数列大题综合（30题）学生版-2026年高考数学

数列大题综合

百强名校-核心考点突破

1.已知数列｛偏｝的前几项和为公，数列｛0｝的前几项积为5,且0+2cn=1.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

(2)求使得—《2025成立的n的最大值；

(3)求数列［与冬％J的前n项和S,、.

【来源】山东省实验中学2025—2026学年高三上学期第三次诊断性考试数学试题

2.已知数列｛斯｝的前几项和为S”,满足％=J,*%=Su.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若bn=an+1，且数列｛b,J的前几项和为北，求证：7；V:.

【来源】辽宁省沈阳市东北育才学校2025-2026学年高三上学期第一次模拟考试数学试卷

3.数列｛Q.,J满足：a1=2,an+i=3a,x4-2n-l,n€N\

(1)数列｛鼠｝满足：bn=Qn+72,试判断｛bn｝是否是等比数列,并说明理由;

(2)数列｛4｝满足：(一1)%“，求数列&｝的前加.项和加

【来源】广西壮族自治区柳州高级中学2025届高三高考热身考数学试题

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4.已知数列｛aj的首项Qi=1,册+源+]=3x2n.

(1)求证：｛%-2宜｝是等比数列：

⑵求数列｛Q,J的前n项和S”；

(3)令bn=­，求数列｛&｝的最大项・

【来源】辽宁省实验中学2025届高三五模数学试题

5.若数列｛%｝和｛bn｝满足：G=1,5=7,且长十;忆2：

Wn+1—Jg—4a〃

(1)设以二4—b”,证明：｛〃｝是等比数列；

⑵设4=｛k匕叱黑^，试求⑷的前n项和Sn.

【来源】辽宁省大连市第二I•四中学2025届高三第五次模拟考•试数学试卷

6.已知数列｛Q“｝的各项均为正数，前n项和为Sn,且Q1=1,后7是1一&与Sn+i的等差中项.

（1）证明：数列｛宿｝是等差数列；

⑵设=（一1户⑸+的），求数列也｝的前2九项和T2n.

【来源】湖北省武汉市第二中学2025届高三高考模拟数学试题

7.一只猫和一只老鼠在两个房间内游走,每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动,猫从当前房间

移动到另一房间的概率为0.6,留在该房间的概率为0.4,若是一只猫和老鼠都在一个房间，那么下一分

钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5,

已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第。分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别

为Pn，＜7n-

（1）求笫1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率；

⑵求证：｛如+芸叱部为等比数列，并求册表达式；

（3）在第几分钟时，老鼠在0号房间的概率最大？

【来源】湖北省襄阳市第四中学2025届高三下学期适应性考试（二）数学试题

8.已知各项为正数的数列｛册｝满足：Q1=1,S“=，其中S“是数列｛afl｝的前几项和.

2(%+LM)

(1)求数列｛册｝的通项公式；

(2)设bf=aQ\+g穿+。3色+•••+—•

(i)求数列｛&｝的通项公式及其前几项和北；

(ii)若金=也且为&=£1，证明：d”41.

氏it=it=i应

【火源】陕西省西安交通大学附属中学2026届高三上学期第四次诊断考试数学试题

9.已知函数/(乃=4一4,设曲线y=/Q)在点(为J&J)处的切线与出轴的交点为3的,0)⑺GM),且

X\>0.

(1)用4表示①n+l；

⑵若%=3,记Q“=hi叁。|■，证明数列｛斯｝是等比数歹人并求数列｛$｝的通项公式.

【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟(-)数学试卷

q..................

10.若对VKWN*,都有W£«WN・），则称｛Q“｝与｛bn｝为々级相邻数列”.

⑴设｛4｝的前几项和&=1一+也=1,且鼠+1—/=4,试判断｛4｝与他｝是否为“2级相邻数列”,

尹说明理由；

（2）若%=2n也产踪私+鼠且为“4级相邻数列”，求k的取值范围；

（3）已知如也6｛1,2,3,4｝（i=1,2,3,4）,由数列｛时｝的所有项组成的集合M中恰好有2人元素，若｛%｝

与｛bn｝为“1级相邻数列”，求满足条件的数列｛%｝,｛bn｝的组数（用数字作答）.

【来源】浙江省绍兴市第一中学2025届高三下学期校模拟考试数学试题

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百强名校一必剧真题精练

11.已知数列｛Q.｝满足：S=1,册+=4匕，设公=工

2Q“+10n

(1)求证:数列｛&｝为等差数歹IJ,并求数列｛%｝的通项公式；

(2)求数列｛QN・Q“+J的前几项和&.

【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题

12.已知数列｛Q〃｝和｛bn｝满足％=4,九=2,an+i=2a„+⑥+2：bn+｝=2b,+4-2.

