高考数学二轮复习：函数的图象与性质

专题二函数与导数

小题专讲

第1讲函数的图象与性质

「考情研析」1.对函数图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的

图象，通过数形结合的思想解决有关函数性质的问题.2.求函数零点所在的区间、零点的

个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选填题的形式出现.3.与抽象函数相关

的函数性质问题是近几年音考命题的热点.

核心知识回顾

工知识串联

函数的现

实背景

函数;叫定义

概念与（

表示'表

示图象法、

方列表法、

图象与法

解析法

性质

函

数图象

的

性

应

质

用

函数零点与

方程的解导数在研究函

数中的应用

函数模型

的应川

2»结论记忆

⑴若/U）,g（x）在区间。上具有单调性，则在区间。上具有以下性质:

①/U）与flx）+C具有相同的单调性；

②当a>0时，加）与q"）具有蛔的单调性，当4Vo时，段）与0U）具有粗反的单调性;

③当於)恒正或恒负时，益)与7TL/具有把反的单调性；

④当/(X),双冷都是增(减)函数时，/Cr)+g。)是增城函数.

(2)复合函数单调性：同增异减.

复合函数加㈤)有：

当./U)与g(x)的增减性相同时，复合函数就是蛔数(同坤)；

当，仆)与g(x)的增减性相反时，狂合函数就是减历数(异减).

(3)若奇函数次处在关于原点对称的区间。上有最值，则/U)max+/U)min=()，且若。£。，则

购=。

(4)偶函数人工)对任意的x,都有/)=/(|x|).

热点考向探究

考向1函数的概念和表示方法

例1(1)(2024.安徽部分重点中学质检)若函数人入-1)的定义域为[-1,1],则函数y=

(r—1)

q；_]的定义域为(

A.(-1,21B.[0,2]

C.[-1,2]D.(1,2]

答案：D

解析：由函数人2%—1)的定义域为[―1,1],即一iWxWl,得一3<2x—1<1,因此由函数y

f(r—1)f—3Wx—1W1，f(Y—])

=JI,有意义，得<，八解得1<XW2,所以函数,的定义域为(1,

yjx—1次一1>0，A/x-I

ev♦xWO，i

(2)已知函数人》)=।八则不等式的解集是()

Inx,A>0»-

A.(—3,—in2]U(0,y[e]

B.(—8,—In2)

C.(0,Vc]

D.(-8,—|n2)U(0,加)

答案：A

解析：当xWO时，由得e*W+两边取以e为底的对数，得xW—ln2；当工乂)时,

由於）得Inxw],解得0<xWe；=#.综上，xW—In2或0<AW/.故选A.

乙乙

（3）（2024•山东日照一模）设/U）=W+ar+Ha,人£即满足对任意即WR,均存在心£上使得

人用）=/（m）一版2,则实数。的取值范围是.

答案：（-8,1]

解析：令万伏）=«丫）-2丫=1+3—2）%+4因为对任意xi£R,均存在X2《R，使得人闪）=兀0）

—2X2,所以外）的值域是A（x）的值域的子集，所以〃（X）min0U）min，即。一~"J）。一；

解得。W1,即实数4的取值范围是（-8,1].

方法指导

1.函数定义域问题的三种常见类型及解题策略

常见类型解题策略

定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建不等式

口知函数的解析式

（组）求解即可

抽象函数根据y（ga））中以幻的范围与人》）中x的范围相同求解

实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义

2.解决函数值域问题的四种常用方法

公式法、分离常数法、图象法、换元法.

3.分段函数问题的三种常见类型及解题策略

常见类型解题策略

弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，若求“层层套''的函数值，要从

求函数值

最内层逐层往外计算

根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取

解不等式

值范围这个大前提

求参数“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程

对点精练

I.已知函数/(.r)=ln干+T16—6,则/(2x)的定义域为()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(0,4]D.(0,2]

答案：D

x>()»

解析：要使函数Ax)=lnx+416-2”有意义,则，解得府)的定义域为

(0,4],由0V2xW4,解得0VxW2,所以人级)的定义域为(0,2].故选D.

2叶2-，后3，

2.(2024•江苏南通二模)已知函数次的=4/八则mog29)=()

答案：B

解析:因为Iog29>k)g28=3,所以/Uog29)=/(21og23)=/(k)g23),又k)g23<3,所以川og23)=3

,110工…「

+§=彳.故选B.

