九年级数学寒假作业01 特殊平行四边形（13大题型）（巩固培优）（原卷版）

限时练习：80min完成时间：月日天气：作业01特殊平行四边形一．菱形的性质和判定1.菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。2.菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。3.菱形的判定（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念）（2）四边相等的四边形是菱形（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形二．矩形的性质和判定1.矩形的概念：有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。2.矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。3.矩形的判定（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。（2）三个角是直角的四边形是矩形。（3）对角线相等的平行四边形是矩形。三．正方形的性质和判定1.正方形的概念：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2.正方形的性质：正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。3.正方形的判定（1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。（2）有一组邻边相等的矩形是正方形。（3）有一个角是直角的菱形是正方形。三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型题型一菱形的判定1．（2026九年级·全国·专题练习）如图，，平分，交于点，过点作，交于点，垂足为，连接，求证：四边形是菱形．2．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，在中，为边的中点，过D点分别作交于点E，交于点F．(1)证明：≌；；(2)请你给增加一个条件，使四边形成为菱形并予以证明（要求：不添加其他辅助线）3．（24-25九年级上·山东青岛·期中）已知：如图，的对角线，交于点O，分别过点A，B作，，连接交于点F．(1)求证：；(2)当满足什么条件时，四边形为菱形？请说明理由．4．如图，是由在平面内绕点B旋转而得，且，，连接．(1)求证：(2)试判断四边形的形状，并说明理由5．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，D是边的中点，M，N分别在及其延长线上，，连接．(1)求证：四边形是平行四边形．(2)当满足什么条件时，四边形是菱形？判断并说明理由．题型二菱形的性质6．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，在菱形中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于，两点，过，两点的直线交边于点，连接．则的度数为（

）A． B． C． D．7．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）如图（1），中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小宇家有一个如图（2）的菱形中国结装饰，测得分别交边、于点，，则的长为．8．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，，分别为，的中点，连接，则的长为．9．（25-26九年级上·全国·期末）如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线，的垂线段，，则等于．10．（2025·陕西渭南·一模）如图，在四边形中，，，过点A作，交的延长线于点E，连接，．(1)求证：四边形是菱形；(2)过点D作于点F，延长交于点G，若，，求的长．题型三菱形的面积计算11．（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，若，则菱形的面积等于（

）A．2 B． C． D．12．（25-26九年级上·福建宁德·期中）如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点，于点．若菱形的周长是10，面积是12．则的值是（

）A．4 B． C．6 D．13．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为．14．（25-26九年级上·江苏·期末）如图，在中，，点、分别是、的中点．将绕点旋转得．连接，．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，设四边形的面积为，求的值．15．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在中，两条对角线、交于点，且平分．(1)求证：四边形是菱形；(2)过点作于点，交于点．若，，求菱形的边长及面积．题型四矩形的判定16．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，在平行四边形中，、是对角线，点、、、在同一条直线上，且，延长线交延长线于．(1)求证：；(2)条件：①；②．请从①和②中任选其一作为条件，判断并证明四边形的形状17．（2026·新疆阿克苏·模拟预测）如图，菱形的对角线、相交于点，点是的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接．

(1)求证：；(2)试判断四边形的形状，并写出证明过程．18．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，在菱形中，，点是边的中点．点是边上一动点（不与点重合），延长交射线的延长线于点，连接．(1)求证：；(2)当点在什么位置时，四边形是矩形？请证明你的结论．19．（25-26九年级上·江西抚州·月考）如图，矩形中，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A，C同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为．(1)若G，H分别是，的中点，且，求证：以E，G，F，H为顶点的四边形始终是平行四边形．(2)在（1）的条件下，当t为何值时，以E，G，F，H为顶点的四边形是矩形？20．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，在平行四边形中，是边上一点，延长与的延长线交于点，连接．若__________，则四边形是矩形．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（把序号写在横线上）使结论成立，并说明理由．题型五矩形的性质21．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E，已知，则（

