2026年黑龙江省哈尔滨九中高考数学一模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages88页2026年黑龙江省哈尔滨九中高考数学一模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=1+i2，则z⋅zA.14 B.12 C.22.已知集合A={x|x是绝对值小于3的整数}，B={1,3,5}，则A∪B的元素个数为(

)A.1 B.3 C.7 D.83.若关于x的不等式x2+mx-6<0的解集为{x|-1<x<6}，则m=(

)A.5 B.1 C.-1 D.-54.如图，圆锥PO的底面直径和高均是2，过PO的中点O'作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的体积是(

)A.53π

B.36π

5.已知定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=f(-x)，且f(2x-1)为奇函数，则一定有(

)A.f(0)=0 B.f(2)=0 C.f(3)=0 D.f(4)=06.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，焦距为2c.过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为HA.2 B.3 C.2或27.已知sin(α-π6)+cosα=1A.-79 B.79 C.-8.统计学中，常以前n个区间的平均长度估计所有区间的平均长度.某工厂生产的零件以n个为一箱，成箱出售(n∈N*).每箱中的零件按照生产顺序，从1到n连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60，则下列4个选项中，作为n的估计值，最合适的一项是A.61 B.70 C.98 D.120二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，A.q=2 B.数列{Sn}是等比数列

C.S6=126 D.10.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，其中A(0,-1)，B(π4A.ω=4

B.φ=π6

C.f(x)在区间(π2,2π3)恰有一个零点

11.已知点Q在圆F：(x-2)2+y2=1上，A(-2,0)，O为坐标原点，动点P满足：在△APFA.P的轨迹方程为：y2=8x(x≠0) B.|PQ|的最小值为2

C.|PF||PA|的最小值是22三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若向量a，b满足|a+b|=|a-b|，且|13.若直线y=kx是曲线y=12e2x的一条切线，则k=

14.下图是由七个圆和八条线段构成的图形(该图形不能旋转和翻转)，其中由同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”.若将1，2，3，4，5，6，7这七个数字分别填入这七个圆中，且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有

种.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，2c-2acosB=3b．

(1)求角A；

(2)若a=1，bc=23，c>b16.(本小题15分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)左焦点F1(-1,0)，离心率为22．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点F1且斜率为17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为CD，PA的中点．

(1)证明：EF/​/平面PBC；

(2)若平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB，AB=2，∠BAD=60°，平面PAE与平面PAB夹角的余弦值为43131，求点F到平面PBC的距离．18.(本小题17分)

已知函数f(x)=aex-1+2x-3，其中a∈R．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)(ⅰ)当a≥1时，证明：f(x)≥3lnx(x>0)；

(ⅱ)当a=1时，设0<m<1<n，且f(m)+f(n)=0.求证：f(mn)19.(本小题17分)

如图，一动点P从点A出发，在正方形ABCD的各顶点上移动.每次移动时，动点P有23的概率沿水平方向向左或右移动一次，有13的概率沿竖直方向向上或下移动一次，每次移动独立.设动点P移动了2n(n∈N*)步之后，停在点A的概率为pn．

(1)求p1，p2；

(2)求{pn}的通项公式；

(3)记点P的前2n次移动中，到达过点B的次数为X，求证：E(X)<316+n答案1.B

2.C

3.D

4.D

5.C

6.C

7.B

8.B

9.AC

10.ACD

11.AC

12.513.e

14.200

15.解：(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，

因为2c-2acosB=3b，

根据正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R得，

2sinC-2sinAcosB=3sinB，

因为C=π-(A+B)，所以sinC=sin(A+B)，

所以2sin(A+B)-2sinAcosB=3sinB，

所以2cosAsinB=3sinB，

因为B∈(0,π)，所以sinB≠0，所以cosA=32，

因为A∈(0,π)，所以A=π6；

(2)根据余弦定理得，a2=b2+c2-2bccosπ6，

将a=1，bc=23代入上式整理得，b2+c2=7，

又因为bc=23且b<c，解得b=3，c=2，

所以a2+b2=c2，所以△ABC为以AB为斜边的直角三角形，

所以斜边AB上的高为h=abc=1×32=32．

16.解：(1)因为椭圆C的左焦点F1(-1,0)，离心率为22，

所以ca=22c=117.解：(1)证明：取PB中点G，连接FG，GC，如图所示：

因为E，F，G分别为CD，PA，PB的中点，

所以FG/​/AB且FG=12AB，CE/​/AB且CE=12AB，

所以FG//CE，且FG=CE，所以四边形CEFG为平行四边形，

所以EF/​/CG，

又因为EF⊄面PBC，CG⊂面PBC，所以可以证得EF/​/面PBC；

(2)取AB中点O，连接OP，OD，BD，如图建立空间直角坐标系，

设OP=t，t>0，

P(0,0,t)，A(-1,0,0)，B(1,0,0)，E(1,3,0)，C(2,3,0)，

AP=(1,0,t),AE=(2,3,0),BC=(1,3,0)，

由题意可得面PAB的一个法向量m=(0,1,0)，

设平面PAE的法向量为n=(x,y,z)，

n⋅AE=2x+3y=0n⋅AP=x+tz=0，令x=18.解：(1)f'(x)=aex-1+2，

①当a≥0时，f'(x)≥0，f(x)在(-∞,+∞)单调递增，

②当a<0时，令f'(x0)=0，解得x0=1+ln(-2a)，

当x∈(-∞,1+ln(-2a))时，f'(x)>0，当x∈(1+ln(-2a),+∞)时，f'(x)<0，

所以f(x)在(-∞,1+ln(-2a))上单调递增，在(1+ln(-2a),+∞)上单调递减，

综上，当a≥0时，f(x)在(-∞,+∞)单调递增；

当a<0时，f(x)在(-∞,1+ln(-2a))上单调递增，

在(1+ln(-2a),+∞)上单调递减．

(2)证明：设g(x)=ex-1+2x-3-3lnx，

则g'(x)=ex-1+2-3x，

因为g'(x)在(0,+∞)上单调递增，g'(1)=0，

所以当x∈(0,1)时，g'(x)<0，g(x)单调递减；

当x∈(1,+∞)时，g'(x)>0，g(x)单调递增；

所以g(x)≥g(1)=0，当且仅当x=1时取等，

所以f(x)-3lnx=g(x)≥0，即f(x)≥3lnx，当且仅当a=1，x=1时取等；

(ⅱ)法一：由(1)已知，当a=1时，f(x)在(0,+∞)单调递增；

因为m+n>1，所以f(m+n)>f(1)=0，

由(2)可知，f(m)>3lnm,f(1m)>ln1m=-lnm，f(1m)>3ln1m=-3lnm，

所以f(m)+f(1m)>3lnm+(-3