天津市某中学2025-2026学年高三年级上册第一次质量检测（10月月考）数学试题

天津市南开中学2025-2026学年高三上学期第一次质量检测（10

月月考）数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合从={划—3<才<1},B={xM<2},则4nB=（）.

A.{x|-2<x<1}B.{x|（）<x<1}C.{X|-3<JC<2}D.{x|1<x<2）

2.己知命题〃：。>〃，命题〃是q的（）

A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要

条件

3.已知函数y=/（x）的剖分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（）

B./(%)=-——--cosx

v7ex+l

C./(x)=-——siiivD./(%)=-----cos.r

Vfl+elV71+e'

4.卜.面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数分别是其中最

A.B.r2

C.r3D.r4

5.已知sin-=,K0<x<—,求sin^-+xl-cos二+x的值为()

(3)3216JI3J

A*B.空C.0D.一述

333

4

6.在VABC中，角A,B,C所对的边分别为“，b,c,若2acosB=c=4,且lanC=-Q,

J

则V4BC的面积为()

A.1B.2C.3D.4

7.已知定义在R上的函数)，=/")满足：)，=/5-1)的图象关于直线1=1对称，且当

居w(-oo,0)时，*/(*)>"*)<(),若a=(sin]/(sin]],Z?=(ln2)/(ln2),

x,-x2\2)\2)

c=10g)i•/[log)\,则a,b,c的大小关系是().

I24JI

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.a>c>b

8.已知/(%)=2sin(%+力cos。=?)-1,将/(力图象上所有点的横坐标变为原来的

,(◎>0)倍，再向右平移g个单位，得到函数#(x)的图象，若g(x)2则0的最小

值为()

795

A.-B.2C.-D.一

442

「11「1、9

9.已知函数/(x)的定义域为-,2,对于Wxe-,1,满足/(力.〃2力二，且当x«l,2]

时，=4+：・若困数)'=/(/(x))+/T(稣O)恰有两个不同的零点，则实数，的取值

-X，

范围为()

二、填空题

10.已知复数z=l+i的共朝兔数为4,则,=________.

zl

II.丫的展开式中含尸2项的系数为_______.

I2AJ

12.如图，在VA8C中，F,E分别在线段AC,AC上，且2BF=FC,AE=2EC,AF,

BE交于点、P,若乙户=+则4-2)，=.

试卷第2页，共4页

A

13.某电视台举办知识竞答闯关比赛，每位选手闯关时需要回答三个问题.第一个问题回答

正确得10分，回答错误得。分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得0分；第三个问

题I可答正确得30分，回答错误得-20分.规定，每位选手回答这三个问题的总得分不低于

2

30分就算闯关成功.若某位选手回答前两个问题正确的概率都是：，回答第三个问题正确

的概率是:，且各题回答正确与否相互之间没有影响.则该选手仅回答正确两个问题的概率

是;该选手闯关成功的概率是.

14.已知函数/（%）=疝而（8+。），。>0.蚓<3）的部分图象如图所示，若将函数/（工）的

图象向右平移e（e>o）个单位后所得曲线关于y轴对称，则。的最小值为.

15.若函数/(x)=4sin2x-3cos2x+2asinx-4acosx(a>0)的最小值是-6,则。=

三、解答题

16.设函数/（X）=>/5cOS%K+Sin8COS8-手（69>0）的最小正周期为7t.

⑴求函数/a）的单调递增区间；

0）若f（A）=£~•Ae•求cos24的值.

17.如图所示的几何体中，四边形A8CO为矩形，Abi平面A8CO,EF//AB,AD=2,

⑴求证：3P〃平面APC；

(2)求直线EC与平面BCF所成角的正弦值；

⑶求点尸到平面ACP的距离.

18.在VA4c中，角A,B,C所对的边分别是小b,c,且(2c-J5〃)cosA=Gacos6,D

是边AC上一点，AD=BC=\.

⑴求角A；

⑵若AB=2,求线段。。的长；

(3)若0<C<£,当BD=C0时，求角C的大小.

19.已知函数/(X)=为2+(4-l)x-lnx,aeR.

