《初中数学中考复习函数建模专题》课件

专题七函数建模类型清单类型一

一次函数建模类型二

反比例函数建模

类型三

二次函数建模一次函数的实际应用问题是指运用一次函数的知识解决日常生产、生活中的实际问题,考查了学生对函数知识的识别能力和应用能力,激发学生的学习兴趣并且让学生体会数学的应用价值,发展学生建模观念的核心素养.题型讲解类型一一次函数建模例题112本类型题主要考查与一次函数图象及性质有关的综合试题,解题的关键是利用数形结合的数学思想,准确把握数量之间的对应关系,以建立相对应的一次函数模型,运用待定系数法求函数解析式,并熟练运用方程与不等式的性质解决问题.方法点拨例题112解题技巧从给定的信息中抽象出一次函数关系,理清哪个是自变量,哪个是自变量的函数,再利用一次函数的图象与性质求解,同时要注意自变量的取值范围;一次函数的图象是直线,因此没有最大值与最小值,但实际问题中的一次函数,自变量的取值范围一般受到限制,其图象可能是线段或射线,此时就存在最大值或最小值,所以利用这一性质也是解决一次函数最值问题的突破口.例题112(河北模拟)“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”.为扩大粮食生产规模,某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具.已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元,购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元.例题1例题112(1)购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元?

(1)列二元一次方程组求解即可.思路指导例题112(2)若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件,且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元,设购进甲种农机具m件,则有哪几种购买方案?哪种购买方案需要的资金最少,最少资金是多少?(2)①找不等关系,列不等式组,求出m取值范围,结合m为整数确定求购方案;②列出需要的总资金与购进甲农机具的数量m的函数关系式,利用一次函数性质求解即可.思路指导例题112

例题112方案三:购买甲种农机具7件,乙种农机具3件.设总资金为w万元,w=1.5m+0.5(10-m)=m+5.∵k=1＞0,∴w随着m的减少而减少.∴m=5时,w最小=1×5+5=10(万元).∴方案一需要资金最少,最少资金是10万元.例题112(3)在(2)的方案下,由于国家对农业生产扶持力度加大,每件甲种农机具降价0.7万元,每件乙种农机具降价0.2万元,该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具(可以只购买一种),请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种.(3)列二元一次方程,并求非负整数解.思路指导例题112

例题1121.无锡阳山盛产水蜜桃,上市期间,一外地运销客户安排15辆汽车装运A,B,C三种不同品种的水蜜桃120吨到外地销售,按计划15辆汽车都要装满且每辆汽车只能装同一种品种的水蜜桃,每种水蜜桃所用车辆都不少于3辆.当堂检测例题112

解:(1)∵装运A种水蜜桃的车辆数为x,装运B种水蜜桃的车辆数为y,则装运C种水蜜桃的车辆数为(15-x-y),则10x+8y+6(15-x-y)=120,解得y=15-2x.(1)设装运A种水蜜桃的车辆数为x,装运B种水蜜桃的车辆数为y,根据下表提供的信息,求出y与x之间的函数关系式.水蜜桃品种ABC每辆汽车运载量(吨)1086每吨水蜜桃获利(元)80012001000例题112(2)为了减少水蜜桃积压,无锡市制定出台了促进水蜜桃销售的优惠政策,在外地运销客户原有获利不变的情况下,政府对其中A,C两种水蜜桃按每吨m元(200≤m≤500)的标准实行运费补贴.若要使该外地运销客户所获利润W(元)最大,应采用哪种车辆安排方案?

例题112

方案三:A,B,C三种车分别为5辆,5辆,5辆.方案四:A,B,C三种车分别为6辆,3辆,6辆.W=10×800x+8×1200(15-2x)+6×1000x+10mx+6mx,∴W=(16m-5200)x+144000,当200≤m＜325时,16m-5200＜0,应采用A,B,C三种车分别为3辆,9辆,3辆,所获利润W最大;当m=325时,四种方案获利一样,都是144000元;当325＜m≤500时,16m-5200＞0,应采用A,B,C三种车分别为6辆,3辆,6辆,所获利润W最大.例题1122.随着疫情形势稳定向好,“复工复产”成为主旋律.某生产无人机公司统计发现,公司今年2月份生产A型无人机2000架,4月份生产A型无人机达到12500架.(1)求该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率;解:(1)设该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为x,根据题意可得2000(1+x)2=12500,解得x1=1.5=150%,x2=-3.5(不合题意,舍去)答:该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为150%.例题112(2)该公司还生产B型无人机,已知生产1架A型无人机的成本是200元,生产1架B型无人机的成本是300元,现要生产A,B两种型号的无人机共100架,其中A型无人机的数量不超过B型无人机数量的3倍,公司生产A,B两种型号的无人机各多少架时才可能使生产成本最少?

