专项训练3 平行线的判定与性质提升练习-2024人教版七年数学下册

专项训练3平行线的判定与性质提升练习

一.选择题

1.如图，在下列给出的条件中，不能判定AB〃。尸的是（）

A.N4=N3B.乙4+/2=180°

C.Z1=Z4D.Z1=ZA

【分析】利用平行线的判定定理，逐一判断，容易得出结论.

【解答】解：人、因为/A=N3,所以/18〃OF（同，立角相等，两百线平行），故本诜项

不符合题意.

B、因为乙4+/2=180,所以〃。尸（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合

题意.

。、因为Nl=/4,所以AB〃。尸（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意.

。、因为N1=NA,所以AC〃。七（同位角相等，两直线平行），不能证出故

本选项符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查了平行线的判定；正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁

内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被

截直线平行.

2.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射，由

丁折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，Nl=53°,Z2

=110°,则N3+N4=()

A.164"B.117°C.123sD.107°

【分析】根据平行可得Nl=53°,Z2=110°,最后代入N3+N4计算即可.

【解答】解：•.•平行光线，水面和底平行，

/.Z1=Z3,Z2+Z4=180°,

VZ1=53°,Z2=110°,

.\Z1=Z3=53O,N4=180°-N2=70°,

・・・N3+N4=530+70°=123°,

故选：C.

【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

3.如图，已知长方形纸片A8CO,点E,”在A。边上，点RG在BC边上，分别沿ER

GH折叠，使点B和点。都落在点尸处，若NFEH+NEHG=118°,则NQG的度数为

()

A.54°B.55°C.56°D.57°

【分析】根据四边形48。是长方形，可得AO〃8C,得NFEH=NBFE,ZEHG=Z

CGH,所以可得N〃F£+NCG"=NFE〃+N£77G=]lg°,由折叠可得EF,GH分别是

N8尸产和NCGP的角立分线，可得NBFP+NCGP=2(NBFE+NCGH)=236°,进而

可得/FPG的度数.

【解答】解：•・•四边形48CZ)是长方形，

：.AD//BC,

：・/FEH=/BFE,ZEHG=ZCGH,

/.ZBFE+ZCGH=ZFEH+ZEHG=118°,

由折叠可知:

EF,G”分别是NBFP和/CGP的角平分线，

二NPFE=ZBFE,ZPGH=ZCGH,

?.ZPFE+ZPGH=ZBFE+ZCGH=118°,

：.ZBFP+ZCGP=2QBFE+/CGH)=236°,

/.ZPAG+Z/^GA^3600-3BFP+4CGP)=360,・236"=124°,

/.ZFPG=180°-(ZPFG+ZPGF)=180°-124°=56°.

故选：C.

【点评】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质.

4.在同一平面内，若A8_L/,ACA.I,且点A在直线/上，则下列结论成立的是（）

A.AC//AB

B.点、B,C在直线/同侧

C.点8,C在直线/两侧

D.点A,B,。在同一条直线上

【分析】AB_L/,4cL,则过点A与直线/相垂直的直线有AB,AC,而过已知点与已知

直线垂直的直线有一条并且只有一条，由此即可得答案.

【解答】解：••飞台，/,AC±/,则过点A与直线/相垂直的直线有43,AC,

又•・•”过一点有且只有一条直线与己知直线垂直”，

•••AC与A8重合，

A.AC与AA,不可能平行，错误，不符合题意；

8.点B,C在直线/同侧，不能确定，错误，不符合题意；

C.点、B,。在直线/两侧，不能确定，错误，不符合题意；

D.因为AC与A8重合，故点A,B,。在同一条直线上，正确，符合题意.

故选：

【点评】本题考查了平行线的性质和垂线的定义，关键明白在同一平面内，经过一点有

且只有一条直线与己知直线垂直.

