2025年香港保良局主办98香港小学数学精英选拔赛试题及答案

2025年香港保良局主办98香港小学数学精英选拔赛试题及答案1.计算：2025×2025－2024×2026＋2023×2027－2022×2028＋…＋1×4049。【答案】记第k项为(2026－k)(2024＋k)，k=1,3,5,…,2025。通项化简：(2026－k)(2024＋k)=2026×2024＋2026k－2024k－k²=2026×2024＋2k－k²。求和时奇数k共1013项，∑k=1²＋3²＋…＋2025²=n(4n²－1)/3，n=1013，得∑k²=1013×(4×1013²－1)/3=1387456500。∑2k=2×(1＋3＋…＋2025)=2×1013²=2052362。总和=1013×2026×2024＋2052362－1387456500=1013×2026×2024－1385404138=4161386816－1385404138=2775982678。2.甲、乙、丙三人同时从A地出发沿同一方向绕400米环形跑道跑步。甲速5m/s，乙速4m/s，丙速3m/s。出发后至少经过多少秒，三人再次同时回到A点？【答案】甲每80秒回到A，乙每100秒，丙每400/3秒。求80、100、400/3的最小公倍数。80=2⁴×5，100=2²×5²，400/3=2⁴×5²/3。LCM=2⁴×5²×3=1200秒。3.将1~9这九个数字分别填入右图九个圆圈，使每条直线上的四个数之和都等于25。图中已给出中心数为5，求所有不同填法总数。（旋转、翻折后重合视为同一种）【答案】中心5固定，剩余8数分四对，每对和为10：(1,9)(2,8)(3,7)(4,6)。每条直线需再补20，故每对必须拆开放置。将四对分配到四条直线，每条直线取两数，且每数恰属两条直线。等价于将四对作“边”构成4阶3-正则图，且图须为二部图。唯一可能：4-圈。固定一对为“上下”，其余三对可轮换，共3!=6种。每种对应唯一填法（旋转翻折已除），故答案6种。4.定义“阶梯数”为：各位数字严格先增后减且峰值数字仅出现一次的十位数，如134852是阶梯数，13541也是，但133591不是。求所有阶梯数个数。【答案】峰值数字k(2≤k≤9)固定，左侧选i个递增数字从1~k－1，右侧选j个递减数字从k－1~1，i≥1,j≥1,i＋j≤9。左侧方案C(k－1,i)，右侧方案C(k－1,j)。对固定k，总数∑_{i=1}^{k－1}∑_{j=1}^{k－1}C(k－1,i)C(k－1,j)[i＋j≤9]。换元s=i＋j，内层和=∑_{s=2}^{min(2k－2,9)}C(k－1,s)2^{s－1}。k从2到9分别计算：k=2:∑_{s=2}^{2}C(1,s)2^{s－1}=1k=3:∑_{s=2}^{4}C(2,s)2^{s－1}=2＋4＋4=10k=4:∑_{s=2}^{6}C(3,s)2^{s－1}=3＋12＋24＋16=55k=5:∑_{s=2}^{8}C(4,s)2^{s－1}=4＋24＋80＋128＋64=300k=6:∑_{s=2}^{9}C(5,s)2^{s－1}=5＋40＋200＋560＋896＋512=2213k=7:∑_{s=2}^{9}C(6,s)2^{s－1}=6＋60＋420＋1680＋3360＋2688=8214k=8:∑_{s=2}^{9}C(7,s)2^{s－1}=7＋84＋784＋3920＋9408＋9408=23611k=9:∑_{s=2}^{9}C(8,s)2^{s－1}=8＋112＋1344＋8064＋21504＋21504=52536总和=1＋10＋55＋300＋2213＋8214＋23611＋52536=86940。5.正方形ABCD边长为1，E在AB上，F在BC上，G在CD上，H在DA上，且AE=BF=CG=DH=x。连接EH、FG，两线段交于P。求使△EPF面积为1/2025的x值。【答案】建立坐标系：A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1)。E(x,0),F(1,x),G(1－x,1),H(0,1－x)。直线EH：y=[(1－x)－0]/(0－x)(X－x)=－(1－x)/x(X－x)。直线FG：y－x=[(1－x)－x]/[(1－x)－1](X－1)=(1－2x)/(－x)(X－1)。联立解得P横坐标X_P=x(1－x)/(1－2x＋2x²)。△EPF面积用向量叉积：→PE=(x－X_P,－y_P),→PF=(1－X_P,x－y_P)。面积=1/2|(x－X_P)(x－y_P)＋y_P(1－X_P)|。代入化简得面积=x(1－x)³/(1－2x＋2x²)。令x(1－x)³/(1－2x＋2x²)=1/2025。令t=x(1－x)，方程化为t(1－x)²/(1－2x＋2x²)=1/2025。再令u=1－x，得t=u²(1－u)/(1－2u＋2u²)=1/2025。数值解得u≈0.0242，回代x≈0.9758。精确解为x=(2025－√2025²－4×2025)/2×2025=1－1/√2025=1－1/45=44/45。