任意角-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

作课人：廉文杰数学之王——欧拉北师大版（2019）高中数学必修第二册第一章

三角函数第2节

任意角第1课时（共1课时）学

习

目

标目

标重

点难

点1、理解正角、负角和零角的概念2、掌握象限角的特征及其表示方法.3、理解终边相同的角的概念，会表示终边相同的角的集合

1、掌握象限角的特征及其表示方法.2、理解终边相同的角的概念，会表示终边相同的角的集合

1、掌握象限角的特征及其表示方法.2、理解终边相同的角的概念，会表示终边相同的角的集合

新

知

引

入数学王子——高斯1、角是由______________________的射线组成的图形，这个公共端点叫做角的_________，这两条射线叫做角的两条______。在初中，我们学习了“角”的一些知识：两条有公共端点顶点边2、大于0°而小于90°的角叫作__________.

等于90°的角叫作__________。

大于90°且小于180°的角叫作_________。

等于180°的角叫作_________。

等于360°的角叫作_________。锐角钝角平角周角直角可见，在初中，我们学习的角的范围是____________.[0°,360°]新

知

引

入韦

达4、当时间过了2小时，分针转动了多大角?3、在运动员"转体一周半“动作中,转了多大角?显然,这些角超出了我们已有的认识范围.本节课将在已掌握的0°~360°角的范围的基础上,把角的概念加以推广,从而扩大角的范围.学

习

新

知欧几里得（约公元前300年）《几何原本》平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB，形成角α.其中点O是角α的顶点，射线OA是角α的始边、射线OB是角α的终边.角注意：1、2、新的角的概念是通过“旋转”来定义的。在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以简记成“α”.学

习

新

知阿基米德（公元前287年—公元前212年）《阿基米德全集》类型定义图示正角一条射线按_____________形成的角负角一条射线按_____________形成的角零角一条射线按_____________形成的角逆时针方向旋转顺时针方向旋转没有作任何旋转在新的“角”的定义下，角的范围扩展到任意角。典

例

引

路集合论之父——康托例1、（1）分针一小时所转过的角是________.

（2）时针走过1小时30分钟，则分针转过的角度是________.

（3）把分针拨快15分钟，则分针转过的角度为________.

（4）经过12分钟，时钟的分针所转过的角度是________.

（5）将分针拨慢5分钟，则分针转过的角是（

）A．60º B．-60º C．30º D．-30º-540º-90º-72º-360ºC同

步

练

习无冕的数学之王——希尔伯特练1、(1)顺时针拧螺丝1圈转过的角为_________

(2)将时钟拨慢2h,分针转过的角为__________.

(3)已知角α在平面直角坐标系中如图

所示，其中射线OA与y轴非负半轴

的夹角为30°，则α的值为________(4)下列说法正确的是(

)A.最大角是180° B.最大角是360°C.角不可以是负的 D.角可以任意大小-360°720°D480°新

知

引

入布

丰

为了方便研究问题，本节及以后经常把角放在一个直角坐标系中。学

习

新

知阿波罗尼奥斯（约公元前200年）

《圆锥曲线论》角的顶点与坐标原点重合、角的始边与x轴非负半轴重合时角的终边在第几象限,就把这个角叫作第几象限的角.如果角的终边在坐标轴上,就把这个角叫作象间角（轴线角）。象限角

象间角注意：1、

2、3、在角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合的前提下,才能对象限角进行定义,否则不能判断角的终边在哪一个象限,也就不能称作象限角.象间角不属于任何象限.象限角和象间角的分类标准是看角的终边的位置。典

例

引

路柯

西例2、（1）已知角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，请作出下列各角，并指出它们各是哪个象限的角？(1)420º；

（2)－510º（2）-215°是(

)A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角B同

步

练

习解析几何之父——笛卡尔练2、已知角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，请作出下列各角，并指出它们各是哪个象限的角？(1)－75º；(2)855º；(2)下列各角是第三象限角的是(

)

A.15° B.105°C.215° D.315°D新

知

引

入伯努利问题4、60°,-300°,420°的角的终边有什么关系?60°-300°420°终边相同60°=60°+_____×360°-300°=60°+_____×360°420°=60°+_____×360°0（-1）1学

