减，配以40.1)V0+ln(l—0)=0,即In[“(0.1)]—In[i，(O.I)]VO,所以In

[w(0.1)]<ln[v(0.1)l，又函数y=lnx在(0,+8)上单调递增，所以“(o.l)Vv(O.l),即O.le°」

所以②设^(x)=w(x)-Mx)=xel+ln(1-X)(0<A<0.1),则以©=。+1修一±=

(1—)C")e'—1

-------------(OVxWO.l),设/?(%)=(!-A2)e'-1(0<x<0.1),则h\x)=(\一〃一/)炉>0在

1X

(0,0.1]上恒成立，所以力(X)在(0,0.1]上单调递增，所以力(x)>(l-()2)xe°-l=0,即g")

>0在(0,0.1]上恒成立，所以g(x)在(0,0.1]上单调递增，所以g(0.1)>0xe°+ln(l—0)=0,

即以0.1)=〃(0.1)—卬(0.1)>0,所以0.Ie°」>—ln0.9,即a>c.综上,c〈a〈b.故选C.

6.(2024•新课标I卷)若曲线)，=炉+工在点(0,1)处的切线也是曲线)，=ln(x+l)+a的直线，

则a=.

答案：In2

解析：设人工)=。，+/，则/(x)=e'+l,/(0)=e°+1=2,故曲线y=e"+x在点(0,I)处的切

线方程为)，=2x+1.设g(x)=ln(x+1)+〃，则^，Cr)=-^—,设切线y=2x+I与曲线y=\n(x

+1)+a相切的切点为(xo，In(xo+1)+a),则刈[]=2，解得M)=一；,则切点为(一J，a+In；),

由〃+ln9=2x(—£)+1,即4—In2=0,解得a=ln2.

刊,金版押题,

(多选)我们把方程上=1的实数解称为欧米加常数，记为。。和c一样，都是无理数，。还

被称为在指数函数中的“黄金比例下列有关。的结论正确的是()

A.QE(0.5,1)

B.In,=Q

1

C.Q=U,,U,其中u=-

!

p-v-4-rinr

D.函数凡0=4的最小值为寅为

人I1

答案：ABC

解析:对于A,构造g(x)=xe*_1,则。为g(x)的零点，因为g(r)=(x+l)eA,若xv—1,则

gG)vO,可知g(x)在(一8,—1)上单调递减，且g(x)vO,所以g(x)在(-8,一1)上无零点；

若.A一1,则/(x)>0,可知g(x)在(-1,+8)上单调递增，式0.5)=1>一1<0且g(i)=e—l>0,

所以g(x)在(-1,+8)上存在唯一零点。£(o.5,1),故A正确；对于B,因为。e0=l,Q

50.5,1),即古=e°,两边取对数，得InJ=lne"=0,故B正确；对于C,设/〃=。，

则”"=a,即d=小可得ae"=1,所以。=。，即O="""，故C正确；沟于D,构造h(x)

=ev—A—1,则做x)=4—1,令解得x>0,令〃(%)<0,解得x<0,可知〃(x)在(一8,

0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，则〃(x)2/?(0)=0,可得e*2x+l,当且仅当工=0

I1

—+ln

■5I।e'4-inx-~'7_Li-4-ln-4-14-Inx

e+.rlnxx_______e、叶Inx当且仅当J

时，等号成立,则於)=-=L

•4

XX

+ln7=0,即：一ln%=0时，等号成立，因为尸：，y=-Inx在(0,+8)上均单调递减，

人.V人

所以〃心)=：—Inx在(0,+8)上单调递减，且加⑴=1>0,“7(e)=：­1<0,可知m(x)在(0,

4V

+8)上存在唯一零点xo£(l，e),即演)>0,所以火此的最小值为凡ro)=l,不为/(Q),故D

错误.故选ABC.

专题作业

基础题(占比50%)中档题(占比30%)拔高题(占比20%)

题号1234567

难度★★★★★★★★

利用导数

导函数判断函数利用导数已知函数

利用导

与原函求函数已知函数的的单调性判断函数的单调性

对点数求切

数图象的极值最值求参数进而求不的零点个求参数范

线方程

的关系等式的解数国

集

题号891011121314

难度★★★★★★★★★★★★★★★★

利用导导数在导数在研究新定义背

利用导已知函数

数解决研究函函数单调利用导数景下导数

数解决的极值

对点不等式数单调性、极值、解决切线在研究函

公切线点、零点

恒成立性中的零点中的综问题数单调性

问题求参数值

问题应用合应用中的应用

一、单选题

I.(2024•河北邯郸四模)设函数/U)=x++的图象与x轴相交于点P,则该曲线在点尸处

的切线方程为()

A.y=-xB.y=­x-1

C.y=0D.y=x~1

答案：C

解析：令x+±=0,即x(x+2)+l=0,即(x+l)2=0,解得％=—1,故P(-l,0),f(x)

人I4

=1—(2,则/(—1)=1—(_[)2=0,故所求切线方程为y—0=0(x4-1),即y

=0.故选C.

2.如图是函数.v=/(x)的导函数)，=/(x)的图象，若＜2)=0,则y=/(x)的图象大致为()

答案：D

解析：由y=/(x)的图象可知，当()<r<l时,()</(x)<l,则在区间(0,1)匕曲线)，=八其上各

点处切线的斜率在区间(0,I)内.对于A,在区间(0,I)上，曲线y=«r)上各点处切线的斜

率均小于0，故排除A；对于B,在区间(0,I)上，曲线y=/U)上存在一点，在该点处切线

的斜率大于1，故排除B；对于C,在区间(0,1)上，曲线y=/U)上存在一点，在该点处切

线的斜率大于1，故排除C.故选D.

3.(2024・湖北孝感方子高级中学质检)函数段)=31口+京-4x的极大值为()

5

-

A.-2B.-2

7

C.-3D.—2

答案：D

解析：函数7U)=31nx+宗一4x的定义域为(0,+8),又/(幻=^—

4人人J-----

令/(x)=0,则x=l或x=3,所以当0〃<1或心>3时，/(幻>0,当1令<3时，/(x)vO,所以

小)在(0,1),(3,+8)上单调递增，在([,3)上单调递减，所以./U)的极大值为川)=0+%

7

4=一].故选D.

4.当x=1时，函数/(A)=«lnx+g取得最大值一2，则/(2)=()

人

A.-1B.—z

C.zD.1

答案：B

解析：因为函数KR的定义域为(0,+8),所以依题意可知，直1)=-2,/(1)=0,而/(力

="—4,所以b=-2,a-h=o,即a=-2,h=~2,所以玄幻二一3+卜二一‘"，当

04V］时，/(x)X),当x>l时，/(x)〈0,因此函数兀0在(0,1)内单调递增,在(1,+8)上单

调递减，当x=l时，小)取得最大值，满足题意，即有了(2)=-&-=3.故选B.

5.(2024•河北邢台名校联盟高二下学期6月月考)已知函数/)=232一炉+广。则关于x

的不等式五/-4)+_A3x)vO的解集为()

A.(-4,1)

B.(-1,4)

C.(-8,-4)U(1,+8)

D.［-1,4］

答案：C

解析：由题意，知五一x)+./(x)=0,.7/U)为奇函数，/(x)=2cosx—(e'+e—>2cosxW2,e'

+e122,・・・/a)W0,・・,/U)为减函数，由人/-4)+/(3*<0,即«?—4)勺(一31)，得/一4