江苏省南通市2025-2026学年高二年级上册期中考试 数学试卷（含解析）

江苏省南通市2025-2026学年高二上学期期中调研测试

数学试题

一、单选题

1.直线工-也.”84=0的倾斜角为()

nit5几

A.-B.-D.—

636

2.已知直线/1：3x-4y+7=0与，2：6x—(/〃+l)y+l—机=0平行，则〃?=()

A.4B.5C.6D.7

3.若方程C：/+/一2》+4)，+。=0表示圆，则实数。的取值范围是()

A.(□§B.(-8,5)C.(5,+8)D.[5,-KO)

4.若空间向量W=(1,O,1),5=(OJO),则下列向量能与aB构成空间的一个基底的足()

A.5二(IJl)B.

C.7=(渭)D.§=(1,1,0)

5.点4(2,1)关于直线x-y+1=0的对•称点的坐标为()

A.(3,0)B.(0,2)C.(0,3)D.(1,4)

6.已知是空间三个不共线向量，贝IJ”向量口瓦己共面”是“存在三个均不为零的实数P，%J使得

pci+qb+rc=0''fit)()

A.充要条件B,充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

7.在正三棱柱/出。-4乃6中，48=44=2,则直线力山与四。所成角的余弦值为()

A.；B.1C.0D.—

246

8.已知直线/：X-@-1=0和圆C:/+y2—2x+4j，-4=()交于48两点，设线段48的中点为为坐标

原点，则的最大值为()

A.3+亚B.2+百C.y/3+1D.5/2+1

二、多选题

9.已知三条直线x+y+l=0,2x-丁+8=0和ar+3y-5=0不能围成一个三角形，则实数。的可能取值为（）

A.-3B.3C.-6D.-

10.已知圆G：*—l）2+y2=［与圆G：（x—2）2+（y—2>=4,则（）

A.圆心距|。£|=右

B.两圆的公共弦所在直线的方程为x+2y-2=0

C.两圆的公共弦长为型

5

D.直线3x-4y-8=0是两圆的一条公切线

11.在棱长为2的正方体力8。。-44£鼻中，旦尸分别是极力2,力。上的动点（不含端点），且7，

则（）

A.|喀+加+可卜2立

B.当且仅当£为48中点时，AE=AF

C.存在二尸,使得4尸〃4£

D.直线44与平面4月尸所成角的正弦值的最大值为:

三、填空题

12.已知向量涓=（2,2/〃-3,8）,Z>=（4,2w+l,16）,且。//小则小=.

13.过点尸（2,3）作圆/+/+2x+2y+l=0的切线，则切线长为.

14.已知两条直线。/+力+1=0和吁+/—=0都经过点力（1，1），则两点6（6力），鸟（外也）间的最短

距离为.

四、解答题

15.已知△44。的三个顶点为力（4,1）,8（-6,3）,C（3,0）.

⑴求川?边上的中线CM的长；

（2）求△48。的外接圆方程.

16.如图，在棱长为2的正四面体。-力6。中，已知£是线段3C的中点，点G在线段力£上，且力G=2GE.

⑴用向量声瓯历表示正；

(2)求函;

(3)求向量瓦与AB夹角的余弦值.

17.(1)过点。(2,3)作直线x+y-l=O的垂线，垂足为。.

①求点。的坐标；

②求以PQ为直径的网被y轴截得的劣弧的长度：

(2)已知点P(x。Jo)和直线/:小+约，+。=0(48不同时为零)，证明:点。到直线/的距离

田0+领+。|

18.如图，已知正方形45CO和矩形4C£尸所在平面互相垂直，力8=3,设肝=小＞0),点M,N分别在

线段力。,。上，且=

(1)证明：ME1BN：

(2)若平面平面E/W,求心勺值；

(3)设直线8M与平面EFN相交于点K,求线段EK的长度(用/表示).

19.已知曲线。：(国一1)2+(3-1『=4.

(1)求曲线。围成的平面图形的面积：

(2)若忆N是曲线C上的两个动点，求阿N|的最大值；

(3)是否存在直线y=x+f与曲线C至少有三个不同的公共点？若存在，求，的取值范围；若不存在，请说

明理由.

