浙江省绍兴市上虞区2024-2025学年高二年级上册期末考试数学试题

2024学年第一学期高二期末教学质量调测试卷数学

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.直线x+l=°的倾斜角为（）

A.0B.—C.—D.不存在

42

【答案】C

【解析】

【分析】根据直线方程得直线与大轴垂直可得解.

【详解】直线x+l=0即工二一1,是一条与x轴垂直的直线，

所以直线x+1=0的倾斜角为-.

2

故选:C

2.在三棱柱A6C'—A/。；中，M为AC；的中点，若44=〃，AC=b，A\=c,则8W可表示为

()

A.—a——b+c

22

1.

C.-ci-b+c

2

【答案】B

【解析】

【分析】由题设结合柱体结构性质、向量加减法法则即可计算求解.

【详解】由题得BM=AM—AB=AA+AM—入后=A4,+g-AB

-a+—h+c.

2

故选:B

3.已知数列2,&,2夜,W,26,,J25+1）,，・,则疯是这个数列的（）

A.第17项B.第18项C.第19项D.第20项

【答案】D

【解析】

【分析】令，2（〃+1）=屈即可计算求解.

【详解】令J2（〃+1）=/n〃=20.

故由题可得月是这个数列的第20项.

故选：D

4.定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1

的正方体ABC。-中，直线AC与BG之间的距离是（）

A.在R立CyD.i

2323

【答案】B

【解析】

【分析】在AC上任取点作MN_L8G，设BN=〃BC、,根据MN_LBG得出4

和"的关系，从而可得|MN|关于〃（或团的函数关系，再求出此函数的最小值即可.

设〃为直线AC上任意一点，过加作A/N_LBG，垂足为N,可知此时M到直线BG距离最短

设AM=44C=/IA3+44。，BN=RBC\=NAD+RM，

贝LW/V=A7V-AM=A3+BN—AM=(1-2)43+(〃一丸)AD+〃AA,,

%=AO+M,

•;MN工BG，MMBC；=。,

即［(1_加•+("_>1)4-(40+的)=0，

.•.3_/1)通2+〃祠2=0即4_丸+〃=0,

・・4=2,1,

/.JWV=(l-2x/)^-/MD+//A41,

「.阿=|(1-2〃)48—〃AO+〃啊=2〃)A8-〃A0+4AAi丁

=^(1-2/7)2+//2+//2=76/72-4/7+1+1

••・当〃=g时，|MN|取得最小值J｝二塔，

故直线AC与BC、之间的距离是且.

故选:B.

5.等差数列｛为｝中，己知K4=心21且公差〃>0,则其前〃项的和S“取得最小值时〃的值为

【答案】C

【解析】

【分析】根据等差数列下标和性质和单调性判断佝,即）的符号即可得解.

【详解】•・［闻耳。」且公差〃>0，

a-i=67,2,从而%+%2=°.

:.。9+4o=0，

<°，4()>0.

・♦・当数列｛〃“｝前〃项的和S”取得最小值时n的值为9.

故选：C.

6.已知正三棱柱4BC-AqG的底面边长为G，高为26，则该正三棱柱的外接球的体积为（）

B.4小

【答案】A

【解析】

【分析】解法I：先利用正弦定理求出正三棱柱的底面圆半径，再借助于勾股定理建立方程，求出外接球半

径即得.解法2：先判断正三棱柱的外接球球心在高线的中点，即可判断外接球半径R>6,继而得出

外接球体积范围，排除其他三项即得.

解法1：如图，设正三棱柱ABC-AqG外接球的球心为0,半径为七

记VABC和△A4G外接圆的同心分别为。I和02,其半径为r,

由正弦定理得：r=6=1.而。为aa的中点,

2sin60

所以/??=『+（石y=4,R=2,则丫=；兀2=学.

JJ

故选:A.

解法2：设正三棱柱ABC-ABC外接球的半径为七

因正三棱柱的高为2G，由对称性知其外接球球心必在高线«。2的中点，

-4/-

故R〉G,此时V=-nR3>4V37t.

