2024-2025学年广东深圳盐田高级中学高一(上)期末数学试题含答案

2024-2025学年广东省深圳市盐田高级中学高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.15分）已知集合，B={X∈R|，则A∩B=25分）对于实数a，b，c，下列命题正确的是()A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＞b，则a|a|＞b|b|D．若a＞b＞c＞0，则35分）下列函数，在其定义域内既满足f(﹣x）=﹣f（x）又满足＞0的是A．f（x）＝3xB．f（x）＝log3xC．D．f（x）＝x345分）已知asin1）0.1，b＝3sin1，c＝log2（sin1则a，b，c的大小关系为()A．c＜a＜bB．a＜b＜cC．c＜b＜aD．b＜a＜c55分）下列结论中错误的是()A．终边经过点（m，mm＞0）的角的集合是{α|α=+2kπ,k∈Z}B．扇形的圆心角为0.5弧度，周长为15，则它的面积为9C．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是D．若α是第三象限角，则是第二象限角65分）已知正实数a、b满足a+b＝2，则最小值为()75分）若函数f（xax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上为减函数，则函数y＝loga（|x|﹣1）的图象可以B.D.85分）已知函数f（xln（x2﹣ax﹣a﹣1下列说法正确的有()A．存在实数a，使f（x）的定义域为RB．若函数f（x）在区间（2，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(﹣∞,1）C．对任意正实数a，f（x）的值域为RD．函数f（x）一定有最小值二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分值.（多选）96分）下列说法正确的是()A．命题“∃x0∈R，x+3x0+2≤0”的否定是“∀x∈R，x2+3x+2＞0”B．a＜4是a＜3的必要不充分条件C．函数f(x)=lg3(x2+2x−3)的单调递减区间为(﹣∞,﹣1）D．函数f（x）＝ax﹣1﹣2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（1，﹣1）（多选）106分）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为S1，其圆心角为θ,圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论扇形的半径R＝3，则S1＝2πD．若扇面为“美观扇面”，半径R＝20，则扇形面积为200(3−5)π（多选）116分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，如[3.2]＝3，[﹣1.6]=﹣2．若f（xx﹣[x]，g(x)=，则下列说法正确的是()A．函数f（x）的值域为[0，1）B．f（x+1f（x1C．当2024≤x＜2025时，gD．函数g在上单调递减三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.计算：1−lg32⋅lg49⋅lg274=.已知sinθ+cosθ=，则sinθ﹣cosθ的值为.145分）设函数若关于x的函数g（x[f（x）]2a+2）f（x）+a+1恰好有五个零点，则实数a的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．设全集U＝R，已知集合集合B＝{x|x2+3x﹣10＜0}，（1）求A∩B和∁U（A∪B（2）若C＝{x|a≤x≤2a+2}且A∩C＝C，求实数a的取值范围.16．已知角α以x轴的非负半轴为始边，点P（43m）在角α的终边上，且sinα=（1）求m及tanα的值；求的值.17．已知幂函数f（x）＝（m2+m﹣5）•xm（m∈R）是定义在R上的偶函数.（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[，81]时，求函数g（xf（log3x2log3[f（x）]+2的最值，并求对应的自变量x的值.18．已知函数f（x）＝ax2﹣（a+1）x+1（a∈R）.（1）若f（x）在区间(﹣∞,1]上单调递减，求a的取值范围.（2）求关于x的不等式f（x0的解集.19．已知偶函数f（x）和奇函数g（x）的定义域均为R，且f（x）﹣g（x）＝21﹣x.（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；（2）若∀x∈R，不等式mf（x）≤[g（x）]2+2m+4恒成立，求实数m的取值范围；（3）若ℎ(x)=[]2+[]2−2mg(x)，且h（x）在[1，+∞)上的最小值为﹣2，求m的值.2024-2025学年广东省深圳市盐田高级中学高一（上）期末数学试卷一．选择题（共8小题）题号12345678答案BCDADDDC二．多选题（共3小题）题号9答案ABDACDAC一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.15分）已知集合，B={x∈R|，则A∩B=【分析】先通过解不等式得到集合A，B，再进行集合的交集运算求解即可.