江苏省南通市2025-2026学年高二年级上册期中调研测试数学试题

江苏省南通市2025-2026学年高二上学期期中调研测试数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.直线X-JJJ，-8J5=0的倾斜角为（）

71一几「2五-5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

2.已知直线4：3x-4y+7=0与/2：6x—（〃?+l）y+l—〃7=0平行，则小=（）

A.4B.5C.6D.7

3.若方程C：.5+/一2工+4J，+Q=0表示圆，则实数。的取值范围是（）

A.（-8,5]B.（-8,5）C.（5,+00）D.[5,+oo）

4.若空间向量值=（1,0,1）方=（0』,0）,则下列向量能与1/构成空间的一个基底的是（）

A.万=（1,L1）B.4=[1，；，,

C.7D.5=（1,1,0）

5.点力（2,1）关于直线x-y+l=0的对称点的坐标为（）

A.（3,0）B.（0,2）C.（0,3）D.（1,4）

6.已知25忑是空间三个不共线向鼠，则“向量,石忑共面”是“存在三个均不为零的实数

p，q，r,使得〃不+夕5+兄=0”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

7.在正三棱柱力4C-44G中，AB=AAX=2,则直线4〃与四。所成角的余弦值为（）

A.；B.7C.0D.如

246

8.已知直线/：%—砂—1=0和圆C:/+y2-2x+4歹一4=0交于48两点，设线段48的中点

为",。为坐标原点，则|。河|的最大值为（）

试卷第1页，共4页

A.3+石B.2+6C.V3+1D.V2+1

二、多选题

9.已知三条直线x+y+l=0,2x—y+8=0和ax+3y—5=0不能围成一个三角形，则实数。的

可能取值为（）

A.-3B.3C.-6D.1

10.已知圆G：（xT）2+/=l与圆G：（x-2）2+（y-2>=4,则（）

A.圆心距|。£|=石

B.两圆的公共弦所在直线的方程为x+2y-2=0

C.两圆的公共弦长为侦

5

D.直线3x-4y-8=0是两圆的一条公切线

11.在棱长为2的正方体/AC。-43GR中，巴尸分别是极力优力。上的动点（不含端点）,

且。尸，则（）

A.屏+市+图=2行

B.当且仅当E为48中点时，AE=AF

C.存在E,F,使得4尸〃3卢

D.直线与平面/E/7所成角的正弦值的最大值为:

三、填空题

12.已知向量a=（2,2m-3,8）,b=（4,2w+1,16）,且1/力，则〃?=.

13.过点尸（2,3）作圆/+V+2x+2y+l=0的切线，则切线长为.

14.已知两条直线空+%+1=（）和…+1=0都经过点力（1,1）,则两点爪44），

P?（%也）间的最短距离为.

四、解答题

试卷第2页，共4页

15.已知出/8C的三个顶点为4(4,l),8(-6,3),C(3,0).

(1)求48边上的中线CM的长；

⑵求出"C的外接圆方程.

16.如图，在棱长为2的正四面体O-/18C中，已知E是线段BC的中点，点G在线段4E上,

且NG=2GE.

(1)用向量函函诙表示北:

(2)求函;

(3)求向量瓦与而夹角的余弦值.

17.(1)过点尸(2,3)作直线x+y-1=0的垂线，垂足为0.

①求点。的坐标;

②求以尸。为直径的圆被歹轴截得的劣弧的长度;

(2)已知点尸(无,4)和直线人心+/+。=0(44不同时为零)，证明：点尸到直线/的距

离六号

18.如图，已知正方形力8C。和矩形4C£尸所在平面互用垂直，48=3,设力/=/(/>0),

JM=|jD,AV=1z)C.

(1)证明：MEA.BN；

(2)若平面8EM平面EEV,求/的值:

试卷第3页，共4页

(3)设直线8M与平面EFN相交于点K,求线段£K的长度(用，表示).

19.已知曲线C:(W-1)2+(|M-1)2=4.

(1)求曲线C围成的平面图形的面积；

(2)若”,N是曲线C上的两个动点，求卜WN|的最大值：

(3)是否存在直线F=>+£与曲线C至少有三个不同的公共点？若存在，求，的取值范围;

若不存在，请说明理由.

试卷第4页，共4页

《江苏省南通市2025-2026学年高二上学期期中调研测试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案ADBDCABDBCDABD

题号11

答案ABD

1.A

【分析】根据有线方程求出育线斜率,再根据斜率和倾斜角间的关系即可求出倾斜角.

