函数的平均变化率课件2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

第1章

导数及其应用

1.1.1函数的平均变化率

爬山能改善视力，增强心肺功能，锻炼四肢的协调能力，在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数学来刻画山坡的平缓与陡峭程度呢？如果山坡是平直的，我们可以用“坡度”来刻画山坡的陡峭程度．ABθC该动点在任何一个时间段[a，b]内的平均速度都等于0.5，是常数.由此可见，该动点做匀速运动，且在任何时刻的速度都是0.5.例1

设数轴上的动点P在任何时刻t的位置均可用函数f(t)=0.5t+1表示，求该点P在时间段[a，b]内的平均速度v[a，b].所以点P在时间段[a，b]内的平均速度为0.5.它有怎样的几何意义呢?tyOy=0.5t+1ABabf(a)f(b)b-af(b)-f(a)图1.1-1如果y=f(t)不是一次函数，则其图象不是直线而是曲线.

线段AB的斜率

仍然等于动点在时间段[a，b]内的平均速度.tyOy=f(t)ABabf(a)f(b)b-af(b)-f(a)图1.1-2解：物体在时间段[1，3]内的平均速度为例2

某物体做自由落体运动，其运动方程为，其中t为下落的时间(单位：s)，g为重力加速度，大小为9.8

m/s2

.求它在时间段[1，3]内的平均速度.

x2－x1y2－y1_________(或

.)函数的平均变化率就是曲线的割线的斜率，这也是函数平均变化率的几何意义.例3

已知函数f(x)=3x+2，g(x)=x2分别计算它们在区间[-2，-1]，[1，5]上的平均变化率.解：函数f(x)=3x+2在[-2，-1]上的平均变化率为函数f(x)=3x+2在[1，5]上的平均变化率为例3

已知函数f(x)=3x+2，g(x)=x2分别计算它们在区间[-2，-1]，[1，5]上的平均变化率.解：函数g(x)=x2在[-2，-1]上的平均变化率为函数g(x)=x2在[1，5]上的平均变化率为根据上述计算，你能总结计算平均变化率的步骤吗？这里算出的平均变化率有正有负，如何理解呢?求平均变化率的主要步骤:(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1；知识归纳注意1：函数的平均变化率可正可负可为零，反映函数y＝f(x)在[x1，x2]上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快．注意2：

例4

充满气的气球近似为球体.在给气球充气时,我们都知道,开始充气时气球膨胀较快,随后膨胀速度逐渐缓慢下来，从数学的角度,如何描述这种现象呢?解：气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是若将半径r表示为体积V的函数,那么当空气容量V从0L增加到1L,气球半径增加了气球的平均膨胀率为当空气容量V从1L增加到2L,气球半径增加了气球的平均膨胀率为

随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小AC4.已知函数f(x)＝2x2－4的图像上两点A，B，且xA＝1，xB＝1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为(

)A．4

B．4x

C．4.2

D．4.02C

B割线斜率山坡陡峭程度平直函数的平均变化率弯曲坡度以直代曲本节课我们是如何研究平均变化率的，谈谈你对