中考数学压轴题专练：函数与面积

专题30《函数与面积》

破解策略

解决函数与面积问题的常用方法有

1.割补法

当所求图形的面积没有办法直接求出时，我们采取分割或补全图形再分割的方法来表示所求图形的面积，如图:

一般步骤为：

(1)设出要求的点的坐标；

(2)通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积相加减：

(3)歹J出关于所设参数的方程求解；

<4)枪验是否每个坐标都符合题意.

2.等积变换法

利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示:

直线直线n

例如，在平面直角坐标系中经常作已知三角形一边的平行线去进行等积变换,

1

一般步骤：

（1）设出直线表达式，两条平行的直线4值相等；

（2）通过已知点的坐标，求出直线表达式；

（3）求出题中要求的点；

（4）检验是否每个坐标都符合题意.

3、铅锤法

三角形的铅垂高指无论一角形怎么放，上方顶点到下方顶点的纵向距离（不是两点之间的距离，而是指两点之间上

下距离，左右横向不用考虑）.在平面直角坐标系中经常向x轴y轴作垂线，然后利用铅锤法，如图

迎ABC

一般步骤：I

（1）设出点的坐标；j

（2）向x轴y轴作垂线对图形进行分割，利用铅锤法表示图形面积；:

（3）根据题意列方程求解；：

（4）检验是否符合题意.I

4.等比转换法:

若已知条件中的图形是相似的，可以将面积比转化为图形的线段比；若已知条件中的图形是同底或等底的，可以，

将面积比转化为图形的对应高的比；若已知条件中的图形是同高或等高的，可以将面积比转化为图形的对应底的i

比：

一般步骤：I

（1）设出点的坐标；：

（2）符图形的面积比转化为图形的线段比；|

（3）列方程，求出参数；1

（4）检验是否符合题意.：

例1如图，直线j，二'x与双曲线）,=右（女＞0）交力、8两点、,且点力的横坐标为4,

2x

（1）求攵的值

k

（2）若双曲线歹=一（左>0）

k

（3）过原点。的另一条直线/交双曲线歹=一（4>0））于P,Q两点（P点在第一象限），若由点A，B,P,Q为

x

顶点组成的四边形面枳为24,求点P的坐标.

解

（1）•・•点力横坐标为4,

把x=4代入y=-X中

得y=2,

（4,2）,

1L

•・•点A是直线y=-x与双曲线y=>0））的交点,

2x

:.女=4X2=8；

（2）解法一:如图,

。点C在双曲线上,

当y=8时，>=1,

工点。的坐标为（1,8）.

过点A.C分别做x轴、y轴的垂线,垂足为M、M得矩形。J/创:

•••S矩形〃WM=32,S△〃忆=4,S△曲=9,S△"JU4.

・・・S△］笫=5矩形GWJ/-5AONC-5ACDA-S/\（）AM=32-4-9-4=15；

3

解法二：如图，

过点C.力分别做X轴的垂线，垂足为反F,

•・•点C在双曲线y=8x上，

当y=8时，x=l,

，点。的坐标为（1,8）.

•・•点C.4都在双曲线y=8x上,

:・SRC0E=S4A0F=4,

••・5/\。",+5梯形CEFA=SXO）A+S〉AOF.

・・・SZ\C%=S梯形CEFN.

YS梯形W4=12X（2+8）X3=15,

（3）•・•反比例函数图象是关于原点。的中心对称图形,

：.0P=9Q,OA=OB,

•••四边形，仍%是平行四边形，

•••S△9=S平行四边形"倒X14=14X24=6,

设点2的横坐标为m（加＞0且加W4）,

得产（卬，8m）,

过点P.A分别做x轴的垂线，垂足为E.F,

•・•点P、力在双曲线上,

:.S4P（）E=S4A（）F=4、

若0VZ4,如图，

•••SZXRE+S梯形PEFA=S4P0A+S4A0F,

.•・S梯形PEFA=SdP0A=6.

ig

A-(2+—)-(4-加=6

2m

77/1=2,/龙=-8(舍去)，

若加＞4,如图，

TS△加"+S梯形AFEP=S^AOP^r5APOE,

.•・S梯形PEFA=S4P0A=6.

io

・•・一(2+—)-(〃L4)=6,

2m

解得幽=8,m.=-2(舍去)，

：.P(8,1).

・••点2的坐标是P(2,4)或2(8,1).

例2如图，抛物线、的对称轴为直线*=2,且与才知交于尔夕两点，且与不轴交于/!、B两点.与

y轴交千点C.其中力/(I,0),C(0,-3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点尸在抛物线上运动(点尸异于点力).当△必。面枳与△簿。面枳相等时.求点尸的坐标；

5

，地物线的解析式为y=-，+4彳-3.

(2)①令一，+4彳-3=0,解得々=1，句=3.・・8(3,0)

当点尸在x轴上方时，如图1,

过点力作直线比'的平行线交抛物线于点P,

易求直线BC的解析式为y=x-3,

・•・设直线AP的解析式为y=x+以，

•・•直线/I尸过点力(1,0),代入求得力=-1.