）A． B． C． D．22．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，矩形中，对角线与交于点，垂直平分，是垂足，若，则的长是（

）A．2 B．3 C． D．23．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）如图，在矩形中，，，P是上的动点，于E，于F，则的值是．24．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）如图，长方形的面积是100，为上一点，，为上一点，，则的面积是．25．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点、分别作、的平行线，相交于点．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求线段的长．题型六矩形与折叠问题26．（25-26九年级上·广东揭阳·期中）如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿折叠，点落在点处，、分别交于点、，已知．则的长为（

）A． B． C． D．27．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在矩形中，，，将沿对角线折叠，得到，交于点F，则重叠部分的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．1228．（25-26九年级上·辽宁本溪·期末）如图，矩形中，，，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当最小时，的长是．29．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在矩形中，，为上一点，将沿折叠，恰与对角线重合，点的对应点为点，再将沿折叠，点的对应点为点，且在上．(1)求证：四边形为菱形；(2)求四边形的面积．30．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，为线段的中点，延长交的延长线于点，连接，，．(1)求证：四边形是矩形；(2)在边上有一点，沿翻折，使得点的对应点落在上，用无刻度尺子和圆规作出折痕，保留作图痕迹，不写作图过程，(3)在（2）的基础上，若，连接，求的长度，直接写出答案．题型七正方形的判定31．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线相交于点．(1)求证：四边形是矩形；(2)当______时，四边形是正方形，并证明你的结论．32．（25-26九年级上·江苏·期中）如图，在Rt中，，平分，交于点；，分别是，上的点，连接．若垂直平分，求证：四边形是正方形．33．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，在中，，是边上的中线，过点作的平行线，且，连接．(1)求证：四边形是菱形；(2)当满足________时，四边形是正方形．请说明理由．34．（25-26九年级上·广东揭阳·月考）如图，点是中边上的中点，，，垂足分别为，且．(1)求证：是等腰三角形；(2)当时，判断四边形的形状并证明你的结论．35．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，在中，O是的中点，过A作的平行线，交延长线于D，点E，F分别是的中点，连接和．(1)求证：；(2)当满足什么条件时，四边形是菱形？请加以证明；(3)直接写出当满足什么条件时，四边形是正方形．题型八正方形的性质36．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且．(1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由：(2)当点是的中点时，连接，求的度数．37．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于点E，交于点F，交的延长线于点G，连接．(1)求证：四边形是正方形；(2)若，求的长．38．（24-25八年级下·山西大同·期中）如图，在中，，过点A作于点D．线段关于直线的对称线段为，线段关于直线的对称线段为，分别连接，，并延长交于点G．(1)试判断四边形的形状，并说明理由．(2)若，，求的面积．39．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，是边上的中线，以为边作，连接分别与相交于点．(1)求证：四边形为正方形；(2)若，求的长．40．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）【问题提出】（1）如图1，菱形的四个顶点、、、分别在正方形的边、、、上，其中．求证：菱形是正方形；【问题解决】（2）如图2，四边形是一个正方形的游乐场，其中，，为了进一步提高周围居民的生活质量，政府计划对其进行扩建，根据规划要求，游乐场的三个游乐项目、、分别在正方形的边、、上，游乐项目扩建在正方形外，且，．当美食城区域的面积为时，求游乐项目到入口的距离的长度．题型九正方形折叠问题41．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图，正方形的边长为3，点E、F分别在边、上，将、分别沿、折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知，则的长为（