【详解】X—底一86=0可化为：y=^-X-S，

•••直线的斜率为由，设直线的倾斜角8,则tanO=正，

33

0<<9<n,：.0=-.

6

故选：A.

2.D

【分析】利用两直线平行的充要条件列式求解即可.

【详解】由直线1：3X—4)+7=0与，2：6x-(〃?+l)y+]—附=0平行，

得”dho,所以〃-7.

3-47

故选：D.

3.B

【分析】根据二元二次方程表示圆的条件，列出不等式，解之即可.

【详解】因为方程C：/+炉-2》+4丁+。=0表示圆，

则有(一2)2+甲-加>0,解得：。<5,

故选：B.

4.D

【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算及空间基底的意义判断即得.

【详解】对于A,p=a+b>向量〃,4,5共面，A不是；

对于B,q=a+向量q,月共面，B不是；

对于C,+向量/•,a,B共面，C不是；

答案第1页，共15页

X=1

对于D,假设1=6+仍，则(l[,O)=(xj,x),于是，y=l,方程组无解,

x=0

即向量不共面，能构成空间的一个基底，D是.

故选：D

5.C

6-1,।

------xl=-l

【分析】设对称点的坐标为(",。)，由题意可得：一2,求解即可.

2+4\+b,八

---------------+1=0

22

【详解】设对称点的坐标为

b—1.

------X]=-1

4=0

由题意可得：一2,解得.

生-，1=0b=3

22

所以点力(2,1)关于直线x-y+l=O的对称点的坐标为(0.3).

故选：C

6.A

【分析】利用空间向量共面的基本定理结合充分条件、必要条件的定义判断即可求解.

【详解】因为实数〃，夕”均不为零，所以)=-且豆-三乙

PP

此时向量瓦白]共面，故必要性成立；

因为@,5,匕：是空间三个不共线向晟，若向后d力共面，

则存在非零实数x、V使得a=U+yc,则口一xB-y?=0,

取p=l,q=一8厂=一j，即有向+"+4=0,故充分性成立；

所以“向量a友3共面''是"存在三个均不为零的实数PML使得减+〃+4=针的充要条

件.

故选：A

7.B

【分析】利用正三棱柱的性质计算出4员80,AB,BC，再根据夹角公式即可求解.

答案第2页，共15页

【详解】由题意48=j44：+/炉=2板,同理可得8c=20,

因为4/_L平面力8C,8Cu平面/3C,所以4力_1_灰;，即常.册=0,

所以布•麻=(不+函•(率+园=不印+不及QB可BRB市

=|^j||^|+p5||5C|cos(7t-ZJ5C)="2+3<永｛2,

所以E大出会八律就麻可酝2急力1

故直线44与8c所成角的余弦值为;.

8.D

【分析】易知直线/过定点尸。,0),且点。在圆。内，结合M尸垂直于MC,可得动点M的

轨迹方程为(x-1『+(y+=1,由此容易得出|。〃|的最大值.

【详解】将圆。的方程化为标准方程为(x-l)，(y+2)2=9,则圆心为。(1,-2),

直线/：1-1=0,易知直线恒过定点尸(1,0)

又(l-I『+(O+2)2<9,所以点尸(1,0)在圆内，如图所示：

由于历夕垂直于MC,则点M的轨迹为以CQ为直径的圆,

答案第3页，共15页

线段”的中点坐标为N(l,—1),|CAT|=1,

所以动点A/的轨迹方程为(xT『+(y+lf=1,

又3\=卅+(-1『=&,\ON\-i<\OM\<\ON\+\,

可得拉一10。“区&+1,

即QM的取值范围为[上一1,6+1],

所以|。州的最大值为拒+1.

故选：D

9.BCD

【分析】利用直线平行以及三条直线交于一点，即可求解.

【详解】联立可得二a,即两直线交点为(一12).

当。=3时，直线x+y+l=O和直线ax+3y—5=0平行，不能围成三角形；

当。=—6时，直线2x—y+8=0和直线QX+3y-5=0平行，不能围成三角形；

当。=g时，直线。工+3歹-5=0经过点(-3,2),三线共点，不能围成三角形；

当。=-3时，三条直线两两相交且不共点，可以围成三角形，不符合题意.

