认识三角形（学案）-2025-2026学年鲁教版七年级数学上册

第一章三角形

1认识三角形

第1课时三角形及其内角和

列清单划重点

知识点❶三角形的有关概念

I.定义：由不在一直线上的三条线段首尾—相接所组成的图形叫作三角形.

2.基本元素：组成三角形的—叫作三角形的边，相邻两边的一端点叫作三角形的顶

点，—两边组成的角叫作三角形的内角.

3.三角形的符号表示：三角形用符号“△”表示，顶点是A,B,C的三角形，记作“_北读

作“三角形ABC”.

知识点❷三角形内角和定理

三角形三个内角的和等于—.

明考点识方法

考点①三角形的概念

典例1图中共有三角形一个，其中以AE为边的三角形有一个.

A

典例1图

变式1以下由三条线段组成的图形中是三角形的是（）

变式2观察图形，回答问题.

(1)图中共有多少个三角形？

(2)写出其中以EC为边的三角形；

(3)若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”，则以乙B为公共角的“共角三角形”

有哪些？

变式2图

考点。三角形内角和定理

典例2如图,在ZkABC中,点D,E分别在BC,AC上/8=40。,"：=60。,若DEIIAB,则

ZAED=°.

变式1已知:z^ABC中，匕4△0，求AABC各内角的度数.

变式2一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若NEAB=35。,求NDFC的度

数.

变式2图

第2课时三角形的分类及直角三角形的性质

列清单•划重点

知识点①三角形按角分类

1.一个内角都是锐角的三角形是锐角三角形.

2.有一个内角是直角的三角形是直角三角形.

3.有一个内角是钝角的三角形是钝角三角形.

规律总结

在任意一个三角形中，最多有3个锐角，最少有2个锐角，最多有1个直角，最多有1个

钝角.判断•个三角形是明E种三角形，只需看该三角形的最大内角是什么角.

知识点❷直角三角形的性质和判定

1.表示：用符号“”表示“直角三角形ABC”.如图所示，把直角所对的边称为直角三角

形的—，夹直角的两条边称为直角三角形的—.

江

C直角边B

2.性质：直角三角形的两个锐角互余.

符号语言:在RtAABC中，若NC=90。,则NA+NB=90。.

3.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.

符号语言:在AABC中，若/A+4B=90。,则4ABC为直角三角形，且NC=90。.

明考点识方法

考点①三角形按角分类

典例1在AABC中，三个内角度数之比为2:3:5,则AABC的形状是（）

A.等边三角形B.等腰直角三角形

C.等腰三角形D.直角三角形

变式1同学们在玩“猜三角形”的游戏，图中被信封遮住的三角形（）

A.只能是锐角三角形

B.只能是直角三角形

C.只能是钝角三角形

D.可能是锐角三角形、直角一角形或钝角三角形

变式2在ZkABCA=zB+zC+1△ABC的形状是.

考点❷直角三角形的性质

典例2如图所示，在RMABC中/ACB=90o,CD_LAB于点D/BCD=40。,则NA的度数为（）

A.40°B,38°C.50°D.30°

第3课时三角形的三边关系

列清单•划重点

知识点①三角形按边分类

1.有—相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两边叫作腰，如图所示.

底边

2.—都相等的三角形叫作等边三角形，也叫作正三角形.

3.两条直角边—的直角三角形叫作等腰直角三角形.

知识点❷三角形的三边关系

1.三角形任意两边之一大于第三边.

2.三角形任意两边之一小于第三边.

明考点•识方法

考点①三角形按边分类

典例1下列说法正确的是（）

①等腰三角形是等边三角形

②三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形

③等腰三角形至少有两边相等

④三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形

A.①②B.③④

C.①②③④D.①②④

变式三角形的三边长a,b,c满足（Q-2）2十-2|+（C-3）2=0,那么此三角形一定是（）

A.等边三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.不等边三角形

考点❷三角形的三边关系

典例2氏为10cm,7cm,5cm,3cm的四根木条,从中选取三根组成三角形，不同的选法有

)

A.1种B.2种

C.3种D.4种

规律总结

判断三条线段能否构成三角形，只需将较短的两条线段之和与最长的线段比较大小，如果

大于最长边，就能够组成三角形.

变式1如图，线段AB和线段AC是三角形ABC的两条边，点D在线段AB1二，点E在线

段AC上，将三角形ABC沿DE所在直线裁去一个角得到四边形DBCE,则四边形DBCE

的周长—（填“大于”“等于”或“小于"）三角形ABC的周长，理由是

变式1图

变式2定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若

△ABC是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3,求第三条边的长.

第4课时三角形的中线、高和角平分线

列清单•划重点

知识点①三角形的中线

1.在三角形中，连接一个顶点与它对边的线段，叫作这个三角形的中线.

2.三角形的三条中线交于一点，这个点叫作三角形的.

知识点❷三角形的高

1.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的

高线，简称三角形的高.