(2)设生产A型无人机a架,则生产B型无人机(100-a)架,需要成本为w元,依据题意可得a≤3(100-a),解得a≤75,w=200a+300(100-a)=-100a+30000,例题112

∵-100<0,∴当a的值增大时,w的值减小.∵a为整数,∴当a=75时,w取最小值,此时100-75=25,w=-100×75+30000=22500,∴公司生产A型无人机75架,生产B型无人机25架成本最小.例题112类型二反比例函数建模题型讲解反比例函数的知识在生产和生活方面经常被用到,掌握这些知识对学生参加实践活动,解决日常生活中的实际问题具有重要意义,通过学习反比例函数,学生应明确函数、方程、不等式是解决实际问题的三种重要的数学模型.例题234方法点拨在中考考查题型中,若已知函数关系为反比例关系,可用待定系数法求解函数解析式.若不知函数关系,一般先寻找等量关系,确定表达式;然后利用表达式,代入x或y“知一求一”,或者利用函数图象和性质解决问题.例题234解题技巧解决此类问题一般需要关注两个方面:(1)从实际问题中抽象出数学问题,建立反比例函数的数学模型;(2)注意在实际问题中函数自变量的取值范围,用数学知识去解决问题时,要注意自变量要符合实际意义.例题234在一次矿难事件的调查中发现,矿井内一氧化碳浓度y(mg/m3)和时间x(h)的关系如图所示:从零时起,井内空气中一氧化碳浓度达到30

mg/m3,此后浓度呈直线增加,在第6小时达到最高值发生爆炸,之后y与x成反比例关系.请根据题中相关信息回答下列问题:例题2例题234(1)求爆炸前后y与x的函数关系式,并写出相应的自变量取值范围;

(1)用待定系数法求得解析式即可,注意依据自变量取值范围分段;例题234思路指导

例题234(2)当空气中一氧化碳浓度上升到60mg/m3时,井下3km深处的矿工接到自动报警信号,若要在爆炸前撤离到地面,问他们的逃生速度至少为多少?

(2)代入函数值,求得x值,再依据路程、时间、速度的关系求解;例题234思路指导(3)矿工需要在空气中一氧化碳浓度下降到30mg/m3及以下时,才能回到矿井开展生产自救,则矿工至少要在爆炸多少小时后才能下井?(3)代入函数值,可得关于x的分式方程,求解即可.例题234思路指导

当堂检测

例题234中的某位置(忽略空气阻力).设运动员飞出时间为t秒,运动员与点A的竖直距离为h米,运动员与点A的水平距离为l米.经实验表明:h=6t2,l=vt.例题234(1)求k的值.

例题234(2)当v=5,t=1时,通过计算判断运动员是否落在滑道上.

例题234(3)若运动员甲、乙同时从A处飞出,已知甲离开点A的速度是5米/秒.当甲距x轴4.5米时,乙恰好位于甲右侧4.5米的位置,求t的值与运动员乙离开A的速度.(3)由题意知h甲=18-4.5=6t2,解得t=1.5,∵v乙t-v甲t=4.5,∴1.5(v乙-5)=4.5,解得v乙=8.答:t的值为1.5,运动员乙离开A的速度为8米/秒.例题2344.(石家庄42中模拟卷)某超市一段时期内对某种商品经销情况进行统计分析:得到该商品的销售数量P(件)由基础销售量与浮动销售量两个部分组成,其中基础销售量保持不变,浮动销售量与售价x(元/件,x≤20)成反比例,销售过程中得到的部分数据如下:例题234售价x810销售数量P7058(1)求P与x之间的函数关系式;

例题234(2)当该商品销售数量为50件时,求每件商品的售价;

例题234(3)设销售总额为W,求W的最大值.