⑴讨论了(%)的单调性；

(2)设〃力，函数&(x)=/-4x+5,对于VX]U[l,e],C[2,-H»),使得/(玉)学&(超)，求实

数。的取值范围.

20.已知函数/(x)=e21nx.

⑴求曲线y=/(幻在点(1J⑴)处的切线方程；

(2)设函数g(x)=------------lnx+1.

x

(i)设・%为ga)的极值点，证明：2-ln2<^(^)<|-ln2.

(ii)对任意。>0,〃>0,判断和2g®的大小关系,并说明理由.

试卷第4页，共4页

《天津市南开中学2025-2026学年高三上学期第一次质量检测(10月月考)数学试题》参

考答案

题号123456789

答案ADDABBACD

1.A

【分析】由题知8={+2"«2},再根据集合的运算求解即可.

【详解】解：解不等式国＜2得—2WXW2,故8={工卜24入42},

所以ACB={X|-3WE}C{HUW2}={M_2W1}.

故选：A

2.D

【分析】根据充分条件和必要条件的定义求解.

【详解】当。=1,力=-2时，/＜〃，故不充分：

当/时，即/_从＞0,即(。叫(〃+b)＞0,

所以a＞。且a+。＞0或。＜力且a+〃v()；故不必要；

故选：D

【点睛】本题主要考查逻根条件的判断以及不等式的基本性质，还考查了运算求解的能力，

属于基础题.

3.D

【分析】通过观察图象，可知"0)=0，/［三)=°，/(2)＞0,对选项一一排除得到答案.

【详解】从图象上看，可知/(())=(),

对于A选项：f(0)=e°・cosgl,排除A选项；

°_i

对于B选项：f(0)=-er----cosO-O；

e+1

l-e0

对于C选项：/(0)=-——-sin0=0；

l-c"

对于D选项：/(0)=-------cos0=0；

-l+e。

从图象上看，可知/［今卜。，

答案第1页，共13页

对于B选项：f(—=-----cos—=0；

,.2

对于C选项：排除C选项:

⑵二2

对于D选项:

从图象上看，可知/(2)>0,

对于B选项：/(2)=^-cos2<0,排除B选项；

e"+1

对于D选项：/-(2)=^4COS2>0,从而得到D选项正确.

1+e2

故选：D

4.A

【分析】根据散点图中点妁分布，即可判断答案.

【详解】由散点图可知4>0,弓<0,并且第一个图中的点更为集中，更贴近某条直线分布,

第三、四个图中的点的分布更为分散，

因此4更接近于1，4<0名居的绝对值更接近于0，

即最大的是4，

故选：A

5.B

【分析】应用诱导公式及同角三角函数关系计算求解.

【详解】因为sin住

(3)3

所以sin(]-x)=cos(^+x)=半，且所以+二g，

ltlli.(it)(2n).(兀A.f7T、”石2>/3

16)I3J16J1.6J33

故选：B.

6.B

答案第2页，共13页

【分析】根据题意，利用余弦定理化简求得。=儿且cosC=q3,sinC=-4,再由余弦定

理，列出方程，求得。力的值，结合三角形的面积公式，即可求解.

【详解】因为%CQS8=C,可得2acos8=2G4^W=c,解得。=〃，

2ac

434

又因为tanC=——,可得cosC=——,sinC=—,

355

因为。=4,由余弦定理/="+尸-2而cosC,

HP16=a2+b2-2abx(--)=a2+a2+-a2=—a2,解得a=b=后,

555

所以ABC=gabsinC=2.

故选：B.

7.A

【分析】根据题意可得)，=/("为偶函数，令户(x)=W),易得为奇函数，结合

心,与€(—,())时，)v0得到％一(-00,()),外力=犷(同单调递减，利用奇

X~X2

偶性可知X6(0,y)时，单调递减，再根据单调性比较大小即可.

【详解】y=ra-i)的图象关于直线x=i对称，

・•.y=/(力的图像关于直线X=o对称，即y=/(A-)为偶函数，

令尸(%)=9(%)，则尸(X)为奇函数,

又西,七€(-8,0)时，563伍…)-」40,

王一々X一出

X€(f,0),尸(%)=。㈤单调递减,

又为奇函数，

所以46(0,物)时,尸(X)单调递减,

.兀

vs,in—1<sin—=11,1—<111C12<11,

222

.I..I

/.sin—<Ino2<log,—,

故选:A.

