数学第二十一章 四边形-平行四边的性质和判定综合训练课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章

四边形平行四边形的性质和判定综合训练人教版八年级下册单元复习1.如图，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠B＝∠D，AB与CD有怎样的位置关系？为什么？BC与AD呢？解：AB∥CD，BC∥AD.理由如下：∵∠1＝∠2，∠1＋∠DAB＝180°，∠2＋∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠DCB.又∵∠DAB＋∠B＋∠DCB＋∠D＝360°,∠B＝∠D，∴∠DAB＋∠B＋∠DAB＋∠B＝360°，∠DAB＋∠D＋∠DAB＋∠D＝360°.∴∠DAB＋∠B＝180°，∠DAB＋∠D＝180°.∴AB∥CD，BC∥AD.2.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AE，CF分别是∠DAB，∠DCB的平分线，则AE与FC有什么关系？请说明理由．解：AE∥FC.理由如下：∵∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＋∠BCD＝360°－2×90°＝180°.∵AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD，又∵∠BAE＋∠BEA＝90°，∴∠BEA＝∠BCF.∴AE∥FC.∴∠BAE＋∠BCF＝∠BAD＋∠BCD＝90°.3.写出以A(－2，2)，B(1，－2)，C(5，1)为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．解得xD＝－6，yD＝－1.∴顶点D的坐标是(－6,－1).同理可得，当AC为对角线时，顶点D的坐标是(2，5)；当BC为对角线时，顶点D的坐标是(8，－3).综上所述,顶点D的坐标为(－6,－1)或(2,5)或(8,－3).解：当AB为对角线时，4.如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵四边形AEFD是平行四边形，∴AD＝EF，AD∥EF.∵四边形EBCF是平行四形，∴BC＝EF，BC∥EF.∴AD＝BC，AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.∴∠EAO＝∠FCO，∠OEA＝∠OFC.∵O为AC的中点，∴AO＝CO.∴△AOE≌△COF(AAS).∴AE＝CF.∴AD－AE＝BC－CF，即DE＝BF.5.如图，O为▱ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F.求证：DE＝BF.6.如图，在n边形内任取一点O，连接点O与n边形的各个顶点，n边形被分成多少个三角形？请你利用这种方法推导n边形的内角和公式．解：n边形被分为n个三角形．n边形的内角和公式推导如下：∵三角形的内角和是180°，∠A1OA2＋∠A2OA3＋∠A3OA4＋∠A4OA5＋…＋∠An－1OAn＝360°，∴n多边形的内角和为180°×n－360°＝(n－2)×180°.7.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB，AB＝2，且AO

:BO＝2

:3.(1)求AC的长；(2)求▱ABCD的面积．解：(1)∵AC⊥AB，∴∠BAO＝90°.∵AO:BO＝2:3，∴设AO＝2a，BO＝3a.在Rt△BAO中，由勾股定理，得AB2＋AO2＝BO2，即22＋(2a)2＝(3a)2，∵四边形ABCD是平行四边形，解得a＝(负值已舍去).∴AC＝2AO＝4a＝.(2)求▱ABCD的面积．∴S▱ABCD＝AB·AC

解：(2)∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥AB，8.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，

AD＝DC＝BC＝5，AB＝11.(1)求证：∠A＝∠B；(2)求AB与CD之间的距离．(1)证明：如图，分别过点D，C作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E，F.∵DE，CF的长都是平行线DC，AB之间的距离，∴DE＝CF.又∵AD＝BC，∴Rt△AED≌Rt△BFC(HL).∴∠A＝∠B.(2)求AB与CD之间的距离．(2)解：如图，连接DF.∵AB∥CD，CF⊥AB，∴CF⊥CD.∴Rt△DEF≌Rt△FCD(HL).∴EF＝CD＝5.由(1)，得Rt△AED≌Rt△BFC，∴AE＝BF.

∴AB与CD之间的距离为4.在Rt△DEF和Rt△FCD中，∵AB＝11，∴AE＝BF＝(AB－EF)＝3.∴9.如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF.求证：(1)AE＝CF；(2)四边形AECF是平行四边形．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠ABE＝∠CDF.又∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF(SAS).∴AE＝CF.(1)AE＝CF；证明：(2)如图，连接AC交BD于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，AO＝CO.又∵BE＝DF，∴BO－BE＝DO－DF，即EO＝FO.∴四边形AECF是平行四边形．(2)四边形AECF是平行四边形．10.如图，AB，CD相交于点O，AC∥BD，OA＝OB，

E，F分别是OC，OD的中点．求证：证明：(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.又∵∠AOC＝∠BOD，OA＝OB，∴△AOC≌△BOD(AAS).∴OC＝OD.(1)OC＝OD；(2)四边形AFBE是平行四边形．证明：(2)∵E，F分别是OC，OD的中点，又∵OC＝OD，∴OE＝OF.又∵OA＝OB，∴四边形AFBE是平行四边形．∴OE＝OC，OF＝OD.11.如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为BC，AC上一点，BD＝CE，AE＝BC.(1)以AB为对角线作▱ADBG；(2)∠AFE的度数为____；(3)的值为____．45°解：(1)▱ADBG如图所示．12.如图，在▱ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边三角形ADE和等边三角形BCF，连接BE，DF.

求证：四边形BEDF是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，AD＝CB，∠BCD＝∠DAB.∵△ADE和△BCF都是等边三角形，∴DE＝AE＝AD，BF＝CF＝BC，∠BCF＝∠DAE＝60°.∴DE＝BF，CF＝AE，∠BCD－∠BCF＝∠DAB－∠DAE，即∠DCF＝∠BAE.∴△DCF≌△BAE(SAS).∴DF＝BE.又∵DE＝BF，∴四边形BEDF是平行四边形．证明：如图，过点D作DG∥AC交BF于点G.∴∠EAF＝∠EDG.∵E为AD的中点，∴AE＝DE.又∵∠AEF＝∠DEG，∴△AEF≌△DEG(ASA).∴AF＝DG.∵AD是△ABC的中线，∴D为BC的中点.∴DG是△BCF的中位线．13.如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE的延长线与AC的交点．求证：AF＝CF.证明：如图，连接BD.∵E，F，G，H分别是CD，BC，