3.设函数儿6的定义域为O,如果对仟意的xE。，存在)心。，使得成立，则称

函数/U)为“☆函数”.给出下列四个函数：①y=x+3；②y=W—4x+5；③5：@y=

IZLAT，则其中是“☆函数,，的有()

A.1个B.2个

C.3个D.4个

答案：B

解析：由题意，得“☆函数犷刈的值域关于原点对称，因为)，="+3与，=丁一5的值域都为

R,所以这两个函数均为“☆函数"，而—4x+5的值域为[I,+8),y=|2r一的值域

为[()，+8),所以这两个函数不是“☆函数”.故选B.

考向2函数的图象

exccs(2ct)

例2(1)(2024•安徼合肥168中最后一卷)函数7U)=-口一(e为自然对数的底数〕的图

V1

象大致为()

答案：A

~ercos(2ex),»—八~[e'cos(—2e.r)JelveAcos(2e.r)

2v

解析：fix)=e2A_j的定义域为｛xg笫｝,fi~x)=i)e=]—e2r=

一/U),所以./U)为奇函数，故排除B,C；当x从右侧趋近于0时，e2v>l,所以e〃-1>0,

ev>l,cos(2e.r)>0,所以用)>0,故排除D.故选A.

(2)(2024.广东江门二模)若函数儿6的图象与圆C：炉+产=4恰有4个公共点，则.")的解析

式可以是()

A./(A-)=IW-2|B.-2闭

C.Av)=|2l-2|D.Ar)=|lgr|

答案：D

解析：作出y=|R-2|,y=^-2\x\,)，=|2"一2|,y=|lg『|的图象，如图所示，由图可知，危)

=|lg.P|满足题意.

，方法指导]对于非基本初等函数的图象的识别，常用间接法，排除错误的选项，解选正

确的选项.一般可以从以下几个方面入手:

(1)由函数的定义域判断图象的左右位置，由函数的值域判断图象的上下位置.

(2)由函数的单调性判断图象的变化趋势.

(3)由函数的奇偶性判断图象的对称性，即奇函数的图象关于原点对称，且函数在对称的区

间上单调性•致：偶函数的图象关于y轴对称，且函数在对称的区间上单调性相反，如本例

(1)中，函数是奇函数，其图象关于原点对称.

(4)从特殊点出发，排除不符合要求的选项.

对点精练

I.为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计LOGO的比赛，其中某

位同学利用某函数图象的一部分设计了如图的LOGO,那么该同学所选的函数最有可能是

()

A.fix)=x—s\nxB.fix)=siav-xcos,v

23

C./(A)=X—pD.i/(x)=sin.r+x

答案：B

解析：对于A,/(x)=l—cosx20,即./U)在定义域上单调递增，不符合题意；对于B,/(x)

=cos^—(cos.¥—xsin.r)=Asin.v,在(一2兀，一九)上，/(x)<0»在(一兀，兀)上，［(%)20,在(兀，2兀)

上，/(x)<0,所以在(一2兀，一兀)，(兀，2兀)上单调递减，在(一兀，兀)上单调递增，符合题

意；对于C,由次一人)=(一幻2-(_：)2=，-9=久0且定义域为3"0｝，知/U)为偶函数，

2

所以题图不可能在)，轴两侧，研究(0,+8)上的性质，/Q)=2X+R>0,故儿1)单调递增，

不符合题意；时丁D,由式一x)=sin(一©十(一»=一♦仄一/=一40且定义域为R,知人尢)

为奇函数，研究(0,+8)上的性质，/(x)=cosx+3d>0,故/(X)在(0,+8)上单调递增，所

以儿v)在R上单调递增，不符合题意.故选B.

俏；加，

2.(2024.山东潍坊二模)已知函数1x)=J12/•则儿r)的图象上关于原点对称的点

-，A<0，

有()

A.1对B.2对

C.3对D.4对

答案：C

解析：作出«r）的图象，再作出函数），=（§"320）关于原点对称的图象如图所示.因为函数

），=（§。20）关于原点对点的图象与y=一|『+2X|（.E0）的图象有三个交点，所以儿r）的图象

上关于原点对称的点有3对.故选C.

考向3函数的性质

（1）（2024•江淮十校第三次联考）已知函数於）满足乂x+§=-।,且居）=1,

例3

2024

则工

3

A.-1010B.-1010.5

C.0D.2024

答案：B

解析：••乂呜）=一而%~，•••/+号）=一"1犷\J（）=

，兀是於）的一个周期，又居）=1，管）=一看如=

••0+冗）=

—2,.,局+.婷）+火兀）=_|,・,・-M¥）=jg）+居）+674x（_1）=_10105故选B.