【解答】解：由题意可知，B＝{x|﹣2≤x＜1}，A＝{﹣21，0，1，2}，∴A∩B＝{﹣21，0}.故选：B.【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题.25分）对于实数a，b，c，下列命题正确的是()A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＞b，则a|a|＞b|b|D．若a＞b＞c＞0，则【分析】ABD选项，由做差法可判断大小；C选项，分a＞b＞0，a＞0＞b，0＞a＞b三种情况讨论即可判断大小.【解答】A选项，ac2﹣bc2a﹣b）c2≥0，故A错误；B选项，a2﹣b2a﹣ba+b因不清楚a+b的正负情况，故B错误；C选项，当a＞b＞0时，a|a|﹣b|b|＝a2﹣b2a﹣ba+b0；当a＞0＞b时，a|a|﹣b|b|＝a2+b2＞0，当0＞a＞b时，a|a|﹣b|b|=﹣a2+b2b﹣aa+b0，综上a|a|＞b|b|，故C正确；D选项0，故D错误.故选：C.【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题.35分）下列函数，在其定义域内既满足f(﹣x）=﹣f（x）又满足＞0的是A．f（x）＝3xB．f（x）＝log3xC．D．f（x）＝x3【分析】由题意，符合条件的函数是奇函数且在定义域上单调递增，逐项判断可得结论.【解答】解：函数f（x）在其定义域内既满足f(﹣x）=﹣f（x又满足故f（x）是奇函数且在定义域上单调递增，由基本初等函数的性质可知，函数f（x）＝3x不是奇函数，故A错误；函数f（x）＝log3x不是奇函数，故B错误；函数为奇函数，但函数在上不是单调函数，故C错误；函数f（x）＝x3是奇函数，且在R上单调递增，故D正确.故选：D.【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于基础题.45分）已知asin1）0.1，b＝3sin1，c＝log2（sin1则a，b，c的大小关系为()A．c＜a＜bB．a＜b＜cC．c＜b＜aD．b＜a＜c【分析】结合指数及对数函数的单调性判断a，b，c的范围，即可比较a，b，c的大小.【解答】解：因为asin1）0.1∈（0，1b＝3sin1＞1，c＝log2（sin10，故选：A.【点评】本题主要考查了指数及对数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题.55分）下列结论中错误的是()A．终边经过点（m，mm＞0）的角的集合是{α|α=+2kπ,k∈Z}B．扇形的圆心角为0.5弧度，周长为15，则它的面积为9C．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是D．若α是第三象限角，则是第二象限角【分析】根据弧度制的定义、任意角的概念及扇形弧长与面积的公式可判断各选项.【解答】解：A：终边经过点（m，mm＞0）的角的集合是{α|α=+2kπ,k∈Z}，A正确；B：设扇形的半径为r，弧长为l，由题可得：l＝0.5r，周长为l+2r＝2.5r＝15，解得r＝6，l＝3，可得扇形面积s=lr=9，B正确；C：将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是×2π=，C正确；D：当α是第三象限角时，可得π+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z，则+kπ<<π+kπ,k∈Z，即是第二或第四象限角，D错误.故选：D.【点评】本题主要考查三角函数的相关性质，考查计算能力，属于基础题.65分）已知正实数a、b满足a+b＝2，则+最小值为()【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.【解答】解：因为正实数a、b满足a+b＝2，所以a+b+1＝3，则+=（+a+b+1）=（5++）≥(5+2)=3，b+14aab+1b+14aab+1故选：D.【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题.75分）若函数f（xax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上为减函数，则函数y＝loga（|x|﹣1）的图象可以B.D.【分析】由函数f（x）＝ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上为减函数，由此求得a的范围，结合y＝loga（|x|﹣1）的解析式．再根据对数函数的图象特征，得出结论.【解答】解：由函数f（x）＝ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上为减函数，故0＜a＜1．函数y＝loga（|x|﹣1）是偶函数，定义域为x＞1或x<﹣1，函数y＝loga（|x|﹣1）的图象，x＞1时是把函数y＝logax的图象向右平移1个单位得到的，故选：D.【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，对数函数的图象特征，函数图象的平移规律，属于中档题.85分）已知函数f（xln（x2﹣ax﹣a﹣1下列说法正确的有()A．存在实数a，使f（x）的定义域为RB．