向量的加法运算（学案）-人教A版高一数学必修第二册

6.2.1向量的加法运算

【学习目标】

1.理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义.

2.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并会用它们解决实际问题.

3.理解向量加法的绝对值三角不等式.

【教材知识梳理】

一.向量加法的定义及其运算法则

1.定义：求的运算，叫做向量的加法.两个向量的和仍然是向量.

2.三角形法则

已知非零向量。、b,在平面内任取一点A,作初=〃，Bt=b,

则向量R叫做。与b的和，记作。+力，即。+》=n+证=祀.

这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则，运用三角形

法则的前提是首尾相连，即油+瑰=泥，这里的B点具有任意性.

3.平行四边形法则

以同一点0为起点的两个已知向量a、b为邻边作oQACA,

则求就是a与b的和.我们把这种作向量和的方法叫做向量加法

的平行四边形法则.

运用平行四边形法则的关前提是共起点，注意当两个向量共线时,

不能用平行四边形法则.

4.对于零向量与任意向量°,我们规定：a+O=O+a=a

二.|〃+臼与⑷，制之间的关系

对■于任意向量a,b、都有<\a-Vh\<；

(1)当a,b共线，且同向时，有|。+臼=；

(2)当a,力共线，且反向时，有|。+臼=.

根据向量加法的三角形法则以及“三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三

边”，可以得出上述结论，因此形象称之为三角形不等式.

三.向量加法的运算律

①交换律：。+仁b+a；

②结合律：a+b+c=(a+b)+c=a+S+c).

【质疑辨析】(对的打y”，错的打“X”)

(1)两个向星相加的结果仍然是一个向星.()

(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加.()

(3)对于任意两个向量，都可利用平行四边形法则求出它们的和向量.()

(4)若牯+设+不=0,则4,13,。为一个三角形三个顶点.()

(5)若a,b是方向相反的两个向量,那么M+"=|a|-|A|.()

【答案】

—.两个向量和

二.\\a\-\b\\\a\+\b\|。|+步|\\a\-\b\\

【质疑辨析】

(1W(2)x(3)x(4)x(5)x

【教材例题变式】

例1.(源于P8例1)如图(1),(2),(3),已知向量a,b,分别求作向量a+b.

aa,

(1)⑵(3)

【答案】(I)作况=4,硅=b,则彷=。+〃，如图(1).

(2)作温=〃，M=b,则加=。+方，如图(2).

(3)作晶=a,Ak=h,则初=〃+从如图(3).

归纳总结：

(1)当两个不共线向量求和时，三角形法则和平行四边形法则都可以用.

(2)利用向量的三角形法则求。+力，务必使它们的“首尾顺次连接“：利用平行四边形法则

求a+b,务必使它们的起点重合.

(3)多个向量求和时，可先求两个向量的和，再和其他向量求和.

例2.(源于P9例2)长匚两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图所示，

一艘船从长江南岸A点出发，以5小km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速

度为向东5km/h.

A

(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；

⑵求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度方向间的夹角表示).

【答案】（I）如图所示，肪表示船速，霜表示江水速度.易知人。_1_人8,以人。，人8为邻

边作矩形ABCD,则祀表示船实际航行速度.

（2）在RIAABC中，|霜|=5,|由=5小，

所以|At]।⑰[2.|_।苑:=由2+5小2={[加=10.

—►

因为lan/C4B=K=#,所以NC4B=60°.

的

因此，船实际航行的速度大小为10km/h,方向与江水速度方向间的夹角为60。.

归纳总结：

解决向量加法的实际应用问题，一般的步骤为：

（1）准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；

（2）将所求问题转化为向量的加法运算，利用向量加法的几何意义进行求解；

（3）将向量问题还原为实际问题.

【教材拓展延伸】

例3.化简下列各式：

⑴而+配+历+砺；⑵而+前+诙+肥+丽；⑶（而+前）+（丽+肥）+丽.

【答案】（1）AB+BC+CD+DA=AC-¥CD+DA=AD^DA=6.

（2）A8+DF+W+BC+FA=AB+BC+CD+DF+FA=AF+FA=6.

A8+㈣+（BO+BC）+OM=A5+BO+OM+MB+BC=AC.

归纳总结：

1.向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使

这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和

向量.特别地，当若干个依次首尾相连的向量形成封闭图形时，这些向量的和向量为零向量.

2.向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任

意的组合去进行.

例4.（1）设同=8,|力|=12,则|0+目的最大值与最小值分别为.

【答案】20,4

【详解】因|。|=8,步1=12,则|。|=8,协|=12,则|。+例4间+加=20,当且仅当〃与力同向时取等

号,

\a-^b\＞\b\-\a\=4,当且仅当。与力反向时取等号，所以|。+"的最大值与最小值分别为12,

4.

(2)若4,力是非零向量，且|。+"=向一⑷，则()

A.a,〃同向共线B.a,8反向共线

C.a,♦同向共线且步|＞同D.a,b反向共线且网＞同

【答案】D

【详解】由于|。+例=|臼一|。|,因此向量。，力是方向相反的向量，且步|＞同.