（2）（2024•宁夏银川二模）定义域为R的函数满足7U+2）为偶函数，且当用<n<2时，\J（X2）

5

一人叫）］3—制）>0恒成立，若。=火1），b=J（\n10）,c=A3%则a,〃，c的大小关系为（）

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<a<cD.c<a<b

答案：D

解析：当即<X2<2时，伏”2）一外1）］。2—内）>0恒成立，即当即42<2时，/2）次川，函数段）

在（一8,2）上单调递增，又兀t+2）为偶函数，即yu+2）=y（—x+2）,所以函数人t）的图象关

于直线x=2对称，则函数在（2,+8）上单调递减，〃=八1）=人3）,因为e2<io<G）<e3,

55

所以2=lne2<In10<lne3=3v3*所以川n10）»3）次3才）,即c<a<尻故选D.

a+4，"

（3）（2024•河北邯郸四模）已知〃>0,函数危）=/—是奇函数，则a=,b=.

答案：一11

必一1

解析：函数7U）的定义域为R,由/（x）为奇函数，则<O）=a+l=O,得a=-1,所以火K）=2A

=2（奶一ijr,因为函数段）为奇函数,所以兀0=一1一x）,所以2（乃一1*一2]=一[2-皿-1（

一2'],所以I/…用22'-2侬-m.（2，）2=2侬-1"-2"所以恒所以乃一“偿磔”一知=0,所以

产…此2'—1=0或23rM—2』0,所以2匕-1=1或2/?-1=一1,解得人=I或8=0（舍去）.

方法指导函数的三个性质及应用

性质应用

具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上，其图象、函数值、解析式和单调性

奇偶性

联系密切，研究问题时可转化到只研究部分（一半）区间上

单调性可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性

利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题转化

周期性

到已知区间上求解

注意增函数与减函数形式的等价变形：Y""丘四，句且处日2,则但一“2）伏内）-

及2）]>0="叫=4>0<=>/（A）在[a，/”上是增函数；8—X2）[/（AI）—

X2

y（x2）j<0」（"）,（也）<（）句（X）在m,句上是减函数.

X]X2

对点精练

I.设函数"i）=/"+依>0且内1）在区间（0,I）上单调递减，则〃的取值范围是（）

A.（0,I）

B.[2,+8）

C.（0,l）U[2,+8）

D.（0'加[2,4-oo）

答案：B

解析：当A1时，需要*x）=f—kN在区间（0,1）上单调递减，则注1,解得介2；当

OVE时，需要ga)=F-or+l在区间(0,1)上单调递增，则30,显然不满足要求.故选

B.

2.(2024•安徽淮北二模)若函数yU)=〃x+ln(F+l)是偶函数(e是自然对数的底数)，则实数。

的值为()

A.3B.一1

C.7D.

答案：B

e"+1

解析：依题意，./(—x)=./U)，即一4x+ln(e*+l)=ov+ln(e"+1),整理，得2ax，+In一口Tf

eIi

=0,即2at+ln廿=0,则有(2〃+l)x=0,因为x不恒为0,所以必有2a+1=0,解得a=

-：.故选B.

3.(2024•山东泰安四模)设./U)是定义在R上的奇函数，且X2+©=/(一%),当一I<3)时，

/)=log2(—6x+2),则｛苧)的值为()

A.2B.1

C.11D.—2

答案：D

解析：因为<工)是定义在R上的奇函数，且次2+幻=贝-x),则贝2+幻=一人外，所以处1+

x)=-A2+x)=/(x),所以函数府)的周期为4,所以居)=7俘_8)=0=~/(_护_

log[-6x(-£)+2]=-2.

考向4函数的零点与方程的根

例4(1)若函数/U)的零点与g(x)=512『一125的零点之差的绝对值不超过0.25,则函数人工)

可以是()

A./(A)=4X-1

B./(x)=|2x-l|

C.1/(X)=A34-X—2

D.危)=(31+1)2

答案：B

解析：对于A,flx)=4x~1的零点为点对于B,K6=|2x—1|的零点为:；对于C,危)=9

+%—2的零点为1；对于D,府)=(3%+1)2的零点为一；.因为局=512x9125=64—125

=-61<0,^(1)=512-125=387>0,g(l>g(§<0,且易知g(x)是R上的增函数，所以鼠工)

的零点在区间，1)内，再用二分法，取80=512、音一125=216—125=91>0,

«(§长仔)0，故g(x)的零点在区间6，J内，又7U),g(x)的零点之差的绝对■值不超过0.25,

所以只有八丫)=2t—1|的零点符合.故选B.

