辽宁省锦州市某校2025-2026学年高二年级上册第二次月考数学试卷

辽宁省锦州市某校2025-2026学年高二上学期第二次月考数学

试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.直线3人十2y-1=。的一个方向向量是（）

A.（2,-3）B.（2,3）C.（-3,2）D.（3,2）

2.抛物线C:y=2,的准线方程为（）

A.y=--B.x=--C.y=

,44z

3.若椭圆C的短轴长是焦距的万倍，则C的离心率为（）

A二B—C.日D-T

4.已知空间向量。=（1,0,3）,〃=（2,1,0）人=（5,2/）,若£底共面,则实数z的值为（）

A.0B.IC.2D.3

5.已知点尸为抛物线C：丁=61的焦点，/为。的准线，P为C上一点、,过户作/的垂线,

垂足为M.若周=|M",则|尸目二（）

A.6B.3C.2GD.6

6.已知圆。：（.丫+1）2+步=r2r＞0）上仅有两个点到直线/：3x—4），—12=。的距离为则「的

取值范围为（）

A.（2,4）B.（3,5）C.（4,6）D.（5.7）

7.已知工分别为双曲线U「-卷=1（，＞0力＞0）为左、右焦点.过K作C的两条渐

近线的平行线，与渐近线交于M、N两点、.若cos/MF^q,则C的渐近线方程为（）

A.y=±-xB.y=±2xC.），=±;工D.y=±-x

2

8.已知椭圆厢的两个焦点分别为短轴的两个端点分别为相，。

为坐标原点，点尸在椭圆G上,且满足归间+|p闵=|P£|+|P闾.当。变化时，|（羽的最小值

为（）

A.2B.75C.\/6D.

二、多选题

9.已知曲线。：如2+〃），2=l〃为常数）则（）

A.若〃z>0,〃>0,则曲线C为椭圆

B.若mn<0,则曲线C为双曲线

C.对任意实数6、〃，曲线。都不会是抛物线

D.存在实数〃1、〃，使得曲线C是由直线组成的图形

10.如图，在棱长为2的正方体中，E为CG上一动点,则下列说法正确

A.

4

B.三棱锥七-48。的体积为定值引

C.当E为CG的中点时，4E_L平面ABO

D.当E为CG的中点时，晅与平面AB。所成角的正弦值为半

II.已知N是抛物线。=2〃、，（〃>0）上的两点，C的焦点为F,。为坐标原点，C

3

上一点P。』）到焦点厂的距离为;，则（）

A.p=I

B.若OM工ON,则直线MN过定点（0,2）

C.若M〃=2FN，则直线用N的斜率为受

4

试卷第2页，共4页

3

D.若/XMO尸的外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆的半径为了

4

三、填空题

12.已知空间向量。=(0,2,1),〃,一2),若&/比,则"7+〃=.

13.己知产为双曲线C：£一卷=］的左焦点，P,。为C右支上的两点.若闸=10,点

A(5,0)在直线PQ上，则尸的周长为.

14.已知圆。:父+(丫一3『=1,点玳入0)为x轴上一动点，过点P引圆C的两条切线，切点分

别为M、N，若两条切线PM,PN与直线)，=1分别交于A8两点，则|4臼的最小值为一.

四、解答题

15.已知直线〃i：x+3y—1=0,直线〃经过点夕(一1,一1).

(1)若〃?_!_〃，求直线〃的方程；

(2)若直线〃在两坐标轴上的截距相等，求直线〃的方程.

16.已知双曲线C:/-乙=1的右焦点与抛物线E的焦点重合.

3

⑴求抛物线E的标准方程；

(2)若过双曲线C的右顶点且斜率为2的直线/与抛物线£交于M,N两点，求线段的

长度.

17.已知圆G：/+y2=/(r>o),圆G：(x—3)2+y2=i6.

⑴讨论圆C1与圆g的位置关系；

⑵当〃=2时，求圆G与圆G的公切线的方程.

18.如图，已知三棱柱A旦G的底面是边长为2的等边三角形，侧面都是菱形，

AB=ABifBC=3.

By

G

B

(1)证明：

(2)求A。的长;

⑶线段4G上是否存在一点。，使得二面角A-80-C的正弦值为年，若存在，求出点。

的位置；若不存在，请说明理由.