(1)求证:数列｛%+“,｝是等比数列，数列｛%—图｝是等差数列：

(2)求数列｛或卢｝的前几项和5n.

【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025—2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题

13.已知数列｛Q“｝,Sn为数列｛Q,J的前外项和，旦满足。1=2,3Sn=(n+2)a„.

(1)求｛4｝的通项公式：

(2)证明：工+-!-+工+…V：.

(1>\。2。2"4

【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷

n

14.已知数列｛4｝满足勿=5,an+1—20n=3(nGN')，记勾=4-3".

⑴求证：｛&｝是等比数列；

(2)设4=誓L,数列｛q｝的前几项和为S”.若不等式(一夏，VS”+券对一切九EV恒成立,求

实数4的取值范围.

【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题

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15.已知函数〃/)=d+34,/(九)为数列｛%｝的前几项和.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)记数列(~~~1的前几项和为北，证明：Z,V义.

Iajz(2n)/

【来源】广东省部分学校2026届高三八月份联考数学试题

16.记S“为等比数列｛%｝的前几项和，已知S6=63,g—。8=-126,数列｛b,J是公差为1的等差数列，且

afi4=a3bl，数列｛cn｝满足以=4—bn.

⑴求数列｛斯｝和｛&｝的通项公式；

(2)求数列｛c,,｝的最小值及取得最小值时打的值.

【来源】湖北省华中师范大学附属中学2025届高三综合测试数学试题

伍,+2,九为奇数,

17.已知数列｛Q〃｝满足的=1,%+1=<

12%,九为偶数，

⑴记bn=。如+2,求仇，心，并证明数列｛bn｝是等比数列；

(2)记金=(^+3,求满足C1+&+C3+…+金<100的所有正整数十的值.

【来源】福建省莆田市第一中学2025届高三下学期5月适应性考试数学试题

18.已知数列｛4｝是等差数列，Qi=l,且加。2，。5—1成等比数列.给定•，记集合｛九代

A"｝的元素个数为必.

⑴求仇也的值；

(2)求满足瓦+与+…>2025的最小自然数。的值.

【来源】湖北省襄阳市第五中学2025届高三下学期适应考试三数学试卷

............即

19.已知数列｛aj满足：。4=2。］=2,且4+2=207-1一。“(九£").

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)若记“，为满足不等式3nT<QK&3”(neN・)的正整数k的个数，求数列｛&6J的前几项和.

【来源】浙江省宁波市镇海中学2025屈高三高考模拟数学试卷

20.已知各项均为正数的数列｛%｝中，。产1且满足册+广吗=2%+2Q“+］，数列出｝的前九项和为S”,满

足2必+1=3&・

⑴求数列｛%｝,｛0｝的通项公式;

(2)若在瓦与瓦+1之间依次插入数列｛%｝中的k项构成新数列｛弓｝：仇，Ql，庆，。2,Q：S，b：/Ql,。5,。6,瓦,

……，求数列｛cn｝中前50项的和笃0.

【来源】广东省中山市中山纪念中学2025届高三考前最后•卷数学试题

21.已知数列｛aj的前n项和为S”,且%=2,0n+】=Sn+2(n€.V*).

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)保持｛4｝的各项顺序不变，在&和afc+1之间插入k个1,使它们与数列｛Q,J的项组成一个新的数列

M,记｛bH｝的前几项和为北,求工知

【来源】2025届安徽省芜湖市高三二模数学试题

.............国

22.甲参加「一场智力问答游戏，每轮游戏均有两类问题(难度系数较低的A类问题以及难度系数较高的B

类问题)供选择，且每轮游戏只回答两类问题中的其中一个问题.甲遇到每类问题的概率均为,，中遇

到4类问题时回答正确的概率为康，回答正确记1分，否则记。分；甲遇到6类问题时回答正确的概率

为;，问答正确记2分,否则记。分，总得分记为X分，甲回答每个问题相互独立.

(1)当进行完2轮游戏时，求甲的总分X的分布列与数学期望.

(2)设甲在每轮游戏中均问答正确日累计得分为办分的概率为G(TZ).

(i)证明：｛GS+D-/GS)｝为等比数列.

(ii)求G(n)的最大值以及对应打的值.

【来源】广东省湛江市2025年普通高考测试(-)数学试题

23.已知N(N>3)项数列A：%/…，QN，对于给定i(i=l,2,…,N),定义变换力:将数列A中的项出替换为

，其余项均保持不变，记得到的新数列为亦(A).其中，当i=l时，£=当2&i<N-l时，t=

。1+彳+即］当i=N时，£=阳-广弧.若将数列力⑷再进行上述变换力0=12…,N),记得到的

新数列为力/(4),…，重复操作，得到数列九…/力(4)(k=L2,…,N),并称<.为第一次/变换，人为第二

次/变换，….

