三角函数与解三角形-2025年高考数学二模试题分类汇编（新高考）解析版

专题04三角函数

白题型概览

题型()1三角恒等变换

题型02三角函数的奇偶性、单调性、周期性等性质

题型03三角函数的概念

题型04函数,=Asin(3X+wj+k(Ah0)图象及性质

题型05有关”的取值范围向题

题型06三角函数与其它知识的交汇问题

发型01三角恒等变换

1.(2025•江苏•二模)已知sina+cosa=<兀)，则tan加二()

24

A24广2424

A.---Bn.—C.----D.—

772525

【答案】B

【分析】利用同角平方和公式和二倍角正切公式即可求解.

【详解】由5访。+8$。=;与$廿々+8$2a=1联立，结合ae(0,兀)可解得：sina=1,cosa=-1,

_8

4,__,_.,_2lanu324

tana=--,再由二V倍角ZF公式可得tan2a=■；-----=—TT=—故选：B.

3l-(an*«7：

~~9

2.(2025•广东深圳•二模)若cos(a+?)=|,则sinc=()

A.旦B.迪C.旦D.晅

1()1055

【答案】A

【分析】由同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的正弦公式可求得sin。的值.

【详解】因为ae'则:<a+：<所以sin(a+：)=J1-cos?a+：=Jl-

A

nn冗疝：=《'曰-焉•故选：-

因此sina=sina+-I--=sina+—Icos71--cosla+-

k4J4k4J4\4

,则

3.（2025・广东揭阳•二模）已知。为锐角，且cos（a+；=4cos2a=()

4

D.

5

【答案】B

【分析】根据同角三角函数的平方关系求出sin（a+；）然后利用倍角公式求解即可.

【详解】因为。为锐角，所以;va+河，又8s+邛，所以sin（a+：卜卜

2x述x五=上故选：B.

555

4.(2025•广东广州•二模)已知0J03，tan20=,。词则()

k2)，l+sin26

A.1B.jC.2D.3

【答案】A

【分析】根据角的范围利用二倍角公式将表达式化简计算可得2tan6=l-tan。，即求出结果.

【详解】由。e0弓可得sin。>。,cos8>0,

2tan。

所以Ji+sin2。=JsinZ+cos'2+2sin®cose={(sine+cos。)?=sin。+cos0»又易知tan26=

1-tan2^

mu”曰2tan0cos0_12tan。1

因此可得"；----r-即可得(1-tan6)(1+tan。)=荷?IT'所以

sinO+cos。tan^+1

2tan0=\-tan0,解得tan0.故选：A

3

5.(2025•内蒙古14.(2025,河北•二模)已知cos((-a)=^-cos(a+-^),则tana=()

A68也D.在

923

【答案】A

，再弦化切得到tan（Y）邛

【分析】根据诱导公式化简得到sin最

后用两角差的正切公式化简得解.

=里0sH所以cos--fa+-l=^-cos[a+-

【详解】因为cos

216；2I6J2I6J

BPsinfa+—cosfa+—,所以tan]a+工

~~26)6

717T

tana+—-tan-

TCn66二印.故选：A.

贝I]tana=tana+—

6J~67C

I+tana+—tan

I6)6

6.(2025•河北邯郸・二模)利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0。〜90。之间的三角函数

值，下表是部分5。的奇数倍锐角的正切值(用字母代替)，则5m2200。=()

a5°15°25°35°

tanamnPq

Ba、1-m'

fA12D.--------

1+p.l+〃c・号1+m

【答案】A

【分析】利用诱导公式与二倍角的余弦公式求解即可.

【详解】sE2200=in(-4(r"n4-=露二/肌三嚼二黑

故选:A.

7.(2025•江西鹰潭•二模)若。4一35cosa,则sin(a+聿卜(

tana=-------------)

\乙乙)3-sina

AV3+2V2_V3-272屈

r1+2D1-2、

A・------------D・---------------

6666

【答案】A

【分析】由同角的三角函数关系结合已知建立方程，解出。的正余弦，再由两角和的正弦公式求解

即可.

sinacosa

【详解】tana=--------,即sin。(3-sina)=cos2a=1-sin2a,整理可得sina=-,

cosa3-sina3

因为sin2cr+cos2a=1»所以cosa=

所以sinfa+文71加*2+52」反迪」=如也

.故选：A

6J6632326

8.12025•江西南昌•二模)己知a、夕终边不重合，sina-3cos£=sin〃-Scosa,则tan(a+/?)=()

24D2

A1B.一C.—

2334

【答案】D

【分析】由「=等+三2'"?一丝代入已知等式，利用两角和、差的正弦、余弦公

式化简得出tang的值，再利用二倍角的正切公式可求得tan（a+0的值.