19.已知A,8分别是椭圆C(a>b>0)的左、右顶点，M,N是椭圆C上异

于4,B的两个点，当四边形4MBN为菱形时，四边形AMBN的周长为4不，面积为4.

⑴求椭圆。的方程；

(2)若K4,NB的斜率分别为尢，Q且刈=3仁

①证明：直线WN过定点；

②若直线M4,NB交于点P,直线N4,MB交于点Q,求归。的最小值.

试卷第4页，共4页

《辽宁省锦州市某校2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案ACBDDABABCDBD

题号11

答案ABD

1.A

【解析】根据首线的斜率先得到百线的一个方向向量,然后根据方向向量均共线.求解出结

果.

【详解】因为直线3x+2y-l=0的斜率为-1,所以直线的一个方向向量为

又因为（2.-3）与（,-白）共线，所以版+2），-1=0的一个方向向量可以是（2,-3）,

故选：A.

2.C

【分析】将抛物线C的方程化为标准方程，即可得出该抛物线的准线方程.

【详解】由题意知抛物线。的标准方程为2），，所以其准线方程为），=-g.

故选：C.

3.B

【分析】由题意可得力=、金，进而结合〃力1的关系可得a=2c,即可求解离心率.

【详解】•椭圆的短轴长是焦距的G倍，

;.2b=2&,即〃=岳，

则从=3g2=/—02,即4d=/,则〃=2c,

二.椭圆的离心率为e=£=；.

a2

故选：B.

4.D

【分析】利用三个向量共面，即可列出方程求出实数z的值.

【详解】因为共面，所以存在实数对（乂丁）,使得C=M+独，

HP（5,2,z）=x（1,0,3）+y（2,1,0）=（x+2}\y,3x）,

答案第1页，共14页

x+2y=5,x=L

所以《y=2,解得＜y=2,

3x=z,z=3.

故选：D.

5.D

【分析】由抛物线定义及已知条件知△PMF为等边三隹形,进而可求IP用.

【详解】由抛物线的定义知:\PF\=\PM\t又尸|=|网,

尸为等边三角形，ZFMN=30，

因为抛物线方程为：y2=6x,则2P=6.

故附尸|='日=—g-=2〃=6,故|尸产|=6.

1sin/FMNsin30

【分析】先求得圆心C到直线/的距离,结合条件可得3-1＜r＜3+1,即可求解.

|3x(-l)-4x0-l2|

【详解】由题意知c(-i,o),c到/的距离d==3,

阴+(-如

要使圆C上仅有2个点到:的距离为1,则3-1＜厂＜3+1,解得2vrv4,

故选:A.

7.B

【分析】根据条件先计算出碗/“月用的值，然后通过联立求得点用的坐标，利用M的坐

标表示出tanN用片入，由此可求2的值，则渐近线方程可知.

a

【详解】易知点M,N关于％轴对称，令4MF、F?=a,cos2cr=^,

I+cos2aIf59.,4

cos2a---------=—1+—=—,siir2a=1-cos"2a=—,

答案第2页，共14页

，sin“。422A/七4।.、

/.taira=———・・iana=z（负值舍去）,

cos-a93

be

2

则tana=^=],

-c

2

.•・3=2’.•.渐近线方程为），=±2x.

【分析】由题设条件，结合椭圆的定义得到点P是椭圆崂+却（。＜〃＜而与椭圆

2户22…210

v人厢的公共点，两方程联立化简得到X+'«2-尸G即可求解.

【详解】由题可知|尸4|+归闵=|尸£|+归玛|=2«,

所以点『同时也在以金生为焦点，长轴长为2#的椭圆上，

其椭圆方程为广7T=1（0<〃<心.

66-h'

x2y2

7+p-=U\b2x2+6y2=6b\

联立°22即乙，"24

y2।f]|6尸+（6-Zr）k=6（6-

,T+6-Z?2-，

2

b2b226/r2b,,2

——rrx+——7T）'=——-r-6b~,

g[J«6-b~6-b~6—b~

6x2+（6-/?2）.y2=6（6-/;2）,

两式相力口可得//4/：：36（/+）,2）=2+6（6_6）,

6—06—。

221纷-7步+21612（/74-6/r+36）-216216

OilA+y'=-----------；---------=--------7------；-------------=12------------；------

人」Z/-6V+36Z/-6/+36伍?-3）+27

当/=3时，/+丁的最小值为4,即|。4的最小值为2.

