2026年备战高考数学考试易错点18 不等式选讲（学生版）

易错点18不等式选讲易错点1.绝对值不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a{x|－a<x<a}∅∅|x|>a{x|x>a或x<－a}{x∈R|x≠0}R(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解．②利用零点分段法求解．③构造函数，利用函数的图象求解．易错点2.基本不等式定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a，b>0，那么eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．定理3：如果a，b，c∈R＋，那么eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．易错点3.不等式证明1．比较法(1)比差法的依据是：a－b>0⇔a>b．步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．(2)比商法：若B>0，欲证A≥B，只需证eq\f(A,B)≥1.2．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．易错点4.柯西不等式1、柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(当且仅当ad＝bc时，等号成立)．2、柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α或β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ(α，β为非零向量)时，等号成立．3、柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则eq\r(x1－x22＋y1－y22)＋eq\r(x2－x32＋y2－y32)≥eq\r(x1－x32＋y1－y32).4、柯西不等式的一般形式：设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n))(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋…＋beq\o\al(2,n))≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．1．已知平面向量，是单位向量，且，向量满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．2．已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．设，若的最大值是5，则的最大值是（

）A． B． C．2 D．44．关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．5．已知函数(1)当时，解不等式；(2)若对于任意的恒成立，求实数a的取值范围．1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知，若对任意，则（

）A． B． C． D．3．已知a，b，c都是正数，且，证明：(1)；(2)；4．已知a，b，c均为正数，且，证明：(1)；(2)若，则．5．已知函数．（1）当时，求不等式的解集;（2）若，求a的取值范围．一、单选题1．如果不等式成立的充分不必要条件是；则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．不等式的解集为（

）A． B．C． D．4．若正数满足，且，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．5．“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西﹣﹣布尼亚科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材4﹣5中给出了二维形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad＝bc（即）时等号成立．该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有广泛的应用．根据柯西不等式可知函数的最大值及取得最大值时x的值分别为（）A． B． C． D．6．若存在实数，使得当时，都有，则实数的最大值为（

）A．1 B． C．2 D．7．已知，，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．8．设，其中常数，.若函数的图象如图所示，则数组的一组值可以是（

）A． B．C． D．二、填空题9．已知平面向量，，满足，且，则的最大值为________．10．在直角坐标系中，定义两点与之间的“直角距离”为.若A，B是椭圆上任意两点，则的最大值是_______