浙江省诸暨市2024-2025学年高二年级上册期末考试数学试卷（解析版）

浙江省诸暨市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.直线I的倾斜角为I,则直线I的斜率为（）

A.孚B.V3C.1D.惇

【答案】B

【解析】【解答】设直线的倾斜先为a,则直线的斜率为k=tana,

所以当a=5时，/c=tan=V3。

故答案为：B

【分析】利用已知条件结合直线的倾斜角与直线的斜率的关系式，从而求出直线I的斜率o

中，设而=a,AD=b,AA^=己则西=（)

B.a—2+c

C.a+b—cD.-d-b+c

【答案】A

【解析】【解答】解:AB—AD=b，AAX=c,

则西二西+丽=西+而一而=标+而一通=-G+B+己

故答案为：A.

【分析】根据空间向量的加减运算求解即可.

3.已知抛物线y2=4%上一点P到焦点小的距离是4,则点P到y轴的距离为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】【解答】解：易知抛物线y=©的焦点F（1,0）,准线方程为％=-1,

由抛物线定义可得：点P到准线％=-1的距离为4,则点P到y轴的距离为4-1=3.

故答案为：B.

【分析】题目给出抛物线方程为产=4%,点P到焦点F的距离为4,求点P到y轴的距离。根据抛物线的定

第1页

义，点到焦点的距离等于其到准线的距离，因此可以通过准线方程和抛物线性质求解。

【分析】题目给出抛物线方程为/-4-点P到焦点广的距离为4,求点P到y轴的距离。根据抛物线的定

义，点到焦点的距离等于其到准线的距离，因此可以通过准线方程和抛物线性质求解。

【解答】

[1]确定抛物线的焦点和准线

抛物线y2=4/1勺标准形式为y2=4px,其中p=1,故焦点尸坐标为（1,0）,准线方程为x=-1。

[2]利用抛物线定义求点P到准线的距离

根据抛物线定义，点P到焦点厂的距离等于其到准线的距离，即|Pb|=4,因此点P到潴线％=的距离为

4。

[3]计算点P到y轴的距离

点P到准线％=的距离为门一（一1）|=%+1（因为抛物线上的点工之0）,故工+1=4,解得％=3。因

此，点P到y轴（即x=0）的距离为x=3°

【点睛】

本题关键在于利用抛物线的定义，将焦点距离转化为到准线的距离，进而通过准线方程求解点的坐标。最终

答案为点P到y轴的距离为3,对应选项B。

【答案】B

【分析】题目给出抛物线方程为y2=4%,点P到焦点F的距离为4,求点P到y轴的距离。根据抛物线的定

义，点到焦点的距离等于其到准线的距离，因此可以通过准线方程和抛物线性质求解。

【解答】

[I]确定抛物线的焦点和准线

抛物线y2=4x的标准形式为y2=4px,其中p=1,故焦点F坐标为（1,0）,准线方程为x=-1。

[2]利用抛物线定义求点P到准线的距离

根据抛物线定义，点P到焦点F的距离等于其到准线的距离，即|PF|=4,因此点P到准线％=-1的距离为

4。

【3】计算点0到y轴的距离

点P到准线工=-1的距离为打一（一1）|=无+1（因为抛物线上的点xN0）,故x+l=4,解得x=3。因

此，点P到y轴（即x=0）的距离为％=3。

【点睛】

本题关键在于利用抛物线的定义，将焦点距离转化为到准线的距离，进而通过准线方程求解点的坐标。最终

答案为点P到y轴的距离为3,对应选项B。

【答案】B

【分析】题目给出抛物线方程为V=4%,点P到焦点F的距离为4,求点P到y轴的距离。根据抛物线的定

第2页

义，点到焦点的距离等于其到准线的距离，因此可以通过准线方程和抛物线性质求解。

