2024-2025学年广东深圳龙华区高一(上)期末数学试题含答案

2024-2025学年广东省深圳市龙华区高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。15分）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|x2+x﹣2＜0}，则A∩B=()25分）已知命题p：所有的素数都是奇数；命题q：存在一个素数不是奇数．则()A．p和q都是真命题B.￢p和￢q都是真命题C.￢p和q都是真命题D．p和￢q都是真命题35分）设函数f（x）是定义在R上的周期为4的偶函数，当x∈[﹣2，0]时，f（xx+1，则f（5）=A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞a＞cD．c＞b＞a55分）已知tanα=﹣2，则cos2α=()65分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v=k⋅log3，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数．当鲑鱼的游速v＝0.5m/s时，鲑鱼的耗氧量的单位数为300，若鲑鱼的游速v＝1m/s，则鲑鱼的耗氧量的单位数为()A．600B．700C．800D．900函数f在上的图象大致为()85分）已知函数=tan−sinx，则在下列区间中，函数f（x）一定有零点的是()A．[0，]B．[，]C．[，]D．[，π]二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）96分）已知a＞b＞0，c＞0，则()（多选）106分）下列关于函数的说法正确的是()A．f（x）的图象关于原点对称B．f（x）是增函数C．f（|x|）的最大值是D．若0＜a＜则方程f|（x）|＝a有四个不等实数根（多选）116分）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发，P的角速度大小为1rad/s，起点为（1，0Q的角速度大小为3rad/s，起点为，则当P与Q重合时，P的坐标可能为()三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。已知a＞0，b＞0，且=1，则a+b的最小值为.135分）一个扇形的弧长与面积的数值都是4，这个扇形圆心角的弧度数是.145分）已知函数−3，x≤1，在R上单调递增，则实数a的取值范围四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。计算：−π0+（2）已知x•log35＝1，求5x+5﹣x的值；（3）已知角θ的终边过点，求sin的值.1615分）已知函数f(x)=cos+3sin.（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，2π]上的最大值和最小值，以及取得最大、最小值时x的值.1715分）近年来，我国自主研发芯片的市场需求增长迅速．某公司自2020年起，每年统计其芯片的年销售数量．将2020年记为第0年，统计数据如表所示：年份2020202120222023202401234年销售数量（Q）/万片225337.5506.25（1）在平面直角坐标系中，以t为横轴，Q为纵轴，根据表格中的数据画出散点图；（2）为了描述年销售数量Q与时间t的关系，现有以下三种数学模型供选择：①Q＝at+b②Q＝kat③Q＝klogat+b（i）根据数据特点，选出最合适的函数模型，说明理由，并求出相应的函数解析式；（ii）根据（i）中所选模型，预测该公司芯片的年销售数量在哪一年会首次超过2000万片参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）1817分）已知函数为奇函数.（1）求实数a的值；（2）判断f（x）的单调性，并证明你的结论；（3）若对任意的x∈R，不等式f（mx2）+f（3﹣2mx0恒成立，求实数m的取值范围.1917分）定义域为集合A的函数f（x若存在t∈A，使关于x的方程f（x+tf（x）+f（t）有解，则不妨称f（x）在“t处”可拆，且称方程的解为f（x）的“t可拆点”.（1）若f（x）＝2x，求f（x）的“1可拆点”；（2）证明：对任意m＞﹣1，g（x）＝ln（x+m）在“2处”可拆；（3）是否同时存在实数a和正整数n，使得函数h（x）＝cos2x﹣a在[0，nπ]上恰有5个“可拆点”？若存在，请求出所有符合条件的a和n；若不存在，请说明理由.2024-2025学年广东省深圳市龙华区高一（上）期末数学试卷一．选择题（共8小题）题号12345678答案ACBABDCD二．多选题（共3小题）题号9答案ABDACDAC一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。15分）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|x2+x﹣2＜0}，则A∩B=()【分析】利用交集定义、不等式性质求解.【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1}，解一元二次不等式x2+x﹣2＜0，得﹣2＜x＜1，∴B＝{x|x2+x﹣2＜0}＝{x|﹣2＜x＜1}，∴由交集定义得A∩B＝{﹣1，0}.故选：A.