【详解】因为sina—3cos/?=sin/?—3cosa,所以5111。-5皿尸=3（以刀尸一（：05。）,

..Q.(a+^a-P\.(a+fta-p\

即NNsina-sin夕=sm[—广+—1-j-sin^—黄-----广J

(.rz+/?a—R〃+6.ct—fi\(.a+Ra—R<y+/?.a—

=sin-------cos--------+cos--------sin---------sin-------cos----------cos--------sin--------

(2222八2222)

a+P.a-/3

=2cos------sin------,

22

c(a+Pa-(a+a-B'

cos户一cosa=cos---------------cos------+......-

22)I22)

(a+Ba-p.a+fi.a-°、(a+,a-p.a+p.a-p\

=cos------cos-----+sin------sin--------cos-----cos--------sin------sin.......-

(2222)[2222)

=2sin"2sin”2,所以，2cos空2sin"2=6sin空2sin"N,因为a、尸的终边不重合,

222222

则。一尸#2E(keZ),则三"wE(AeZ),所以sinRg/O,则3近11-2=cos,所以

2222

氏.2tan------2x-劣

tan^^=-,因此，tan(«+/?)=----------—^=彳•故选：D.

231-tan2^^1--4

29

9.（2025・湖北黄冈•二模）已知si叨+cos/?=1/c（0,兀），则sim/-cos/的值为

)

133三61

A.B,D.

125125u蒜125

【答案】C

【分析】先根据己知条件求出sin/7与cos夕的和、差、积，再利用立方差公式来计算sin'"-cos'4的

值.

【详解】已知sin/7+cos/?=：,将等式两边同时平方可得(sin〃+cos/)2=(!)2.根据完全平方公式

JJ

展开得sii?/7+2sin万cos^+cos?8=—.因为sin?尸+cos?〃=1,所以1+2sin夕cos/?=」-,移项

2525

1741?io

可得2sin夕cos/7=------1=------,Msinpcosp------.因为尸《0z,冗)，且sin/?cos/=------<0,所

25252525

以sin/与8s£异号,又因为在(0㈤上sin—0,所以

12

cos/7<0.(sin/?-cos/?)2=sin2/?-2sin0cosp+cos2p,由于sin?p+cos20=1,sinflcosp=-----,

、122449

则(sin/?-cos〃)2=i-2x(--)=1+—=—.因为sin/?>0,cos4<0,所以sin尸-cos/?>0,那么

252525

sin乃一cos#=41=q.根据立方差公式sin'/?-cos》=(sinp-cos/?)(sin2+sincosp+cos2p).因

127

为sin?p+cos:/?=I,sinftcosp=-----,sinp-cos/?=—,所以

—55

.：A3f)*712、7o1

sinB-cosS=—x(I-----)=—2=型sin'/?-cos'/7的值为水.故选：C.

5255251251«J

10.（多选）（2025♦湖南长沙•二模）已知sin/+cos〃=],乃），则下列各式正确的有（）

2477

A.sin2p=-----B.sin^-cos/?=±-C.cos2^=——

25525

【答案】AD

【分析】利用已知和siifa+cos2a=1的关系，利用二倍角公式计算逐项判断得出答案.

【详解】A项：由已知:sin2p+cos2+2sin/?cos/?=—,因此sin2/?=2sin夕cos/?=-",ftA

2525

项正确；B项：因为sin/?cos/?<0,且力e(0,4),所以〃c因此sin〃一cos〃>。.又因为

497

(sin/?-cos^)2=1-2sin〃cos/?=—,因此sin/?-cos/?=—,故B项错误;

255

C项:cos2/?=cos2p-sin2p=(cosp-sin/?)(cosp+sin/?)=——,故C项错误:

25

介4

sin/7+cos/?=—sinp--

\，解得54

D项：由方程组，于是tan夕=-Q,故D项正确.故选：AC.

sinp-cosp--cos/?=--

11.(2025•辽宁丹东•二模)已知cos(a-；J=3sin(a-；,则tana=

【答案】2

【分析】利用同角三角函数关系得到tan（a-；）=g,凑角，由正切和角公式得到答案.