【解答】

［1］确定抛物线的焦点和准线

抛物线V=4x的标准形式为y2=4px,其中p=L故焦点小坐标为（1,0）,准线方程为％=-1。

［2］利用抛物线定义求点P到准线的距离

根据抛物线定义，点P到焦点尸的距离等于其到准线的距离，即|PF|=4,因此点P到准线％=的距离为

4。

【3】计算点2到丫轴的距离

点P到准线％=-1的距离为以一（一1）|=%+1（因为抛物线上的点工Z0）,故％+1=4,解得％=3。因

此，点P到y轴（即％=0）的距离为％=3。

【点睛】

本题关键在于利用抛物线的定义，将焦点距离转化为到准线的距离，进而通过准线方程求解点的坐标。最终

答案为点尸到y轴的距离为3,对应选项B。

【答案】B

【分析】题目给出抛物线方程为产=4，点P到焦点F的距离为4,求点P到y轴的距离。根据抛物线的定

义，点到焦点的距离等于其到准线的距离，因此可以通过准线方程和抛物线性质求解。

【解答】

［1］确定抛物线的焦点和准线

抛物线V=轨的标准形式为V=4px,其中p=l,故焦点尸坐标为（1,0）,准线方程为％=-1。

［2］利用抛物线定义求点P到准线的距离

根据抛物线定义，点P到焦点产的距嚼等于其到准线的距离，即|P"|=4,因此点P到准线％=的距离为

4。

［3］计算点P到y轴的距离

点P到准线％=的距离为门一（一1）|=%+1（因为抛物线上的点工之0）,故x+l=4,解得％=3。因

此，点P到y轴（即％=0）的距离为x=3°

［:点睛】

本题关键在于利用抛物线的定义，将焦点距离转化为到准线的距离，进而通过准线方程求解点的坐标。最终

答案为点P到y轴的距离为3,对应选项B。

【答案】B

4.下列选项正确的是（）

A.（sin10oy=cos10°B.（lgx）f=^

C.［（2x+l）（2x-l）］/=8%D.^e-xy=e-x

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【答案】C

【解析】【解答】A：(sin10。)'=0,A错误；

B：例”赢，B错误:

C：[(2%4-1)(2%—l)]z=(4x2—iy=8x,C正确；

D：｛e-xy=-e-x,D错误.

故答案为：C.

【分析】根据基本初等函数的求导公式和求导法则，逐一分析每个选项的导数计算是否正确.常数、对数函

数、幕函数、指数函数的求导公式，以及乘积法则、复合函数求导法则等.

5.已知直线上y=kx+1,圆C:(第一1)2+y2=4,则直线，与圆C位置关系为()

A.相离B.相交C.相切D.不确定

【答案】B

【解析】【解答】解：易知直线&y=kx+l恒过定点4(0,1),

圆C:住—1)2+y2=4的圆心C(l,0),半径为2,

因为|AC|="2+12=&V2,所以点4在圆C的内部，则直线[与圆C相交.

故答案为：B.

【分析】易知直线2过定点4(0,1),判断点4与圆C的位置关系即可得直线与圆的关系.

6.已知｛。n｝为等差;数列，%+03+05=42,%+。4+。6=48,则59=()

A.126B.144C.162D.180

【答案】C

【解析】【解答】解：设等差数列｛aj的公差为d,

%+为+=3a3=42,解得的=14,

。2+4+。6=3a4=48,解得Q4=16,

则d=a4—a3=2,客+。6=。4+。4+2d=36,

故S9=9(01：°9)=£(a4+a6)=£x36=162.

故答案为：C.

【分析】设等差数列｛。“｝的公差为d,利用等差数列的通项公式结合等差中项求解即可.