【点评】本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.25分）已知命题p：所有的素数都是奇数；命题q：存在一个素数不是奇数．则()A．p和q都是真命题B.￢p和￢q都是真命题C.￢p和q都是真命题D．p和￢q都是真命题【分析】利用2为素数且为偶数分别判断命题p，q即可求解.【解答】解：命题p：因为2是素数，但是2为偶数，故命题p为假命题，￢p为真命题；命题q：因为2是素数，且2为偶数，所以命题q为真命题，￢q为假命题；故选项C正确，选项A，B，D错误.故选：C.【点评】本题考查了命题的真假判断，涉及到素数的定义，属于基础题.35分）设函数f（x）是定义在R上的周期为4的偶函数，当x∈[﹣2，0]时，f（xx+1，则f（5）=【分析】根据函数的性质，化归转化，即可求解.【解答】解：根据题意可得f（5f（4+1f（1f(﹣10.故选：B.【点评】本题考查函数的性质，属基础题.A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞a＞cD．c＞b＞a【分析】根据指数函数的单调性和值域可得出：a＞1，0＜b＜1，然后根据对数函数的单调性可得出c<0，最后得解.【解答】解：∵1.10.5＞1.10＝1，0＜0.51.1＜0.50＝1，log0.51.1＜log0.51＝0，∴a＞b＞c.故选：A.【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，是基础题.55分）已知tanα=﹣2，则cos2α=()【分析】直接利用倍角公式及同角三角函数的基本关系式化弦为切求解.【解答】解：由tanα=﹣2，故选：B.【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题.65分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v=k⋅log3，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数．当鲑鱼的游速v＝0.5m/s时，鲑鱼的耗氧量的单位数为300，若鲑鱼的游速v＝1m/s，则鲑鱼的耗氧量的单位数为()A．600B．700C．800D．900【分析】由已知结合对数的运算即可求解.解：因为v=k⋅log3当鲑鱼的游速v＝0.5m/s时，鲑鱼的耗氧量的单位数为300，则0.5＝k•log33＝k，若鲑鱼的游速v＝1m/s，则1=log3鲑鱼的耗氧量的单位数Q＝900.故选：D.【点评】本题主要考查了对数的运算，属于基础题.函数f在上的图象大致为()B.D.【分析】由函数的奇偶性的判断及函数在（0，1）上的正负和函数的单调性快慢，可得答案.解：函数f在上的定义域关于原点对称，所以函数为奇函数，排除A，且x∈（0，1）时，f（x0，x∈（1，8]，可得f（x0，排除D，当y＝ex+e﹣x单调递增的幅度比y＝3（x3﹣x）的快，所以C符合，B不符合.故选：C.【点评】本题考查数形结合的思想及奇偶性的判断，属于基础题.85分）已知函数=tan−sinx，则在下列区间中，函数f（x）一定有零点的是()【分析】由题意可得=sinx，作出y=tan与y＝sinx的图象，结合图象求解即可.解：令f=tan−sinx=0，则有=sinx，在同一坐标系中作出y=tan与y＝sinx的图象，如图所示：所以＜sin所以函数在π]内存在零点.故选：D.【点评】本题考查了函数的零点、三角函数的性质，考查了转化思想及数形结合思想，属于中档题.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）96分）已知a＞b＞0，c＞0，则()【分析】结合不等式性质检验选项A；结合幂函数单调性检验选项B；结合指数函数单调性检验选项C；结合不等式性质检验选项D.【解答】解：当a＞b＞0，c＞0时，ac＞bc成立，A正确；因为幂函数y＝xc在（0，+∞)上单调递增，所以ac＞bc，B正确；当0＜c＜1时，ca＜cb，C错误；因为a（b+cb（a+ca﹣b）c＞0，所以a（b+cb（a+c0，所以，D正确.故选：ABD.【点评】本题主要考查了不等式性质，函数单调性在不等式大小比较中的应用，属于基础题.（多选）106分）下列关于函数的说法正确的是()A．f（x）的图象关于原点对称B．f（x）是增函数C．f（|x|）的最大值是D．若0＜a＜则方程f|（x）|＝a有四个不等实数根【分析】则奇函数的定义判断A；结合对勾函数及反比例函数的性质，判断B；利用基本不等式判断C；作出函数y＝f|（x）|的图象，结合图象判断D.解：对于A，因为fx≠0，所以所以函数是R上的奇函数，所以f（x）的图象关于原点对称，故A正确；对于B，当x≠0时，f由对勾函数的性质可知，y＝x+在（0，1）上单调递减，在[1，+∞)上单调递增，所以在上单调递增，在[1，+∞)上单调递减，又因为y＝f（x）为奇函数，所以y＝f（x）在（0，1）和(﹣1，0）上单调递增，在[1，+∞)和(﹣∞,﹣1]上单调递减，故B错对于C，当x＝0时，f（|x|）＝f（0）＝0，当x≠0时，当且仅当|x|=，即x＝1或x=﹣1时，等号成立，故C正确；对于D，作出函数y＝f|（x）|的图象，如图所示：所以当0＜a＜时，方程有四个不等实数根，故D正确.故选：ACD.【点评】本题考查了判断函数的奇偶性、对勾函数、复合函数的单调性，考查了转化思想及数形结合思想，属于中档题.