例题234类型三二次函数建模二次函数在中考数学中常常作为压轴题,具有一定的综合性和较大的难度.事实上,我们只要理清思路,抓住关键词,判断函数的类型,注意挖掘隐蔽的条件和内在联系,建构函数知识体系,利用相关知识解决问题.当思维受阻时,要及时调整思路和方法,并重新审视题意,既要防止钻牛角尖,又要防止轻易放弃.题型讲解例题356方法点拨通过已知条件,抓住关键词,用字母表示题中的量,建立相关的函数表达式,再利用其图形和性质解决问题.例题356(1)设出未知数(x和y).(2)列出表达式.(3)求出自变量取值范围,利用函数图象和性质解决问题.(4)画出区间图象.(5)利用函数图象和性质解决问题.若需求出最值,分析出最高点(最低点)即可求出最值.解题技巧例题356某超市经销一种销售成本为每件40元的商品.据市场调查分析,如果按每件50元销售,一周能卖出500件;若销售单价每涨1元,每周销量就减少10件,设每件涨价x(x≥0)元.(1)写出一周销售量y(件)与x(元)的函数关系式.例题3例题356(1)根据销售单价每涨1元,每周销量就减少10件列出函数关系式即可;思路指导解:(1)由题意得y=500-10x(0≤x≤50).(2)设一周销售获得毛利润w元,写出w与x的函数关系式,并确定当x在什么取值范围内变化时,毛利润w随x的增大而增大.(2)根据一周的销售量×每件销售利润=一周的毛利润,列出w关于x的函数关系式,再根据二次函数的性质求解;例题356思路指导(2)由题意得w=(50-40+x)(500-10x)=-10(x-20)2+9000,∴a=-10,抛物线开口向下,对称轴是直线x=20,∴当0≤x≤20时,毛利润w随x的增大而增大.(3)超市扣除销售额的20%作为该商品的经营费用,为使得纯利润(纯利润=毛利润-经营费用)最大,超市对该商品售价为多少元时,纯利润最大?最大纯利润为多少?(3)根据纯利润=毛利润-经营费用列出函数关系式,再根据二次函数的性质求解.例题356思路指导(3)由题意得纯利润=(50-40+x)·(500-10x)-(50+x)(500-10x)×20%=x(400-8x)=-8(x-25)2+5000,∵a=-8,抛物线开口向下,∴当x=25时,纯利润最大,为5000元,此时商品售价为50+25=75(元).答:该商品售价为75元时,纯利润最大,最大纯利润为5000元.例题3565.春节前夕,某花店采购了一批鲜花礼盒,成本价为30元/件,物价局要求,销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于120%.分析往年同期的鲜花礼盒销售情况,发现每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)近似地满足一次函数关系,数据如表:当堂检测

例题356销售单价x(元/件)…405060…每天销售量y(件)…300250200…

例题356(1)直接写出y与x的函数关系式.(2)试确定销售单价取何值时,花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大?并求出最大利润.

(2)设每天获得的利润为W元,则W=(-5x+500)(x-30)=-5x2+650x-15000=-5(x-65)2+6125,∵0≤x-30≤30×120%,∴30≤x≤66.∵抛物线开口向下,对称轴是直线x=65,∴当x=65时,W有最大值,为6125.∴销售单价为65元时,销售利润最大,最大利润为6125元.例题356

例题356(3)花店承诺:今年每销售一件鲜花礼盒就捐赠n元(n<5)给“爱心基金”.若扣除捐赠后的日利润随着日销量的减小而增大,则n的取值范围是多少?6.在端午节前夕,某校八年级的三名同学到超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况.调查获知,若粽子每个定价为3元,每天能卖出500个,这种粽子的售价每上涨0.1元,其销售量将减少10个(物价局规定,商品最高零售价不得超过进价的240%).(1)若商场每天要获得800元的销售利润,该如何定价?

例题356

∴x≤2×240%,即x≤4.8.∴3≤x≤4.8.∵商场每天要获得800元的销售利润,∴(x-2)[500-100(x-3)]=800.

∴x2-10x+24=0.∴(x-4)(x-6)=0.∴x=4或x=6.∵x=6和3≤x≤4.8矛盾,故舍去,∴x=4,即若商场每天要获得800元的销售利润,定价为4元.例题356(2)商场日盈利能否达到1000元?

例题356(3)当定价为3.9元和4.3元时,商场的日盈利分别为多少?定价多少时,盈利较多?

(3)当x=3.9时,商场每天销售利润=-100×3.92+1000×3.9-1600=779(元),当x=4.3时,商场每天销售利润=-100×4.32+1000×4.3-1600=851(元),∵851>779,∴定价4.3元盈利较多.例题356

C987654321

D9876543213.(唐山二模)为了解城镇民营企业员工每月的收入状况,统计局对全市城镇民营企业员工月平均收入随机抽样调查,将抽样的数据按“2000元以内”“2000~4000元”“4000~6000元”和“6000元以上”分为四组,进行整理,分别用A,B,C,D表示,得到下面两幅不完整的统计图.由图中所给出的信息解答下列问题:987654321(1)本次抽样调查的员工有

人,在扇形统计图中x的值为

,表示“月平均收入在2000元以内”的部分所对应扇形的圆心角的度数是

;5001421.6°987654321(2)将不完整的条形统计图补充完整,并估计该市城镇民营企业20万员工中,每月的收入在“2000~4000元”的约多少人?