7.已知等比数列｛4｝的公比q大于0,前n项和为外,则“数列｛册｝为单调递增数歹『'是"数列｛SJ为单调递增

数列”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

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【解析]【解答】解：取即=-1,q=｝则即=(_1)乂(当“,易知数歹I」｛斯｝为单调递增数歹I」，

n

Sn=勺仁।=-2x[l-(i)],数列⑸1为单调递减数列，

即充分性不成立；

取勺=1,q=｝则又=勺图')=>：；川=2[1-(J)n],显然数列｛SJ是单调递增数列，即=e)"T，

数列(即｝是单调递减数列，即必要性不成利，

综上“数列｛斯｝为单调递增数歹U”是“数列｛SJ为单调递增数歹旷的既不充分也不必要条件.

故答案为：D.

【分析】取特殊值，根据数列的单调性，结合充分、必要条件的定义判断即可.

8.己知F是双曲线噂一f1(G>0,b>0)的左焦点，P为圆M+V=次+必上一点，直线PF的倾斜

角为30°,直线PF交双曲线的两条渐近线于M,N,且P恰为MN的中点，则双曲线C的离心率为

()

A.V5B.V3C.V2D.空

【答案】C

【解析】【解答】解：易知双曲线。号一号=1(。>0,b>0)的左焦点为F(—c,0),

Q/b

圆/+y2=次+/的圆心为(0,0),半径为c,直线尸/7的斜率为tan30"=殍，

则直线P尸方程为y=^(%+c)，

乃2+y2-(%=£

1…'得1鼻即点p的坐标为第6

双曲线渐近线方程为y=±5x，设点MCqji),点N(%2，y2)，

则牛.①,中=乎「

fy=5(%+c)-彖

由1b‘解得打二^^’

Iy=ax百一五

(V=0Q+C)_鸟_-朵-枭

3

由1b，解得必=逐，代入①得事系c'解得小=房，

)Q322

则双曲线C的离心率e=£=J1+,=V2.

故答案为：C.

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【分析】易知双曲线左焦点，圆心，求直线斜率，得直线PF•的方程，联立直线P尸与圆的方程求出点P的坐

标，再利用点P是MN中点这一条件，联立直线P尸与双曲线渐近线方程求出M、N横坐标，根据中点坐标公式

列出等式求得a,b的关系，代入双曲线的离心率公式求解即可.

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得

6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知数列｛斯｝满足册+1=2an+1,%=2,则（）

A.«3=11B.6n-1｝是等比数列

C.斯=3•2时1—1D.｛an+1-Q,J是等比数列

【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：由即+i=2斯+1,可得即+i+1=2（即+1）,即鬻字=2,

则数列｛斯+1｝是以即+1=3为首项，2为公比的等比数列，即+1=3・2»1,

则0n=3・2时1-1,故C正确;

由斯=3・2”-1一1,可得g=3x23T-l=ll,故A正确；

由册—1=3,2"-1—2,可得力—1=1,。2—1=4,的-1=10»

则数列｛斯-1｝不是等比数列，故B错误；

71

由即+1-%=3・2-1一3・2,T+1=3-2时）可得=2,

则数列｛斯+1—Q/是以3为首项，2为公比的等比数列，故D正确.

故答案为：ACD.

【分析】化简即+1=2%+1，可得*2=2,则数列｛%+19是等比数列，求数列｛%｝的通项公式即可判

即十]

断C；根据通项公式求的即可判断A；求出数列｛%-1｝的前3项即可判断B：利用等比数列的定义证明数列

｛an+i-Qj是等比数列即可判断D.

10.已知校长为2的正方体48。0-从为加。1中，Q,R满足的=4两，砧=〃砧，其中4£[0,1],

[0,1],则下列结论正确的是（）

A.当;1=4时，|QR|=1

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B.当〃二义时，DiR〃平面BDQ

C.V/zG[0,1],3/1G[0,1],有4Q_L。/

D.VAe[0,1],3/ze[0,1],有D/JLCQ

【答案】B,C,D

【解析】【解答】解：以。为原点，分别以五5,DC，西所在直线为％,y,Z轴的正方向，建立空间直角坐标

系，如图所示：

£)(0,0,0),4(2,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),Di(0,0,2),%(2,0,2),8式2,2,2),%(0,2,2),