故选：BCD

10.ABD

【分析】根据圆的方程确定圆心坐标后计算圆心距，可得A;两圆方程相减得出公共弦所在

直线方程，再在其中一个圆中计算公共弦弦长可判断B,C;计算两个圆到给定直线的距离是

否分别等于各自半径，可判断D.

【详解】根据两圆方程，可知圆G的圆心坐标£(1,0),半径4=1,圆G的圆心坐标GQ,2),

半径4=2.

对于A：1=5(2-1)2+22=6,故A正确;

对于B：由A可知，1=〃-，i<IGai<，i+G=3,因此两圆相交.两圆的公共弦所在直线方程

可由两圆方程相减得到，即将+/=1减去(..2)2+(y-2)2=4,

得至1]2工一3+4f一4=-3,整理彳匕简得戈+2j一2=0,故8正确：

答案第4页，共15页

对于c：两圆相交，存在公共弦，在其中一个圆中计算该弦长即可.圆心G(1,O)到公共弦

x+2y-2=0的距离4=上^斗=$,故弦长/=2,汇忑］=递，故C错误;

4+2?5V55

1-51

对于D：圆心G(l,0)到直线3一4)，-8=0的距离4=J；2+；2=1=4，圆心G(2,2)到直线

3%一4了-8=0的距离&=J：'1=2=々故直线3戈-4)-8=0是两圆的一条公切线,故D

\13~+4~

正确.

故选：ABD.

11.ABD

【分析】以。为原点，建立坐标系,设凤2,〃,0),尸(见0,0),根据屏.瓦R=0,求得〃?=〃，

由瓦g+而+西=(-2,2,0),可判定A正确；由网=|可，求得〃?=1,可判定B正确；

由羽=Z瓦后，列方程方程组，可判定C错误；过力作AM±EF，证得乙小即为直线AAX

与平面所成角，求得tan/4M4=可就二^彳，利用换元法和函数的单调性，可

判定D正确.

【详解】以。为原点，以〃所在的直线分别为x,乃z轴，建立空间直角坐标系,

如图所示，可得所如2,2),D、(0,0,2),4(2,0,0),4(2,0,2),

设E(2,w,0),F(m,0,0)，其中0<m,n<2可得庠=(2,/i,-2),B}F=(m-2,-2,-2),

因为AEJ.BF,则席丽=2(2)-2力+4=0,

可得〃?二〃，所以£(2,m,0),F(m,0,0),

对于A,由踮+而+而=(0M-2,-2升5-2,-加,0>•卜川,0,2)=(-2-2,0),

可得|聒+存+西卜2&,所以A正确；

对于B,由石=(0,机,0),而=(u-2,0,0),可得麻卜叫府|=2-冽

若力£=力尸，可得|力目=3斗，所以〃?=2-〃7,解得〃1=1,

即瓦尸分别为力氏4。的中点，所以B正确；

对于C,由乖=(m-2,0-2),率=(0,m-2,-2),

答案第5页，共15页

若4FffB\E,可得需〃“，则存在实数2使得羽=4瓦片,

m-2=0

可得，0=4(加-2),可得加=2,因为0<〃?<2,所以〃?不存在,

-2=-2A

所以不存在瓦F使得4尸〃用E,所以C错误;

对于D,过点/作4A/J.E尸，连接力也，

在正方体力8CO—44G4中，可得力4J•平面48c

因为"'u平面所以

又因为力〃。44=力，且4M,44u平面力力超，所以及'平面力力也，

因为Mu平面4以"所以平面力/Ml.平面力声/"

所以N4W即为直线44与平面4环所成角，

在直角△力E77中，由力£二〃?,4尸=2-机，可得族=，/七2+犷=一4m+4，

AE-AF_n:(2-ni)

所以4W=

EF12/r-4m+4yj2m(m-2)+4

..1Z.AMAMni2-ni)

在直角“/M中,可得34也力=石=丁=2可所2)+4'

令t={2W-4m+4=j2(m-l)2+2,其中0<〃?<2,

l厂一4一4—/~14

可得l£[x/i,2),Km(m-2)=---,所以tan/4M4=—^—=—•(—t),

4广

由函数/1)=；/在J[我,2)上单调递减，

所以当"拉时，/«)皿=/'(拉)=及，所以tan4/%的最大值为正,

所以sinN%"/的最大值为:，所以D正确.

故选：ABD.

答案第6页，共15页

z

12.7/3.5

2

【分析】根据向量平行可知存在实数3使得彳=肪，结合向量坐标运算求解即可.