2.三角形的三条高所在的直线交于一点.

知识点❸三角形的角平分线

1.在三角形中，一个内角的与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的叫作三

角形的角平分线.

2.三角形的三条角平分线交于一点.

知识点❹三角形高线的画法

考点①三角形的中线

典例1如图，在AABC中,AB=18,BC=16,BD是AC边上的中线，若AABD的周长为41,那么

△BCD的周长是()

A.39B.41

C.43D.无法确定

规律总结

三角形中线的三个重要结论，如典例1图:

(1)边相等：4D=CD=AC;

(2)面积相等：SMBD=S^BCD=3SMBC；

(3)周长关系:AABD与ABCD的周长之差为AB与BC的长度差.

变式如图,AD是AABC的边BC上的中线,BE是AABD的边AD上的中线,

若AABC的面积是16,则AABE的面积是()

A.16B.8C.4D.2

BD

考点❷三角形的高变式图

典例2如图所示，在ZkABC中,AD是NBAC的角平分线,AE是NBC的高.

(1)若NB=40O/C=60°,求乙DAE的度数;

⑵若乙B"C,由⑴的计算结果，你能发现ZBAE与乙C/B的数量关系吗?写出这个关系式,

并加以证明.

规律总结

三角形一个角的平分线与这个角的对边上的高所形成的夹角等于另两个角之差的一半.

变式如图，在4ABC中,AD是高,AE,BF是角平分线,它们相交于点O/CAB=50。,"=60。,

求乙DAE和NBOA的度数.

变式图

考点❸三角形的角平分线

典例3如图，在AABC中,AD是角平分线/B=60。,4=45。,求NADB和NADC的度数.

典例3图

变式如图,在ZkABC中/BAC=6()o/B=45°,AD是^ABC的一条角平分线，则NDAC=

度/ADB=一度.

第1课时三角形及其内角和

【列清单•划重点】

知识点11.同一顺次

2.线段公共相邻

3.AABC

知识点2180°

【明考点•识方法】

典例182变式1C

变式2向军:(1)图中有△BDEQCDE,AACEQBCE,AABC,共5个三角)名；

(2)以EC为边的三角形有:AACEADCECBCE;

(3)以4B为公共角的“共角三角形”有：ABDE与ABCE,AABC与ZiBCEcBDE与^ABC.

典例2100

变式1解:设4A=x。,则=2x°,zC=3x°,

因为三角形的内角和为180。，

所以x+2x+3x=180,

所以x=30.

所以乙A=30°,NB=60°,NC=90。.

变式2解:如图，设AC与DF交于点G,

------------

tA2S

由题意，得NBAC=6O°ZC=3O°/D=45°,

因为NEAB=35。，

所以乙CAD=18O°-ZEAB-ZBAC=85°,

所以4AGD=180°-zD-zCAD=50°,^f以4CGF=4AGD=50。,

所以4DFC=180°YCYCGF=100°.

第2课时三角形的分类及直角三角形的性质

【列清单•划重点】

知识点I1.三2.—3.一

知识点2l.RtAABC斜边直角边

【明考点•识方法】

典例1D变式ID

变式2钝角三角形

典例2A

变式解：设另一个锐角为x。，则一个锐角为(4x-10)。，

由题意，得x+(4x-10)=90,

解得x=20,

4x-10=4x20-10=70,

所以,这两个锐角的度数分别为20。，70°.

第3课时三角形的三边关系

【列清单.划重点】

知识点I1.两边2.三边3.相等

知识点21.和2.差

【明考点•识方法】

典例1B变式B

典例2B解析:选长度是10cm,7cm,5cm的木条,5+7>10,能组成三角形;

选长度是10cm,7cm,3cm的木条,3+7=1(),不能组成三角形；

选长度是10cm,5cm,3cm的木条,5+3<10,不能组成三角形；

选长度是5cm,7cm,3cmH勺木条,5+3>7,能组成三角形.

所以从中选取三根组成三角形，不同的选法有2种.

变式1小于三角形任意两边之和大于第三边

变式2解:1.5或4

第4课时三角形的中线、高和角平分线

【列清单•划重点】

知识点11.中点2.重心

知识点21.垂线

知识点31.角平分线线段

【明考点•识方法】

典例1A变式C

典例2解:(1)因为NB=40°/C=60°/BAC+NB+4C=180。，

所以乙BAC=80°.

因为AD是NBAC的角平分线，

所以皿。=血。=2"=40。.

因为AE是ZiABC的高，

所以乙AEC=90。.

因为乙C=60。，

所以匕CAE=900・60°=30。,

所WzDAE=zCAD-zCAE=10°;

(2)，ZME=1(，C-乙B),证明：

因为4BAC+4B+/C=180。，

所以NBAC=18()O-NB-，C

因为AD是ZBAC的角平分线，

所以Z.CAD=Z.BAD=^LBAC.

因为