因为的=4两，西=(0,0,2)，所以点Q坐标为(2,2,24),

又因为中=〃碇，砧=(一2,2,-2)，Ai(2,0,2),所以点R坐标为(2—2〃,2出2—2〃),

A、当a=〃=义时，点Q(2,2,l),点R(L1,1),

则|QR|=1(2-I)24-(2-I)24-(1-I)2=VI+1+0=加工1，故A错误：

424

B点R

、---

333(2,2,0)，0的=(0,2,2)，

n-=2%4-2y=0

设平面BOG的法向量为五=(x,y,z),则

n-DC]=2y+2z=0

取x=l,可得y=—l,z=1,则不=(1,一1,1)为平面BOQ的法向量;

比R=G，|,-芬帝•元二金一|一,=0，所以取_L五,

又因为。出U平面80Q,所以。出〃平面BDG，故B正确;

C、而=(0,2,24)，取=(2—2〃,2%一2〃)，AQ-UJ(=-4Ajtz=4^(1-A)，

当〃=o时，湎•仄N=o恒成立，当〃wo时，令而・aN=o，得;1=1,

所以V〃W[0,l],3Ae[0,1]，有4Q_LD1。,故C正确；

D、&=(2,0,22),取=(2-2〃,2〃,一2〃)，&•取=4-4〃-4"=4-4〃(1+2)，

令的•取=0，即4-4〃(1+Q=0,〃=*，

因为2E[0,1],所以〃=击^^,1卜所以V/E[0,l],三〃£[0,1],有。/ICQ,故D正确.

故答案为：BCD.

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【分析】以。为原点，分别以a，DC，西所在直线为％,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系，求各

点坐标，根据两点结论公式求|Q/?|即可判断A；求平面30Q的法向量，直线。m的方向向量，证明两向量垂

直即可判断B；由而•印=0求九〃即可判断C；令我•万了=0，确定九〃关系即可判断D.

11.曲线£:b一1|+|%+1|+2W|=4,则下列结论中正确的是()

A.曲线E关于直线y=%对称

B.曲线E围成的图形面积为6

C.曲线E上存在无数个点到直线y=x的距离为I

D.若圆(刀一小产十⑶一小)2=2巾2在曲线巴的内部(含边界〕，贝ij|m|max二/一1

【答案】B,D

【解析】【解答］解:由|%—1|+|%+1|+2|训=4,可得

当一lWxWl,yNO时，y=1>

当一lWxWLy〈0时，y--1,

当>>1)之0时，x+y-2=0,

当》>1,yvO时，x-y-2=0,

当为V-l,y20时，x-y+2=0,

当％V-l,yV0时，x+y+2=0,

作出曲线图象，如图所示：

其中力(-2,0),C(l,-1),。(2,0),F(l,l),F(-IJ)，

A、由图可知，点(2,0)在曲线E上，但点(0,2)不在曲线E上，所以曲线E不关于直线y=x对称，故A

错误；

B、图形为一个边长为2的正方形BCEF和两个底和高分别为2和1的三角形及AOCE构成，其面积

为2x2+2x±xlx2=6，故B正确；

C、如图，直线BE就是直线y=x,而直线CD与直线AF均与之平行，两线段AF和CD上的点到直线y=

x距离最大，

且直线CD,直线AF与直线BE距离均为4=专=鱼：>1,数形结合可得曲线上只四个点到直线y-x距离

为1,败C错误;

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D、易得曲线关于原点对称，圆(％-巾)2+。一7九)2=2血2的圆心在线段|3£上，据对称性可得：

M>V2m

vZ

(1)当0VmV1时，须满足|1-m\>\[2m,解得0Vm4/—1;

芸⑸

|2臂|之一am

VZ

(2)当一1Vzn<0时，须满足|m4-1|>解得1一夜W7n<0,

金一伍1

综上可得Imlmax=企—L故D正确.

故答案为：BD.