）A． B． C． D．42．（23-24八年级下·河南洛阳·月考）如图，四边形是边长为8的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A对应点为，且，则的长是．43．（25-26九年级上·广东佛山·月考）如图，正方形中，，点E在边上，且，将沿对折至，延长交边于点G，连接、．下列结论：①点G是中点；②；③．其中正确的有．44．（25-26九年级上·福建漳州·月考）如图，在正方形纸片中，，点E在边上，且，将沿所在直线折叠，点D的对应点为点F，延长交边于点G，连接．(1)求证：；(2)求的长；(3)求证：．45．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，中，，、外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，为垂足．(1)______．(2)①求证：四边形是正方形．②若，求的面积．(3)如图（2），在中，，其高，，则的长度是______．题型十中点四边形46．（22-23八年级下·陕西安康·期末）如图，在四边形中，、是对角线，点、、、分别是、、、边的中点，连接、、、，要使四边形为菱形，则应添加一个条件是（

）A． B．C．与互相平分 D．47．（25-26九年级上·全国·期中）正方形的周长为，顺次连接正方形各边的中点，得到四边形，则四边形的面积等于．∵点、、、是正方形各边的中点，∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，∴，，，，又∵，∴，∴四边形是菱形，又∵，，，∴，∴四边形是正方形∵正方形的周长为，∴，在中，由勾股定理，得，48．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）如图，在四边形中，，点E，F，G，H分别为边的中点，连接，相交于点O，则的值为．49．（25-26九年级上·山西太原·月考）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．【概念理解】：（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是．A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【性质探究】：（2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，则：四边形的对角线的关系为；【问题解决】：（3）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．则：与的数量关系为．50．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）综合与探究定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”．概念理解：（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________．A．平行四边形

B．矩形

C．菱形

D．正方形性质探究：（2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论：①________；②________；问题解决：（3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形ACFG，连接，问有什么位置关系和数量关系？直接写出结果．拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．试探索与的数量关系，并说明理由．题型十一特殊平行四边形的动点问题51．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在矩形中，分别是边上的动点，点从出发到停止运动，点从出发到停止运动，若P，Q两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中：①存在四边形是矩形；②存在四边形是菱形；③存在四边形是矩形；④存在四边形是正方形．所有正确结论的序号是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④52．（23-24八年级下·河北衡水·月考）如图，等边三角形的边长为．动点M从点B出发，沿的方向以的速度运动，动点N从点C出发，沿方向以的速度运动，若动点M，N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点也停止运动，当点A，M，N以及的边上一点D构成的四边形为平行四边形时，t的值为（

）A．2或3 B．2或4 C．1或3 D．1或253．（23-24九年级上·江西景德镇·期中）如图，在矩形中，，点P从点A向点D以的速度运动，点Q以的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D时，两点同时停止运动，这段时间内，若以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形，那么运动时间为．54．（25-26九年级上·河北保定·月考）如图，在四边形中，，，，，，点P从A点出发，以的速度向D运动，点Q从C点同时出发，以的速度向B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．(1)从运动开始，两点运动多长时间时，？(2)从运动开始，是否存在某个时间，使得四边形恰好为正方形？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．55．（23-24八年级下·全国·期中）已知：如图，在直角梯形中，，动点P从A点开始沿边向D以1cm/秒的速度运动，动点Q从C点开始沿边向B以3cm/秒的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(1)t为何值时，四边形是平行四边形？(2)t为何值时，四边形是等腰梯形？题型十二四边形中的线段最值问题56．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）如图，菱形中，，，E、F分别是、上的动点，且，则的最小值为（

）A．4 B． C． D．57．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，正方形的边长为12，点E在AB上，且，点F是上一动点，则的最小值是（

）A．15 B． C． D．1258．（23-24八年级下·湖北十堰·期中）如图，正方形的边长为12，点E、F分别为、上动点（E、F均不与端点重合），且，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（