987654321(3)统计局根据抽样数据计算得到,该市城镇民营企业员工月平均收入为4872元,请你结合上述统计的数据,谈一谈用平均数反映月收入情况是否合理?解：不合理,因为平均数受极端值的影响较大,不能更好地代表数据的一般水平,应该用中位数或众数代表.987654321

987654321根据以上信息,回答下列问题:(1)本次共调查了

名参加者,并补全条形统计图,打分的中位数是

;204.5解：补全图形如下:987654321(2)若从打分较低的四人中随机抽取2位进行详细了解,求选中“打分都是3分的参加者”的概率;解：列表如下:

12331

(2,1)(3,1)(3,1)2(1,2)

(3,2)(3,2)3(1,3)(2,3)

(3,3)3(1,3)(2,3)(3,3)

987654321

987654321题型讲解(3)若再增补调查5位参加者,他们的打分分别为:4,4,4,3,3,则增加调查人数前后,本次活动打分情况的众数是否发生改变?若改变,求这个众数;若未改变,请说明理由.解：众数没有发生改变,理由：增加5位参加者的打分后,统计结果是:得5分的有10人,得4分的有9人,得3分的有4人,得2分的有1人,得1分的有1人,这组数据的众数是5,原数据的众数也是5,由此可知,众数没有发生改变.9876543215.(秦皇岛模拟)某校七、八年级共有600名学生,为了解该校七、八年级学生对诗词知识的掌握情况,从七、八年级学生中各随机抽取15人进行诗词知识测试,统计这部分学生的测试成绩(成绩均为整数,满分10分,8分及以上为优秀);相关数据统计、整理如下:七年级抽取学生的成绩:6,6,6,8,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,10.七、八年级抽取学生的测试成绩统计表年级七年级八年级平均数88众数8b中位数a8优秀率80%60%987654321七、八年级抽取学生的测试成绩统计表年级七年级八年级平均数88众数8b中位数a8优秀率80%60%(1)填空:a=

,b=

;87987654321(2)根据以上数据,你认为该校七、八年级中,哪个年级的学生诗词知识掌握得较好?请说明理由(写出一条即可);解：七年级的学生诗词知识掌握得较好,理由如下:∵七年级的优秀率大于八年级的优秀率,∴七年级的学生诗词知识掌握得较好;987654321(3)请估计七、八年级学生对诗词知识掌握能够达到优秀的总人数;

987654321(4)现从七、八年级获得10分的3名学生中随机抽取2人参加市诗词知识竞赛,请用列表或画树状图法,求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率.解：把七年级获得10分的学生记为A,八年级获得10分的两个学生记为B1,B2,画树状图如图:一共得到6种等可能结果,被选中的2人恰好是七、八年级各1人的有4种,

9876543216.(河北定州模拟)“校园安全”受到全社会的广泛关注,某中学对部分学生就安全知识的了解程度,采用随机抽样的方式进行调查,并根据收集到的信息进行统计,绘制了下面两幅不完整的统计图.987654321请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题:(1)接受问卷调查的学生共有

人;(2)请补全条形统计图,并求出扇形统计图中“A”所对应的圆心角的度数;60解：“A”的人数为60-5-30-10=15(人),补全条形图如图所示:987654321(3)若从对校园安全知识达到了“了解”程度的2个男生和3个女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛,请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率.987654321

9876543217.(保定莲花池区二模)一枚质地均匀的正方体骰子如图1所示,六个面分别刻有1,2,3,4,5,6个点.A,B,C,D,E五名学生,每人随机投掷这枚骰子5次,投掷结束后,将每次掷出的骰子朝上面的点数求和.根据他们各自累计求和的结果绘制成如图2所示的尚不完整的统计图.987654321

4,4,4,1,2987654321解：∵五名同学各自累计求和的结果的平均数为17,∴D同学五次投掷的点数累计求和的结果为17×5-15×2-18-16=21,补全条形统计图如图所示:(2)已知五名学生各自累计求和的结果的平均数为17.①补全条形统计图;987654321解：∵D同学五次投掷的结果点数中,唯一众数为3,且不为中位数,∴五个数分别为3,3,4,5,6.∴投掷五次结果的中位数为4.②若D同学五次投掷的结果点数中,唯一众数是3且不为中位数.求D同学五次投掷结果点数的中位数.987654321

(3)若又有F同学加入投掷游戏,他说:我只需投掷两