【分析】分情况去绝对值，的函数的解析式，作出曲线图象，根据对称性即可判断A；根据图象计算面积即

可判断B；结合图象求到直线y=x距离为1的点即可判断C；根据圆的方程得到圆心在线段BE上，然后再

结合对称性列不等式，解不等式即可判断D.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知函数y=/(%)的图象在点例(1/(1))处的切线方程是y=2x+l,则/(l)+尸(1)=.

【答案】5

【解析】【解答】解：由导数的几何意义，可得f'(l)=2，

将点M的坐标代入切线方程可得f(l)=2xl+l=3,

因此，/(1)+/(1)=5.

故答案为：5.

【分析】由导数的几何意义得出切线的斜率，从而可得f(l)的值，再将点M的坐标代入切线方程可得/<1)的

值，从而得出/'(1)+/(1)的值.

13.抛物线d=4y上一动点P到直线y=x-3的最短距离为.

【答案】V2

【解析】【解答】解：设抛物线F=4y上动点P(%,yo),

由题意可得，当点P到直线丫=%-3的距离最小时，点为抛物线%2=4y的一条切线的切点，

且该切线平行于直线y=x-3,

设直线y=x+b与抛物线好=4y相切，则/一4(%+b)=0,21=42+16b=0»解得匕二一1,

则%o=2,y0=1,即尸(2,1),

故点P到直线y=%-3的最小距离d=M-尸=V2.

VN

故答案为：V2.

【分析】设点PQoJo),由题意可得，点P(%,yo)为抛物线i=4y的一条切线的切点，且该切线平行于直线

y=x—3,点P的切线方程为y=x+b,联立直线与抛物线，结合条件可求M，y0,再利用点到直线距离公式

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求解即可.

14.已知数列｛册｝满足力=1，敢=16,=2的即+25eN*),若为最大项，则m=

【答案】5或6

【解析】【解答】解：由*+1=2即％2,可得产=*•铲，

^n+l右

则数畔给｝是以舒=16为首项，物公比的等比数列，即等1=166「=(旷I

从而可得到Qi<a2<­•<as=aG>a7>•—,则最大项是第5项或第6项，即m=5或6.

故答案为：5或6.

【分析】化简递推公式可得需=3♦等结合等比数列的概念求得｛誓T｝的通项公式，再借助指数函数

性质，求最大项时的项数即可.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.如图，在三棱柱>48。-48传〔中，4411底面力BC,Z-CAB=90°,AB=AC=2,44〔=3,M为BC的

中点，P为侧棱8当上的动点.

(I)求证:平面4Mpl平面BBiQC；

(2)试判断是否存在P,使得直线8G_L4P.若存在，求PB的长；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明：因为在三棱柱ABC—481G中，8区1底面4BC,4Mu平面A8C,所以4Ml8当,

又因为AB=AC=2,M为8c的中点，所以AM18C,

又因为BCn88i=8,BC,BB\U平面9斗弓。，所以AMJ■平面38道1。，

乂因为AMu平面4PM,所以平面4PM_L平面8B1GC；

(2)解：以4为原点，AC为x轴，48为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

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8(0,2,0),Ci(2,0,3),4(0,0,0),

设BP=t(0WtW3),则P(0,2,t)，靛1=(2,—2,3)，AP=(0,2,t)»

若BCilAP,则晶.4=()-4+3t=0,解得t=[<3,

故存在P,使得直线BCi_L/1P,此时P8=1

【解析】【分析】(1)由已知条件证明4MlBBi，AM1BC,结合线面垂直判定定理证明AM1平面

BBGC,再利用面面垂直判定定理证明即可；

(2)以内为原点，AC为％轴，A8为y轴，A&为z轴，建立空间直角坐标系，设8P=C(OWt£3),求向量

BQ，”的坐标，由BC[14P列方程求t即可.