5.将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，小明得到下列结论：

①如果N2=30°,则AC〃。氏

（2）ZBAE+ZCAD=l8r；

③如果6C〃A。，则/2=30°:

④如果NC4O=15（）°,则N4=NC.其中正确的结论有（）

【分析】根据平行线的性质和判定逐个判断即可.

【解答】解：・・・/2=30°,NC4B=90°,

VZE=60°,

AZ1=ZE,

J.AC//DE,故①正确；

•・・NCA8=/D4E=90°,

：.ZBAE+ZCAD=90°-Z1+9O0+Z1=18O°,故②正确；

*：BC//AD.NB=45°,

.•・N3=N8=45°,

•・・N2+N3=NDAE=90°,

・・・N2=45°,故③错误;

VZCAD=150°,NBAE+/C4O=180°,

/.ZBAE=30°,

VZE=60",

••・N8OE=N8AE+NE=90°,

・・・/4+NB=90°,

VZB=45°,

AZ4=45°,

VZC=45°,

AZ4=ZC,故④正烧：

所以其中正确的结论有①②④，3个.

故选：C.

【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关迹.

6.如图，AB//CD,EG、EM、分别平分NAEF,/BEF,NEFD,则图中与NOFM相

等的角（不含它本身）的个数为（）

AEB

~7GTV~D

A.5B.6C.7D.8

【分析】由BW平分NEFO可知：与N。5M相等的角有NEEM；由于A8〃CO,EG、

EM、FM分别平分/人所、NBEF、NEFD,根据平行线的性质和判定定理可以推导出

FM//EG,由此可以写出与NOFM相等的角.

【解答】解：•・/“平分NEFZ),

1

:.ZEFM=/DFM2ZCFE,

"G平分NAE凡

1

二3

・•・ZAEG=/GEF£ZAEF,

TEM平分NBEF,

1

/./BEM=ZFEM2ZBEF,

_l

=5

：.NGEF+NFEM”(NAEF+NBEF)=90°,即NGEM=900,

1

=3

/FEM+/EFM/(/BEF+/CFE),

,JAB//CD,

:・/EGF=/AEG,/CFE=/AEF

1_1

：・NFEM+NEFM2(NBEF+NCFE)2(BEF+NAEF)=90°,

・••在△EMr中，NEMF=90°,

；・/GEM=NEMF,

:.EGHFM,

・••与NOEW相等的角有：/EFM、/GEF、NEGF、々AEG以及/GEF、NEG凡/AEG

二个角的对顶角.

故选：c.

【点评】重点考查了角平分线的定义，平行线的性质和判定定理，推导较复杂.

二.填空题

7.如图所示，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角/A=110°,第二

次拐的角/4=145。，则第三次拐的角NC=145°时,道路CE才能恰好与人。平行.

【分析】先做出辅助线，再根据平行线的性质对角度进行转化，即可得到N8CE的度数.

【解答】解：如图，W-BF//AD,则：BF//CE,

：.ZABF=ZA=IIO°,

ZCBF=ZABC-ZABF=35°

AZC=180°-NC3r=145°,

即第三次拐的角为145°时，道路C七才能恰好与平行.

故答案为：145°.

【点评】此题主要考查了平行公理的推论和平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内

错角相等.

8.如图I,为响应国家新能源建设，乐清市公交站亭装上了太阳能电池板.当地某一季节

的太阳光(平行光线)与水平线最大夹角为62°,如图2,电池板A8与最大夹角时刻的

太阳光线相垂直，此时电池板CQ与水平线夹角为48°,要使需将电池板CO

逆时针旋转a度，则。为20.(0<a<90)

（图1）（图2）

【分析】求出的度数，根据平行线的判定得出NA7QO=N以，=28°,再求出答

案即可.

【解答】解:

VEF1AB,

：.AEOF=\W-900-62°=28°,

*：AB//CD,

：・NMQD=NEOF=2S°,

•••要使AB〃C7),需将电池板C。逆时针旋转a度，

Aa°=48°-28°=20°,

故答案为：20.

【点评】本题考查了平行线的判定，旋转的性质，垂直的定义等知识点，能求出NMQO

的度数是解此题的关键.