⑴若数列41,—1,3,—4,求数列6(力)和力对2(A)；

(2)设A为递增数歹ij,对A进行有限次/变换后得到数列6.证明：6为递增数列：

(3)当第成(小€7\0次/变换前后两个数列的首项乘积为负数时，令sm=l；否则助》=0.对于给定的N

项数列A,进行2025次/变换，证明：1+他+…+色侬<N-1.

【来源】重庆市第一中学2025届高三卜.学期最后一卷数学试题

...................0

24.若数列｛%｝,但｝满足:对任意的iGAT,Qmbi，且｛UIU=8STTN,ZWZ｝,则称｛QJ,｛bj为“关联

数列”，定义Sn(Q»bi)=也与@也)=.

t=lt=l/

(1)若数列｛%｝,｛&｝为“关联数列”，求S1036),7］。3，瓦)的值：

(2)若数列｛%｝,｛0｝为“关联数列”，且以laj也)=5,从瓦也，…小中任取3项，记这3项的和为X,求

X的分布列和数学期望；

(3)若数列｛4｝,｛&｝为“关联数列”，数列｛q｝满足c,G｛八"=85兀4,262｝,且5103也)=5510(6,-,^),

求Si3(Q“J的最大值.

【来源】重庆市第一中学校2025届高三下学期5月高考适应性考试最后一卷数学试题

25.存在meN*,对任意的nWN：当n>m时，正项数列｛an｝都满足an_m-an_,n+1……an.ran+1.

，则称｛%｝满足P(rri)性质.例如：当m=4时，2n~4•2n-3•2n~2•2n-1-2n+12n+?.

2"3・2川=2即|=(2”产，则等比数列｛2»｝满足尸⑷性质；当m=l时，(九一1)(九+1]，则数

列｛n｝不满足P(l)性质.已知数列｛册｝同时满足P⑵,P(3)性质.

(1)证明：数列｛源｝为等比数夕1;

⑵己知处=1,电=3,若数列也｝满足：⑥=(伊：器1/，其中.设Sn为数列

bn-\+2乂口卜VTIV@+]

｛%｝的前n项和，记北=bi+%+b3T---F&2S„•

①求或的表达式(用含口的式子表示)；

②试判断'16T⑶着51)1与的大小关系，并说明理由•

【来源】内蒙古包头市多校联考2025届高三下学期4月模拟数学试题

..........................................................................

26.将所有正整数按照如下规律形成数阵：

第1行123……789

第2行101112……979899

第3行100101102……997998999

第4行100010011002……999799989999

(1)将数列｛3n+1｝与数列｛2“｝的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列｛4｝,试确定的在该数阵中

的位置；

(2)将数阵中所有相邻两位数字(从左到右)出现12的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个新数

阵,记新数阵第九行中正整数的个数为

⑴求仄，8，坛；

(n)求bn.

【来源】山东省济宁市2025届高考模拟考试(二模)数学试题

27.已知数列｛Q,J的前项和为S〃，为=1,且九4+1=51+*+^.

(1)证明：数列｛崇｝为等差数列；

⑵设勾=f。/，

(i)求数列｛鼠｝的前71项和;

⑻当九＞1时，设集合M=｛瓦+勾3九21+2。,+与＜巾2”+2+2,14〈”,方乂｝,集合跖中所有元

索的和记为K「求数列｛＜｝的通项公式.

【来源】2025届福建省厦门第一中学高三5月模拟数学试题

1

28.已知。>0,函数/(⑼=cgsini,①W[0,+8),记为/(劣)的从小到大的第九(nWN')个极值点.

⑴当Q=1时，求①n；

⑵证明:

⑴数列｛/(4)｝是等比数列；

(n)若Q>—2=1^^»则对一切n6N\xn<|/(看)|恒成立.

ve2—1

【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题

29.差分密码分析（Z?/eren也QZCryptanalysis）是一种密码分析方法，旨在通过观察密码算法在不同输入

差分下产生的输出差分，来推断出密码算法的密钥信息.对于数列｛aJSEN）规定｛AQ〃｝为数列｛册｝

2

的一阶差分数列，其中AanUaM+i—%；规定｛△%“｝为｛%｝的二阶差分数列，其中Aan=dan+1-Aa„.如

果｛%｝的一阶差分数列满足|AaJW|Aa』（Wi,/€N.,iW'）^^｛Q〃｝是“绝对差异数列”;如果｛即｝的二

2

阶差分数列满足|Aa£|=|A%/（Vi,犬尸），则称｛%｝是“累差不变数列”.

（1）设数列/：1,3,7,9,13,15,判断数列A是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，请说明