3

故选:A.

r2V2

7.过双曲线工力>（））的一个焦点”作一条渐近线的垂线/，垂足为点A,垂线/与另一条

a"b"

渐近线相交于点乩若点A是线段所的中点，则双曲线的离心率是（）

R瓜B&c?D-

222

【答案】C

【解析】

【分析】根据等腰三角形的判定定理和性质，结合双曲线和渐近线的对称性、双曲线的离心率公式进行求

解即可.

【详解】设/另一个焦点为巴，

设/与y=2%垂直，垂足为点A,与y二

一交于点&

aa

因为4是线段的中点，/与y=垂直,

a

所以。b二08,因此三角形是等腰三角形，因此NAOF=NAO3,

由双曲线和渐近线的对称性可知：ZA0F=ZA0B=ZB0F},

所以有NAO/==，因此2=tanH=<=3=>，L=3n：=4ne=2.

3a3a2a2a2

8.如图所示的矩形画板ABCD中，|明=23忸C|=2"a>〃:>O).E,£G”分别是矩形四条边的中

点，点J,分别是线段8尸上的四等分点，连结E8,与G/,GK,GL,Gb的交点分别为

以Hb为x轴,以EG为y釉建立平面直角坐标系，则M,N,S、P在椭圆=1（。＞。〉0）上的点为

)

A.MB.D.P

【答案】B

【解析】

【分析】求出直线的方程，联立椭圆方程求交点/坐标，然后得直线G/的方程，令工=。求出y,对比

坐标即可得答案.

OJ

【详解】由题得£（0,"）,5（4,〃）,G（（U）,所以％="，

OJ

所以直线所的方程为y=—x-方，

a

22

记直线项与椭圆，+方=1（。＞b＞0）异于点E的交点为/（七,%），

29

二二

2

。2b

联立《得—44〃、=0,解得/=。（舍去）或与二彳

ye1

a

，入II

则坛=一，所以心/=一一，直线G/的方程为了=一一x+b,

52a2a

令x=a,得）=--—a+b=­

2a2t

易知，点K坐标为a,5,所以点/与点N重合，即点N在椭圆上.

\乙）

故选：B.

二选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项

是符合题目要求的，仝部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.

9.己知两个平面相互垂直，则下列命题正确的是()

A.一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线

B.一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线

C.一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面

D.过一个平面内任意一点在此平面内作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面

【答案】BD

【解析】

【分析】利用面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系逐项判断.

【详解】对于A：当一个平面内的一条直线平行于两个平面的交线时不满足条件，故A错误；

对于B：两个平面垂直则一个平面内的一条直线必垂直于另外一个平面内的无数条直线，故B正确；

对于C：在其中一个平面内可以找到一条直线平行于另一个平面，如与交线平行的直线即可，故C错误；

对于D：过一个平面内任意一点七此平面内作交线的垂线，由面面垂直的性质定理可知，此垂线必垂直于

另一个平面，故D正确.

故选：BD.

10.已知一个等比数列前〃项私、前2〃项和、前3〃项和分别为〃、Q、A,则下列等式不正确的是()

A.P+Q=RB.Q2=PRC.(P+Q)-R=Q2D.P2+Q2=P(Q+R)

【答案】ABC

【解析】

【分析】分9和9=1两种情况讨论，即可求解.

【详解】解：当时，P=、力乙。二扇夕),R=r)