(1)••在三棱柱4BC-A181cl中，底面ABC,AMu平面48C,

:、AM1BB],

-AB=AC=2,M为BC的中点，

:.AM1BC,

•；BCCBB]=B,u平面BB£C,

•••AM1平面8B1GC,

-AMu平面APM,

・••平ffiUPM_L平面881GC：

(2)以4为原点，"为淄I,为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

8(0,2,0),Q(2,0,3),4(0,0,0),

设BP=t(0WtW3),则P(0,2,t),BZI=(2,-2,3)，AP=(0,2,t)»

4

-<3

若BCi工AP,则座「6=0-4+3t=0，解得t3

所以存在尸，使得直线8cliAP,此时P8=/

16.在等差数列｛即｝中，已知公差d>0,ai=l,前ri项和为Sn.且Si，S2,S3+3成等比数列.

(1)求数列的通项公式;

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n

(2)记6n=n-2,求数列｛b｝的前1项和7\・

【答案】(1)解：等差数列｛%｝,d>0,%=1,Si=%=1,$2=2十d,S3十3=6十3d,

因为Si，S2,S3+3成等比数列，所以赁=S「(S3+3),

则(2+d)2=l・(6+3d),整理得d2+d-2=0,解得d=l,

故时=Qi+(几一l)d=n；

n

(2)解：由(1)知，bn=n2,

123

则7n=l-2+2-2+3-2+-+n-2n①，

234n

2Tn=1-2+2•2+3•2+■••+n-2li②，

①一②得：一7；=21+22+23+…+2八一九•2n+1,

f=^Ep-n.2"+i，

-7；=(l-n)«2n+1-2,

则7\=(n-1)-2计1+2.

【解析】【分析】(1)由题意，根据等比中项的性质，结合等差数列通项公式列方程求d,即可得数列｛an｝的

通项公式；

(2)由(1)知,bn=n2\利用错位相减法求数列｛bn｝的前n项和7rl即可.

(1)由题意知，Si=Qi=1,S?=24-d,S3+3=6+3d,

所以s2G3

2=3+

因为S],S2,S3+3成等比数列,

即(2+d)2=l.(6+3d),整理得d2+d—2=0,解得d=1或d=-2,

因为d>0,所以d=1,

所以即=%+(九一l)d=n；

n

(2)由(1)知，bn=n2,

123

则7n=l-2+2-2+3-2+-+n-2n①

234n+1

2Tn=1-2+2-2+3-2+-+n-2@

①-②得，

-7；=21+22+234--4-2n-n-2n+1,

丁2(l-2n)

n+1

-Tn=\_2-n»2>

-7；=(l-n)«2n+1-2,

所以Tn=(九T).2n+1+2.

17.如图，在底面为正方形的四棱锥P—4BCD中，P4=4O,241面力BCD,M,Q分别为P。和8C的中

点，PN=^PC.

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（1）求证：A,M,N,Q四点共面;

（2）求二面角M-4N-0的余弦值.

【答案】（1）证明：取CO的三等分点T,CT=0D,如图所示:

由题意知，器=嘉=/则NT〃MD,

确定平面MNTD,且NT=£PD=?MD,

在平面MNTD中，分别延长MN和0C交于点R,

由/RNT~4RM0,可得缁=磊=全即需=%

又在面48co中，QC//AD,且器=会连接力Q并延长交0C于点K，

MAQCKC1RCKC1

则酢=而=2'RD=KD=2'

所以K，R为同一点，又点、K=AQCCD,点、R=MNCCD,

所以直线MN与4Q相交，确定平面/MNQ,

所以4M,N,Q四点共面；

（2）解：以点4为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：

设二面角M-AN-。为仇(8为锐角)，

设48长为2,则8(2,0,0),0(0,2,0),C(2,2,0),尸(0,0,2),M(0,l,l),Q(2,l,0),

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因为PN=QC,所以无"而，则点N[,黑），

OOOOO

t442

AM—[0,1,1），AN=（3,3,3^

设平面4MN的法向量为九=（与/],21），不妨令力=一1，

<to<XX=o取力=2,可得zi=-2,%!=-1,贝阴=(-1,2,-2).