1—11~x\*OWxW2,

(2)已知函数…c当x£［O,8］时，函数F(x)=/(x)一乙恰有六个零点，

If(x—2),A>25

则实数&的取值范围是()

A住T)B.停•号

CB'9D(5t)

答案：B

解析：当OWxWl时，y(x)=l-(l-r)=x；当l<xW2忙，4此=1一。-1)=2一工当2yW4

2x—4，2v»W3，

时，0<r-2W2,可得/U)=4.一当4〃W6时，2<x-2W4,可得")=

—2Y+8，3<xW4，

4x-l6，4<启5，8A—48>6—7，

，,一/当6<xW8时,4<x-2W6,可得yU)=«,.x一八画出函数人©

-4x4-24，5<xW6，［―8x+64»7<xW8.

2—024—04

在［O,8］上的图象如图所不，由图象可知匕八=二_八=彳，k()B=q_c=M，函数尸(x)=，/(x)一匕

DU。DUJ

恰有六个零点，即函数y=凡¥)与函数y="的图象有6个交点，从图象观察可知，y=近在

24

直线0A与直线0/3之间即可满足题意，此时故选B.

JJ

方法指导

1.判断函数零点个数的方法

直接法直接求零点，令/U)=o,则方程解的个数即为函数零点的个数

利用函数零点存在定理，但利用该定理只能确定函数的某些零点是否存在，必须

定理法

结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点

数形结对于给定的函数不能直接求解或画出图象的，常分解转化为两个能画出图象的函

合法数的图象的交点问题

2.利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法

|方法一x利用函数零点存在定理构建不等式求解

先分离参数，分离参数后，转化为求函

数的值域(最值)问题

转化为两个熟悉的函数图象的位置关系

万后三R问题，从而构建不等式求解

对点精练

1.(2024•广东茂名模拟)若於:)为R上的偶函数,且外)=/(4一幻,当问0,2］时，人/)=2、

一1,则函数g(x)=3|sin(w)|—/U)在区间［一］，5］上的所有零点的和是()

A.20B.18

C.16D.14

答案：A

解析：因为凡r)为R上的偶函数，且40=A4—x),即.4一x)=/(4—x),yU+4)=*x),所以

函数,AM的周期为4,由兀i)=/(4—x),可得＜2+x)=/(2—X),所以函数y=/(x)的图象关于直

线工=2对称，令g(x)=3|sin(7tx)|—j(x)=0,则y(x)=3|sin(心)|,作出)=_/*)与)，=3卜皿收)|在

区间I-I,3J上的图象，如图所示，由图可得，两函数的图象在］一1,3」上一共有10个交点、，

且这10个交点的演坐标关于直线x=2对称，所以g(x)在区间［-1,5］上的所有零点的和是

20.故选A.

2.已知函数人工)=少一加3'+〃?+6,若方程人一用+人工)=0有解，则实数〃？的取值范围是

答案：[255+4,+°°)

解析：•・•函数凡6=9'—，〃3叶加+6,・\/(—x)+«r)=O,即91一心3、+〃?+6+9[—〃八31+山

+6=0,可得⑶+3一户一皿3叶3")+2〃?+10=0,令=3*+3),则彦2,可得尸一〃〃+2团

+10=0,即〃?(/—2)=尸+10有解，显然t=2无意义，故z>2,m=一：)=

f—2

--(--t-—---2--)---2-+--4(-t-—---2--)---+----]-4=r-2+y1^4+4>2Vr—i4+4,当且仅当，=5J-+2时，等号成立.