题号1234567891()

答案ADBDCABDBCDABD

题号11

答案ABD

1.A

根据育线方程求出育线斜率,再根据斜率和倾斜角间的关系即由求出倾斜角.

【详解】x-岛-8百=()可化为：旷=冬一8,

・•・直线的斜率为正，设直线的倾斜角。，则tan9=更，

33

*/0<^<7C>0=—.

6

故选:A.

2.D

利用两直线平行的充要条件列式求解即可.

［详解］由直线4：3》_4y+7=0与/2：6x_(，〃+l)y+l_〃?=0平行，

Ze6-(w+1)\-m「匚卜］_

得一二二----L丰----,所以〃?=7.

3-47

故选:D.

3.B

根据二元二次方程表示圆的条件，列出不等式，解之即可.

【详解】因为方程C：/+»2-2丫+4y+o=0表示圆，

则有(-2)2+4?-4a>0,解得:"5,

故选：B.

4.D

根据给定条件，利用空间向量的坐标运算及空间基底的意义判断即得.

【详解】对于A,p=a+bt向岸:万,3,B共面，A不是;

对干B,q=a+^b,向量以£石共面，B不是；

对于C,二=1+3,向量共面，C不是；

对于D,假设s=xo+W，则（l,l,O）=（x,y,x）,于是尸1,方程组无解,

x=0

即何量不共面，能构成空间的一个基底，D是.

故选:D

5.C

设对称点的坐标为（。力），由题意可得•,求解即可.

2+a1+〃.

-----------+1=0

【详解】设对称点的坐标为（。力），

----xl=-l八

由题意〃一，可得,解得《4=0，，

2+4\+b,八b=3

-----------+1=0

22

所以点4（2,1）关于直线X-N+1=D的对称点的坐标为（0,3）.

故选：C

6.A

利用空间向量共面的基本定理结合充分条件、必要条件的定义判断即可求解.

【详解】因为实数PM"均不为零，所以】=-g5-2工，

PP

此时向量瓦共面，故必要性成立：

因为仇瓦5是空间三个不共线向吊，若向量值石1共面，

则存在非零实数x、N使得a=H+yc,则）一x6-y?=0,

取。=Lq=—x，r=一）',即有/疝+4+厂？=。,故充分性成立；

所以“向量7尻?共面”是“存在三个均不为零的实数使得向+〃+/e=针的充要条件.

故选：A

7.B

利用正三棱柱的性质计算出力1%，，4B,qc,再根据夹角公式即可求解..

【详解】由题意=+力夕=2近,同理可得与。=20,

因为44_L平面力8C,8Cu平面所以4/l_L4C,即彳7辰=0,

所以还.斤=(41+布)•(瓦万+*?)=%1•瓦万+市.8e+荔•瓦方+N瓦胫

二|取八两+|画I网cos(7T_ZJ50=2>2+2x2+T)=2»

~7"SWK4出,B】C21

所以8s4民8。=丽陶=云法

故直线AB与8c所成角的余弦值为1.

故选：B

8.D

易知直线/过定点P(LO),且点P在圆。内，结合MP垂直于MC,可得动点M的轨迹方程为

(x-+(>，+1)2=1,由此容易得出\OM\的最大值.

【详解】将圆C的方程化为标准方程为(》-1)2+(?+2)2=9,则圆心为。(1,-2),

直线八x-心-1=0,易知直线恒过定点。(1,0)

又(1-1『+(0+2)2<9,所以点尸(1,0)在圆内，如图所示:

由于〃尸垂直于MC,则点M的轨迹为以C尸为直径的圆,

线段CP的中点坐标为|CN|=1,

所以动点M的轨迹方程为（x-l『+（y+l）2=1,

又|ON|=JT+（_I）2=&,\ON\-\<\OM\<\ON\+\,

可得加―1K|OM区正+1,

即\0M\的取值范围为[&-1,^+1],

所以|。必的最大值为J2+I.

故选：D

9.BCD

利用直线平行以及三条直线交于一点，即可求解.

f2.r-y+8=（）[x=-3/.

【详解】联立।八，可得.，即两直线交点为-3,2.

当。=3时，，直线x+y+l=0和直线OX+3歹一5=0平行，不能围成三角形；

当。=一6时，直线2x—y+8=0和直线ax+3y-5=0平行，不能围成三角形；

当〃=：时，直线依+3卜-5=0经过点（-3,2）,三线共点，不能围成三角形；

当。=-3时，三条直线两两相交且不共点，可以围成三角形，不符合题意.