答案第3页，共13页

8.C

【分析】首先将函数/(“化简为标准三角函数形式，再根据图像变换规律得到g")的表达

式，最后利用正弦函数的性质分析不等式的条件•，求出。的最小值.

【详解】/(A)=2x^^(sinx+cosx)x^^(sinx+cosx)-l=sin2x,

将图象上所有点的横坐标变为原来的‘卜八。)倍，得到〃(x)=/(3*)=sin23r的图象,

(t)

因为雇外2g闾，所以当W时，g(x)取得最小值，即2若-*2EgkwZ,

3、9

解得0=3女-彳(3>0«wZ),故当〃=1时，。取最小值工.

故诜：C.

9.D

【分析】根据条件计算函数“X)在；/)上的解析式,，分析/(X)单调性，画出函数图象,

令，=/(x)，结合图象把问题转化为中需提供一个根，且该根位于弓,|)之间，

由此可求出实数〃的取值他围.

【详解】当X63小时，2XW［1,2),/(2A)=112./+19…、9f

市十二▽"两'则/(土际

•・•/(”在［1,2］上单调递减，・・・"2力在上单调递减,

乙Z

VVxeg,l),满足/(x)-〃2x)q,・・・/(x)在；/)上单调递增,

〃2)1,17

18住卜s

由)，=/(/(月)+/—1=0得，〃〃")=1一片,

令，=/")，则/'(/)=1一。2<],令〃*=_^=1则x=巫,

4人25

答案第4页，共13页

y

结合图象得/(，)=1-/中需提供一个根，且该根位于(H)之间，故

又•・,〃>(),・・・0〈”生

6

故选：D.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是把问题转化为/(/)=>/中需提供一个根，且该

根位于之间，数形结合可求出实数0的取值范围•

(42)

10.-+-i

22

【分析】利用共知复数的定义求出Z，再由复数的除法计算即得.

一_111+i11.

【详解】由题意，z,=z=l-i,则一~7=~~~-=-+

1

z(l-i(l-i)(l+i)22

故答案为：g+gi.

22

11.——1.5

2

【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可.

【详解】展开式的通项为九1攵=0,123.4,

令4-2々=-2,则左=3,

所以含一项的系数为C：X［」］X3=-3.

I2)2

答案第5页，共13页

故答案为：-；3

12.2

【分析】由已知可得向量而与向量而共线，设丽=2而，根据向量线性运算法则可得

CP=AAF-ACfAF=^AB+^AC,由此可得加=胃4月+74。，根据平面向量基本

定理可得戈=彳，，=年，由此可得结论.

JJ

【详解】由已知向量而与向量衣共线，故可设»=2",

所以cP=A户-4c=4A尸一A。，

因为23"=FC,所以加=；肥=：(蔗-北)，

故人尸=AQ+B厂=/1月+：(4仁一人8)=：48+；4C，

所以C户=丸24*+_!.从6'

(33J33

又方二八人群+%乙AB»福不共线，

由平面向量基本定理可得，X=三，＞=—丁，

「…c22c/4—3、c

所以_¥_2),=彳_2乂1二-J=2,

故答案为：2

41

13.--/0.5

92

【分析】利用独立事件乘法公式及互斥事件加法求选手仅回答正确两个问题的概率，分析知

只需第三问I可答正确则选手即可闯关成功，否则失败，即可确定选手闯关成功的概率.

【详解】由题设，选手仅回答正确两个问题的概率

……22八1、2,2、1八2、214

P(X=2)=-x-x(l--)+-x(l--)x-+(l--)x-x-=-,

3323323329

由题意，只要第三问回答正确，不论第一、二问是否正确，该选手得分都不低于30分,

只要第三问回答错误，不论第一、二问是否正确，该选手得分都低于30分，

所以选手闯关成功，只需第三问回答正确即可，故概率为，

41

故答案为：—,5

14r

8

答案第6页，共13页

【分析】根据图象特征，结合五点法作图列式求出0和e,再根据图象的平移变换，以及图

象的对称性即可求解.

