山东省德州市2025-2026学年高二年级上册校际教研诊断（七）数学试题+答案

山东省德州市2025-2026学年高二上学期校际教研诊断(七)

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.己知直线匕：4工十3y—1=0与，2：3%十(TH十l)y+2=0垂直，则实数m=()

A.3B.-3C.-5D.2

2.抛物线y=4/的焦点坐标是

A.(1,0)B.(0,1)C.(0,；)D.(0,9)

oio

3.在平行六面体ABCO中，以顶点4为端点的三条棱长均为1，且乙8/1。=

乙4送。=乙4遇8=60°,则对角线4GL长为()

A.V6B.V2C.V3D.2

4.在(7+3%+y)s的展开式中，％5y2的系数为()

A.90B.60C.30D.20

5.为解决“卡脖子”问题，实现7nm芯片国产化，让中国制造走向世界，某公司4B两个研

发小组同时设计生产出了相同规格、相同数最的芯片，经初步鉴定：力组生产的芯片合格率

为84%,B组生产的芯片合格率为88%,现公司决定再将这些产品送专家鉴定后量产，专家

从这些芯片中随机取一个，则该芯片合格的概率为()

A.84%B.88%C.86%D.73.92%

6.由数字1,2,3组成的三位数中，至少有两位数字相同的三位数的个数为()

A.21B.18C.15D.12

7.已知圆C：(X-3>+(y-=9,直线/：mx+y-2m—3=0.则直线/被圆C截

得的弦长的最小值为()

A.2夕B.V10C.2\[2D.瓜

8.已知点M(l,4)不在抛物线C:y2=2px(p>0)上，抛物线C的焦点为尸若对于抛物线上的

一点P,|PM|+|PF|的最小值为4,则p的值等于()

A.6B.2C.2或6D.4

二、多选题

9.己知随机变量X~8(10*),则()

A.P(X=9)=+B.当P(X=k)取最大值时，k=5

C.E(2X+2)=10D.D(2X)=10

10.如图所示，在梭长为2的正方体力BCC—ABiGDi中，M,N分别为棱QDi，QC的中

点，则下列结论正确的是()

A.直线AM与平面4力2)。1所成角的正弦值为》

B.点4到直线4M的距离为平

*5

C.点。到平面4MN的距离为2

D.直线4M与直线5N是异面直线

11.己知双曲线C:立一三=1(7MER)的一条渐近线方程为4%-3y=0,则()

mm47

A.(b,0)为C的一个焦点

B.双曲线C的离心率为:

C.设4,以M为C上三点且4,8关于原点对称，则MA,M8斜率存在时其乘积为获

D.过点(5,0)作直线与。交于A,B两点，则满足|/8|=15的直线有且只有两条

三、填空题

12.设随机变量X~N(2,32),且P(X>m)=P(X<m-2),则zn=.

13.某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相

对顺序不变，则不同的加入方法种数为.

14.抛掷一枚质地均匀的正四面体骰子(四个面上分别标有数字1,2,3,4),底面的点数

为1记为事件A,抛掷〃次后事件A发生奇数次的概率记为匕，则％=,P2O26=.

试卷第2页，共4页

四、解答题

15.已知》为正实数，(々-展开式的二项式系数和为256.

(1)求展开式中二项式系数最大的项；

(2)求展开式中各项系数之和；

(3)若第k项是有理项，求A的取值集合.

16.如图，在四棱锥P—48co中，PC_L底面A4CO,四边形A4CO是直角梯形，4D1DC,

AB//DC,PC=AB=2AD=2CD=2f点E在棱PB上.

(1)证明：平面EAC1平面P8C；

(2)当成=2而时，求二面角P-/C-E的正弦值.

17.某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽

奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球.若抽中2个白球，返现金

50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元.

⑴顾客A恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量X.求X的分布列与数学期

望；

(2)顾客8消费了10007U.

①顾客4获得返现金额为90元的概率是多少？

②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动(减免总金额的10%),则顾客8应选择哪种方

案更优惠？(备注：不能同时参加抽奖和打折活动)

18.已知椭圆C:马+卷=1(°＞匕＞0)的离心率为经，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的

面积为4.