.TC

【详解】cos（a-；=3Osina——=>gpta,

4Jv4)4

3

12.(2025•浙江金华•二模)已知sinacos(a+〃)—cosasin(a+£)=g,则sin/?=

3

【答案】一）-0.6

【分析】由正弦的和差角公式代入计算，即可得到结果.

【详解】因为sinacos(a+/?)-cosasin(a+/?)=sin[a-(a+/7)]=°,g|Jsin(-/?)=-sinfi=—,所

55

33

以sin/?=-彳.故答案为：--

JJ

13.(2025•黑龙江哈尔滨•二模)己知2sin(a+#=cos(a-/7),iana+tanp=g,则tanatan/?=

【答案】

【分析】由两角和差的正弦、余弦结合弦切互化可得2tana+2tan合=l+tanatan4,故可求

tanalan/7的值.

【详解】因为2sin(a+〃)=cos(a-〃)，故2sinacos/?+2cosasin/7=cosacos/?+sinasin/?,

由题设cosa=0,cos/7工0,故2tana+2tanp=\+tanatanp,故2xg=1+tanatanp即

tanatan,

感理02三角函数的奇偶性、单调性、周期性等性质

1.(多选)(2025•辽宁辽阳•二模)已知函数/(x)=sin：,则下列结论正确的是()

A./(力的定义域为RB./("的值域为卜I』

C./(4)是奇函数D./(八)在单调递减

【答案】BCD

【分析】A.由分式函数的定义域求解判断；B.由正弦函数的值域判断；C.由函数奇偶性的定义判断；

D.由复合函数的单调性判断.

【详解】f(x)的定义域为(—,0)1(。,+8)，值域为［Tl］，A错误，B正确.

f(-x)=sinH=-sin：=-f(x)J(x)是奇函数，c正确.当时，9(呜｝函数V

在I；'’30)上单调递减，函数/sim,在(0,，)上单调递增，所以/(工)在上单调递减，D正

确.故选：BCD

2.(2025•贵州毕节•二模)已知函数/(x)=sin<yx他>0),/($)=0,/(々)=1，且|西-司的最小值

为;，则e=()

4

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】由阮-司的最小值为§可得“X）最小正周期，即可得答案.

【详解】因/（x）=sin以3>。），f（%）=。，/（七）=1，则f（x）的一个对称中心为（不。），一条对称

轴为x=%,又、-电|最小值为:，则相邻对称中心与对称轴距离，即最小正周期的;为?，则最

2兀2n.

小F周期为兀.则同.故选：B

3.（多选）（2025・河北•二模）函数/（x）=situ+/cos4/>0）的大致图象可以是（）

【分析】根据辅助角公式结合正强函数的平移规则判断即可.

【详解】函数/（x）=siiu+fcosx=Vi7Fsin（x+e）,其中tan°=f>0,sin^>0,cos0>0,取

*€（0，1）.又函数/（x）的图象是由），=Vi7产siu的图象向左平移。个单位得到的，AC符合题意，

故选:AC.

4.（多选）（2025•江苏•二模）Ek^J^|^[./'（x）=siiix4-cosx+|siav-cosix],则（）

A./（"的图象关于点（兀,。）对称B./（%）的最小正周期为2兀

C.“X）的最小值为-2D./'（、）=6在[0,2句上有四个不同的实数解

【答案】BD

【分析】方法•：结合/（2兀）+/（0），0判断A：根据正弦型函数的周期公式判断B；作出函数/（X）

大致图象，判断CD；

方法二：化简得由〃x）=2max{sinx,cos4,结合函数/（x）大致图象判断各选项即“J.