【详解】因为向量G=(2,2〃？3,8),)=(4,2m+为6),

若。届，则存在实数3使得方=序=(伏(2〃+*,16£),

4k=2k==

可得＜(2m+1)左=2〃?-3,解得，

16k=8nt=~

2

7

故答案为：—.

13.2瓜

【分析】把圆的一般方程变形为圆的标准方程得出圆心坐标和半径，再根据勾股定理求解即

可.

【详解】方程x2+_/+2x+2y+l=0可化为(x+lf+(y+l)2=l,圆心加(―1,—1),半径r=1,

所以切线长为yj.\fP2-r2=V32+42-i2=2网.

故答案为：2屈

14.V2

【分析】确定4(%,4),月(出也)分别在直线x+P+l=O，x+yT=O上，由平行线间距离

即可求解.

【详解】因为两条直线aM+%y+l=O和％》+々)，一1一0都经过点,4(1,1),

答案第7页，共15页

所以卬+々+1=(),a2+b2-\=0,

所以“（q，4）,4（。2也）分别在直线工+产1=0/+k1=0上,

所以两点爪44），2（生,4）间的最短距离为两平行线间距离，即1=

故答案为：O

15.(l)2x/5

（2）X2+/+X-9J；-12=0

【分析】（I）利用中点坐标公式得到中点坐标，再利用两点间距离公式求解长度即可.

（2）设出外接圆的方程，代入点的坐标，进而求解参数得到方程即可.

【详解】（1）由中点坐标公式得/出的中点加（一1,2）,

由两点间距离公式得CM=J（3+1）?+（0-2）2=2石.

（2）设三角形外接圆方程为/+V+OX+/+/=0,（。2+6-4/>0）,

17+4D+E+F=00=1

因为点48,C在所求的圆上，可得•45—6Q+3E+尸=0,解得《£=-9,

9+3。+/=0尸=一12

则由48c外接圆的方程为f4-/+x-9y-\2=0.

16.（\）OG=-OA+-OB-^^-OC

333

⑵孚

O

【分析】（1）根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解；

（2）利用向量的模与数最积的关系求解即可；

（3）利用向量的夹角公式计算即可求解.

【详解】（1）OG=OA+JG=OA+-AE=04+-^-OA）=-OA+-OE

3333

=为+平丽+丘］=6+丘+1抚；

33（22）333

（2）西,《那+萍+河2

答案第8页，共15页

啕苏+南+第

+2OA-OB+2()71OC+2(疝-OC

J-(4+4+4+2x2x2x-+2x2x2x-+2x2x2x-

丫9(222J

2N/6

3

(3)因为砺二'砺+'玩，刀二砺一次，

22

所以无.布=(；砺+•俾卜那+^OCOB-^OBC^T-^oc^ciT

1_->1__兀】cc兀1/c兀

=—x2"+—x2x2xcos----x2x2xcos----x2x2xcos—.

2232323

由正四面体O-43C的棱长为2,可得|诟卜班,|荔|=2,

所以cos＜璃加二箭新今邛

17.(1)①0(0,1)；②?：(2)证明见解析

【分析】(1)①求得直线产。的方程，联立方程求解即可；②求得圆的方程，由勾股定理可

得NMCNg计算即可求解；

(2)方法一：求得过点P(x°，K)和直线/：4t+W+C=0垂直的宣线方程，联立方程组求得

交点坐标，由平面中两点诃的距离公式即可得证；方法二：过点P分别作V轴、x轴的垂线,

分别与/相交于加(4凡),“(与/2)，由等面积法计算即可得证.

【详解】(1)①因为直线x+y-l=o的斜率A=-1,

所以其垂线的斜率⑥0=1，

所以直线产。的方程为x-y+l=0.

x+y-\=0

联立，解得0(0.1).

x-y+1=0

②因为P(2,3),0(0,1),

所以以"?为直径的圆的圆心C(L2),半径厂=五,

所以圆。的方程为“-1)2+(歹-2)2=2.

答案第9页，共15页

设圆C与V轴交于”,N两点，则=2，

所以切炉=。/2+。产，

所以/MCN=g,所以所求弧长为0.

22

(2)法一：设力工0,8/0,过点尸(无,%)作直线/的垂线，垂足为G,

则过点P(%Jo)和直线八八+取+。=0垂直的直线方程为心.-"=夕”-什。.