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵设圆M的方程/+(y-2)2=1,Q为圆M上任意一点，P为椭圆上任意一点，求IPQI的

最大值；

(3)记椭圆C的左顶点为4右顶点为B,过点8作不垂直于坐标轴的直线/交椭圆于另一点

G,过点A作/的垂线，垂足为〃，且丽=：丽，求直线/的方程.

19.某选手参加一项人工智能机器人PK比赛，规则如下：该选手的初始分为20分，每局

比赛，该选手胜加10分；平局不得分；负减10分.当选手总分为0分时，挑战失败，比赛

终止；当选手总分为30分时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续.已知每局比赛选手胜、

平、负的概率分别为:、；、；，且各局比赛相互独立.

Z44

(1)求两局后比赛终止的概率；

⑵在3局后比赛终止的条件下，求选手挑战成功的概率；

⑶在挑战过程中，选手每胜1局，获奖5千元.记九(九＞10)局后比赛终止且选手获奖1万

元的概率为P5),求P(〃)的最大值.

试卷第4页，共4页

《山东省德州市2025-2026学年高二上学期校际教研诊断(七)数学试题》参考答案

题号12345678910

答案CDAACAABABDAB

题号11

答案BC

I.C

【分析】利用两条百线垂直列式计算即得.

【详解】由直线h：4x4-3v-1=0与％：3x+(m+l)y4-2=0垂直，得4x34-3(m4-1)=

0,

所以m=-5.

故选：C

2.D

【详解】试题分析：根据抛物线产=2py的焦点坐标为(04)可知，抛物线y=4/即/=ly

的焦点坐标为(0,尚)，故选D.

16

考点：抛物线的标准方程及其几何性质.

3.A

【分析】利用空间向量将线段的长度转化为求解向量的模长度，结合条件，利用数量积的定

义及运算，即可求解.

【详解】如图，由题知|而|=\AD\=\AA[\=1,/.DAB=乙4遇8=4力遇。=60°,

又因为力BCD-48]GDi是平行六面体，则彳否=西，

222

所以温=荏+同+鬲=荏+而+可，则|温|=温=(AB+AD+AA^)

=AB2+AD2+AA^+2AB-AD+2]月•诉+2标•标

=丽2+|AD|2+网/+2|制砌COS60。+2丽西|cos60。+2|画两|cos60c

111

=l+l+l+2xlxlx-+2xlxlx-+2xlxlx-=6,

222

，=y/6,即4G=通，

答案第1页，共12页

故选：A.

4.A

【分析】根据％5y2这一项的生成过程，即可求解.

【详解】要生成好好这一项，相当于从5个含有％2,3x,y的括号中，2个取出入2,1个取出3%,

2个取出y,

即髭•(%2)2-CJ•3x•Cf,y2=90x5y2>所以无5y2的系数为90.

故选：A

5.C

【分析】根据题意，利用全概率公式即可得解.

【详解】设事件4="从A组中抽取芯片“，事件B=”抽到合格的芯片”，

则P(4)=尸■)=}P(B\A)=0.84,P(F|A)=0.88,

则P⑻=P(A)P(B\A)+P(/)P(8|彳)=：x(0.84+0.88)=0.86.

故选：C.

6.A

【分析】根据已知，先利用分类加法计数原理进行分类，再利用组合数以及有限制的排数问

题列举求解.

【详解】由题可知，至少有两位数字相同的三位数分为两种情况，

有三位数字相同的三位数有：111,222,333共3个；

有两位数字相同的三位数的个数为6髭=18,

所以，由数字1,2,3组成的三位数中，至少有两位数字相同的三位数的个数为21,故B,

C,D错误.

故选：A.

7.A

【分析】由题意可证直线/恒过的定点P(2,3)在圆内，当时直线/被圆C截得的弦长

答案第2页，共12页

最小，结合勾股定理计算即可求解.

