第1章 集合的含义与表示-人教A版必修第一册练习（学生版）

集合的含义与表示

知识剖析

1元素与集合的概念

一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或

集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）.

2集合的元素特征

①确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.

Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故“帅哥”不能组成集合.

②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.

Eg：两个学生名字都是“熊涛”，老师也要给他们起小名“熊大"“熊二”，以视区别.

若集合力={1,2,a},就意味。工1且a。2.

③无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换.

Eg：高一（1）班每月都换座位也改变不了它是（1）班的事实，{1,2,3}={2,3,1}.

3元素与集合的关系

若a是集合力的元素-，则称a属于集合4,记作Q64

若a不是集合4的元素，则称a不属于集合4记作ae4

Eg,菱形£{平行四边形），OGN,0[1,2,3,4）.

脑筋急转弯你能证明.上帝不是万能的么？

答案：如果上帝万能，他能否创造一块他举不起来的石头么？（这跟集合有什么关系呢？）

4常用数集

自然数集（或非负整数集），记作N；正整数集，记作N•或N+；整数集，记作Z；

有理数集，记作Q；实数集，记作R.

5集合的分类

有限集，无限集，空集0.

Eg：奇数集=2n+1,nE2}属于无限集，{%GR\x2+1=0）=0.

6集合的表示方法

①列举法

把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列举法.

②描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.

方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的•般符号及取值(或变化)范围，再画•条竖线，在竖线后写

出这个集合中元素所具有的共同特征.一般格式：{%W川p(%)}.

用符号描述法表示集合时应注意：

(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？

(2)元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表

面的字母形式所迷惑.

⑶Eg：

A={X\X2-X-2=Q)----方程/一%—2=0的解，即力={-1,2}：

B={x|x2-x-2<0}-------不等式/-x-2<0的解集，即B={x|-1<x<2}；

C={x\y=x2-x-2]----函数y=x2-x-2的定义域，即C=R；

D={y\y=x2-x-2}-------函数y=x2-x-2的值域，即。={y\y>一》：

E=[(x,y)\y=x2-x-2}-------函数y=x2-x-2的图像，它是个点集.

经典例题

【典题1】下列说法正确的是()

4某个村子里的高个子组成一个集合；

8.所有小的正数组成的集合；

C集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一个集合;

D.1,0.5,；,5,：,If这些数组成的集合有五个元素.

224yj4

【典题2】设集合A={2,1-a,a2-a+2],若4e4则。=

【典题3)用列举法表示集合A={2WZ|xGN]=

【典题4】若集合A={x|a/+2%+1=0,QwR}至多有一个元素，贝必的取值范围是

巩固练习

1(★)下列各组对象能构成集合的是()

A.充分接近的所有实数B.所有的正方形

C.著名的数学家D.1,2,3,3,4,4,4,4

2(W)以实数为元素所组成的集合最多含有()个元素.

A.0B.1C.2D.3

3(*)下面有四个命题：

(1)集合N中最小的数是1：(2)0是自然数；

(3){1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合；(4)aEN,bEN,则a+b不小于2..

其中正确的命题的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

4(**)设集合M={x\x=3k,kWZ),P=(x\x=3k+1,kEZ],Q=[x\x=3k-1,kEZ],若QW

M,,cEQ,则Q+8-C€()

A.MB.PC.QD.ML

P

5(1)已知％y,z为非零实数，代数式点+三+A+器的值所组成的集合是M,则下列判断正确的是()

HI\y\IG\^y^\

A.4cMB.2cMC.QCMD.-4cM

6(**)点的集合M={(x,y)\xy>0}是指()

A.第一象限内的点集B.第三象限内的点集

C.第一、第三象限内的点集D.不在第二、第四象限内的点集

7(★★)已知含有三个实数的集合既可表示成{Q,，l},又可表示成佃2,。+40},贝布2017+82018=

8(★★)若集合4={x\kx2+4x+4=0,xGR}中只有一个元素，则实数々的值为___.

9(★★)用列举法表示集合{m|号EN,meN,m<10}=.

101★★)集合A={xeZIy=击,yez}的元素个数为

!!(★★)用列举法表示下列集合

(1)11以内偶数的集合；

(2)方程(％+l)(x2-4)=0的所有实数根组成的集合；

(3)一次函数y=2xHy=x+1的图象的交点组成的集合.

121★★★)已知集合A={xIax2-3x+2=0,aE/?)

1)若4是空集，求Q的取值范围；

2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来;

3)若4中至多只有一个元素，求a的取值范围.

集合间的关系

知识剖析

1子集

①概念

对于两个集合力，氏如果集合力的任何一个元素都是集合8的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集

合/是集合R的子集(subset).

记作：21GB（或83/1），读作：人包含于B，或B包含4

当集合A不包含于集合8时，记作团生8或63A）.

②Verm图

2真子集

概念：若集合力但存在元素无E8且4,则称集合4是集合B的真子集.

记作：Ac8（或8=）"）

读作：入真包含于6（或8真包含力）

类比。与u的关系就好比工与小于〈的关系，"三"是小于或等于，“1”是真包含或相等;

Eg：3工3是对的，而3V3是错的，若avb,则aWb也成立；

对比下，AGA是对的，但Au4是错的，若AuB,则力也成立.