故选：BCD

1（）.ABD

根据圆的方程确定圆心坐标后计算圆心距，可得A;两圆方程相减得出公共弦所在直线方程，再在其中一个

圆中计算公共弦弦长可判断B,C;计算两个圆到给定直线的距离是否分别等于各自半径，可判断D.

【详解】根据两圆方程,可知圆G的圆心坐标G（l,。）,半径\=1,圆G的圆心坐标GQ⑵,半径弓=2.

对于A：|CCI=J（2-l）2+22=忑",故A正确;

对于R：由A可知，1=4-7；<|。£1<，；+4=3,因此两圆相交.两圆的公共弦所在直线方程可由两圆方程相

减得到，即将（x—1『+/=1减去（工―2）2+5-2『=4,

得到2尤一3+4y—4=-3,整理化简得x+2y—2=0,故B正确：

对于C：两圆相交，存在公共弦，在其中一个圆中计算该弦长即可.圆心G（l,0）到公共弦x+2y-2=0的距

离"=仁斗=旦故弦长/=23-（四:生叵，故c错误；

VI2+225V55

1-51

对于D：圆心G(1，O)到直线3x-4."8=0的距离。=J，=1=八,圆心。2(2,2)到直线以一4卜一8=0的距

+4-

离人=%=2土做直线=°是两圆的一条公切线'故D正确.

故选:ABD.

11.ABD

以。为原点，建立坐标系，设£(2,〃,0)/(也0,。)，根据席•率=0,求得加=〃，由

瓦7+而+丽=(-2,2,0),可判定A正确：由|获卜|万求得〃?=1,可判定B正确；由而=2庭,列

方程方程组，可判定C错误；过,4作证得4M/1即为直线44与平面4EF所成角，求得

tan/4M=2,2〃；〃?_2；+4,利用换元法和函数的单调性，可判定D正确.

【详解】以D为原点，以。4。。,。"所在的直线分别为x/，z轴，建立空间直角坐标系,

如图所示,可得B1(2,2,2),0.(0,0,2),42,0,0),A,(2,0,2),

设E(2,〃,0),F(m,0,0)，其中0v也〃<2可得屏=(2,〃,一2),*=(m-2,-2,-2),

因为尸，则屏•率=2(⑴-2)-2〃+4=0,

可得加=〃，所以E(2,6,0)/(〃?,0,0),

对于A,由B[E+EF+FD[=(0,W-2,-2)+(/M-2,-/M,0)+(-/M,0,2)=(-2,-2,0),

可得问方+瓦“可卜2亚，所以A正确；

对于B,由於=(0,叫0),万=(m-2,0,0),可得阿卜加，所卜2-〃？

若花=肝，可得卜|万],所以〃?=2-〃?，解得〃7=1,

即瓦尸分别为43,4。的中点,所以B正确;

对于C,由衣=(切一2,0,—2),而=(0,切-2,—2).

若W/B、E,可得而//解，则存在实数义使得乖=2耳云，

/??-2=0

可得•0=〃/%-2),可得m=2,因为0<〃?<2,所以〃，不存在，

-2=-22

所以不存在E,1使得4万/用E,所以C错误;

对于D,过点力作4W_LE/L连接力也，

在正方体48co中，可得力4,平面/4C。，

因为£/u平面/3CQ,所以44_LE/\

又因为4W0/4=力，且u平面44附，所以所_1平面/4加，

因为£"尸u平面4EF,所以平面4力A/_L平面AXEF,

所以41A而即为直线AA,与平面A.EF所成角，

在直角△力中，由力七=机，/y=2-〃?，可得斯=J力炉+AF?=,2〃/一4加+4，

所以AM=-------===.''=

EFyjlm~-4m+4J2m(m-2)+4

.....AMAMm(2-m)

在直角“l/M中，可得tan/4M4=不-=丁=---r-

,4412yJ2m(m-2)14

令t=12〃?2一4〃?+4=J2(〃?-1)2+2,其中0<〃?<2,

可得/w[\/2,2),且m(m-2)=~~~，所以tanZA}MA=~~~=，(97)，

由函数/(/)=；-在止[夜,2)上单调递减，

所以当/=正时，/(/)而=/(&)=收，所以tanZ4M4的最大值为当，

所以sin/4M4的最大值为:，所以D正确.