【详解】直线/：mx+y-2m—3=m(x-2)+y—3=0,

令｛；二;二;'解得所以直线/恒过定点P(2,3)，

圆C：(%-3尸+(y-4)2=9的圆心为C(3,4),半径为r=3,

且|PC『=(2-3)2+(3-铲=2V9,即尸在圆内，

当CP12时,圆心C到直线/的距离最人为d=\PC\=y[2,

此时，直线/被圆。截得的弦长最小，最小值为2必=市=26.

故选：A.

8.B

【分析】分两种情况，若点M在抛物线的开口外部，最小值为|M/q可求得P；若点M在抛物

线的开口内部，则利用抛物线的定义转化求最小值，最小值为1+》最后再检验p值即可.

【详解】①如图，若点M在抛物线的开口外部，即2Pxi<42,即0Vp<8,

则当点M,P,尸三点共线时，|PM|+|PF|有最小值,最小值为|MF|,

因为尸信0)，则阿用=昭二1)^7(014)2=4,解得p=2,符合题意：

②如图，若点M在抛物线的开口内部，即2Pxi>42,即p>8,

过点尸作PD_L1,垂足为D,其中直线[为抛物线的准线，

则由抛物线的定义可知,\PF\=\PD\t

所以当M,P,D三点共线时，|PM|+\PD\=\PM\+|P尸|有最小值,

则1+§=4,得p=6,不符合题意，

综上所述，p的值等于2,

答案第3页，共12页

9.ABD

【分析】利用二项分布的概率公式、期望、方差公式和性质逐项判断.

10-10

［详解］P(X=k)=Cf0弓)“Q)'=Q)Cf0(/c=0,1,2,…10),

对于A：P(X=9)=C?o(1)=+，A正确；

10fc

对于B：P(X=k)=Cf0(i)--=^Cf0»由二项式系数的性质，

当k=5时，C%是肾0伏=0,1,2-10)中的最大值，此时P(X=k)取得最大值，B项正确;

因为E(X)=10xg=5,所以E(2X+2)=2E(X)+2=12,

D(X)=10x-x-=-,P!JD(2X)=22D(X)=4x-=10,C不正确，D正确.

2222

故选：ABD

10.AB

【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量法计算依次判断选项A、B、C、D即可.

【详解】以。为原点，分别以。人。COD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则

0(0,0,0),4(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),劣(0,0,2),4(2,0,2),

当(2,2,2),G(0,2,2),M(0,l,2),N(0,2,l),

所以前=(-2,1,2),由正方体性质可知平面A遇DDi的一个法向量完=(0,1,0),设直线与平

答案第4页，共12页

面所成的角为a,则sina=^K=m=g故A正确；

|力3X13

AB=(0,2,0)/汾=(-2,1.2),点8到直线AM的距离为

d=J荏2一喏=户=竽，故B正确;

AM=(—2,1,2),丽=(-2,2,1),DA=(2,0,0),平面AMN的法向量为沆=(xtyfz)

所以［空.E=-2"+y+2z=°,令％=3则y=2,z=2,

,AN-m=-2x+2y+z=0

所以沆=(3,2,2),所以点。到平面AMN的距离为

4=曾=携工2,故C错误；

|m|V17

因为而=(0,1,-1),砧=(0,2,-2)=2而，所以MN//&B,

所以4，B,M,N四点共面，所以直线4M与直线BN不是异面直线，故D错误.

故选：AB.

11.BC

【分析】根据双曲线方程求出双曲线方程，即可判断AB：对于C：设4(必,力),8(-与，一力)，

M(出,yo)利用点差法求出・统8；因为(5,0)为双曲线的焦点坐标，再由双曲线的对■称性

判断C.