—AByQ—AC

X

/x+取+C=0G=A2+B2

联立,解得，

2

Bx-Ay=BXG-4yo—ABx0+Ay0—BC

儿=

A2+B2

B~Xq4By。—AC—ABx^+—BC

所以点G的坐标为

A2+B2，A2+B，

(B-x-ABy-AC、-ABXQ-VA2y-BC

所以PG=QQ+Q

、A2+B2*A2+B2Y

<2AB*+B~y+BC

AX0+ABy。+AC[。0

、A2+B2」A2+B2

42(4%+8%+C)]炉(％%+为0+Cj

""(才+/j-

(4%+3%+C『|JX(,+^0+C|

22

A+B\A2+B2

当4x0,8=0时,

CAx+Cjzxoj•领

d=M+7(t

Ay)A2+B2

当/=0,8工0时,

取o+C\^+ByQ+C\

B>JA2+B2

所以点P到直线/的距离d=/+成。：。I

A?+B。

法二：过点尸作PG_L/,垂足为G.

当力工0,8/0时，

过点P分别作轴、x轴的垂线，

答案第10页，共15页

分别与/相交于"(』,九),%(/,%).

由Axx+By0+C=0,Ax0+By2+C=0,

所以PM=|/|=/x°+?°+C,

/I

PN4一仆/+俨+C

因为PG是RtMMN斜边上的高，

斫“PC」PMMM_•网I饭”汽辿

MMdPM，+PN。J/+炉

即点P到直线/的距离仆用誓q

当彳=0,5=0时,

d=x0+1」a£也+力+q

AJ/+B?

当月=0,8w0时，

»C_Byn4-C_|小"o+8%+q

公此+N=f-=，才+石

综上，点、p到直线/的距离〃=也;\""q.

yjA2+B2

18.(1)证明见解析

⑵，二3

(尸

答案第11页，共15页

【分析】（1）利用面面垂直的性质可得平面/14C75,进而利用线面垂直的性质可得

AF上AD,AF上AB,建立空间直角坐标系，利用向量法可得结论；

（2）求得平面即M的一个法向量和平面"N的一个法向量，利用向量法可求/的值：

（3）设麻=4丽，求得莉=（3-432-2,0）,利用向量法可求得a=进而可求解.

【详解】（1）因为平面力"Z）/平面4CE/"平面/也CQCI平面力CM=/C,

在矩形力CE/中，4c平面力CM,所以北_L平面"CO.

又因为u平面ABCDyABu平面48C。，所以力/_L.4。,AF1AB.

以｛而，标，万｝为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系，

则8（0,3,0）,M（l,0,0）,E（3,3,。,N（3J0）,尸（0,0,1）.

所以该=（2,3,。,丽=（3、-2,0）,

所以斯.丽=2x3+3x(-2)=0,

所以ME_L8N.

(2)BE=(3,0,r=(1-3,0\EF=^3,-3,0}EN=(-2,T).

设平面BEM的一个法向量为n[=（不，乂,4）,

BM•%=0$-3为=09

,令乂=1，得$=3，z=—-,

3X[+a]=0

BEn}=0

一（9

所以平面8EM的一个法向量为勺=3,1,—

设平面EFN的一个法向量为〃2=（工2，必/2），则

EF

♦%=0-3X2-3为=02

,即，，令堂=1，得必=一1，3

丽区=0-2y2-tz2=0

所以平面EQV的〜个法向量为％=（1,-1彳

若平面BEM_L平面EFN,则雇％=0,

答案第12页，共15页

得」一3皿解得

因为/>0,所以（=3.

（3）设丽=%的，则（（九3-3/1,0）,所以麻=（3-2,34-2,0）.

由（2）可知，平面EFN的一个法向量％=1,-1彳），所以府=0,

得3-;1-3义+2=0,解得％=

4

所以K偿C所以诙

144JI44J

所以网=侣）+卜卜+"=日子-

19.⑴4（6+1+引

⑵2五+4

（3）不存在，理由见解析

【分析】（1）根据对称性，由三角形面积及扇形面积公式计算即可求解；

（2）分M,N都在第一象眼（或坐标轴正半轴），不妨"在第一象限（或坐标轴正半轴），N

在第二象限（或N轴负半轴）时，不妨M在第一象限（或坐标轴正半轴），N在第三象限（或

坐标轴负半轴）时，三种情况求解即可；

（3）根据对称性，分03<石+1，摩6