山东省菏泽市2025年高三一模考试数学试卷（含答案）

2025年高三一模考试

数学试题参考答案及评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的．

题号12345678

答案DCDACABD

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

题号91011

答案BDBCDACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

（注：写对一个不得分），10π（注：第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（13分）解：（1）零假设H0:与性别无关.…1分

根据列联表中的数据得，…………5分

xx0.001

依据α=0.001的独立性检验，可以推断H0不成立，对机器人表演节目的喜欢与性别有关联

…6分

（2）依题意得，P，…………8分

P…………10分

则P(BA)>P(BA)…………11分

意义：该样本中男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的概率比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢概

率大；或者男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的人数比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢多等

等…………13分

16.（15分）

（1）证明：由CD//BE，BC=CD=DE=1,上DEB=60。，易求BE=2…………1分

取PE的中点M，连结MF，F为PB的中点

高二数学试题参考答案第1页(共6页)

所以MF//BE,MFBE,所以MF=1,MF//CD

所以四边形CDMF为平行四边形..................................................4分

所以，CF//DM，又CD丈平面PAD，DM平面PAD

所以CF//平面PAD...............6分

（2）由PE=EB=2,PB=2，所以PE2+EB2=PB2

所以PE丄EB，又平面PBE⊥平面ABCD所以PE⊥平面ABCD…………8分

以E为原点，EB所在直线为x轴，过E与EB垂直的直线为y轴，EP所在直线为z轴,建立如图所示的空

间直角坐标系，则

P(0，0，2),B(0，2，0),F(0，1，1),A(-，-1，0),…………10分

PA=(-·,-1，-2),PB=(0，2，-2),

设平面ABP的法向量为n=(x，y，z)，则n丄PA，n丄PB

所以，取z=-1，则x=·i3，y=-1

所以平面ABP的一个法向量为n………13分

设DF与平面ABP所成角为θ,则

所以直线DF与平面ABP所成角的正弦值为……15分

17.（15分）

（1）解：f'(x)=aex-1

当a≤0时，f'(x)<0恒成立，此时f(x)在R上单调递减…2分

当a>0时，令f'(x)=0，则x=-lna

x∈(-∞,-lna)，f'(x)<0，f(x)单调递减，

x∈(-lna，+∞)，f'(x)>0，f(x)单调递增

综上所述，当a≤0时，f(x)的减区间为(-∞,+∞)，无增区间；

高二数学试题参考答案第2页(共6页)

当a>0时，f(x)的减区间为(—∞,—lna)，增区间为(—lna，+∞).……6分

（2）因为存在x∈[—1，1]，使得|f(x)|≥2.只需fmax(x)≥2或fmin(x)≤—2……………8分

因为a>0，所以f(x)=aex—x>—x>—1…………10分

所以只需fmax(x)≥2由（1）知fmax(x)为f(—1)与f(1)中的较大者

所以f(1)=ae—1≥2或f(—1)=ae—1+1≥2解得a≥或a≥e，…………13分

所以a

综上所述，a的取值范围为………15分

18.（17分）（1）解：若i+j=100，则(i,j)的所有取值情况为：

(1,99),(2,98),(3,97),...,(50,50),...(97,3),(98,2),(99,1)

，22知：，

故数阵{a(i,j)}共99项由a(i,j)=i—ja(50,50)=0

a(1,99)+a(99,1)=a(2,98)+a(98,2)=...=a(i,j)+a(j,i)=0

所以.………………4分

T=a(1,99)+a(2,98)+a(3,97)+....+a(50,50)+...+a(97,3)+a(98,2)+a(99,1)=0

（2）证明：222222

a(m,n).a(p,q)=(m—n)(p—q)=(mp+nq)—(mq+np)

**

由m,n,p,q∈N知，mp+nq,mq+np∈N，故a(m,n).a(p,q)=a(mp+nq,mq+np)，

所以也是数阵{}中的项.……………8分

a(m,n).a(p,q)a(i,j)

知：22

（3）i,j∈{1,2,3,...,n}若i≠ja(i,j)=i—j=(i—j)(i+j)

由与具有相同的奇偶性知要使的值为奇数，需使与都是奇数，

i—ji+ja(j,i)j—ij+i

即i与j必定一奇一偶，

当n=3时，(i,j)的取值情况有4种，故

当n=4时，(i,j)的取值情况有8种，故

当n=5时，(i,j)的取值情况有12种，故

……

当n≥3且n为奇数时，{1,2,3,...,n}中有个奇数，个偶数，

高二数学试题参考答案第3页(共6页)

2

n—1

故(i,j)的取值情况有种，故…14分

当n≥3且n为偶数时，{1,2,3,…,n}中有个奇数，个偶数，

故(i,j)的取值情况有种，故

综上所述，当n≥3且n为奇数时，；当n≥3且n为偶数时，…………17分

19.解：（1）由双曲线C的渐近线方程为y=±x知：即b2=2a2.

把点(··i3,2)带入双曲线C的方程得：由解得

所以双曲线C的标准方程为x.………3分

(2)解法1：①由题意知切线PQ的斜率存在，故设切线PQ的方程为y=kx+m，

由圆O的圆心到直线PQ的距离d

所以m2=2k2+2…………①………5分

把y=kx+m带入x2—=1消y得：(k2—2)x2+2kmx+m2+2=0，

由题意知.设，，，

Δ>0P(x0,y0)Q(x1,y1)R(x2,y2)

那么由韦达定理知：………7分

x0+xx0x

那么yy=(kx+m)(kx+m)=k2xx+km(x+x)+m2=—+m2

01010101——

那么……10分

x0x1+y0y

所以OP.OQ=x0x1+y0y1=0，所以OQ丄OP，同理可得OR丄OP，

所以Q,O,R三点共线，又由双曲线C关于原点O对称，所以Q,R两点关于原点对称.……………12分

②MP.MQ是定值-2，证明如下：

连接OP,OM，由①知：OR丄OP，OM丄PQ，所以RTΔOMQ~RTΔPMO，

高二数学试题参考答案第4页(共6页)

所以所以MP.MQ=-|MP||MQ|=-|OM|2=-2为定值.………………17分

解法2：证明：设P(x0，y0)，Q(x1，y1),R(x2，y2)

①当时

x0=，

若P(，)，则Q(-、，)，R(，-)；

若P(，-)，则Q(-，-)，R(，)满足条件……………4分

②当时

x0≠，

设PQ：y-y0=k1(x-x0)，PR：y-y0=k2(x-x0)

因为PQ与圆O相切，所以O到直线PQ的距离为：d

222222

所以(2-x0)k1+2x0y0k1+2-y0=0，同理(2-x0)k2+2x0y0k2+2-y0=0

222

所以k1，k2时方程(2-x0)k+2x0y0k+2-y0=0的两根

所以（*）………7分

k1k

2222

联立化简得：(2-k1)x+(2x0k1-2k1y0)x-(x0k1-y0)-2=0

y0

所以

x0+x

同理x0+x

所以