故选:A.

答案第3页，共14页

9.BCD

【分析】根据圆、椭圆、双曲线、抛物线、直线方程的形式逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，若〃?="0,则曲线C为圆，A错；

对于B选项，若〃则曲线C为双曲线，B对；

对于C选项，对任意实数相、"，曲线C:〃>+〃y2=］中的x、），都无一次项,

即曲线。不会是抛物线，C对;

可得』:

对于D选项，取丁>0,w=0>此时，曲线C表示两条平行直线，D对.

7m

故选：BCD.

10.BD

【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断AC；利

用等体积法求出体积判断B；利用线面角的向量求法求解判断D.

【详解】在校长为2的正方体/WCD-AMGR中，建立如图所示的空间直角坐标系,

则4(0,0,0),4(2,0,0),D(0,2,0),4(0,0,2),

对于A,\D=(0,2,-2),=BD=(-2,2,0),4。4〃=4工0,4R,入/)不垂直，A错误;

1114

对于B,三棱锥七一片引)的体积匕=B正确；

答案第4页，共14页

对于c,E(2,2,D,AE=(2,2,l),8A=(—2,0,2),而AE%=-2HO,

即A七不垂直于BA，而BAU平面ABZ）,因此AE不垂直于平面AB。，C错误；

对于D,BE=（0,2,1）,设平面ABD的法向量〃=（元月可,则_

取X=l,得〃=（1J1）,鸵与平面AB。所成角的正弦值

\BEn\3_二晅

|cos(BE,n)|=D正确.

\BE\\n\x/5-V3"~

故选：BD

11.ABD

【分析】根据抛物线定义求得〃，判断A选项；设直线方程，联立直线和抛物线方程.借

助韦达定理，由QMJ_OV得OA/.ON=0,解得〃，得到直线必过的定点，判断B选项;

由例产=2FN得三点共线，设|可|=〃?根据题意和抛物线的性质可知|MN|,|N3|,|MA|,

然后由直角三角形边角关系求得斜率，判断C选项；求出AMO产外接圆圆心的纵坐标，印

可求得该圆半径，判断D选项.

【详解】对于A,根据抛物线的定义得|PF|=1+5=T，解得〃=1,所以抛物线C：/=2y,

故A正确；

对于B,因为直线MN,OM,ON的斜率必存在，设直线MN的方程为.丫=丘+〃，用（5,耳），

N（孙力），

2>

联立方程/~\消去）'得丁-26一2〃=0,则△=4二+8/2>0,玉+9=2左，Xix2=-2b,

y=kx+b,

因为OM_LQN,

22

所以OMON=XjX2+y\y2=不9（1+r）+kb（x1+A：2）+/?=/?-2/?=0,

解得匕=2,满足,0,所以直线过定点（0,2）,故B正确；

对于C,因为M/二2FN，所以直线MN过焦点尸，且|切q二2|硒|,

设直线MN的倾斜角为凡当用在第一象限时，如图，过点M,N分别向准线作垂线段M4,

NB,

答案第5页，共14页

过点N向M4作垂线段NO,设|硒|=相，^\\MN\=3ni,\NB\=m,\MA\=2ni,

贝=sin®=U=；,cos。=2近,tan0=>

1|MN|334

当M在第二象限时，同理可得tan0=-无，所以直线MN的斜率为士巫，故C错误：

44

对于D,因为线段。尸的垂直平分线为>，=!，所以△用。尸外接圆圆心的纵坐标为:，所以

44

【分析】由向最平行的坐标运算求得)〃、〃即可求得6十〃的值.

【详解】因为〃//〃，所以存在实数上使得b=s，即阳=0,〃="-2=/,

所以〃?=0,〃=-4,所以〃什〃=-4.

故答案为：-4

13.36

【分析】利用双曲线的定义先求出|PF|+WQF|的值，由此即可求出△PQ户的周长.

【详解】由己知。=4,b=3,则0=而存=5,所以A(5,o)是双曲线的右焦点,

归百-I例=2〃=8,|0日一|QA|=8,则

|PF|+|eF|-(|PA|+|QA|)=|PF|+|eF|-|P2|=16,

所以|PF|+，|0F|=10+16=26,

所以尸的周长为|PF|+|QF|+|P。=26+10=36.