），A．12 B．13 C． D．59．（2026九年级·全国·专题练习）如图，在四边形中，，点在上，且，则的最小值为．60．（23-24八年级下·湖北咸宁·期中）如图，在中，，，，点为上一个动点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点．(1)若，求的长；(2)当长为何值时，平行四边形是菱形？为什么？(3)在点P的运动过程中，线段的长度是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由．题型十三四边形其他综合问题61．（24-25八年级下·广西防城港·期末）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．【问题探究】如图1，已知四边形是垂美四边形，，垂足为O．（1）发现：由勾股定理得________，________；（2）猜想并证明：________；（填“”或“”或“”）【学以致用】如图2，在中，，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，，与相交于点O．（3）求证：；（4）①判断四边形是不是垂美四边形？请说明理由；②若，，直接写出的长．62．（24-25八年级下·广西贵港·期中）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如：在如图1中，四边形的对角线与互相垂直，故四边形叫做垂美四边形．(1)概念理解：如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？说明理由．(2)性质探究：垂美四边形的两组对边的平方和相等．已知：如图1，与是垂美四边形的两组对边．求证：；(3)解决问题：如图3，在中，，分别以的斜边和直角边为边向外作等腰和等腰，使得，连接．若，则的值为_______．63．（24-25九年级下·河南郑州·月考）定义：在凸四边形中，如果只有一组对角相等，我们把这类四边形叫作“奋进四边形”．(1)操作判断：用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是“奋进四边形”的有______（填序号）；(2)性质探究：①如图2，四边形是“奋进四边形”，，，，则的度数为______，的度数为______；②如图3，四边形是“奋进四边形”，，，求证：；(3)四边形是“奋进四边形”，，，，，请直接写出对角线的长．64．（22-23八年级下·四川广安·期末）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（如图1）(1)概念理解：在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定是垂美四边形的是_____；(2)性质证明：如图1，四边形是垂美四边形，求证：；(3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求的长．65．（23-24九年级下·江苏常州·期末）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．（1）概念理解如图1，在四边形中，添加一个条件使得四边形是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件______．（2）问题探究如图2，已知，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接．①四边形______（填“是”或“不是”）等邻边四边形；②求线段的长度．（3）拓展应用如图3，在等邻边四边形中，和为四边形的对角线，为等边三角形，试探究和的数量关系，并说明理由．1．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，，于点，于点，为的中点，为的中点，则的长为（

）．A． B． C． D．2．（25-26九年级上·内蒙古·期末）如图，E是正方形内一点，将绕点B顺时针旋转与重合，若，则EF长为（

）A．2 B． C． D．3．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，则的长为（

）A．7 B．7.5 C．8 D．94．（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，，则正方形的边长为（

）A．4 B． C．6 D．5．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，在边长为5的正方形中，将绕点A顺时针旋转得到，点E在的延长线上，点F在线段上，作平分交延长线于点M．若，则的长度为（）A． B． C． D．6．（25-26九年级上·山西太原·月考）如图所示，在菱形中，，，对角线交于点O．过点D作，交的延长线于点E，则线段的长为（

）A． B．1 C． D．7．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，四边形是正方形，，P是正方形对角线上一点，，，E、F分别为垂足，若，则的长为（

）A．1 B．2 C． D．38．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，将一矩形纸片折叠，使两个顶点，重合，折痕为．若，，则的面积为．9．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期末）如图，在矩形中，点在边上，点是的中点，，，，则的长为．10．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期末）如图，点E、F分别在正方形的边、上，，已知，，则．11．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，正方形的边长为6，连接，点，在上，以为一边作正方形，点，分别在边，上，则正方形的周长为．12．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在矩形中，点，分别在边，上，且，连接，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)连接，若平分，，，，则的长为______．13．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在中，，为边上的中线，点为的中点，连接，将线段绕着点顺时针旋转到，连接，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求的长．14．（25-26九年级上·全国·期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务：定义：如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为等对四边形．等对四边形对边中点的连线，称为等对中位线．性质：等对四边形的两条等对中位线互相垂直平分．已知：如图①，四边形中，对角线，，，，分别是，，，的中点，连接，．求证：，互相垂直平分．部分证明过程如下：证明：如图，顺次连接，，，四点，任务：(1)下列图形，是等对四边形的有只填序号；①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形(2)请按照上面的证明思路