相似三角形的判定与性质(解析卷)

相似三角形的判定与性质

一、选择

1.（2006年湖南邵阳，8,3分）将一副三角板按如图叠放，△A3C是等腰直角三角形，△

AC。是有一个角为30。的直角三角形，则△408与△OCO的面积之比等于（）

D

A

RC

1

C.—D.-

34

【知识考点工相似三角形的判定与性质.

【专题分类工相似三角形.

【审题要津】:根据已知可得到△AOOs/soco,从而得到相似比，根据面积比足相似

比的平方即可得到其面积比.

【解法研究工解：设4。=小则44=4C=〃，CD=\/3a

„CD=1：G

*：AB//CD

:AAOBSACOD

：.AB：CD=\：73

•••△AO8与△OCO的面积之比为1：3

故选C.

【精采点评工通过两个直角三角形的公共边找到两个三角形之间的联系是解决本题的

关键.

2.（2006湖南永州，20,3分）如图，E是平行四边形4BCD的边8A延长线上的一点，CE

交A。于点凡下列各式中错误的是（)

AEEFCDCFAEAFAEAF

B.----=-----C.----=-----D.----=-----

~AB~~CFBEECABDFABBC

【知识考点工相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质。

【审题要津】：根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解.

【解法研究工*：AD//BC

*AEEF

'~AB~'CF

：CD//BE

♦.△CDFS^EBC

.CDCFAFEF

'~BE~~EC'~DF~'CF

.AEAF

,~AB~~DF

：AD//BC

*.AAEFsAEBC

•AE-AF

•・D错误.

故选D.

【精采点评】：此题主要考查了平行四边形、相似三角形的性质.

3.（2006年江苏泰州，11,3分）如图，。为矩形ABCO的中心，将直角三角板的直角顶点

与。点重合，转动三角板使两直角边始终与4C,44相交，交点分别为M,N.如果

A13=4,AZ）=6»OM=K,ON=y.则y与x的美系是（）

263

【知识考点】：相似三角形的判定与性质：根据实际问题列一次函数关系式；矩形的性

质.

【审题要津】：根据矩形的性质，及相似三角形的性质得出了与x的关系.本题通过证

明△（，£可与ZXOFM相似得出.

【解法研究】：解：作。凡LBC,OE1,AB,则有NOEN=NOFM=90

•・•NEO产=90度,

・•・ZMOF=ZEOF-NEOM=90。-NEOM,

:/NOE=NNOM—/EOM=90。-NEOM,

・•・4M0F=4N0E,

•••△O£7V与△OBW相似.

AOE：OF=ON：OM,

.3_2

••~——,

2x

故选D.

【精采点评】：解决本题的关键是根据相似得到相应的等量关系.注意利用矩形的一些

性质.

4.（2006山东荷泽,8,3分）如图,。为44?。的"边上的一点，/。。4=/5,若40#。〃,

AB=3cm,则A。的长为（）

355

A.—cmB.—anC.2cmD.—cm

232

【知识考点】：相似三角形的判定与性质。

【专题分类】；相似三角形

【审题要津工先判断△AOC与aACB相似，再利用相似三角形对应边成比例求解即可.

【解法研究】：解：・；NA=N4,ZDCA=ZB,

/.△AOCS&CB,

：.AD：AC=ACtAB,

cm,AB=3cm,

：,AD：瓜=巫:3,

解得AD=2cm.

故选C.

【精采点评】：此题主要考查相似三角形的判定及性质.

5.（2006山东日照，12,3分）如图，点〃是。O的直径84延长线上一点，PC与。。相

切于点C,CQJ_A4,垂足为。，连结AC、BC、OC,那么下列结论中：①夕不二雨/肌②

PCOC=OPCDx③OA'ODOP.正确的有（）

4.0个8.1个

C.2个Q.3个

【知识考点】：相似三角形的判定与性质；切割线定理。

【审题要津】：第一个结论可以通过切割线定理直接得到.△COPs^ocp可得第二个

结论，△COPS^QOC可得至ij。（^二。。.。。，而OC=OA,所以结论三也可得到.

【解法研究】：解：,.•/COP=NOCP=90。，NOPC:NCPD（公共角）

和四边形EC8。的面积比，由于△8。”的面积正好等于四边形BCEO的面积，而△OEG和

△GC尸的面积相等，由此可求出△CFG和△BDF的面积比.

【解法研究】：解：〈DE分别是相和AC的中点

:.DE〃BC,DE=QBC

•••△AOFS^ABC,AGEDSGCF

：,DE=CF=\

：.CF=4IBC

：.BC=2

•••△AOE与△ABC的周长之比为。E：BC=1：2；

与△A8C的面积之比为1：4；

•••△八。七与四边形。ECB的面积之比为I：3；

•••△AOE与△QEG的面积之比为2：1；

•••△CFG与△8”。的面积之比为1：6.