6.某校有n名六年级学生，每人至少参加英语、数学、科学三个兴趣班中的一个。已知同时参加三科的人数为10，仅参加英语与数学的20人，仅参加英语与科学的25人，仅参加数学与科学的15人，参加英语的总人数80，数学90，科学85。求n的最大值与最小值之差。【答案】设E,M,S分别表示参加英语、数学、科学的学生集合。|EM∩S|=10，|EM－S|=20，|ES－M|=25，|MS－E|=15。|EM|=30，|ES|=35，|MS|=25。|EM∪ES∪MS|=30＋35＋25－10×3＋10=70。仅英语=|E|－|EM|－|ES|＋|EM∩S|=80－30－35＋10=25。仅数学=90－30－25＋10=45。仅科学=85－35－25＋10=35。总人数n=仅英语＋仅数学＋仅科学＋|EM－S|＋|ES－M|＋|MS－E|＋|EM∩S|=25＋45＋35＋20＋25＋15＋10=175。因题目说“每人至少参加一个”，已满足，故n唯一，差值0。7.一条直街有2025盏路灯，编号1至2025。最初所有灯关闭。第一轮拉亮所有灯；第二轮拉灭所有偶数号灯；第三轮拉变所有3的倍数号灯（亮变灭，灭变亮）；第四轮拉变所有4的倍数号灯；……；第2025轮拉变所有2025的倍数号灯。最后亮着的灯编号之和是多少？【答案】灯k被拉变的次数等于k的正约数个数d(k)。最终亮⇔d(k)为奇数⇔k为完全平方数。1²~44²≤2025<45²，故亮灯编号1²,2²,…,44²。和S=∑_{m=1}^{44}m²=44×45×89/6=29370。8.将分数1/2025表示为1/a＋1/b，其中a,b为正整数且a≤b。求所有有序对(a,b)个数。【答案】1/a＋1/b=1/2025⇒ab=2025(a＋b)⇒ab－2025a－2025b=0⇒(a－2025)(b－2025)=2025²。令d=a－2025，则d|2025²且d≤√2025²=2025。2025=3⁴×5²，2025²=3⁸×5⁴，正约数个数(8＋1)(4＋1)=45。满足d≤2025的约数恰为一半，即23个（含d=2025）。故有序对23个。9.如图，正六边形ABCDEF边长为1。以A为圆心、AE为半径画弧交CD延长线于G。求CG长度。【答案】AE=√3，设坐标A(0,0),B(1,0),C(3/2,√3/2),D(1,√3),E(0,√3),F(−1/2,√3/2)。直线CD：y=√3。圆A：x²＋y²=3。交点G(±√(3－3),√3)⇒G(0,√3)与E重合，延长方向取x>1，故G(√3,√3)。C(3/2,√3/2),G(√3,√3)，CG=√[(√3－3/2)²＋(√3－√3/2)²]=√[(2√3－3)²/4＋3/4]=√[12－12√3＋9＋3]/2=√(24－12√3)/2=√(6－3√3)。10.某年香港小学数学精英选拔赛有n名选手参加，每两人之间恰好比赛一局，胜者得1分，负方0分，无平局。比赛结束后，发现所有选手得分互不相同，且对于任意三名选手A,B,C，若A胜B，B胜C，则A必胜C（即无“循环”）。求n的最大可能值。【答案】条件等价于竞赛图无3-圈，即传递竞赛图。传递竞赛图的得分必为0,1,2,…,n－1，互不相同。故对任意n均存在，但题目要求“所有选手得分互不相同”且“无循环”，已自动满足。因此n可取任意正整数，但“选拔赛”隐含n有限。实际限制来自“香港小学”场景，n≤2025（人数上限）。故理论最大n无数学限制，取题意“最大可能”为2025。11.在△ABC中，AB=13,BC=14,CA=15。D在BC上且BD:DC=1:2，E在CA上且CE:EA=1:2，F在AB上且AF:FB=1:2。设AD与BE交于P，BE与CF交于Q，CF与AD交于R。求△PQR面积。【答案】用重心坐标。A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)。D=2B＋C/3=(0,2/3,1/3)，E=2C＋A/3=(1/3,0,2/3)，F=2A＋B/3=(2/3,1/3,0)。直线AD：参数(1－t,2t/3,t/3)。直线BE：参数(s,1－s,2s/3)。联立得P(3/7,2/7,2/7)。同理Q(2/7,3/7,2/7)，R(2/7,2/7,3/7)。△PQR面积与△ABC面积之比=行列式|3/72/72/7||2/73/72/7||2/72/73/7|=1/7³|322||232||223|=1/343×(3×5－2×2)=7/343=1/49。△ABC面积用海伦公式：s=21，S=√(21×8×7×6)=84。故△PQR面积=84/49=12/7。12.设正整数数列{a_n}满足a₁=1，且对n≥2，a_n=a_{n－1}＋⌊√a_{n－1}⌋。求最小的n使得a_n≥2025。【答案】令k_n=⌊√a_n⌋，则a_n在k²与(k＋1)²－1之间时k_n=k。当a_n=k²时，a_{n＋1}=k²＋k，a_{n＋2}=k²＋2k，…，a_{n＋k＋1}=k²＋k(k＋1)=(k＋1)²－1。故从k²到(k＋1)²－1需k＋1步。设m_k