故选：ABD.

根据向量平行可知存在实数"使得不=指，结合向量坐标运算求解即可.

【详解】因为向量G=（2,2加一3,8）,^=（4,2m+1,16）,

若万/"，则存在实数h使得1=/=（软,（2〃?+1川,16日

4k=2L=1

可得＜（2加+1*=2〃?-3,解得♦j.

16斤=8w=-

2

7

故答案为：g

13.2x/6

把圆的一般方程变形为圆的标准方程得出圆心坐标和半径，再根据勾股定理求解即可.

【详解】方程./+V+2x+2j，+l=0可化为（x+l『+（y+l）2=l,圆心切（-1,-1）,半径厂=1,

所以切线长为IMP"-户=6+4—2=276.

故答案为：2限

14.V2

确定6（6力），Aka，"）分别在直线x+y+l=O,x+y-l=O上，由平行线间距离即可求解.

【详解】因为两条直线。小+刎+1=0和生》+“尸1=0都经过点4（11），

所以q+4+1=0,+&-1=0,

所以2（生也）分别在直线x+y+i=°，x+yT=°上，

所以两点爪q,4），鸟（生也）间的最短距离为两平行线间距离，即"二号=后,

故答案为：\[2

15.（1）2石

（2）x2+y2+x-9y-\2=0

（1）利用中点坐标公式得到中点坐标，再利用两点间距离公式求解长度即可.

（2）设出外接圆的方程，代入点的坐标，进而求解参数得到方程即可.

【详解】（1）由中点坐标公式得的中点M（-1,2）,

由两点间距离公式得aw=J(3+1)2+(0-2)2=2石.

(2)设三角形外接圆方程为》2+/+6+切+厂=0,(。2+6―4/>0),

17+4Q+E+/=0。=1

解得卜=-9,

因为点44,C在所求的圆上，可得〈45-6O+3E+尸=0

9+30+尸=0F=-12

则乙49。夕卜接圆的方程为/+/+1-9^-12=0.

16.(\)OG=-OA+-OB+-OC

333

⑵半

O

(1)根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解；

(2)利用向量的模与数量积的关系求解即可；

(3)利用向量的夹角公式计算即可求解.

［详解［(1)^=a3+^G=a5+|z^=CM+|(^£-dJ)=1^+|^

1.2(1—1—、1-«.1—I-.

=-OA+--OB+-OC\=-OA-^OB-+-OC；

33(22J333

⑵|的=.况+；江+；无］

+OB~+OC12+2OAOB+2OAOC+2OBOC\

(17in

t-4+4+4+2x2x2x1+2x2x2x1+2x2x2x1

222)

巫

~T~

(3)因为在砺+g反，小砺,

所以砺•万=仕丽+』J元丽一1砺物」5t3/

(22222

=-1x2—2+—x2x2xcos-兀---x2x2xcos-加---x2x2xcos—兀.

2232323

=2+l-l-l=l.

由正四面体O-ABC的棱长为2,可得|赤卜百荏|=2,

所以cos<OE,AB>=।竺||竺।=~^==—

历次|0百网2行6・

17.(1)①。(0,1)；②与；(2)证明见解析

(1)①求得直线尸Q的方程，联立方程求解即可：②求得圆的方程，由勾股定理可得=计算即

可求解;

(2)方法一：求得过点P(x。,%)和直线/Mx+8y+C=0垂直的直线方程，联立方程组求得交点坐标，由

平面中两点间的距离公式即可得证：方法二：过点P分别作y轴、X轴的垂线，分别与/相交于

Mlx,,,N(%,v2),由等面积法计算即可得证.

【详解】(1)①因为直线x+y—l=o的斜率4=一1,

所以其垂线的斜率心°=1,

所以直线PQ的方程为x-y+l=o.

fx+y-l=0,.

联立।〃解得。01.

[X-y+1=0

②因为P(2,3),0(0,1),

所以以尸。为直径的圆的圆心C(l,2),半径/・二拉，

所以圆。的方程为。一1)2+3-2)2=2.