3集合相等

如果A是集合B的子集，旦集合8是集合4的子集，则集合A与集合B相等.

即AcB且BQA<=>A=B.

4几个结论

①空集是任何集合的子集：0U.4：

②空集是任何非空集合的真子集:

③任何一个集合是它本身的子集;

④对于集合力,B,C,如果Ac8且8cC,那么AcC；

⑤集合中有ri个元素，则子集的人数为2〃，真子集的个数为2"-1.

经典例题

【典题1】求集合力={xEN\O<x<4}的子集个数.

【典题2]己知集合/={x\x2-3%+2=0},B=[x\x2+2(a+l)x+a2-5=0},若8。4，贝ija的取

值范围.

【典题3】已知力=(x\x2-5x+4<0},F={x\x2-2ax4-a-F2<0},且8G4则a的取值范围为.

巩固练习

1(★★)设A,8是两个集合，有下列四个结论：

③若A生B,则对任意364有xWB；②若A《8,则集合A中的元素个数多于集合8中的元素个数：

③若则B&4④若则一定存在％W4有％C8.

其中正确结论的个数为()

A.4B.3C.2D.1

2(*★)已知集合力={x\x=k+；,kEN},B=[x\x=三一：,m6N},C=[x\x=：+：,nGN},则

62326

集合B、C的大小关系是()

.4.A^CB.C建A建BC.A^B=CD.A^B^C

3(★★)已知集合4={x\x2-3r+2=0},F={x|0<x<6,xeN},则满足Acfc8的集合。的个数为

()

A.4B.8C.7D.16

4(★★)已知集合〃=卜|x=m+*,m£7},N=[x\x=^-^fnF7^,则集合M,N的关系是()

A.MQNB.MC.NQMD.N麋M

5(**)已知集合P={正奇数}和集合M={x|x=a㊉b,Q£P,力WP},若MGP,则M中的运算“㊉”是

()

人加法B.除法C.乘法。.减法

6(**)已知集合力£{0,1,2},且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有个.

7(★★)定义集合4*8=卜氏£儿且》《8},若。={1,3,5,7},B={2,3,5},则4*8的子集个数为

8(★★)集合{yGN|y=-x2+6,xGN}的真子集的个数是.

9(**)集合4={-1,2},B={x\ax-2=0},若则由实数a组成的集合为.

1()(★★)已知集合A={x\x>1],B={x\ax>1},若BQA,则实数。的取值范围.

11(★★★)己知集合A=[x]x2-3x-10<0}.

।I)若3={x\m-6<x<2m-1],AQBt求实数m的取值范围；

[II)若8={r|n?4-1<r<—1},A?c4,求实数m的取值范围.

口(★★★)已知集合力={x|l<x<2],B={x\x2-ax+4>0},若AQB,求实数a的取值范围.

集合的基本运算

N知识剖析

1并集、交集、补集

并集交集补集

由所有属于集合4或属于由属于集合4且属于集合对于集合4由全集U中不

集合B的元素所组成的集B的元素所组成的集合，属于集合力的所有元素组

概念

合，称为集合4与B的并集.称为集合4与8的交集.成的集合，称为集合力相

对于全集U的补集.

记号

力U8（读作并B）力口6（读作交5）（读作S的补集）

符号NUB={x|xE4或x68}408={x|xEA且工EB}CyA=[x\xeU,xA}

图形

表示

2结论

若408=4则力GB；若=4则8£4

3运算律

①交换律A\JB=8LM,AC\B=BC\A；

②结合律（/iufi）uc=/iu（Buc）,（znF）nc=/in（Bnc）：

③分配律（4nB）uc=G4nc）u（Bnc），（4U8）nc=（力nc）u〔8nc）；

④德摩根律Q(AUB)=S)n(Q8),QQinB)=(C")U(Q8).

经典例题

【典题1】离散型集合运算

已知集合(/="€2|-3<%<8},CuM={-2,1,3,4,7},N={-2,-1,2,4,5,7},

则MAN的元素个数为.

【典题2】连续型集合运算

已知全集U=R,集合A={x\x2-3x-4<0},J?=[x\x-1<0},则集合4nQB=,

【典题3】设力=(x\x2+8%=0),5={x\x2+2(a+2)x4-a2—4=0},其中QER,如果AU8=力，求

实数a的取值范围.

22

【典题4]已知4={x\x-4x+3<0},B=(x\x+mx+n<0]f且4n8H0,4U8={x|l<x<

4),求m的取值范围.

巩固练习

!(★)已知集合〃={234,5,6,7},M={3,4,5,7},N={2,4,5,6),则()

A.Mn/V={4,6}B.M\JN=UC.(QN)UM=UD.(QM)CN=N

2(★)已知集合4={2。-1,。2,0},8={1一见。一5,9},且力08={9},则()

.4.A={9,25,0}B.A={5,9,0}

C.A={-7,9,0}D.4UB={-7,9,0,25,—4}

?(★★)设M=(x\m<x<m+g},N=(x\n-^<x<九}都是{x|0WxW1}的子集，如果b-a叫做集合

{x|aWxWb}的长度，则集合MCIN的长度的最小值是()

A.1B.-C.\D.