\-q\-q\-q

当夕=1时,P=na],Q=2na1,R=3叫

I--优）勾（2-4"-武）4（1-武）

对于A,当“K1时，P+Q=N"/十』__L_Z=」__L__…工」_—IL=R

\-q\-q\-q\-q

故A错，

对干B.当g=l时，Q?=4〃％：w3〃%；=PR,故B错，

对于C当夕=1时，（P+Q）-R=〃q+2〃4-3〃4=0W4〃2Q：=。？，故C错，

对于D,当时，•「P2+Q2=/^［（］一/）2+（1一/,）2］=_^_（/”一「〃一2夕"+2）,

（i-q）（1-q）

P（Q+R）=4（1-=）产（1-+"）_/"）］=（/"一尸,2q"+2）,

1-q\-q\-q（1-^）

当夕=1时,P2+Q2=n2a；+4n2a~=P（Q+R）

则尸+Q2=P（Q+R）,故选项D正确,

故选：ABC

11.数学中有许多形状优美的曲线，曲线C：Y+y2=26W-21yl就是其中之一，其形状酷似数学符号

“8”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（）

A.曲线。与直线y=x有3个公共点；

B.x+百），的最大值为4

C.曲线C所围成的图形的面积为y-2x/3

D./+（），+3）2的最大值为11+4b.

【答案】ABD

【解析】

y=x

【分析】对于A,联立〈,，c7I，根据解的个数即可判断：对于B,作出曲线。的图形,

x-+y~=2y/3\x\-2\y\

令b=x+5,则），=-2^X+¥〃，确定该直线与AB相切时直线与）'轴的截距最大，利用直线与圆的

位置关系计算即可判断；对于C,求出一个弓形043的面，则可求出曲线。所围成的图形的面积，即可

判断：对于D,确定/+()，+3)2可表示为曲线C上的点与定点(0,-3)的距离的平方，利用两点距公

式计算即可判断.

y=x-

【详解】对于A,由1,2cmic।I，得2/=23（右—1）,

x-+y-=2y/3\x\-2\y\11

所以寸=凶（6_1）,即|x『=W（右一1）,

解得国=（）或W=6-1,所以x=0或1=石一1或X=

即曲线C与直线y=x有3个公共点，故A正确；

x2+y2-26x+2y=0,x>0,y>0

对于B,f+上2回-23=*+丁+2.+2尸0/〈0,a0

f+y2+2y/3x-2y=（）,x<0,y<0

x2+y2-2\/3x-2y=0,x>0,y<0

由图可知，AB所在圆的圆心为Z)(百，一1),半径为2,OA=26.

令。=x+j3y,则x+j3y-8=0,即)，=一理x+理力，

如图，当该直线与AB相切时，直线与轴的截距最大，

\y/3-y/3-b

由d=广，得—.—=2,解得〃=±4,即x+J5)，的最大值为4,故B正确;

疔

对rc,由选项B知，曲线C所围成的图形的面积为四个全等弓形048的面积之和,

设弓形Q44的面积为加，

4+4-121

在AAQO中，cosZADO=---------=一一,ZAOO£((),兀)，

2x2x22

2兀

所以NAOO=—,

3

1今27r47r

所以扇形AOO的面积S'=-x2'x——二——，

233

SRW='X2GX1=G,所以

所以曲线C所围成的图形的面积为4£二等-4百，故C错误；

对干D,V+(),+3尸可表示为时线C上的点(x,y)与定点(0,-3)的距离的平方,

由图可知，最大距离为定点(0,-3)到圆心。(道,-1)距离与半径之和，

即^(0-^)2+(-3+1)2+2=77+2，

所以X2+()，+3)2的最大值为("+2产=11+4疗，故D正确.

故选：ABD

【点睛】难点点睛：本题的难点是对C选项的判断，求出一个弓形Q48的面积.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

2

12.抛物线y=三的准线方程为.

【答案】y=-1.

【解析】

【分析】由抛物线标准方程直接得解.

【详解】由题抛物线标准方程为/=2＞，所以抛物线y=q"的准线方程为)，=-g.

故答案为：)'=一；.

13.已知双曲线C：二一£=1,过点作直线与双曲线。有且只有一个交点，这样的直线可以作

916

条(填“条数”).

【答案】4

【解析】

【分析】明确点与双曲线和双曲线渐近线的位置关系即可得解.

【详解】由题双曲线C:

因为点例在第四象限，在双曲线外，且不在渐近线上，

所以如图过点作与双曲线C有且只有一个交点的直线可以作出2条与双曲线右支相切的切线和2

条分别与两条渐近线平行的直线.

故答案为：4.