若函数f（x）在区间（2，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(﹣∞,1）C．对任意正实数a，f（x）的值域为RD．函数f（x）一定有最小值【分析】根据函数f（x）定义域为R得x2﹣ax﹣a﹣1＞0对xeR恒成立，利用判别式法求解判断A；结合对数函数的单调性和复合函数单调性的法则得，y＝x2﹣ax﹣a﹣1在区间（2，+∞)上单调递增且x2﹣ax﹣a﹣1＞0在区间（2，+∞)上恒成立，列不等式组求解判断B.根据函数f（x）值域为R求出aeR，判断C、D.【解答】解：对于选项A，函数f（x）＝ln（x2﹣ax﹣a﹣1）的定义域为R时，x2﹣ax﹣a﹣1＞0对xeR恒成立.所以Δ=a2+4a+4a+2）2＜0，无解，所以A选项不正确；对于选项B，因为y＝lnt是增函数，函数f（x）在区间（2，+∞)上单调递增，则y＝x2﹣ax﹣a﹣1在区间（2，+∞)上单调递增且x2﹣ax﹣a﹣1＞0在（2，+∞)上恒成立，所以22a−a−1≥0，解得a≤1，所以B选项不正确.对于选项C，要使f（x）＝ln（x2﹣ax﹣a﹣1）的值域为R，所以函数y＝x2﹣ax﹣a﹣1的值域M满足（0，+∞)⊆M，所以Δ=a2+4a+4a+2）2≥0，解得a∈R，故对任意正实数a，f（x）的值域为R，所以C选项正确.对于选项D，由C可知a＞0时，f（x）的值域为R，不存在最小值，所以D选项错误.故选：C.【点评】本题考查复合函数的单调性的应用，在研究复合函数单调性时，根据内外层函数的单调性规律，结合函数定义域等条件进行分析．是中档题.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分值.（多选）96分）下列说法正确的是()A．命题“∃x0∈R，x+3x0+2≤0”的否定是“∀x∈R，x2+3x+2＞0”B．a＜4是a＜3的必要不充分条件C．函数f(x)=log3(x2+2x−3)的单调递减区间为(﹣∞,﹣1）D．函数f（x）＝ax﹣1﹣2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（1，﹣1）【分析】对于A根据命题的否定形式即可得；对于B由充分条件和必要条件的定义即可判断；对C根据复合函数的单调性即可判断；对于D根据指数函数图象性质可判断.【解答】解：对于选项A：∃x0∈R，x+3x0+2≤0的否定是∀x∈R，x2+3x+2＞0，故A选项正确；对于选项B：∵a＜4不能推a＜3，a＜3⇒a＜4，∴a＜4是a＜3的必要不充分条件；故B选项正确；对于选项C：令t＝x2+2x﹣3＞0，解得x＞1或x<﹣3，y＝log3t在（0，+∞)单调递增，易知当x∈(﹣根据复合函数的单调性有函数f(x)=log3(x2+2x−3)的单调递减区间为(﹣∞,﹣3故C选项错误；对于选项D：函数f（xax﹣1﹣2（a＞0且a≠1令x﹣1＝0，则y＝a0﹣2＝1﹣2=﹣1，∴定点为（1，﹣1f（xax﹣1﹣2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（11故D选项正确.故选：ABD.【点评】本题考查复合函数的单调性的应用，命题的否定等基本知识，是中档题.（多选）106分）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为S1，其圆心角为θ,圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是()扇形的半径R＝3，则S1＝2πD．若扇面为“美观扇面”，半径R＝20，则扇形面积为200(3−5)π【分析】首先确定S1，S2所在扇形的圆心角，结合扇形面积公式可确定A正确；由可求得θ,代入扇形面积公式可知B错误；由即可求得θ,知C正确；由扇形面积公式可直接判断出D正确.【解答】解：对于A，∵S1与S2所在扇形的圆心角分别为θ,2π﹣θ,对于即，故选：ACD.【点评】本题主要考查扇形的面积公式，考查运算求解能力，属于中档题.（多选）116分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，如=﹣2．若f则下列说法正确的是()A．函数f（x）的值域为[0，1）B．f（x+1）﹣f（x）＝1C．当2024≤x＜2025时，gD．函数g（x）在[2，+∞)上单调递减【分析】根据高斯函数的定义分析AB选项；根据高斯函数的定义代入化简g（x）的解析式，可判断C选项；根据g（2.4g（3.2）的值判断D选项.【解答】解：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，若对于A，∀x∈R，∃k∈Z，使得k≤x＜k+1，则f（x）＝x﹣k，因为k≤x＜k+1，所以0≤x﹣k＜1，所以f（x）∈[0，1即f（x）的值域为[0，1故A正确；对于B，又因为k+1≤x+1＜k+2，所以f（x+1x+1k+1x﹣k，所以f（x+1f（x0，故A正确，B错误；C：当2024≤x＜2025时，2025≤x+1＜2026，所以g，故C正确；D：因为g，所以g显然g（x）不可能在[2，+∞)上单调递减，故D错误.故选：AC.【点评】本题考查函数新定义内容，一方面可以从函数定义角度分析f（xg（x）的函数性质，还可以从函数图象的角度来分析，属于中档题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【分析】根据指数幂运算性质以及对数运算性质求解即可.