【详解】因为双曲线C:二一三=l(m6R)的一条渐近线方程为4%-3y=0,

mm+7

则"：=&『，解得m=9,所以双曲线C：1—［=L

m\3/916

对于选项AB：因为Q=3,b=4,c=Va2+h2=5,

所以双曲线的焦点为(—5,0)、(5,0),离心率e=£=］故A错误，B正确;

a3

对于选项C：设M(x0,y0),则8(Ti，-yJ,

可得统力=泞2_f-y。_yi+y。

-Xt-XoXt+Xo,

xlXO

*

一

因为4在双曲线上，则19216M两式相减得比#一批拱=0,

xo-916

(916

整理可得*^=产曙誓=手=左攵故C正确；

壮一说(XiTo)Oi+Xo)9用〃叫。

对于选项D：过点(5,0)作直线与C交于48两点，

因为(5,0)为双曲线的焦点坐标，当直线的斜率不存在时AB\=—=^-<15；

a3

当直线的斜率为0时，|4B|=2Q=6<15；

答案第5页，共12页

所以由双曲线的对称性得，满足L4B|=15的直线有4条，故D错误；

故选：BC.

12.3

［分析］根据正态分布的对称性列式计算即可求解.

【详解】由题意可得随机变量X服从止态分布，

若P（X>m）=V2）,则空尸=2,解得m=3.

故答案为：3

13.30

【分析】根据排列中的定序问题的处理方法计算求解.

【详解】6位同学排成一排准备照相时，共有AS种排法，

如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有强=30种排法.

故答案为：30

11“\2027

14.i/0.25

【分析】根据n次独立重复实验事件4发生的概率为%根据二项分布求匕，构造二项式应用

赋值法分别计算即可.

【详解】抛掷1次后事件A发生奇数次，只能发生1次・a=3

抛掷〃次后事件A发生1次，3次，5次，……，

抛掷〃次后事件A发生奇数次的概率记为4,

制为偶数时,%=c；G）（旷+C3（33（旷3+...+上（旷⑨

构造二项式G+2"=CO削+Ci驯（旷'+G绮（旷2+C3绮（沪3+

…+吟）"，

当n为偶数时，

令…，-、洸）"+洸）（旷+洸）2（旷2

+c阳（叶+•・+哨”，

令—翼=（2『=哨”-哨（旷飞物旷2-

髭西广十…十齿（沙

答案第6页，共12页

两式作差得1-Q)n=2,G)(旷|+C3Q)3(旷3+…+C尸(茨10，

可得％=&G)(旷'+C3⑶(叶+...+CL(y(D=

12O27

因为n=2026,所以「2。26=：一6/1X).

1./1X2027

故答案为：-；--.

15.(1)7^=5670X-2

(2)256

⑶{1,3,5,7,9}

【分析】(1)展开式的二项式系数和求出〃的值，再利用二项式定理求出通项，二项式系数

最大的项为中间项，求解却可；

(2)利用赋值法代入计算即可求得二项式系数和；

(3)当4为整数时为有理项，即可求解

【详解】(1)由题知2n=256=n=8,

Tr+1=而告㈢,=(-3)«/一沁=0,1,2-.8),

展开式中二项式系数最大的项是中间项，即第5项，

所以=(―3)气打"丁=5670%-2.

(2)令"1,得(-2)8=256.

4rr4r

(3)Tr+1=Cgx4(-|)=(-3)CSx4(r=0,1,2-8),

当4一A为整数时为有理项，即r=0,2,4,6,8,

则”的取值集合［1,3,5,7,9}.

16.(1)证明见解析

四

【分析】(1)根据线面垂直的性质证明PC,力。，利用勾股定理证明AC1BC,再根据面面

垂直的判定定理即可得证；

(2)以点C为原点建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，利用向量法求解即可.

【详解】(I)因为PC_L底面人8cO,ACABCD,所以PCJ./IC,

四边形是直角梯形，AD1DC,AB“DC,

答案第7页，共12页

因为4B=2,AD=CD=1,所以4C=BC=&,

所以AC2+8C2=4B2,所以A。IBC,

又因为PCQBC=C,PC,BCu平面PBC,所以力C1平面PBC,

又力Cu平面E4C,所以平面比4C_L平面P8C；

(2)以点C为原点，CB,CA,C尸所在直线分别为x轴，)，轴，z轴，建立如图所示的空间

直角坐标系，

则C(0,0,0),F(V2,0,0),.4(0,72,0),P(0,0,2),

设点石的坐标为(x,y,z),因为而=2前，所以(x—&,y,z)=2(-%,—y,2-z),

即％=当，y=0,Z=g,所以E(¥，0,g),

所以方二(0,企,0),丽二俘,0,)