【详解】方法一:rh/（.r）=siav+cos,r+|siav-cosL¥|,则/（0）=2,/（2元）=2,则/（2冗）+〃0）至0,

所以小）不可能关于（兀，。）对称，A错误；因为函数y=sinx+cosx=V5sinx+q的最小正周期为

I-，

2兀，函数必=kinx-cosR=&sinx-g的最小正周期为瓦，则/（x）=y+%的最小正周期为2兀,

B正确；当0"吟时，/（x）=28sx，当;<xK当时，/（x）=2sinx;当当<xK2冗时,/（x）=2cosx,

作出函数/（力大致图象,如图，则〃）而二-&，C错误，=G在［0,2可有4个根,D正确.

j2sinx,sinx>cos.r

方法二：由/(x)=siiir+coax+|sinj-COSAJ=2max{siav,cosx}，作出g(x)=2siav

]2cosx,sinxvcosx

和M"=2cos.v的图像，取位于上方的部分即nJ-：

%g(x)=2sinx

h(x)=2cosr

由图可知，AC错误，B正确，对于D,计算知2sinx与2cosx在（0,加）内的交点坐标为,

而&<&<2,结合函数/"）的图象特征可知函数/（X）与y=6图象在［0,2可内有四个交点，

所以=G在［0,2可上有四个不同的实数解，故D正确.故选：BD.

5.（2025•江西上饶•二模）下列选项中，曲线），=〃?sinx（〃?eR）与），=2sin3x在xc［O,27t］上的交点个

数不一样的是（）

A./n=-lB.m=-2C.m=1D.m=2

【答案】B

【分析】利用和角的正弦公式及二倍角公式化简函数），=2sin3,i•，再逐项求出方程,〃sinx=2sin3x解

的个数即可.

［详解】依题意,sin3x=sinxcos2x+cosxsin2x=sinx（l-2siirx）+2sin.vcos'x=3sinx-4sin'x，

X€[0,2TC],曲线y=msinx与y=2sin3x的交点个数,即方程帆sinx=2sin3x解的个数,

对于A,m=-\,由一sinx=6sinx—8sin'x，得sinx=O或sinx=±------»

4

当xw[(),2M时，由sinx=O,得xw{0,兀2兀},方程sinx=有4个解，共7个；对于B,m=-2,

4

TT37r

Fh-2sinx=6sinx-8sinAx，得sinx=O或sinx=±l,当.r€[0,2:t]时，xc{0,兀,2兀,5,三},共5个；

对于C,"7=1,lSsinx=6sinx-8sin3x,得sinx=0或sinx=士凶^,当XW[0,2TC]时,方程sinx=0

4

有3个解，方程sinx=±巫有4个解，共7个；对于D,m=2,由2sinx=6sinx-8sin'x,得sinx=0

4

或$inx=±也，当xe[0,2兀]时・，方程sinx=0有3个解，方程sinx=士也有4个解，共7个，所以

22

交点个数不•样的是〃?=-2.故选：B

6.(多选)(2025•湖北黄冈•二模)已知。>0力>0,函数多(不六刀忖同十而时,则下列结论一定正

确的是()

A./(力的图象关于5轴对称B./(力的最小E周期为兀

C./(x)的最大值为行"D.f(x)在冏上的最小值为〃

【答案】AC

【分析】由〃-力=/(1)可得A正确；根据函数的周期举反例可判断B的正误，举反例可得D错误;

由辅助角公式可得C正确.

【详解】对于A,/(-x)=«|sin(-A)|+/?|cos(-x)|=a|sinx|4-Z?|co&r|=/(A-),&AlElift；对于B,当a=b

n

时，/(/)=〃(卜inx|+|cosX),此时fx+—+cosx+—=«(|cosji|+|sinjr|)=j(x),

2II2J

函数f(x)的最小正周期是小故B错误；对于C,/(x)=V77F|sin(x+^)|,由正弦函数的值域

可得最大值为」容+〃2,故C正确；对于D,当KC0段时，sinx>0,cosx>0,所以

/(x)=t7sinx+/?cosx,当x=0时，/(%)=/?,当x=]时，f(x)=a,由于不确定〃力的大小，所以

最小值为。不正确，故D错误；故选：AC

7.(2025•浙江金华•二模)某美妙音乐的模型函数为/(x)=sinx+：sin2x+!sin3x,则关于该函数

JJ

下列说法正确的是()

A.最小正周期为3兀B.是偶函数

C.在区间卜仁年)上单调递增D.最大值为!