逑42

\

--!

又G二（0,2,0），AN337

=0

设平面AN。的法向量为茄=（%2J2,22），则".7=0,叫(4.4y2.2n，

AN-m=0(/2+科2+产=°

取%2=1，则为=。，z2=-2,可得m=(1,0,—2)，

则cos6=Icos<m,n>\=狂叫=~^==电,

|n||m|375'

故二面角M-AN-。的余弦值为唱

【解析】【分析】（1）取CD的三等分点兀CT="D,分别延长MN和OC交于点R,根据/RN7-4RMO,证

明筋=痣=皆由此证明K，R重合，再证明直线MN与4Q相交，即可证明结论;

（2）以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.

（1）取CO的三等分点7,CT=^CD,如图所示,

由题意知，舞=%=/所以NT〃MD,

确定平面MNTD,且NT=3PD/MD,

•JO

在平面MN7D中，分别延长MN和OC交于点R,

所以ARNTjRMD,则筮=筋4，即需=%

又在面A8CD中，QC//AD,且第另，连接AQ并延长交OC于点K,

nniQC_KC_1jp/.而RC_KC_1

则而"而=2'那公有而=而=2'

所以K,R为同一点，又点、K=AQCCD,点R=MNCiCD,

所以直线MN与4Q相交，确定平面/MNQ,

所以4M,N,Q四点共面；

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(2)以点4为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设二面角M-4N-。为。，(。为锐角),

设长为2,则8(2,0,0),0(020)，。(2,2,0),0(0,0,2),Q(2,l,0),

22「449

点

贝dNZ^

--pjn--

3PC3L33^

T7T442

乂AM=(0,1,1)，AN=(3*3*3),

设平面AMN的法向量为九二(%i，y],zi)，不妨令Xi=-1，

由悭•=,得卜Y^°0.

(AN-n=0(3X1+3yi+3Z1=0

取以=2,可得z1=-2,=-1,

所以[=(-1,2,-2)为平面平面4MN的一个法向量，

42

--

^AD=(0,2,0)»AN=33

设平面ANO的法向量为m=(x2fy2fz2)f

zTy-O

dDo2

由

・-

n»442

t---

打V

vNo3723

♦+

取％2=1，则为=0，Z2=-2,

所以茄=(1,0,-2)为平面4%。的一个法向量，

所以cose=\cos<771,n>I=I?叫==W，

|n||m|375

所以二面角例-AN-D的余弦值为冬

J

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18.曲线J的方程尸（％y）=0中,用4%替换工，替换y（儿〃£R+）得到曲线6的方程尸（双,〃'）=0,把这种

®y）T（/U,〃y）的变换称为“伸缩变换”，九〃分别称为x轴和y轴的伸缩比.

（1）若曲线Ei的方程为/+必=4,伸缩比4=鼠〃=1,求％经过“伸缩变换”后所得到曲线场的标准方

程；

（2）若曲线E］的方程为经过“伸缩变换”后所得到曲线E2是离心率为窄的椭圆，求细值；

4JZM

（3）对抛物线之：y2=2p/作变换（％y）->（4#《］力，得抛物线%:y2=Zp2%；对抛物线E2：y2=Zp2工作

变换（%,y）—（心》,〃2丫），得抛物线E?：y2=2口3%，如此进行下去，对抛物线&：y2=2pnx作变换（x,y）T

（41%〃，1丫），得抛物线分+l：y2=2口叶/，若Pl=1,〃="2,%=几+1,记数列｛pj的前几项和为又，求证：

Sn<|

【答案】（1）解：曲线邑的方程为/+y2=*伸缩比/1=：,〃=1,则G%j+y2=4,化简得第+屋=

1,

故曲线E2的标准方程为需+4=1；

（2）解：由题意得，经过伸缩变换后的椭圆方程为2/+应=「化简得竽+乎=1,

43??