n-CA=V2y=0

设平面ACE的一个法向量为(x,y,z),则一一注4，

n-CE=—x4--z=0

33

取x=2&,则y=0,z=-1,得记=(2&,0,—1),

又因为8c_L平面PAC,所以平面出。的一个法向量为而=(V2,0,0),

又原图可知二面角为锐角，设为。，

则cos。=|cos(n,CF)|=|26----------=里，所以

府+(-g庖33

所以二面角P-AC-£的正弦值为，

17.(1)分布列见解析，E(X)=29

(2)①0.243：②打折更划算

【分析】(I)先求出随机变量X的所有取值，再求出其概率，从而可求出分布列，再根据期

望公式求期望即可；

(2)①由题意刚好可以抽三次，每次返现金都是30元或者两次20元，一次50元，从而可

求出所求概率；

②对于打折和抽奖，分别算出每种情况的优惠，然后对比即可.

答案第8页，共12页

【详解】(1)由题意X可能取值为20,30,50,

则P(X=20)=,=*P(X=30)=甯=[,P(X=50)=落

则x的分布列如下表：

X203()50

331

P

10510

由期望公式可得E(X)=2。x0.3+30x0.6+50x0.1=29；

(2)①由题意刚好可以抽三次，获得9()元返现的情况为：三次抽奖每次返现金都是30元或

者两次20元，一次50元，

则概率为0.6X0.6X0.6+CJX0.1X0.3X0.3=0.216+0.027=0.243：

②若打九折,需支付金额为:1000X0.9=900(7G)

由(1)知每次抽中的均值为29元，则抽取三次总的均值为：29x3=87(元)，

因为1000-87=913>900,故打折更划算.

18.(l)^+y2=l

*+1

(3)y=x-2或y=-x+2

【分析】(1〉利用已知条件即可得方程组求解参数a=2,b=l,从而可得椭圆方程；

(2)设点P(x,y)为椭圆上任意一点，先求出|PM|的最大值是雪，所以|PQ|的最大值是宇+

1.

(3)利用设直线方程，结合韦达定理即可求出点G坐标，利用二元一次方程组可求出点”坐

标，再利用向量的坐标共线运算可求解参数k,即可得直线方程.

【详解】(1)由题意：S=--2a-2b=4,所以ab=2,又因为£=3，所以a=2,b=1,

2a2

即椭圆的方程：9+V=i.

(2)设点P(%,y)为椭圆上任意一点,

则=x24-(y-2)2=4-4y2+y2-4y4-4

2

=-3y2-4y+8=-3(>>+1)+y(-l<y<1),

当y=时，|PM『的最大值是g,即|PM|的最大值是竽，

答案第9页，共12页

所以|PQ|的最大值是雪+1.

(3)由题意，设直线/的方程为y二旗＞一2),设点G坐标为(M/G)，

(y=k(x-2)

由1户,可得(1+4/(2)/一1642%+16好一4=0,

1+y=1

由韦达定理得：2+几=黑，所以短，

代入直线方程y=k(%-2)可得：yG=/.

过点A与/垂直的直线方程为y=-7K(x+2),

由匕)=)'设交点H坐标为3加，可得，〃=*，T,

因为丽=：丽，所以(打一2,尤)二；(%“一2/“)，

法.：北一2=|(大力一2),所以除一2一部(登言一2),解得〃一±1,

所以直线,的方程：y=工一2或y=-第+2.

法二：yG=lyH,所以部=5(一吉1)，解得左=±1，

所以直线/的方程：y=工一2或y=-％+2.

9(底

嫉

崎

【分析】(1)两局后比赛终止有两种情况：先平后胜达到30分或两负达到0分，利用相

互独立事件概率公式计算；

(2)先求出3局后比赛终止的概率以及3局后挑战成功的概率，再利用条件概率公式计

算；

(3)根据获奖金额