（多选）116分）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发，P的角速度大小为1rad/s，起点为（1，0Q的角速度大小为3rad/s，起点为，则当P与Q重合时，P的坐标可能为()【分析】根据题意，设经过ts后，Q与P重合，坐标均为（cost，sint依题意，得3t−=t+2kπ解之可得答案.【解答】解：设经过ts后，Q与P重合，坐标均为（cost，sint当k为偶数时，重合点的坐标为，A正确；当k为奇数时，重合点的坐标为，C正确.故选：AC.【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了运算能力，属于中档题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。已知a＞0，b＞0，且=1，则a+b的最小值为4+23.【分析】由已知结合基本不等式即可求解.解：a＞0，b＞0，且则a+ba+b+4++≥4+2=4+23，当且仅当b时取等号.故答案为：4+23.【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题.135分）一个扇形的弧长与面积的数值都是4，这个扇形圆心角的弧度数是2.【分析】设这个扇形圆心角为θ,半径等于r，由题意得θr2＝4，解方程求出θ值.【解答】解：设这个扇形圆心角为θ,半径等于r，由题意得θr2＝4，故答案为：2.【点评】本题考查扇形的弧长公式、面积公式的应用，属于容易题.2].【分析】根据题意，分a=2和a≠2两种情况讨论，分析a的取值范围，综合可得答案.【解答】解：根据题意，函数f−3，x≤1，在R上单调递增，当a=2时易得f在R上为增函数，符合题意，故答案为：[2，2].【点评】本题考查函数单调性的判断，涉及分段函数的解析式，属于基础题.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。计算：−π0+（2）已知x•log35＝1，求5x+5﹣x的值；（3）已知角θ的终边过点P（43求sin(−θ)cos(θ+π)的值.【分析】（1）利用有理数指数幂及根式化简运算求值即可；（2）利用对数的运算性质化简求值即可；（3）利用任意角的三角函数的定义及诱导公式化简求值即可.【解答】解1(38)3−π0+−64=(2)2−1+(（3）∵角θ的终边过点P（43∴sin(−θ)cos(θ+π)=−cosθ•(﹣cosθ)=cos2θ==.【点评】本题考查有理数指数幂及根式化简运算求值、诱导公式化简求值及任意角的三角函数的定义的应用，为基础题.1615分）已知函数f(x)=cos+3sin.（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，2π]上的最大值和最小值，以及取得最大、最小值时x的值.【分析】（1）结合三角函数的恒等变换，对f（x）化简，再结合周期公式，即可求解；（2）结合三角函数的有界性，即可求解.【解答】解1）函数f(x)=cos+3sin=2sin(+)，故f（x）的最小正周期T==4π;2（2）x∈[0，2π]，当+=，即x=时，f（x）取到最大值2，当+=，即x＝2π时，f（x）取到最小值﹣1.【点评】本题主要考查三角函数的最值，属于基础题.1715分）近年来，我国自主研发芯片的市场需求增长迅速．某公司自2020年起，每年统计其芯片的年销售数量．将2020年记为第0年，统计数据如表所示：年份2020202120222023202401234年销售数量（Q）/万片225337.5506.25（1）在平面直角坐标系中，以t为横轴，Q为纵轴，根据表格中的数据画出散点图；（2）为了描述年销售数量Q与时间t的关系，现有以下三种数学模型供选择：①Q＝at+b③Q＝klogat+b（i）根据数据特点，选出最合适的函数模型，说明理由，并求出相应的函数解析式；（ii）根据（i）中所选模型，预测该公司芯片的年销售数量在哪一年会首次超过2000万片参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）【分析】（1）根据表格数据描点作图即可；（2i）根据表格数据增长特点选择指数模型；（ii）解不等式100•1.5t＞2000，得出t的值.（2i）选择模型②,理由如下：根据表格数据，下一年比上一年增长约50%，再结合函数图像，符合指数增长模型；将点（0，1001，150）代入模型②Q＝kat，有a，解得0，故Q＝100•1.5t.（ii）解不等式100•1.5t＞2000，取t＝8（因t为整数对应年份为2020+8＝2028.验证：t＝7时，Q＝100•1.57≈1708.59万片（未超过t＝8时，Q≈2562.89万片（超过）.故该公司芯片的年销售数量在2028年会首次超过2000万片.【点评】本题考查函数模型的实际应用，属于中档题.1817分）已知函数为奇函数.（1）求实数a的值；（2）判断f（x）的单调性，并证明你的结论；（3）若对任意的x∈R，不等式f（mx2）+f（3﹣2mx0恒成立，求实数m的取值范围.【分析】（1）由题意f（x）＝a−是定义域为R的奇函数，则f（0）＝0，求出a的值，再进一步验证；（2）利用增函数定义和指数幂的运算规则，即可证得f（x）为增函数；（3）利用题给条件列出关于m的不等式，利用二次函数的性质即可求得m的取值范围.【解答】解1）由题意是定义域为R的奇函数，）＝故满足题意；（2）f（x）是R上的增函数，证明如下：设∀x1，x2∈R且x1＜x2，由x1＜x2，2＞1可得，0＜2x1＜2x2，则2x1