设圆。与N轴交于两点，则M双=2川，-『=2,

所以=。/+。乂2,

所以/MCN=1，所以所求弧长为叵.

22

(2)法一：设力工0,8/0,过点户(・%,%)作直线/的垂线，垂足为G,

则过点〃(・%,%)和直线/：*+约，+。=0垂直的直线方程为Bx-Ay=BXQ-Ay..

B-x。—ABy。-AC

BAx+JByy+=CB=0-Ay/解得A2+B2

联立XXo

-ABXQ+4~)，o—BC

A2+B2

所以点G的坐标为(B"。-£-/也丁一BC、

A~+B'A~+B'

所以叩If以「.，.〃'[f-L

\A2+ABy。+^CY'4Bx()+B3yo+BC

MT+82)+[A2+B2

■2(4%+的。+。『J2(4%+到0+C『

、(T+炉y(/+8?)」

1(1%+By。+了"二|4%+By。+C|

、片+炉一>]A2+B2

当,4HO,B=O时,

,CAXQ+C\Ax^By^C\

x。+"7一

AA>JA2+B2

当,4=0.4。。时，

,CBy0+C_\Ax0+By0+C\

"=%十万

B-G+M

所以点P到直线/的距离d=勺+'%：」.

yJA2+B2

法二：过点尸作尸G_L/,垂足为G.

当/壬0,2壬0时，

过点。分别作y轴、x轴的垂线，

分别与/相交于/（再,凡）外（/,乃）.

由J.V]+BVQ+C=0,Ax0+By2+C=0,

B

所以PM=|x,-x0|=公+华+C,

PZ=|必-阂+

b

因为PG是R3MN斜边上的高，

乐UPC=归必忸山1⑼忖用」祗。)到。士I

画"M；+PN，jT+左

|+By4-C|

即点P到直线/的距离”=u

dA【-B2

当4*0,3=0时,

C_Ax0+C_|Aro+%o+C|

力A，T+"

当,4=0,8/0时,

By^C_|Av04-gv04-C|

0BB-“2+启

综上，点尸到直线/的距离4二屿要4L

jT+^2

18.(1)证明见解析

(2)f=3

⑶卜+学

(1)利用面面垂直的性质可得力尸_1_平面力以?。，进而利用线面垂直的性质可得力/上力。,力尸，48,建立

空间直角坐标系，利用向量法可得结论；

(2)求得平面“M的一个法向量和平面E/W的一个法向量，利用向量法可求f的值；

(3)设尿=2两,求得尿=(3-43/1-2,0),利用向量法可求得4=(,进而可求解.

【详解】(1)因为平面4BCD上平面4CE产,平面力8CQD平面4cM=/C,

在矩形/ICE/7中，力平面］。"*,所以4尸J.平面/AC。.

又因为力Ou平面力8azz8u平面/8CQ,所以4尸_14。,力/_1力8.

以｛而，万，箫｝为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系,

则8(0,3,0),"(1,0,0),E(3,3"),N(3,l,0),产(0,01).

所以荻=(2,3"),丽=(3,-2,0),

所以赤•丽=2x3+3x(-2)=0,

所以ME_L8N.

(2)而二(3,0「),西=(1,-3,0),而=(-3,-3,0),丽=(0,-2,一小

设平面BEM的一个法向量为W1=(*，M,4),

南声*=0x.-3v.=09

则_____',即倒+%=()'令必”得gf

BEnx=0

一(9

所以平面砧M的一个法向量为〃।=[3,1,-'

设平面石/W的一个法向量为〃2=(々，％/2)，则

而石=0-3x,-3%-02

即，令巧=1,得必=一1"2=7,

的兄=0一2y2Tz2=()

所以平面E/W的一个法向量为“2=L-l,：

若平面_L平面EFN,则晨元=0,

1Q

得3-1-十=0,解得尸=9,

r

因为f>0,所以f=3.

(3)设BK=，则K(2,3-32,0),所以KN=(3-4,34-2,0).

由(2)可知，平面EFN的一个法向量〃2=所以府▽•元=0,

^3-2-32+2=0,解得4=3.

4

所以所以欣

所以摩卜小高+©)+“=内在

19.(1)41V3+l+y

(2)272+4

(3)不存在，理由见解析

【详解】(1)曲