14.（如图甲）P-A3C。是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不算），底面

ASC。为平行四边形.现将容器以棱A笈为轴向左侧倾斜（如图乙），这时水面恰好经过COM,且£,产

分别为棱PAP3的中点，设棱锥P—A88的高为2,则图甲中，容器内的水面高度为.

甲乙

【答案】2-次

【解析】

【分析】将四棱锥补成平行六面体，利用棱柱和棱锥的体积公式逐项分析即可.

【详解】如图将四棱锥补成平行六面体，设平行四面体的体积为%

根据政夕分别为梭PAP8的中点，设棱锥高为人体积为V,

则床边形“CWQ=4sMG，而三棱柱BCG—ADE与平行六面体的高相同,

=

则^BCG-ADF.4

N

B

则丫=："总，则3V=%

根据四棱锥夕―AACD与平行六面体底和高均相同,

y

-BCG~6/BCG-ADE*

3v—VQA/S

图甲中上方的小四棱锥高为九，则(九

I=_8_=3,则4=J?

V~82

(加)4产

故图甲中的水面高度为1--Mx2=2-盯.

22

故答案为：2-冷

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.记S”为等比数列｛〃“｝的前〃顶和.已知52=-3,S3=9.

(1)求｛4｝的通项公式;

(2)求S“，并判断S同，S〃，S’.是否成等差数列.

【答案】⑴/=3,(一2广

/，

(2)S,,=l-(-2)：Sn+l,Sn,S’.成等差数列

【解析】

【分析】（1）利用等差数列的通项公式得到关于％国的方程组，解之即可得解；

（2）利用等比数列前〃项和公式求出S“，再根据等差数列的性质判断证明即可.

【小问1详解】

设数列｛为｝的首项为％,公比为夕，

因为S,=-3,S?=9,

a.+4。=-3。=-2

所以《2=9,解得|

4=3

所以勺=4夕〃7=3・（一2广【

【小问2详解】

因为4=3,…2,所以由空

=1-(-2)”，

所以骞=1—（—2）向，黑2=1-（一2广2,

所以SM+S〃+2-2S“=l-(-2j+[i-(-2r]-2[i-(-2y]

=1+2-(-2)，，+1-22-(-2)W-2+2-|-2)，，=0,

即S〃M+S〃+2=2S〃，所以Se，5„,SN成等差数列.

16.已知棱长为2的正方体ABC。-44GA中，M,N,P分别是GA，AO,CC；的中点.

（1）求证：9//平面

（2）过M,N,尸三点作正方体的截面，画出截面（保留作图痕迹），并计算截面的周长.

【答案】（1）证明见解析;

（2）V2+2V10.

【解析】

【分析】（1）求证AB//M尸即可由线面平行判定定理得证MP//平面

（2）延长用。即可作出截面图，再结合题设条件和正方体性质即可即可计算求解截面的周长.

【小问1详解】

连接MP,Z）C，48,则由中位线定理得

又由正方体性质得AA//8C且\D.=BC,

所以四边形ARCB是平行四边形，所以4出//。。，

所以AB//MP,又A/u平面MP（Z平面

所以用尸//平面AB耳4.

如图，延长MP，PM与仅的交点分别为〃,S,

则连接NS,NH即可得到过N,P三点的正方体的截面NQMPG,

由题意可知SDi=D1M=CH=CP=1,故QS=QM,GH=GP,

所以截面的周长为MP+PG+GV+NQ+QM=MP+NH+NS=0+2jiT?=e+27i5・

17.已知圆C:（x—a『+（），—方=3的圆心在直线），=61+1上.

（0）若圆C与y轴相切，求圆C的方程;

(H)当a=0时，问在y轴上是否存在两点48,使得对于圆C上的任意一点P,都有1PAi=

若有，试求出点48的坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】(I)(x-V3)2+(y-4)2=3,或卜+6『+(丫+2/=3;(11)存在两点人(0,-2\B(0,

0),或A(0,41B(0,2).

【解析】

【分析】(I)由圆与y轴相切，求出间=仃；(H)假设存在满足题意的A、B、P,设出这三个点的坐标，

然后由两点间的距离公式将几何条件|PA|=6lPB坐标化，整理后对y恒成立两边对应项系数相等，列方程

组解出yi，yz,即可求出.