考向5函数的实际应用

例5(多选)(2024・湖南长沙模拟沆心亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个

质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生尸衰变，其半衰期是12.43年.样本中敬的质

量N随时间/(单位：年)的衰变规律满足'=此.2-册，其中M)表示瓶原有的质量，则(参考

数据：1g2M301)()

N

A.r=12.43log2^-

B.经过24.86年后，样本中的旅元素会全部消失

C.经过62.15年后，样本中的气元素变为原来的「

D.若x年后，样本中僦元素的含量为0.4M，则.016

答案：CD

，N/Nf

解析：由题意，得N=M2l2.43,故有M=212.43,左右同时取对数，得log2/=一77市.故

N1^861

--2

得1=-12.431啥M，故A错误；当1=24.86时，/V=^o-2'2.43=2Wo=^o,故B错误；当

_6215_1_x

1=62.15时，N=N(r2讨=2-5囚0=方N0，故C正确；由题意，得0.4")=N0・2由，化简得

()4Ml?

x=-12.43-log：-7；­=—12.431og2T=—12.43x(log22—logz5)=—12.43x(1—)og25)=—

J▼UJ

12.43x(1—圜=-12.43x(1-4詈)，将lg2M.301代入其中，可得正一

1-0.301

=16.43>16,故D正确.故选CD.

0.301

,方法指导I应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键

读题建模求解反馈

（1）一般程序:文字语言—数学语言T数学应用一检验作答.

（2）解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、

不等式和导数的有关知识加以综合解答.

对点精练

（2024.广东中山二模）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物,

降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气

中二氧化碳日平均最高容许浓度应不超过0.1%.经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧

化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为）%,且），随时间”单位：分钟）的变化规律可

以用困数3，=。。5+然看描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为

（参考数据：如3M.i）（）

A.11分钟B.13分钟

C.15分钟D.17分钟

答案：B

解析：由题意得，当，=0时，y=0.2,将其代入解析式得0.2=0.05+2,解得2=0.15,故

解析式为y=0.05+0.15e号，令0.05+0.15e4w0.1,解得化简得3,结合

In可得/212.1,所以该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为13

分钟.故选B.

真题冷押题

►真题检验

——Cl，x<0，

1.（2024.新课标I卷）已知函数段）=〈一，，.、、八在R上单调递增，则。的取值

ev+ln（x+1），BO

范围是（）

A.（一8,OJB.[-1,OJ

C.[一1,I]D.[0,+8)

答案：B

解析：因为火x)在R上单调递增，且当x>0时，凡r)=e，+ln(x+1)单调递增，所以

-------1-a-No、,

-2x(-1)解得一iWaWO,即〃的取值范围是[-1,0].故选B.

—oWe°+ln1，

2.(2024•新课标I卷)已知函数/U)的定义域为R,fix-2),且当.r<3时，fix)

=x,则下列结论中一定正确的是()

A.XIO)>KX)B.人20)>1000

C./10)<1000D./20)<10000

答案：B

解析:因为当x<3时,.")=%,所以川)=1,火2)=2,又因为式x)次-1)+/-2),则使3)42)

+«1)=3,a)水3)+式2)>5,«5)/4)+知3)>8,«6)45)+共4)>13,«7)46)+/(5)>21,«8)M7)

+46)>34,贝9)次8)+-7)>55,川0)次9)+旭)>89,川1)次10)+加)>144,加2)411)+

川0)>233,贝⑶M⑵+/11)>377,/4)秋⑶+贝12)>610,川514)+川3)>987，贝16)M15)

+/(14)>1597>1000,则依次下去可知/(20)>1000,B正确；且无证据表明A,C,D一定正

确.故选B.

3.(2024•新课标H卷)设函数y(x)=a(x+l尸一1,g(x)=cosj+24x,当x£(—1，1)时，曲线了

=/5)与)=8。)恰有一个交点，则。=()

A.11B.5

C.1D.2

答案：D

解析：令〃(X)=/U)—期*)=泼+4—1—COSX,/£(—1,1)»原题意等价于力(幻有且仅有一个

零点，因为g)的定义域关于原点对称，且〃(一x)=a(—x)2+a—1—cos(一大)=加+〃-1一

cosx=/i(x),则h(x)为偶函数，根据偶函数的对称性可知力(幻的零点只能为0,即4(0)=〃一2

=0,解得。=2.若。=2,贝4力。)=2f+1—cosx,x£(—1,1),由2/20,1—cosjvXb当

且仅当x=0时，等号成立，可得/?(x)N0,当且仅当x=0时，等号成立，即力。)有且仅有

一个零点0,所以。=2符合题意.故选D.