故答案为：36.

14.也J加

22

【分析】设出尸M.PN两条切线后，利用圆心到直线的距离等于半径列出方程，根据AB两

答案第6页，共14页

点在两条切线上且纵坐标已知，写出AB两点的横坐标，作差后结合韦达定理求出最值.

【详解】

易知直线PM,PN的斜率均不可能为0,故可设直线夕例与直线PN的方程分别为：

X=町》+门=理＞，,又与圆（7相切,

13m+/1,

所以/=1，即8"P+61m+/-1=0.易知叫J%为该方程的两个解，

n.,u3f-I

丹T以"4+ni2=一1人"4"4=---.

xA=+t,xH=m2+tt

WI+W24WI

\AB\=\XA-XB|=|叫一”|=7（2）--^2=之曰,/建。+00）

故答案为：4-

2

15.（l）3x-y+2=0；

（2）A-y=0ngx+y+2=0.

【分析】（I）由题意，〃?_L〃，根据直线的垂直系方程，可设直线〃的方程为力-），+/1=0,

又直线〃经过点P（-l,-1）,代入可求得4,即可求得直线〃的方程；

（2）由直线〃在两坐标轴上的截距相等，分直线经过原点和直线不经过原点两种情况进行

讨论，结合直线〃经过点P（T,-1）,即可求得直线方程.

【详解】（I）因为〃zJ_〃，所以可设直线〃的方程为3x-y+/l=0.

因为直线〃经过点所以3x（-1）+1+%=。，解得4=2.

所以直线〃的方程为版-），+2=0.

（2）已知直线〃在两坐标轴上的截距相等，

若直线〃过原点，设直线〃的方程为），=依，

因为直线”经过点所以/=1,

答案第7页，共14页

此时直线〃的方程为）即x-y=o.

若直线〃不过原点，设直线〃的方程为土+工=1.

aa

因为直线〃经过点P（T-l）,所以」+二=1,所以a=-2.

aa

此时直线〃的方程为=+W=l,即x+y+2=o.

-2-2

综上所述，直线〃的方程为"=），=。或x+y+2=o.

16.（1）/=8x；

（2）2x715

【分析】（1）利用双曲线与抛物线下的定义计算求抛物线标准方程即可；

（2）利用弦长公式计算即可.

【详解】（1）设双曲线的实轴长、短轴长、焦距分别为勿、加、勿，

由。：/一±=1可得/+，从=3,所以C2=/+〃=4,解得C=2,

3

所以双曲线C的右焦点为（2,0）,

所以可设抛物线E的标准方程为y2=2px（p>0）,其焦点为（§0）,

所以勺2,即p=4,

所以抛物线E的标准方程为,v2=8x；

（2）由/=1,得双曲线C的右顶点为（L0）,

因为直线/过点（1,0）且斜率为2,所以直线/的方程为丁=2（1-1）,

设用（药,），3N（0%），联立直线/与抛物线E的方程‘;I"一"，

y=ox

消去）'，得/一代+1=0,所以为+占=4,苔％=】，

所以二J（X|一工2『+（1一）’2:=75（XI~X2）2=逐+占）2-4芭,=2岳•

答案第8页，共14页

17.(1)答案见解析

(2)2x-后+6=0,或2x+岛+6=().

【分析】(1)求两圆圆心理及半径,利用几何法判断两圆位置关系;

(2)先判断两圆位置关系，法一，设出公切线方程，由切线分别与两圆相切建立等量关系

待定系数即可：法二，由相似性质与半径比，可得到公切线与x轴交点坐标，再由交点设出

点斜式方程待定斜率即可.

【详解】(1)由题意知G：(o,o)c：(，o),

|CG|=3,两圆的半径分别为「和4,

①当|。£|<卜-4],即3Vl,

解得0</<1或，>7时，圆a与圆G内含；

②当IGG卜卜一4,即3=1，

解得,=1或r=7时，圆G与圆G内切；

③当年一4|<|GG|<r+4,gp|r-4|<3<r+4,

解得l<r<7时，圆G与圆G相交；

④当|CG|Nf4时，32厂+4,无解，

即圆G与圆G不可能外优也不可能外离.

