向量的数乘运算（学案）-人教A版高一数学必修第二册

6.2.3向量的数乘运算

【学习目标】

1.理解向量数乘的概念，「解向量数乘的运算律；

2.了解线性运算的概念及其运算律；

3.理解向量共线定理，并会用之解决两个向量的共线问题。

【教材知识梳理】

—.向量的数乘运算

1.向量的数乘运算的概念

一般地，规定实数九与向量。的积是一个,这种运算叫做向量的数乘，记作

它的长度与方向规定如下：

(1.

(2)当％>0时，〃的方向与。的方向；当/IVO时，2。的方向与。的方向；

当2=0时，痴=.

2.向量数乘的运算律

设入"为实数，那么：

(1)"〃&)=.(2)G+〃)a=.(3况(°+力)=.

3.向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的.对于任意向量a，b,以及任意实数九川,

42，恒有人。，1。±42力)=.

二.共线向量定理

1.向量〃("0)与方共线的充要条件是：存在唯一一个实数九使.

【质疑辨析】(对的打7”，错的打“x”)

⑴实数2与向量。的积是一个向量.()

(2)若nia=mb,则a=b.()

(3)(m-n)a=ma-na.()

(4)若向量。和b不共线，且/.a=^ib,则必有x=/z=O.()

(5)若向量霜，动共线，则A,B,C,。四点共线.()

【答案】

一.1.向量/a囚同相同相反0

2.(A/i)a劝

3.4性运算2a必12b

二.b=Xa

【质疑辨析】

⑴4(2)x(3)4(4)4(5)x

【教材例题变式】

例1.(源于教材P14例5)

(1)化简,(〃一〃)一3(2〃446)+卷(21+I3h)=.

(2)已知向量a,b,c满足2(工一一a)——S+c-3x)+〃=0,则向量x=.

32

【答案】(1)0(2)

72944269942406

【详解】(1)原式=,〃一,〃—G4一官力=怎—G+E)°+(—]+右)5=0°+。力=。

+0=0.

91137911

(2)因为2x—^z一不力一彳。+0+6=0,所以/—彳°+5匕—5。=°，

月f以夕=$Q~^h+|c.所以x=^a—^jb+|c.

归纳总结：向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中去括号、移项、合并同类

项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用，但是在这里的“同类项”“公因式”

指向量，实数看作是向量的系数.

例2.(源于PI4例6)如图所示，已知在平行四边形48co中，E,尸分别是BC,0c边上

的中点.若AB=a,AD=h,试以为基底表示OE,BE

【详解】］凡/分别是次二QC边上的中点，：.AD=RC=7BE,CD=RA=2CF.

一1-1---1—1—1—1-

,?AB=a.AD=b.•・BE=-AD=-b,CF=-CD=-BA=--AB=--a,

t222222

DE=DA+AB+BE=-AD+AB+BE=-b+a+-b=a--b

22t

BF=BC+CF=AD+CF=b--a.

2

例3.（源于P15例7）设两个非零向量力与人不共线.

（1）试确定实数攵，使h+人和。+总共线；

⑵若AUUBU=a1+bi，BULUC1=2a1+8Ib，。。=3（/4-即\求证4B,。三点共线.

【答案】

（1）因为h+力和0+/共线，所以存在实数义，使氏"+匕=2（。+她），

所以&4+/?=4。+%动，即（k—2）a=（k2—l）b.

又a，〃是两个不共线的非零向量，所以A-/l=)U—l=O,所以22_i=o,

所以女=1或左=-1.

Lillii1UUU11/\

(2)因为人B=a+〃，BC=2a+8。，C/)=3("?，

所以80=4。+8=2〃+8〃+3(4—〃)=24+8〃+34-3力=5(4+8)=5人8,

所以AB，8。共线，

又因为它们有公共点3,所以A8,。三点共线.

归纳总结：

(I)两条非零向量。，力共线，等价于〃=劝(其中2wR);

(2)证明三点共线一般转化为证明两条向量共线.即要证明4,B,C三点共线，只需证初

与证共线，即证屈=求(其中义£宠).

【教材拓展延伸】

2

例4.如图所示，在△人BC中，D,尸分别是8C,人。的中点，成=/>,亦=a,At=b.

(1)用°,6表示初，At,#,俄:,济；

(2)求证：B,E,尸三点共线.

【答案】(1)如图，延长4D到点G,使才*=2m，连接8G,CG,得到平

行四边形/WGC.

则死=。+6初=；死=3(0+力)，Al,=；AZ>=；(a+。)，

L

展=助一初=；(°+力)一a=：S—2a),

JJ

泳=#—

(2)证明：由(1),知泥：=?泳，・・.瓦;，泳共线.

又屏:，阱有公共点，・・・8,E,尸三点共线.

例5.如图，在A8C中，D是BC边上一点,G是线段人£＞上一点，且黑=更=2,过

DGCD

点G作直线与A8,4c分别交于点E,F.

（1）用向量AB，AC表示八£）.

AR0AC

⑵试问战+方是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由•

-2--2/——•'

【答案】(1)AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(BA+AC\=-AB+-AC.