4.(2024.新课标II卷)设函数段)=(x+a)Jn(x+b),若犬i)20,则"+〃的最小值为()

A11

DB

A.8-4

C.ID.1

答案：C

解析：解法一：由题意可知，的定义域为(一/?,+°°),令x+a=O,得x=—〃；令In(x

+。)=0,得x=l—b.若一aW—b,当x£(一。，1一。)时，可知x+»0,In(x+/?)<0,此时

J(x)<Of不符合题意；若一Av—a<l—〃，当工£(一〃，1—6)时,可知x+a>0,In(x+5)<0,

此时,/(x)vO，不符合题意；若一”=1—〃，当工£(一力，1—A)时，可知x+a〈O,In(x+%)<0,

此时7tv)>0，当x£[l—b,+8)时，可知x+〃20,In(x+/?)20,此时人工)20,可知一。=1

一〃符合题意；若一〃>1一方，当x£(l—力，一〃)时，可知x+a<().In(x+/?)>()>此时/(x)v(),

不符合题意.综上所述，-a=l—b,即b=a+I,则，+后=〃+3+1)2=2(〃+§+；斗

当且仅当4=一/力=期等号成立，所以4+"的最小值为玄故选C.

解法二：由题意可知，/U)的定义域为(一8，+°°),令x+a=(),得了=-a；令ln(x+h)=O,

得x=l—〃，则当x£(一力，1一力时，ln(x+勿<0,故x+〃W0,所以1一。+〃W0；当.r£(l

-b,+8)时，In(x+/?)X),故x+a20,所以l-/?+a20,故1-〃+a=0,则层+^=,尸

+3+1)2=2(。+；)+；当当且仅当〃=—/,)=/时，等号成立，所以片+店的最小值为

；.故选C.

5.(多选)(2023・新课标I卷)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，

定义声压级LP=20x|g,其中常数poSo>O)是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同

声源的声压级：

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车1060〜90

混合动力汽车1050〜60

电动汽车1()40

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为“，I八,〃3,

则()

A.p会piB.〃2>10〃3

C.py=100/A)D.piW100〃

答案：ACD

解析：解法一：由题意可知，如£[60,90],仇引50,60],d=40,对于A,仇一名=

20xlg令20x1g空=20x]g行因为仇河暧则。[d=20xlg华0,即1g华0,所

唱21且〃i，〃2>0,可得pi2P2,故A正确；对于B，仇一仇=20x|g20xlg20x1g

焉因为见一包=仇一4。21。，则20x1g等10,即但言斗所以群®且P2,P3>0,

可得.2亚M，当且仅当d=50时，等号成立，故B错误；对于C,因为d=2（）xlg,

=40,即1g蓝=2,可得£=100,即p3=l（）Opo，故C王确；对于D,由选项A可知，LP]

一仇=20xlg防且仇一力产90—50=40,则20x1g440,即怆六2,可得/100

且pi，P2>O,所以p]W10Jp2，故D正确.故选ACD.

解法二：因为4=20xlg禽随着p的增大而增大，且年£[60,90],也力。，60],所以

加2兄，所以pi2P2，故A正确；由加=20x1g第得〃=/丸）10氤因为》3=4。，所以P3

401叩、，少；%，L

=p（）10前=100/%,故C正确；假设〃2>10〃3，则RO而>lOpolO而，所以10犷无>10,所以

%

I1

Lp2f>20,该式不可能成立，故B错误；因为*=逊詈=10益母2、],所以

PO1020

piWlOOpz，故D正确.故选ACD.

已知函数,，=4=）（一的图象绕着原点按逆时针方向旋转仪owewg角度,若得到

的图形仍是函数图象，则。可取值的集合为.

答案：o»|Uy»nJ

解析：画出函数），="，（一的图象，如图1所示，圆弧所在圆的方程为F+y2

=i（T书,B@书,在图象绕原点旋转的过程中，当点A从图1的位置旋转到点

（-1,0）时，根据函数的定义知，这个旋转过程所得的图形均为函数的图象，如图2所示，

此时绕着原点旋转的角度为0W6W全若函数图象在图2位置绕着原点继续旋转，当点B在

x轴上方，点A在x轴下方时，根据函数的定义知，这个旋转过程所得的图形均不是函数的

图象，如图3所示，此时转过的角度为与专，不满足题意；若所得图形在图3位置绕着

原点继续旋转，当整个图象都在x轴下方时，根据函数的定义知，所得图形均是函数的图象，

如图4所示，此时转过的角度为专W0—•故0可取值的集合为[（），f]u[y，7c.