34612

4(")设集合P={x\x+2>x2},Q={xeN\\x\<3),则PCQ=.

5(**)设集合A={x\x2-(a4-3)x+3a=0},8={x\x2-5x+4=0],集合/U8中所有元素之和为8,则

实数a的取值集合为：.

6(#)已知集合力={x\x2-x-2<0},B={x\a-2<x<a],若力n5={x|-1<x<0],

则WUB=.

7(★★)设4={x\x2+4x=0},B={x\x2+2(a+1)x4-a2-1=0},其中%GR,如果4CB=B,则实数a的

取值范围.

&(★★)已知集合力={x|M-5%+6=0},8={x|mx+1=0},若AU8=力，则实数m的取值集合

为一

出★★)已知集合A={x|—2<x-1<2},集合3=[x]x2—(2a—l)x+a2—a=0}.

(1)若4n8={2},求Q的值；(2)若4U8=4求Q的取值范围.

1()(★★★)已知集合力=(x|2zn—1<xV3m+2},8={x|xW-2,或xN5},是否存在实数m,

使4CBH0?若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.

!!(★★★)设集合4={x\x2—3x+2=0],B={x\x2+2(a+l)x+(a2—5)=0}

(1)若力n8={2},求实数Q的值：

(2)若1)=R,An(QB)=A.求实数a的取值范围.

仁(★★★★)已知集合力=(x\x=m+nV3,且m?-3n2=1,m,neZ).

il)证明：若则%+?是偶数；

[2)设QWA,且1VQV4,求实数a的值：

[3)设cW4求证：嗝，|€力；并求满足2+V5VcW(2+VS)?的c的值.

集合A—{的,a2>...,an}>任取1Wi<j<kW7i,a(+ajeA,aj+akeA,at+afe€

.4,

这三个式子中至少有一个成立，则九的最大值为

1.4充分条件与必要条件

1.5全称量词和存在量词

知识剖析

1充分条件与必要条件

①概念

一般地，”若P，则q”为真命题，是指以p为已知条件通过推理可以得出q.

这时，我们就说，由p可以推出q,记作p=q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.

如果”若p,则q”和它的逆命题”若%则p”均是真命题，

即既有p=q，又有q=p,就记作poq,

此时p即是q的充分条件也是必要条件，我们说p是q的充要条件.

②p是q的条件(填写是否充分、必要)

完成此题型，可思考

从左到右，若p=q则充分，若p#q则不充分；

从右到左，若q=p则必要，若q#p则不必要.

Eg：帅哥是男人的______条件.

从左到右，显然若4是个帅哥，那他肯定是男人，即充分；

从右到左，若B是男人，他不一定是帅哥了，即不必要；故答案是充分不必要.

③从集合的角度理解一一小范围推得山大范围

(1)命题p、q对应集合儿B,

若AG8,则p=q,即p是q的充分条件；若A£B,则p#q,即p不是q的充分条件.

备注若4G8,则称力为小范围，8为大范围.

Egl：帅哥是男人的条件.

设集合力=｛帅哥｝,集合8=｛男人｝,显然AGB,｛帅哥｝是小范围，推得出｛男人｝这个大范

围，即充分条件；故答案是充分不必要条件.

Eg2：%>1是2的不充分必要条件，因为｛%仅>2｝Q｛Rx>1｝.

(2)结论

①若p是q的充分不必要条件，则AG8；②若p是q的必要不充分条件，则8与4

③若p是q的充分条件，M/lcS;④若p是q的必要条件，则8G4

⑤若p是q的充要条件，则4=B.

2全称量词与存在量词

①全称量词

(1)短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“D”表示.

(2)含有全称量词的命题称为全称命题.

全称命题"对M中任意一个工,有p(x)成立"，记作VxEM,p(x).

Eg：对所有末位数是0的数能被5整除，Vx>0,x+^>2.

②存在量词

(1)短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用勺”表示.

(2)含有存在量词的命题称为特称命题.

特称命题“存在M中的一个工,使p(x)成立"，记作m,p(x).

Eg：至少有一个质数是偶数，3x>0,x2-2%+3<0.

③全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，它们的真假性是相反的.

Eg：Vx>l,x2>1的否定是mx>l,x2<1.

Vx>l,x2>1是真命题，3x>l,x2<1是假命题.

经典例题

【题型一】充分条件与必要条件

【典题1】设a>0*>0,则“a+bN2”是“a2+b2?2”的()

A.充分不必要条件8.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【典题2】若。/是正整数.则〃+融充要条件是()

A.a=b=1B.a,b有一个为1

C.a=b=2D.。>1月力>1

【典题3】若“％2-3%-4>o”是-3ax_10a2>0”的必要不充分条件，求实数a的取

值范围.

巩固练习

1(★★)已知Q>0,b>QjnER,则“Q<b”的一个必要不充分条件是()

A.am<bmB.-7<—7C.am2<bm2D.a+m2<