9.如图，AB±BC,AE平分N3AD交3c于点E,AE1DE,Nl+N2=90°,M、N分别

是BA,CO延长线上的点，NE4M和NEON的平分线交于点立下列结论：①AB〃CD；

②NAM+NAOC=I80°；③。石平分NAOC；④//为定值.其中结论正确的有

①⑶④.

【分析】先根据/W_L8C,AE平分NH4O交8C于点£AEA.DE,Zl+Z2=90°,N

E4M和NEDN的平分线交于点R再由平行线的性质即可得出结论.

【解答】解：TABJIBC,AE1DE,

，N1+NAEB=9O°,NOEC+N4EB=90°,

：.Z\=ZDEC,

又・・・N1+N2=9(f,

M.N

：.ZDEC+Z2=90e）,

/.ZC=90°,

/.ZB+ZC=180°,

:.AB〃CD、故①正确；

NADN=NBAD,

VZADC+ZADN=\S0Q,

.•・NB4D+N/WC=18Q°,

又,:NAEBWN8A。，

・・・NAEB+NAOCW180°,故②错误：

VZ4+Z3=90°,Z2+Zl=90°,而N3=N1,

・・・N2=N4,

・・・E。平分NAQC,故③正确；

VZl+Z2=90°,

••・/E4M+NEON=360°-90°=270°.

•・•NE4M和NEDN的平分线交于点F,

=Tx

/.ZEAF+ZEDFL270°=135°.

'：AEA.DE,

・・・N3+N4=90°,

・•・/•Q+NFO人=135°-90°=45°,

・・・/尸=180°-（N用。+NF7M）=180-45°=135°,故④正确.

故答案为：①③④

【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义.

10.一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺AOE固定不动，将含30°的三角

尺ABC绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平

行.如图3：当NC4E=15°时，BC//DE.则NCAE其余符合条件的度数为60°或105"

或135°.

B

【分析】分四种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行•计算即可得到NCAE的度数.

【解答】解：如图3,当4c〃。七时，NCAE=45°-30°=15°；

如左图，当A石〃时，/CAE=90°-30°=60°；

如中图，当(或4O〃8C)时，NC4E=45°+60°=105°；

如右图，当DE〃AC时，ZCA£=45°+90°=135°.

综上所述，旋转后两块三角板至少有一组边平行，则NCAE((TVNCAEV18()0)其

它所有可能符合条件的度数为60°或105。或135°,

故答案为：60°或105°或135°.

【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及

直角三角板的性质求解是解答此题的关键.

三.解答题

11.阅读理解，补全证明过程及推理依据.

已知：如图，点石在直线。尸上，点8在直线AC上，Z1=Z2,Z3=Z4.

求证：NA=NF.

证明：・・・/1=/2（已知）

Z2=ZDGF（对顶隹相等）

：.BD//CE（同位角相等，两直线平行）

:.Z3+ZC=180°:两直线平行，同旁内角互补）

乂・・・/3=/4（已知）

，N4+ZC=180°（等量代换）

AAC//DF（同旁内角互补，两直线平行）

・•・NA=ZF（两直线平行，内错角相等）

【分析】先证明BD//CE,得出同旁内角互补N3+NC=180°，再由已知得出N4+NC

=180°,证出AC//DF,即可得出结论.

【解答】解：,・・/1=/2（已知）

Z2=Z/）GF（对顶住相等）

；.N1=NDGF（等量代换）

：.BD//CE（同位角相等，两直线平行）

・・・N3+NC=180°〔两直线平行，同旁内角互补）

又・・，N3=N4（已知）

:.Z4+ZC=180°

・・・AC〃。尸（同旁内角互补，两直线平行）

；・NA=NF（两直线平行，内错角相等）；

故答案为：对顶角相等；BD；CE：同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同旁内

角互补；AC,DF；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等.