6

【答案】C

【分析】应用周期的定义可判断A；川奇函数和偶函数的定义可判断B；应用求导判断C；特值分析

判断D.

(详解】A,/'(x+2^-)=sin(x+2^-)+—sin(2x+4^-)+-sin(3x+6^-)=sinx+—sin2A+-sin3x=/(A),

2323

A选项错误；B选项：f(-.r)=sin(-x)+—sin(-2x)+-sin(-3x)=-sinx--sin2x-isin3x=-f(x),

2323

itn

B选项错误；C选项：f(X)=cosx+cos2x+cos3x,当xw兀兀1r

J5)I22

f(x)>0,函数单调递增，C选项正确；D选项：^=1+-+-,当sinx=1I时，x=-+2kn,比时,

76232

|sin2A=0,1sin3x=-1,即三项无法同时取到最大值，D选项错误.故选：C.

8.(多选)(2025•广东揭阳•二模)已知函数/(x)-inx,g(x)-co&j则下列结论正确的是()

A./(g(x))为奇函数B.g(〃x))为偶函数

C./(g(x))在［0,兀］上仅有1个零点D.g(〃x))的最小正周期为兀

【答案】BCD

【分析】由函数的奇偶性的定义艮］可判断AB,由函数零点的定义代入计算，即可判断C,由函数周

期性的定义，代入计算，即可判断D.

【详解】对于A,f(g(x))=sin(cosx),其定义域为R,关于原点对称，

且f(g(r))=sin(cos(-x))=sin(cosx)=/(g(x)),即/(«(%))为偶函数，故A错误；

对于B,g(/(x))=cos(sinx),其定义域为R,关于原点对称，

且月(/(x))=cos(sin(f))=cos(-sinx)=cos(sinx)=g(/(x)),故B正确；

对于C,令/(g(x))=。，B|Jsin(cosA)=0,即cosx=EMeZ,X-l<cosx<l.当々=0时，COSA=0,

且xw［0,兀］,则，所以/(g(x))在［0,兀］上仅有1个零点，故C1E确;对丁-D,g(/(x))=cos(sinx),

因为cos®n(x+兀))=cos(sinx),即g(/(x+7t))=g(/(x)).假设存在()<7<兀，使得

cos、in(x+r))=cos(sinx)对任意的xwR恒成立，令x=0,则cos(sin7)=cosO=l,所以

sinr=2E,〃cZ,因为一1Ksin7Y1,所以及=(),即sin7=0,则丁=〃兀,〃eZ,因为OVTVTI,这

样的丁不存在，所以g（7（x））的最小正周期为兀，故D正确；故选：BCD

败型03三角函数的概念

1.（2025・云南曲靖•二模）若角。的终边过点（T2）,则tan"的值为（）

3344

A.——B.一C.——D.一

4433

【答案】D

【分析】根据三角函数的定义求解得出tana=-2,然后根据二倍角的正切公式求解即可得出答案.

32【ana-44

【详解】由三角函数的定义可知，tana=・2,所以tan2c=[⑦"々.故选:D.

2.（2025•内蒙古包头•二模）已知角。的终边经过点尸（-1,百），则（）

a8

A.cosa=-B.tana=------

23

r.6

C.sina=-------D.C0S6Z=----

22

【答案】D

【分析】由三角函数的定义求解即可.

【详解】因为角々的终边经过点尸可得r=|8|="一1）2+（6丫=2,由三角函数的定义,

可得sina=且,cosa=-Ltan。=且=一＞/5，故A,B,C错误，D正确.故选：D.

22-1

3.（2025•安徽•二模）设0＜。＜5,若tan/in8=l,则cos＜9=（）

4V3-1RV5-1r75-1n75+1

2244

【答案】B

【分析[根据商数关系和平方关系求解即可.

【详解】ian欣皿1=gJ…%=1,所以cc^e+cos。—1=0,解得cos6=叵1或

cosOcos。2

cosO="--（舍），故选：B.