【详解】(I)••咽C:(x-aY+(y-b)2=3的圆心(a,b)在直线y=J5x+l上，

，b=Jia+l，•・,圆C与y轴相切，，同二JL

a=+a=—\/3

；•<,>，

Ib=4b=-2

故所求圆C的方程(x—G『+(y—4)2=3,或(x+V5y+(y+2)2=3,

(II)Va=0,b=x/3a+l=l»

，圆的方程为X?+(y-=3,・•・x?+y2=2y+2,

假设在y轴上存在两点A(0,yJ,B(0,y2)，使得对于圆C上的任意一点P,都有|PA|=J5|PB|,设

2222

P(x,y),则由|PA|二G|PB|得x+(y-y1)=3x+(y-y2),

・•・x2+y2-2y,y+y^=3(X2+y2-2y2y+y；),

2y+2-2yy+y；=3(2y+2-2y?y+y；),

[2-2y,=3(2-2y2)

依题意此方程对y恒成立，故〈八，/c八，

2+y-=3(2+y；)

y)=-2Yi=4

解得4।八或4

丫2=2，

y2=o

故在y轴上存在两点A(0,-2)、B(0,0),或A(0,4)、B(0,2),使得对于圆C上的任意一点

p,都有|PA|=G|PB|.

[点睛】本题考杳了直线与圆的位置关系和两点间的距离公式，恒成立问题转化为对应系数相等，属中档

题.

18.如图，四棱锥夕一488的底面4BCO是正方形，侧面。八。是等边三角形，平面Q4T>_L平面ABC。,

M为尸。的中点.

（1）求证：平面PCZ）.

（2）求侧面P8C与底面A3CO所成二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵毡

7

【解析】

【分析】（1）证明AMJ.P£>,CDLAM,再根据线面垂直的判定定理即可证明；

（2）取AO,8c的中点E,尸，连接.证明NPEE是平面与平面A8CZ）所成二面角的平

面角.在！PEF中,由余弦定理即可求cosNP/芯.

【小问1详解】

在等边△24。中，因为M为。。的中点，所以

在正方形A3CO中，CDJLAD,

又因为平面QAZ>_L平面48CD,平面PAOc平面43CD=A£）,所以COJ■平面PAO，

因为AMu平面以。，所以CQ_LAM.

因为COPD=D,CD,PDu平面PCD,

所以AM_L平面PCD.

【小问2详解】

取AZ）,8C的中点连接PE,PF,EF.

则斯//CD,又正方形ABC。口，CD.LBC,所以EFJ.BC,

在等边△PAD中，因为石为A。的中点，所以尸E_ZAD.

因为平面B4O_L平面A3CO,平面R4£）c平面A8C£>=AO,

所以PEJ_平面ABCO,因为3Cu平面A8CO,所以PELBC.

因PEcEF=E，PEE/u平面PE尸，所以8C_L平面庄户,

因为所u平面产所，所以8c_!_比,

乂因为E尸,BC,所以NP正是平面P8c与平面A3s所成二面角的平面角.

设PA=a,则PE=®a,EF=a,PF=旦a,

22

73->

PF?+E/2一PE?__2出

所以cos/PF£=

2.PFEF7

2

19.如图菱形ABC。的边长为4相，ND43=60°.

（1）请建立坐标系，并求与菱形四边相切，且长轴长与短轴长的乘积取到最大值时的椭圆方程:

（2）若直线/与8C平行，且与边CQ、A8分别交于，、Q两点，与（1）中椭圆交于M、N两点,

试证明1PM=|QN|,

22

【答案】（1）—+^-=1;

186

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）以AC8。所在直线为x轴，），轴建立平面直角坐标系，求出菱形其中一条边如直线方程,

设椭圆方程为£+£=1（。＞人＞0）,联立直线方程与椭圆方程，利用直线与椭圆相切得△=（），化简再

a-b-

结合基本不等式即可求解.

（2）设