33'f33

AB2AC,r

⑵设AB=/IA£，AC=〃AF,则rhl

AEAF

「口AGBDc

因为一=——=2

DGCD

uuui2111102/1=-AB+-AC=—AE+^-AF,

所以AG=；AQ=Q-AB+-AC

JJ'、33,)9999

所以4+色=1,即义+2〃=2,AB2AC9.._

故大十一百=4为定值•

992AEAF2

【课外作业】

基础过关

I.要得到向量-2a,可将（）

A.向量。向左平移2个单位B.向量a向右平移2个单位

C.向量。保持方向不变，长度伸长为原来的2倍

D.向量。的方向反向，长度伸长为原来的2倍

【答案】D

【详解】根据向量数乘的概念及几何意义可知，要得到向量-2a,可将向量a的方向反向,

长度伸长为原来的2倍.

2.,（24—4））+28等于（）

2

A.d-2bB,a-4/?C.aD.b

【答案】C

【详解Jg（24-4Z?）+2/?=a-2b+2b=a-

.7

3.已知向量a=-2e,匕=§e,（e为单位向量），则向量。与向量〃（）

A.不共线B.方向相反C.方向相同D.|<71>|/?|

【答案】B

【详解】因为4=2,b=^-e,所以。=-多，故向量。与向量方共线反向.

4.已知空间向量a，b,且A»=a+2/>，BC=-5a+6力，CD=7a-25，则一定共线的三

点是（）

A.A、B、CB.&C、DC.4、B、DD.A、C、D

【答案】C

【详解】HD=/3C+CD=-5a+6b+7a-2b=2a+4b=2(a+2b)=2AB,

又A8与3。过同一点B,二4、B、D三点共线.

5.在^ABC中，A。为6c边上的中线,E为A。的中点，则EB=（）

3113

A.-AB--ACB.-AB—AC

4444

3113

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

【答案】A

【详解】根据向量的运算法则，可得

=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC,

222424V724444

3I

所以EB=‘A8——AC,故选A.

44

6.（多选）己知小、〃是实数，a、。是向量，下列命题正确的是（)

A.=ma-mbB.(m-n)a=ma-/ia

C.若ma=mb，则a=bD.若ma=na，则"?=n

【答案】AB

【详解】对于A选项，〃?（a-/?）=ma-mb,A对;

对于B选项，（加一〃一〃a,B对；

对于C选项，若〃2=0,则〃、力不一定相等，C错;

对于D选项，若〃=0,则加、〃不一定相等，D错.

7.设q,4是两个不共线向量，若向量kq+羽与阳+402方向相反，则实数左='

【答案】-4

【详解】由题意知，々q+2e2与8q+ke2共线，

・,・存在实数4,使Zq+2q=义（8弓+2.）=84“+kAe2.

k=SA2=—2=——

••飞，.不共线，，'一〃解得2或2,

V-科心=4[k=-4

:女q+2/与86+%.反向，，4二一（，^=T.

8.已知点。在线段A8上，且|初|=4|#|,设闻，则实数2=.

【答案】！

【详解】因为|曲|=4|#|,则#的长度是彷的长度的小二者的方向相同，所以犷=；丽.

9.如图，已知向量a,b,求作向量2d-g〃.

【答案】如图所示.在平面内取一点。，作OA=:〃，OB=2a，连接48,则48=2〃-3九

33

能力提升

10.若?是A3C所在平面内一点，CB="A+PB，则2点必在（）

A.乂BC内部B.在直线AC上

C.在宜线A8上D.在直线8。上

【答案】B

（详解】CB=PB-PC,CB^APA+PB/.PB-PCrPA+PB，:.-PC=2P4，

/.PC11PA，即pd与PA共线，〜点一定在AC边所在直线上.

11.（多选）如图，设P,。两点把线段人8三等分，则下列向量表达式正确的是（）

1Axi

APQB

I??

A.AP=-ABB.AQ=-ABC.8P=--ABD.AQ=BP

【答案】ABC

【详解】因为”,48方向相同，且|AB卜3必，所以A正确，

/>

因为AQ,A8方向相同，且2网=3,。卜所以AQ=：48,B正确，

因为BPj方向相反，且2网=3网，所以*-|附C正确，

因为8P,AQ方向相反，后卜卜耳，所以AQ=—8P,D错误.

12.（多选）已知点。是48c的重心，则下列说法中正确的有（）

A.OA+OB+OC=0B.AO=；（A8+AC）

C.八=；（低+呵D.O8+OC=3（A8+A0

【答案】AB

【详解】记。为BC中点，则。为A。靠近点。的三等分点

因为OB+OC=2OO,OA=-2O。，所以OA+OB+OC=D，A正确；

又A8+4C=2AO,AO=|AO,所以g（48+AC）=AO,B正确，C错误；

又OB+OC=2OZ）,A8+AC=2AO=6。。，所以O8+OC=；（A8+AC）,故D错误.

-2

13.如图所示，在，ABC中，NC=3AN，P是BN上的一点,若AP=〃*8+有4。，则实

数，〃的值为.

A

【答案】。3

【详解】•・•尸是4N上的一点，设BP6BN，又AN《NC,

ElUUUUUUUU-与

则AP=AB+BP=A8+2BN=A8+/i(/VV-A4)

22

=(\-X)AB^ZAN=(\-^AB+-AC=mAB+—AC.

Aw=l-2,—=—,解得4=m=—.

411)111

\BC\

14.已知平面上不共线的四点。45,C,若OA+2OC