例5.(1)如图所示，ZAOB=ZBOC=\20°,\OA\=\OB\=\OC\^求方+0后+。乙

【答案】6

【详解】如图所示,

以。人，OB为邻边作平行四边形。人。&则为+。8=丽

由|7|=|06|,2408=120。知/80。=60。，\OB\=\OD\,

又NCOB=I20°,且I丽|=|nj,.•.历+阮=。，.•.a+砺+双=0.

UUULIU1

(2)如图所示，P,。是“IBC的边8c上两点，且8P+CQ=0.

UUUUlWlUlliLUMl

求证：AP+AQ=AB+AC.

A

taiiuuuaiuuunuuinuuuiaiimuuuuuu

【答案】因为Q=N5+即,AQ=AC+CQ,所以”+AQ=A8+4C+4P+CQ.

mauiauuiaiLUWuiwuiiu

又因为AP+CQ=O,所以AP+AQ=A4+AC.

【课外作业】

基础过关

I.某人先向东走3km,位移记为m接着再向北走3km,位移记为4则a+b表示（）

A.向东南走3&kmB.向东北走3&km

C.向东南走3GkmD.向东北走36km

【答案】B

【详解】由向量的加法知，得表示先向东走3km,再向北走3km,即向东北走3&km.

2.人骑自行车的速度为3,风速为名，则逆风行驶的速度为（）

—•—•——•II—•

A,匕一岭B.V,+v2C.Vj|-|v2D.—

【答案】B

【详解】因为速度是既有大小乂有方向的量，如下图，由向量的加法法则可知，逆风行驶的

速度为»十1.

可+%

3.化简而+方+及的结果等于（）

A.QPB.OQC.SPD.SQ

【答案】B

【详解】根据向量的三角形法则，可得而+而+贞=旃+应=回.

4.如图所示，在四边形48co中，AC=AB+AD^则川边形为（）

A.矩形B.正方形

C.平行四边形D.菱形

【答案】C

【分析】根据平面向量的加法法则，即可判断四边形形状.

【详解】根据平面向量的加法的平行四边形法则，若/K=AG+而，

则四边形4BC。是平行四边形.

故选：C.

5.正方形ABC。的边长为1,则|葡+码为（）

A.1B.72C.3D.2夜

【答案】B

【详解】在正方形A8CQ中，如图所示，

根据向量加法的平行四边形法则，而+而=而，乂因为正方形48C。的边长为1,

所以西+码=|码=Vl:+12=V2.

6.（多选）已知向量4反8sAC,那么下列命题中正确的有（）

A.AB+BC=ACB.|回+|成|=|正|

C.AB+BC>ACD.网+邳国

【答案】AD

【详解】由向量的加法法则可得：AB+BC=ACf故A正确，C错误;

当点8在线段AC上时，网+|豆十|明，否则网+|网>|砌，故4错误，D正确.

7.如图所示，。为正六边形A8CDEF的中心，化简下列向量.

(l)Qi+oC=;(2)BC+FE=；⑶。4+庵=.

【答案】OBAD0

【详解】(1)四边形0A8C是以Q4,0C为邻边的平行四边形，08是其对角线，故

UUIUUUUUU

OA+OC=OBi

⑵因为BC=在，故BC+旌与前方向相同,长度为BC长度的2倍，故前+而=而:

(3)因为。)二屋，故。4+在=。4+。)

8.已知向量z，B不共线，且忖=4,|*7,则卜+方|的取值范围是.

【答案】(3,11)

【详解】由不等式帆―忸同,+5归W+W且Z，5不共线知，3<F+4<11.

9.如图，LL知向量2,b,乙不共线，作向量1+5+5.

能力提升

10.己知。是所在平面内一点，且3+丽=反，那么（)

A.点。在的内部B.点。在AABC的边厢上

C.点。在边厢所在的直线上D.点。在的外部

【答案】D

【详解】因为况+丽=前，所以四边形04cB为平行四边形.从而点。在“8C的外部.

11.（多选）如图，在平行四边形48C。中，下列计算正确的是（）

A.AB+CD+DO=OAB.AB+AD=AC

uuuuuuuiauuuai

c.AB+AD+CD=ADD.AC+BA+DA=6

【答案】BCD

【详解】AB+CD+W=DC+W+Dd=Dd^故A错误；

AB+AD=AC^故B正确；

AB+AD+CD=AC+CD=AD^故C正确；

AC+BA+DA=BC+DA=BC+CB=6t故D正确.

12.（多选）已知点O,£,尸分别是AABC的边4B，8cAe的中点，则下列等式中正确的

是（）

A.Ff5+DA=FAB.FD+DE+EF=6

C.DE+DA=ECD.DA+DE=FD

【答案】ABC

【详解】对于A选项，FD+DA=FA^正确；

对于B选项，Fb+DE+EF=FE+EF=6f正确；

对于C选项，根据向量加法的平行四边形法则可知方E+丽=前=房，正确；

对于D选项，DA+DE=DF^FD^所以D错误.

A

E

13.已知点。为a/WC外接圆的圆心，且况+05+C5=U，则A/IBC的内角A等于

【答案】30。

【详解】由向量加法的几何意义知四边形Q4CB为平行四边形，

又OA=OB=OC,则四边形OACB为菱形，所以AOAC是正三角形，

所以NCAO=60。，所以NCA〃=gNCAO=30。.

14.如图，已知电线A