:.直线AP的解析式为y=x-1

y=x-1Xj=1々二2

解方程组〈2，得＜

y=-x+4”3必二0,.乃二1

・・・点耳(2,1)

当点〃在X轴下方时，如图1

设直线阳交y轴于点5(0,-1),

把直线BC向卜平移2个单位，交抛物线「点月、舄，

6

得直线舄鸟的解析式为y=X-5,

3+7173-拒

y=x-5-2-

解方程组《

y=-X2+4X-3-7+而-7-拒

~2~

3-旧-7-yft7口＞而-7+而、

综上所述，点户的坐标为：案2』），察三”了），来呼，守）

例3如图，在平面直角坐标系x勿中，抛物线y=&+灰-3（加0）与x轴交于力（-2,0）,8（4.0）两点,

与y轴交于点C.

（1）求抛物线的表达式；

（2）点〃从点力出发，在线段月8上以每秒3个单位长度的速度向点8运动，同时点。从点8出发，在线段比上

以每秒1个电位K度的速度向点。运动，其中个点到达终点时.另个点也停止运动，当△，力Q存在时，问：运

动多少秒时，△〃园的面积最大，晟大面积是多少？

（3）当△〃园的面积最大时，在〃。下方的抛物线上是否存在点A'.使8的：S△制=5：2?若存在，求点4的坐标；

若不存在，请说明理由.

解（1）因为抛物线与x轴交于力（-2,0）,B（4,0）两点，所以y=a（x+2）（才-4）=a及-2ax—3a.

所以-8a=-3,解得4=g.b=-2a=~^.所以抛物线的表达式为y=3.

（2）如图1.过点。作Q〃J_x轴于点"

1在中，OB=A,OC=3,所以％=5.sin^=-.

:5

7

在RtABQH中,BQ=t.所以。〃=制♦sin8=|/.

1I3979

所以&聊=—秋-Q〃=_(6-3t)X-t=——(/-1)'+—.

22510V)10

9

因为0W1W2,所以当£=1时，△比0的面积最大，最大面枳是之.

10

（3）方法一：等比转化法

当△月即的面积最大时，f=l,此时产是熊的中点，点尸的坐标为（1,0）,BQ=1.

如图2,因为△%C与△/次是等高三角形，所以S△怵;S△.=比：RQ=3：1.

当乂例：显刖=5:2时，S-：8的=2：1.

因为△.%?与△颂是同底三角形，所以对应高的比是2：1.

则点〃的坐标为（段,0）,

如图3,在“轴上点5的右侧取一点D.使得破4BP,

过点〃作比的平行线交抛物线于点人，过点《作仞_彳轴于点反

设点4的坐标为x=x+2）（x-4）.由把=金，得一--------=-.

I8'八f）DEBOH4

整理得x?-4x+3=0.解得X1=l,x>=3.

77is

所以点4的坐标为（1,-幺）或（3,--）.

88

方法二：铅垂法

99

由SNJs△崂=5:2,S=—,得S△饼=一.如图4.过点用作x轴的垂线交BC于点、A设点4的坐标为

A/W104

8

由于点尸在直线上，所以点尸的坐标为X,—X—3

4

所以KF=+-X•

△侬被V分割为△面和△仍尸.它们以用为底的高的和为0B=\.

o

x

所以g制,=—4x—»解得$=1,x2=3.

271S

所以点片的坐标为（1,-工）或（3,--）.

进阶训练

1.如图，抛物线y=-f+bx+c与x轴交于/I（-1,0）,B（3,0）两点，与y轴交于点。，抛物线的对称轴与

抛物线变于点尺与直线6。相交干点M连结/B.

（1）位于第一象限内的抛物线上是否存在点D.使得△比刀的面积最大？若存在，求出点〃的坐标及△应‘〃面积的

最大值；若不存在，请说明理由.

（2）抛物线上是否存在点Q,使得与珈的面积相等？著存在.求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）存在，点〃外坐标为仁,上］,S△阶取最大值卫；

U4；8

,x/.占/o八r3+A/T73—vr7^3—x/r73+vr7

（2Q）存在，点。的坐标为（2,3）,----------,-------或—,------•

2222

IJI）

【提示】（1）由题意可得y=—V+2x+3.设〃（3——+2£+3）.作力/J_x轴于点〃,

2

2>

9

从而当［=士3时，s△睑取得最大值等，此时点〃M士Is二A.

2124J

（2）易得直线园的表达式为y=—x+3.点P,V的坐标分别为（1,4）,（1,2）.直线4V与x轴交于点E（1,

0）.所以冏UKM过点产且与直线比平行的直线为y-*+5.

过点£且与回平行的直线为y=—x+1.

两直线与抛物线的交点即为满足条件的点。，所以点。为Q（2,3）,4y'三普

/3-历3+炳］

\22/

2.如图，抛物线尸二-2与7轴交于48两点（点力在点8的左侧），与y轴的负半轴交于点。，P是x

22

轴下方抛物线上的一个动点（不与点。重合）.连结/B.R.设△伤C的面积为S,

（1）求S的取值范围；

（2）若△胸的面枳S为正整数，则这样的△尸比共有个.

【答案】（1）0VSV5；（2）11个，

【提示】（1）设点尸的坐标为如图，过点〃作一轴的平行线，交点凡则可得点尸的坐

I22

标为

I2）

①当点尸在比下方的抛物线上时.

可得"=-L/+2〃J,从而S='PF・08=—(m—2)2+4,此时0VSW4；

22

②当点〃在比上方、x轴下方的抛物线.卜.时.5«x=W=b.此时0VSV5,即得解.

10

(2)点尸