【点评】本题考查了平行线的判定与性质、对顶角柱等的性质;熟练掌握平行线的判定

与性质是解决问题的关键，注意两者的区别.

12.如图，AC//FE,Z14-Z3=18O°.

(1)判定/物3与N4的大小关系，并说明理由；

(2)若4c平分/的8,EFLBE于点E,Z4=78°,求/BCD的度数.

【分析】(1)由已知可证得N2=N3,根据平行线的判定得到四〃CD,根据平行线的性

质即可得到/初8=N4；

(2)根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论.

【解答】解：(1)ZFAB=Z4,

理由如下：

VAC//EF,

.•.Zl+Z2=180°,

又・・・N1+N3=18O°,

AZ2=Z3,

：.FA//CD,

：,ZFAB=Z4；

(2)TAC平分N悌从

AZMB=2Z2,

由(1)得：ZMB=Z4,

:.Z4=2Z2,

z3=Z2=jz4=1x78o=39fl

••9

■:EF工BE,AC//EF,

：.AC±BE,

；・24c8=90°,

・・.NBC7)=90°-Z3=51°.

【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键.

13.已知：直线£尸分别与直线AB,CO相交于点G,H,并且NAGE+NQ”E=180°.

(1)如图1,求证：AB//CD；

(2)如图2,点M在直线AB,CD之间，连接GM,HM,求证：/M=NAGM+NCHM；

(3)如图3,在(2)的条件下，射线G〃是/8GM的平分线，在的延长线上取点

N,连接GM若NN=NAGM,ZA/=ZN“NFGN,求NMHG的度数.

【分析】(I)根据己知条件和对顶角相等即可讦明：

(2)如图2,过点M作M/?〃可得4B〃CQ〃MR.进而可以证明；

(3)如图3,令NAG似=2a,NCHM=0,则NN=2a,ZM=2a+p,过点”作MT〃

GN,可得NM”r=NN=2a,/GHT=/FGN=2,进而可得结论.

【解答】(1)证明：如图1，'：AAGE+ADHE=\W,ZAGE=ZBGF.

图2・•・NBGF+NDHE=180°,

：.AB//CD；

(2)证明：如图2,过点M作/WA〃A3,

又•・・AB〃CD,

：,AB//CD//MR.

：./GMR=N4GM,NHMR=/CHM.

・•・4GMH=4GMR+4RMH=ZAGM+ZCHM.

(3)解：如图3,令NAGM=2a,NC〃M=0,则/N=2a,NM=2a+0,

E

B

图3,・,射线GH是NBGM的平分线,

LFGM=1(180°-z.4GM)=90°-a

••，

AZAGH=Z4GM+ZFGM=2a+90°-a=90°+a,

zAf=zJV+馥FGN

2a+”2a+鼻FGN

••9

；・NFGN=2B，

过点、H作HT〃GN,

则NMHT=NN=2a,NGHT=NFGN=2%

，NGHM=ZMHT+ZGHT=2a+2p,

NCHG=ZCHM+ZMHT+NGHT=p+2a+2p=2a+3p,

\'AB//CD,

••・N4GH+NC"G=18D°,

A900+a+2a+3B=180°,

・・・a+B=30°,

:.NGHM=2(a+p)=60°.

【点评】本题考杳了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质.

14.“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两

座可旋转探照灯.如图1所示，灯4射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B

射线从8P开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速

度是每秒2度，灯8转动的速度是每秒1度.假定主道路是平行的，即尸。〃且N

BAM：/BAN=2：1.

（1）填空：ZBAN=60°；

（2）若灯8射线先转动30秒，灯A射线才开始转匆，在灯8射线到达8Q之前，4灯

转动几秒，两灯的光束互相平行？

（3）如图2,若两灯同时转动，在灯4射线到达AN之前.若射出的光束交于点C,过

。作N4CO交PQ于点。，旦NACQ=120。，则在转动过程中，请探窕NB4C与NBCO

【分析】（1）根据NMM+NA4N=180°,ZBAM：/BAN=2