【详解】由/停）=1，可得缶in（：o+Q）=l,又点及附近点从左到右是上升的，

则£3+夕=工+2EM€Z,

44

由=点及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得

57tc,f

—。+°=7t+2E,kwZ,

8

联立解得＜。=2,（p=-3+2EkwZ,而闸＜£于是0=-£,=,

424I4,

若将函数/（X）的图象向右平移。（。＞0）个单位后，得到y=&sin（2x-2。-：）

贝！j—26—=—kit、kwZ,而。＞0,因此。=----1----，女wN,

4282

所以当4=1时，。取得最小值为g.

故答案为：-y.

o

15.—

10

【分析】令/=sinx-2cosx,进而根据二倍角公式将问题转化为求

），=-2/2+2S+5M＞0,/C［一右］的最小值，再根据二次函数的最值问题的方法讨论求解

即可.

/\

［详解］解：令'=sinx_2cosx=V5sin（x_9）e卜石,、5］,tanQ=2,QG0,—,

所以「=sin2x+4cos2x-4sinxcosx=3cos2x-2sin2x+l

因为4sin2x-3cos2x=4sin2x-3（2cos［r-l）=4sin2x-6cos'x+3

=-2（3cos2x-2sin2.v）+3=-2（r2-l）+3

所以/（x）=4sin2x-3cos2x+2tzsinx-4acosx

=4sin2x-3cos2x+24（sinx-2cosx）=-2（/-l）+3+2ar

=-2厂+2al+59

设），=-2产+2。/+5=—2l——+——F5,6；>0,/€-技问

I2J2

答案第7页，共13页

因为〃〉（），故5>0,而抛物线开口向下，且-右一3>逐—5

乙乙乙

故当/=-不时，），=-2/+2&+5有最小值，最小值为-2屈-5=-6,

解得力也.

10

故答案为：亚

1（）

5兀,兀，*1,._、

[一五+4兀，正+&兀（AGZ）

⑵

6

【分析】（1）根据正余弦的二倍角公式、辅助角公式化简函数解析式，再结合正弦型最小正

周期公式求得。，利用整体法可求得正弦型函数的单调递增区间；

（2）根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可.

【详解】（1）函数/（人）=等852的十京123,f（x）=$in（2&x+.）的周期为人,

所以周期丁=弃=兀，解得/=1,即函数/"）=sin®+?]；

2（o\3J

由正弦函数的单调性，可令一£+2EK2X+HK巴+2E（ZeZ）,

232

解得—得+也一《白+履，ZeZ,即/（幻的单调递增区间为.浮质嗜+也|（丘Z）；

（2）根据题意，sin（2A+?卜咚，斗，24-台（；,兀

所以cos12A+1_>/6

=~T*

小八(c,兀兀I(-,n•/c-n3-瓜

cos(2A)=cos2A+----=—cos2A+—+——sin2A+一

I33/213)2{3)~6~

17.（1）证明见解析

⑵普

（3）|

【分析】（1）连接BO,交AC于点O,根据中位线的性质及线面平行的判断定理即可判断

M〃平面"C.

（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求得平面KU•的法向量，根据线面角公式即可

求得直线CE与平面8C/.所成角的正弦值;

答案第8页，共13页

(3)求得平面APC的法向量，利用点到平面的距离公式即可求得尸到平面APC的距离.

【详解】(1)连接8。，交AC于点。，

由P,0分别为。尸和的中点，得BF//PO,而POu平面APC,4bz平面APC,

所以8F〃平面APC.

(2)由直线A/7,平面人BCO,AB1AD,以A3所在的直线为x轴，

以AO所在的直线为)，轴，以■所在的直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系.