专题作业

基础题（占比50%）中档题（占比30%）拔高题（占比20%）

题号1234567

难度★★★★★★★★★

指数函数、

指数函数函数图函数的

函数的定函数图象分段函数对数函数的

对点的实际应象的对奇偶性、

义域的识别及其应用图象及单调

用称性周期性

性的应用

题号891011121314

难度★★★★★★★★★★★★★★★

利用函

函数的定利用函数的

已知函数抽象函数函数的数的单

义域、值零点求参数

的零点个函数的定图象与性对称性、调性、奇

对点域、奇偶值；换元法

数求参数义质的综合零点、最偶性求

性、周期求函数的最

范围应用值不等式

性的综合值

的解集

一、单选题

1.函数人工）=皆不+（工一1）°的定义域为（）

73x—2

A.（|'+8）B.0»llu（l,4-oo）

,

2

-

3

,+8)D.l，+8)

答案：B

f3x-2>0，

解析：由已知得《八解得Q"!且印，所以函数於)的定义域为伶，山(1,+°°).

1和«

2.(2024•全国甲卷涵数於)=—/+©一。一、山在区间［-2.8,2.8］的大致图象为()

答案：B

解析：由题知函数7U)的定义域为R,关于原点对称，又区—1)=—F+(er-ex)sin(—£i=—

A-+(ev-e'v)sinA=/(x),所以函数_7U)为偶函数，所以函数火x)在区间［-2.8,2.8］上的图象关

于y轴对称，故可排除A,C；又川)=-1+(e—§sin1>一】+(e—5)si哈/一1一齐:一为(),

故可排除D.故选B.

3.(2024.湖北十一校第一次联考)某地投资。亿元进行基础建设，/年后产生的社会经济效益

为财=aM亿元,若该地投资基础建设4年后产生的社会经济效益是投资额的2倍，且再过

。年，该项投资产生的社会经济效益是投资额的8倍，则h=()

A.4B.8

C.12D.16

答案：B

解析：当f=4时，J(4)=ae4；=2a,/.e4；=2,再过t\年，J(4+h)=ae"''"=8〃，则炭"小

=8=23=8%得h=8.

‘2巾一8，xWl，

4.(2024•山东泰安二模)已知函数儿0=彳4](呜(x+1),彳＞1，且々〃)=-12,贝l」J(6一"】)=

.2

()

A.—IB.—3

C.-5D.-7

答案：D

解析：由题意知，当，〃W1时，4〃）=2近|-8=—12,得2”内=-4,又2"1>0,所以方程

无解；当/〃>1时，y（〃?）=4logW〃+1）=-12,得log［（〃?+l）=—3,即〃?+1=8,解得加=7,

22

所以人6一〃?）=<-1）=2一内一8=—7.故选D.

5.函数火、）=。'+4—e）（e是自然对数的底数）的图象关于（）

A.直线x=-e对称B.点（一e,0）对称

C.直线工=-2对称D.点（一2,0）对称

答案：D

解析：由凡¥）=^+4一6一。可得贝》一明二^一广科七八一外=0一"4一廿，所以1工一4）+贝一力

=0,则凡I）的图象关于点（一2,0）对称.故选D.

6.（2024•安徽淮北一模）已知定义在R上的奇函数於）满足川十力=川一分当x£（0,1）时,

fix）=2x,则川。g?36）=（）

9

-196

A.4B.

98

c--

8D.9

答案：B

解析：因为、/U)为奇函数且满足川+x)=/U—x),所以4(x+l)+l)=«l—(x+D),即/+

2)=A—x)=-A%)，所以/：x+d)=次(x+2)+2)=-/U+2)=-[—兀r)]=/(x)，所以月刈是周期

为4的周期函数.因为5=Iog232<log236<log264=6,所以0<6—log236VI,所以mog?36)=

_/Uog236-4)=一负4—log236)=*4—log236+2)=/(6—log:36)=26/g236=要短=!|=¥故选

B.

7.(2024•哈师大附中三模)已知2"=logw，Q)=log,Z?,则下列结论正确的是()

A.B.

C.Z?>当D.\a-b\<^

答案：D

解析：令段)=2"—log：x=2，+log2X,由2"=log：a,得<4)=0,由y=2,与)，=log2K在(0,

+8)上单调递增，得/(x)在(0,+8)上单调递增，又0=27+喔2；=21-2<0,4；)=23+

log21=^/2—1>0,故。金64)，故B错误