①当*1时，次=扣2*则/=一1=14£另，解得芳和旌R+）；

②当出盘时,次=和2=$,则/=Y=i-g.$=］解得介竽Q〃WR+）；

综上所述，尹里或尹孚

（3）证明：对抛物线%:产=2p/作变换（％y）t（Anx,^ny）,

得抛物线“+1：睐产=2pnXnXt得y2=24热，所以Pn+1=^Pn=（几；］）2Pn,

2

即（九+l）2p〃+i=npn=…=12Pl=1,所以P鹿=3

又因为Pn=/V滔匕=（n+ljn-l）=Y告_Ji）523）,

所以，当九之3时，Sn<Pi+p2+；G-*+/-/+…+自一击）

42\23nn+1/4263

当n=1,或n=2时，Sn<亳也成立，故Sn<1.

【解析】【分析】（1）根据“伸缩变换''的定义求解即可；

（2）先根据“伸缩变换”求得曲线E2方程，再分去>|或也<|，结合椭圆离心率定义计算即可；

（3）由“伸缩变换''求的定义计算可得（7l+l）2p“+］=Mpn=...=12p］=l,得数列｛pj的通项公式，再利用

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放缩法及裂项相消法求和证明即可.

(1)由题意得G%j+y2=4,化笥得哙+[=1，

所以曲线%的标准方程为4+^=1；

164

(2)由题意得，经过伸缩变换后的椭圆方程为生/+©!=「化简得苧+苧=1,

43#〃2

①当去>总时，次=也/2=总，

贝心=14=1一骁与解得行和公心；

②当1时,"=*2=*

22r~

则°2=1一%=1<.5=：解得(=竽a，〃ER+)；

综上所述，(=乎或(=竽；

(3)对抛物线以:丫？=2p,产作变换®y)->(2nx,jUny),

得抛物线“+1：味产=2pnAnxf得y?=2^

2„2

所以〜=潮，=可心’

2

即(九+l)2p〃+i=npn=…=12Pl=1,

所以外=》

又Pn=+V益匕=(n+lj(n-l)=3层厂《I)5-3),

所以,当?1之3时,Sn<Pi+P2+；伍-4+WT+…+高一击)

=1+1+1(1++=

42\23nn+174263

当?l=1或九=2时，Sn<,也成立，故Sn<

19.已知椭圆C[+，=l(a>匕〉0)的右焦点为F(1,O),8(1为为椭圆上一点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线«不经过8点)交C于P,Q两点，且直线8P和直线BQ的斜率之和为0.

①证明：直线1的斜率为定值，并求出这个定值；

②若tan乙PBQ=导，求△PBQ的面积.

【答案】(1)解：易知c=l,因为为椭圆C上一点，

所以2。=+I)2+(|)2+J(1-l)2+(|)2=4,解得Q=2,

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则庐=Q2—C2=3,故椭圆C的方程为《+4=1；

*◊

(2)解：①、由题意可知直线/的斜率存在，设直线l:y=kc+m,PCq,%),。(必，力)，

y=kx+m

x2y2_,得(3+4户)％2+8kmx+4m2—12=0,

{T+T=1

△=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,

由韦达定理可得勺+》2=二四号，=47n2-,2,①

3+4/3+4必7

由题意知，k?p+心。=。,

则以Tj2T_(%2-1)的一2+(叼-1)仇一为_0,

人卬+行T-氏二加24~°

即(%2—1)+m一野+—1)(k52+m一务—0,

化同得2kx］工2+(m-—k)(%i+犯)—2(m—讶)=0,

由①可得，出呈+23艺_2伍7)=。，

3+4〃3+4k''2)

化简得(2k-l)(2/c-3+2zn)=0,

当2k-3+2巾=0时，m=1-k,

直线，的方程为y=kx+|—k,此时直线过点8(1,1),矛盾,

因为F(l,0),所以BCl上轴,

由直线Z7P和直线OQ的斜率之和为。,可得平分/P