所以83=(0,2,0),8户=(-1,0,1),

rl-BC=2y=0

设平面BCF的法向量n=ix,y,z)则1

n-BF=-x+z=0

令z=l,则x=l,y=0,

所以平面BCT的一个法向量为7=(1,0,1)，又反=(；2—1)

设直线EC与平面4b所成角的正弦值。，则

1

2____2/42^

sin0=Icos(方,EC\|==一

।\'附JT।且明五物一石，

x---

2

(3)/=(1,2,0),衣二(0,1,；),

设平面APC的法向量为五=(出"c),

答案第9页，共13页

m-AC=a+2b=0

则|，令〃=一1,则a=2,c=2,

th-AP=h+—c=0

2

所以平面4尸C的一个法向量为说=（2,-1,2）,又通=（0,0,1）,

所以点尸到平面ACP的距离d=.

|沅|3

18.⑴A=J

O

⑵石-1

⑶cq

【分析】（1）由正弦定理将边转化为角的正弦值，然后由正弦的和差角公式化简，即可求得

角A：

（2）由余弦定理求得〃，然后得到C。；

（3）由边的关系，得到C的相关结果，在△A3/1和△5CO分别由正弦定理求得8。，然后

得到关于C等式，化简求得角C的大小.

【详解】（1）因为（2c-麻）COSA=G〃COS6,

由正弦定理得(2sinC-V5sinB)cosA=Gsin4cos4,

即2sinCeos/4=6(sinAcosB+sin8cosA)=>/3sin(A+B)=6sinC,

又sinC>0,所以cosA=3，

2

又Aw(0"),所以An?;

6

(2)在VA3C中，由余弦定理得-力ccosA.

即l=/f+4-2回，解得6=6

所以痒1;

(3)因为40=8,所以N8DC=TI-2C,ZABD=­-2C,

6

BDAD

在△A3。中，由正弦定理得

sinAsinNABD

答案第10页，共13页

nc1AD-sinA1

HD==/、

则sin乙48。2sm-2C，

在△38中，由正弦定理得%；=.

sinCsinZ.BDC

enc8csinCsinC1

人」sin(n-2C)sin2C2cosC

]_]]_]_]

所以.(5元A2cosC,即cosC(n

2sin----2csin----2Ccos——2C

I6)I6；UJ

所以COSC=COSR-2C),因为小卜吟)，所以C=g—2C,所以C=/

13/\4/39

19.（1）4WO时，/3）在（0,+力）单调递减；。＞0时，/"）在,[单调递减，H单

调递增

4

（2）心§

【分析】（1）对函数求导，讨论。40、。＞0研究导数符号确定区间单调性;

（2）问题化为/（芭）.之g氏L对X«l,e],X,G[2,+8）恒成立，讨论函数单调性得出最值

计算求参数范围.

【详解】（1）由题设尸（6=6+〃-1一上=----——L——-----——Z且xe（0,y）,

.XXX

当aW0时/'（x）＜0J（x）在（0,也）上递减；

当〃>0时，令/"(x)=0=x=L,

a

当X＞一时r（X）＞0J（x）在g,+8）上递增.

所以当a＜0时，/（X）的减区间为（。,+8）,无增区间；

当〃＞（）时，/3的增区间为（*8）,减区间为（0,

（2）由题设对于e"e],3x2e[2,+a））,使得/（%）才❷于）,知f（%）加之g（再）由皿，百e[l,e],

答案第11页，共13页

毛€［2,3)成立.

由(1)当时，工目3J'(x)>0,则“力在［l,e］上递增,小以=/。)哼一1,

对于工2丘［2,*0),函数仪式)=/一4工+5单调递增，g(x)在［2,+co)上递增，

g(4产履2)=4-8+5=1,

所以只需f(l)=芋2/7-1*1,。〉14.

4

综上：ci^—.

20.(l)(e-2)x-y+2=0

(2)(i)证明见解析；(ii)f(a)>2g(b),理由见解析

【分析】(1)利用导数的几何意义求出切线斜率，由点斜式即可求得切线方程；

(2)(i)利用导数判断制孑)的单调性，求得见的范围和g(%)的表达式，利用单调性证明；

(ii)通过求导得到/(X)的最小值为了(%)，满足Xi+lnx-ln2=0,由⑴已得g(x)的最大

值为g(x(>)，满足lnXo+/Tn2=(),根据函数y=x+ln;ln2在(0,+oo)上为增函数可得

玉=%,将结果代入/(々)-2g㈤之/•(5)-2g(陶),化简计算即可确定/3)和2g(b)的大小

关系.

【详解】(1)由/(x)=e-2hij可得〃l)=e,求导得1(x)=e*-4,

X