综上所述，当0<厂<1或r>7时,，圆C1与圆C?内含；

当r=1或r=7时，圆C1与圆G内切；

答案第9页，共14页

当l<r<7时，圆G与圆。2相交.

（2）当r=2时，由（1）得圆G与圆G相交，由图可知公切线的斜率存在,

法一：设圆C，圆G的公切线的方程为y=M+，〃，即仙-y+〃?=0,

则由直线与两圆都相切可得,

Jd=2

J+1.,所以2帆=|3女+时,

伙+叽4

+1

则2m=3k+ni,或2m+3攵+/〃=0

即〃?=3k或〃7=-攵，分别代入力也=2,

\lk2+l

得悬=2或悬"（无解），解得』哈

,2x/512后

k=----K=-----

5

所以），，或，

6V565

m=----m=-----

55

2不6x/5

则公切线方程为y=还“处或X

555----5

即为2犬一同+6=0,或2x+6y+6=0.

法二：因为两圆圆心都在X轴上，

则由对称性可知，两公切线关于X轴对称，且交点在X轴上，设为点/>,

如图，C\MHJN,则与PGN相似,

答案第10页，共14页

则有陶=匿44又由|GG|=3,

得|PC』=|PG|+|CC|=|尸G|+3,所以有彘§二；,

解得|PCj=3,即得一3,0),

设公切线方程为)=七。十3),即日一)，十34=0,

则圆心C(0,0)到切线的距离善L=2,解得A=土述,

42+15

则公切线方程为y=2^(x+3)或y=-2^(X+3),

即为2汇-后+6=0,或2x+底，+6=0.

18.⑴证明见解析

⑵小

(3)存在，力为线段"C的中点.

【分析】(1)把问题转化为证明班.80=0即可；

(2)证明出利用勾股定理即可求解；

(3)建立空间直角坐标系4。=14G=，8C=(T,J3r,O)(Oxr01),用，表示出点。的坐标，

然后计算出平面8c。的一个法向量和平面人9力的•个法向量，最后利用二面角的向量公式

列出方程即可求解.

【详解】(I)易知=60,

因为BC=BC-BB],

所以B4・8C=B4(BC-8BJ=BAAC-BAB片=2x2cos60-2x2cos60=0,

所以3A_LgC,故A8_LBC.

(2)由(1)知A8_L8C，因为A4〃A8,所以Ag_L8C，

所以AC=jA4"C2="^二屈.

(3)如图，取A3的中点0,连结OC,则AB_LOC,以。为坐标原点，OROC所在直线

答案第11页，共14页

分别为X，）'轴，建立空间直角坐标系，则

A（—1,O,O）,«（1,O,O）,C（O,AO）,AB=（2,0,0）,BC=（-1,、反0）,

设O(4),%,zo)(zo>0),q/)=7SC=/fiC=(-z,>/3r,0)(0<r<1),

则8Gol”o4,Z0),

由80=3,3片=2,4片=2得

(x0+/)'+(y0->/3/-\/5)+z；=9,

<+(兄一+z：=4,解得/=一/,),0=6一曰,3

4=5,

（与+，+1)，(%_呵+4=4,

手,］则必。

所以。T、0t

设平面BCD的法向量为〃!=（M,y,Z］）,

3八

BD-m=0,一(，+1)再+0一与y+y=o,

由＜即《\27

BC•m-0,

一百+">[=0,

取内=6,则，”=（61,6卜

设平面ABD的法向量为n=（毛,％，z2），

3

BD-n=0.一(/+1)々+同一与%+/Z2=0,

即《

由，\27

ABn=0,

答案第12页，共14页

取％=,，则〃=0尚,曰-呵,

设二面角A—⑺―C的大小为。，因为sine=半，所以|cose|=?.

IcosQn,=Icos^l=--------/33'=也

所以缶牌可7'

整理得2/-5/+2=0,

解得，=g或f=2（舍去）.

故线段4G上存在满足题意的点D,且点。为线段的中点.

19.（1）—+y2=|

4

⑵①证明见解析；②26

【分析】（1）根据椭圆的对称性，即可结合面积公式求解；

（2）①联立直线与椭圆的方程，得韦达定理，进而根据斜率公式，代入化简即可求解；②

求解两直线的方程，联立可得与=4,力=丹，4=4,为=£］，继而根据两点距

A|।乙.