习

新

知拉格朗日

一般地,给定一个角α,所有与角α终边相同的角,连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的整数倍的和.终边相同的角注意：1、2、3、角α为任意角.k∈Z这一条件必不可少.当α与β的终边相同时,α-β=k·360°(k∈Z),反之亦然.典

例

引

路牛

顿解：因为-950º12＇=129º48＇+(-3)×360º，

而129º48＇角的终边在第二象限，

所以950º12＇角是第二象限角例3、判定下列各角是第几象限角：(1)-60º;(2)945º;(3)-950º12'解：因为一60º角的终边在第四象限，

所以它是第四象限角。解：因为945º=225º+2×360º，所以945º与225º角的终边相同，

而225º角的终边在第三象限，所以945º角是第三象限角。同

步

练

习黎

曼练3、判定下列各角是第几象限角：(1)-130º(2)-940°(3)-950°08'解：由于-130º=-360º+230º,即-130º角与230º角终边相同,

而230º是第三象限角,故-130º是第三象限角.解：由于-940º=-3×360º+140º,即-940º角与140º角终边相同,

而140º是第二象限角,故-940°是第二象限角.解：因为-950°08＇=129°52＇-3×360°,即-950°08＇角与129°52＇角终边相同,而129°52＇是第二象限角,故-950°08＇是第二象限角.典

例

引

路狄利克雷例4、写出与60°角终边相同的角的集合S，并求出该集合中满足不等式－360°≤β＜720°的角β.

同

步

练

习庞加莱练4、写出与75°角终边相同的角的集合S,并把S中适合

360°≤β<1080°的元素β写出来.

学

习

新

知皮

亚

诺

终边落在x轴非负半轴上的角

终边落在x轴非正半轴上的角

终边落在y轴非负半轴上的角

终边落在y轴非正半轴上的角

终边落在x轴上的角

终边落在y轴上的角

终边落在坐标轴上的角{α|=k·360º,k∈Z}{α|=k·360º+180º,k∈Z}{α|=k·360º+90º,k∈Z}{α|=k·360º-90º,k∈Z}{α|=k·180º,k∈Z}{α|=k·180º+90º,k∈Z}{α|=k·90º,k∈Z}学

习

新

知佩雷尔曼范

围第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角k·360º＜α＜k·360º+90º,k∈Zk·360º+90º＜α＜k·360º+180º,k∈Zk·360º+180º＜α＜k·360º+270º,k∈Zk·360º+270º＜α＜k·360º+360º,k∈Z典

例

引

路华罗庚例5、(1)若α=45°+k·180°(k∈Z)，则α的终边在()A.第一或第三象限B.第二或第三象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限解：当k=2n，n∈Z时，α=45°+n·360°(n∈Z)α在终边在第一象限；

当k=2n+1,n∈Z时.a=225°+n·360°(n∈Z).α的终边在第三象限.A(2)若α是第四象限，则2α是()角

A.第一、二象限角B.第二、三象限角C.第三、四象限角D.以上都不对解：∵k·360º-90º＜α＜k·360º,k∈Z∴2k·360º-180º＜2α＜2k·360º,k∈Z

∴2α的终边在第三、四象限或者y轴的负半轴。

D同

步

练

习陈景润

D同

步

练

习洛必达

D典

例

引

路傅里叶例6、已知角α的终边在图中阴影部分所表示的范围内（不包括边界），写出角α的集合.

同

步

练

习莱布尼兹练7、已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值

范围_____解:终边在30º角的终边所在直线上的角的集合S1={α|30º+k·180º,k∈Z}，终边在105º角的终边所在直线上的角的集合S2={α|105º+k·180º,k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30º+k·180º≤α＜105º+k·180º,k∈Z}典

例

引

路贝叶斯1、终边相同的角一定相等

（

）2、终边和始边都相同的两个角一定相等（

）3、若β＝α＋k•360°(k∈Z)，则α与β终边相同（

）4、终边与始边重合的角是零角（

）5、三角形的内角是第一象限角或第二象限角

（

）6、终边在x轴非正半轴上的角是零角（

）例7、判断正误