2

4.（2025•山东潍坊•二模）已知角仪的顶点与坐标原点。重合，始边与工轴非负半轴重合，其终边与

I员I。交于点A（3,4）.若角。终边沿逆时针方向旋转角。，交圆。于点8_与,笠~,则角。可能

为（）

A.75°B.105°C.375°D.405°

【答案】D

【分析】利用任意角三角函数的定义结合两角差的正弦公式得到sinO=E，再利用正弦函数的性

2

质得到e的可能值即可.

【详解】因为角。的终边与圆。交于点4（3,4）,所以由任意角三角函数定义得cosa=],sina=:

JJ

设旋转后的角为夕，且旋转后的角交圆。于点4-等，管）则由任意三角函数的定义得

c。2一显…心迤,得至而(…)=2^x2-也)42=也,

1010105105502

ss9=c°s("a)=(一当2迤工诬=立,

故夕=45。+2攵/SOo/wZ.当A=1时,

1051905502

0=405。，故D正确.故选：D

5.（多选）（2025•黑龙江哈尔滨•二模）已知角。的终边经过点P（-3,4）,则（）

B.tana=-247T3

A-3C.COS(6r+7l)=—D.sina—

5425

【答案】AD

【分析】直接由三角函数定义、诱导公式验算即可.

-34444

【详解】由题意cosa=1_3『+42.,tana=—=——

5-33,

3n3

月、而cos(a+ir)=-cosa=—,sina——=-cosa=《.故选：AD.

2

6.（2025・四川成都•二模）已知角。的终边过点夕⑶4）,则吗2c°s?

suit/-cos

【答案】10

【分析】利用正切函数的定义及齐次式法计算得解.

4

【详解】由角0的终边过点23,4）,得lane=]所以初浮尝=坦嗯=；=10.

3sinO-cosOtan0-12_]

3-

故答案为：10

7.（2025•江苏泰州•二模）已知ae（O,7t）,且8sa+sina=《，则cosa=

【答案】

【分析】对原式两边平方后，确定sinacosa的正负，从而确定cosa的正负：结合韦iA定理即可求

得cosa.

749

【详解】由题可知cosa+sina=r，两边,方可得：l+2sinacosa=3；，解得

13169

sinacosa=一产＜（）,又。w（0,兀），故sina〉0,贝iJcosacO；故sina,cosa为方程d一看/一岩二。

的两根，则。•一/，：+船=0,解得x或一（，则cosa=4.故答案为：旧.

题型04函数y=Asin（（ox+（p）+k（A丰0）图象及性质

1.（2025•辽宁丹东二模）函数〃x）=sin2x-^+（p（0＜兀）是R上的偶函数，则8=（

717T5兀

A.0B.-C.-D.—

326

【答案】D

【分析】根据偶函数性质，结合正弦函数对称性解题即可.

【详解】/（力=sin（2x-T+尹|（0＜e＜兀）是R上的偶函数，即关于1=0对称，贝iJ/（0）=±l,

则sin（-f+0=±1,则一;+0=5（2々+1）,（左wZ）,解得°=依+3冗,（攵wZ）.

\-5/326

0＜＞＜兀，则0=2瓦.故选：D.

6

2.（2025•山东•二模）已知函数/a）=sin（@r-》（◎＞0）在（-上单调递增，且其图象关于点邑0）

6363

对称，则/华=（

A.一立

2

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用最小正周期及对称中心求出。，士而求出函数值.

【详解】由函数/（x）=sin（“x-今（。〉0）在（4［）上单调递增，得把之2仁-（-当］=兀，解得0＜。42,

636/63

由F3的图象关于点邑0）对称，得三/―E=解得"=3人工丘N,于是&=（）,/=!，

33622

/（x）=sin4x-^）,所以/"）=$沿（4§-1）=$而3=!.故选：C

2623662

3.（2025•江苏南京•二模）把函数）FCQSX图象上所有点的横坐标变为原来的;倍（纵坐标不变）,

再将图象上所有的点向右平移?个单位长度，得到函数），=/（%）的图象，则/（X）=（）

0

A•叩至/C兀1nIn

B.cos2x——C.cos—xD.cos—x------

I3J1262\2)

【答案】B

【分析】求出把函数y=c。歌图象上所有点的横坐标变为原来的:倍（纵坐标不变）后的函数，求

出再将图象।•所有的点向右平移g个单位长度后的函数.