故答案为：1.【点评】本题主要考查了指数及对数运算性质的应用，属于基础题.135分）已知sinθ+cosθ=，θ∈(0，)，则sinθ﹣cosθ的值为.【分析】利用同角三角函数间的基本关系，转化求解即可.【解答】解：因为sinθ+cosθ=，θ∈(0，)，所以1+2sinθcosθ=整理得2sinθcosθ=，因为θ∈(0，)，所以cosθ>sinθ,故答案为：−.【点评】本题考查的知识要点：同角三角函数的关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.145分）设函数若关于x的函数g（x[f（x）]2a+2）f（x）+a+1恰好有五个零点，则实数a的取值范围是（0，1].【分析】画出f（x）的图象，利用换元法，结合二次函数的知识来求得正确答案.解：∵函数f∴作出f（x）的图象如下：令f（x）＝t，则方程g（x）＝[f（x）]2﹣（a+2）f（x）+a+1＝0化为：t2a+2）t+a+1t﹣1）[ta+1）]＝0，∴t＝1或t＝a+1，又关于x的函数g（x）＝[f（x）]2﹣（a+2）f（x）+a+1恰好有五个零点，∴方程f（x）＝1和f（x）＝a+1分别有2和3个根，结合图象可知f（x）＝1有两个根，∴a+1∈（1，2]，故答案为0，1].【点评】本题考查函数的零点问题，数形结合思想，属中档题.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．设全集U＝R，已知集合，集合B＝{x|x2+3x﹣10（1）求A∩B和∁U（A∪B（2）若C＝{x|a≤x≤2a+2}且A∩C＝C，求实数a的取值范围.【分析】（1）解分式与二次不等式化简集合A，B，从而利用集合的交并补运算即可得解；（2）根据题意得到C⊆A，再利用集合的包含关系，分类讨论C=∅与C≠∅两种情况，得到关于a的不等式组，解之即可得解.解x2+3x﹣10＜0，得﹣5＜x＜2，则B＝{x|﹣5＜x＜2}，所以A∩B＝{x|﹣1≤x＜2}，A∪B＝{x|﹣5＜x＜4}，则∁U（A∪B）＝{x|x≤﹣5或x≥﹣4}.（2）因为A∩C＝C，所以C⊆A，而A＝{x|﹣1≤x＜4}，C＝{x|a≤x≤2a+2}，2a+2＜4当C≠∅时，则a≥﹣2，且，解得﹣1≤2a+2＜4当C=∅时，则a＞2a+2，解得a<﹣2，满足题意；【点评】本题主要考查分式不等式的解法，属于中档题.16．已知角α以x轴的非负半轴为始边，点P（43m）在角α的终边上，且sinα=（1）求m及tanα的值；求的值.【分析】（1）根据正弦函数的定义可求m的值，再根据定义可求tanα;（2）利用诱导公式和弦切互化法可求三角函数式的值.【解答】解1）因为角α以x轴的非负半轴为始边，点P（43m）在角α的终边上，且sinα=，又因为sinα=可得m＜0，所以m=﹣1或m＝1（舍可得tanα=2sinα+cosα(−tanα)−cosα−sinαtanα33【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式和同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题.17．已知幂函数f（x）＝（m2+m﹣5）•xm（m∈R）是定义在R上的偶函数.（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[，81]时，求函数g（xf（log3x2log3[f（x）]+2的最值，并求对应的自变量x的值.【分析】（1）根据幂函数及偶函数的定义求解即可；（2）由题意可得g（x）=(log3x−2)2−2，根据对数函数、二次函数的性质求解即可.【解答】解1）根据题意可得m2+m﹣5＝1，即m2+m﹣6＝0，所以（m+3m﹣20，解得m=﹣3或m＝2，又函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以m＝2，f（x）＝x2，所以函数f（x）的解析式为f（x）＝x2；f（log3x2log3[f（x）]+2+=(log3x)2−2log3x2+2=(log3x)2−4log3x+2=(log3x−2)2−2，所以当log3x＝2，即x=9∈时，函数g的最小值为﹣2；当时，log3x=﹣1，函数g的最大值为7.【点评】本题考查了幂函数、对数函数、二次函数的性质，考查了偶函数的性质，属于中档题.18．已知函数f（x）＝ax2﹣（a+1）x+1（a∈R）.（1）若f（x）在区间(﹣∞,1]上单调递减，求a的取值范围.（2）求关于x的不等式f（x0的解集.【分析】（1）讨论当a＝0和a≠0时，函数f（x）在(﹣∞,1]上单调递减的情况即可得出结论；（2）解f（x0，即解不等式（ax﹣1x﹣10，分类讨论当a＝0和a≠0的情况，在a≠0的情况下，再讨论a＜0，0＜a＜1，a＞1，以及a＝1时的解集，从而得出结论.【解答】解1）当a＝0时，f（x）=﹣x+1的单调递减区间为(﹣∞,+∞),满足题意，当a≠0时，因为f（x）＝ax2﹣（a+1）x+1在(﹣∞,1]上单调递减，所以解得0＜a≤1，综上所述，a的取值范围为{a|0≤a≤1}；（2）由f（x0可得ax﹣1x﹣10，解得x＜1；②当a≠0时，方程（ax﹣1x﹣10的两根为，1，当a＜0时，解不等式＜x＜1，当解不等式（ax﹣1x﹣10得x＜1或x当a＞1时，解不等式（ax﹣1x﹣10得x＞1或x<,当a＜0时，解集为1)；当a＞1时，解集为【点评】本题主要考查了二次