【精采点评工此题考查了相似三角形的判定与性质，要注意三角形面积比的求解方法，

①相似三角形的面积比是相似比的平方：②若三角形的高相等，则面积比是两个三角形的底

边比.

8.（2006镇江，7,3分）如图，在△A8C中，D、E分别是A8和AC的中点，F是BC

延长线上一点，DF平分CE于点G,CF=\f则BC=,△AOE与△ABC的周长之

比为—，△CFG与△8。的面积之比为一.

【知识考点工相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理。

【审题要津】：通过全等三角形AOEG和△“CG,可得出CF=DE=1；根据。石是△/IBC

的中位线，可求出。氏BC=\：2,即相似三角形△4OE和A8C的相似比为1：2；由此可

求出的长和△人OE、△4BC的周长比.由于EG=GC='AE,而△人。石和AOEG等高，

2

因此它们的面枳比等于底边比，由此可求出△GEO和AAOE的面枳比，也就求出了△G£O

和四边形ECB。的面积比，由于△BOb的面积正好等于四边形BCE。的面积，而AOEG和

△GCF的面积相等，由此可求出△CFG和AB。产的面积比.

【解法研究】：解：•・•/）、石分别是和4c的中点，・・・OE〃BC,DE=-BC,/.△

2

ADE^^ABC,AGED学4GCF,：.DE=CF=\,：.CF=-BC,ABC=2,：.^ADE^/^ABC

0

的周长之比为。氏BC=1：2：•••△人。£与4人4。的面枳之比为1：4；•••△AOE与四边形

DECB的面积之比为1：3；••・△AZ）七与△OEG的面积之比为2：1；/.△CFG与ABFD的

面积之比为1：6.

【精采点评】：此题考查了相似三角形的判定与性质，要注意三角形面积比的求解方法，

①相似三角形的面积比是相似比的平方；②若三角形的高相等，则面积比是两个三角形的底

边比.

9.（2006德州，16,3分）如图,已知△A8C的面积以43L1.

在图I中，若44=g"=0£L=_L,则向C]=L；

ABBCCA24

“时士什小，BB、CC、11

在图2中，若一="=—=—^=一，则nlSZAXAB2c2=一；

ABBCCA33

“同-aRCC

在图3中，若-w-=AA•=B—B=—3=一1n，.则A5/\436。3=一7：

ABBCCA316

3IIBBx

按此规律，若4q4=--=-CCX-=1S4A888c8;

ABBCCA9------------

【知识考点工相似三角形的判定与性质。

【专题分类工规律型。

【审题要津】：根据图的特点，找出图中的相似三角形，求出其相似比，根据面积比等

于相似比的平方找出规律解答.

【解法研究工解：对图(2)进行分析：可以标出每条边的所有分点的字母，从也开

始，逆时针为看.&.G，可以得到△△3882s△ABC,

且相似比为(―)2=,，也就可以得到SA43/JH2=_5A4BC»而△A2A382和△A3882同底等高,

面积相等,

222

所以，S&A2BB2=3SdABC，同样道理,可得到,S4B2cle=3S么ABC，S/^A2c2=§SaA/jC,

那么S^A2B2C3=（1—§）SdABC=JS^ABC-

根据上述分析可以得到，如果A〃一I是AB的〃等分点：B/L1是BC的〃等分点，C/7-1

是AC的〃等分点,

那么S^M-lfin-lCn-1=l-(")2X3X(/?-1)=1-^(/\]),当〃=9时，则S/^8器OF一

nn"

3(9-1)19

81~2J'

【精采点评】：此题运用了相似三角形的判定和性质，以及相似三角形的面积比等于相

似比的平方，还用到了等底等高的三角形面积相等的知识.

10.(2006山东东营，17,4分)如图，己知△A8C的面积&48c=l.

襄

在图1中，若出11

=—,则SZ\A|BCi=

AB^CC.2

H1则SAA282c2=］；

在图2中，若.-.=—，

AB>3

AA7

在图3中，若一^则SZ\A383c3=一;

AB416

按此规律，若纯BB,_CCX1,A19

5AAS^8CS=—.

AB

（第17题）

【知识考点】：相似三角形的判定与性质.

【专题分类】：规律型.

【审题要津工根据图的特点，找出图中的相似三角形，求出其相似比，根据面积比等

于相似比的平方找出规律解答.

【解法研究工解：对图（2）进行【审题要津】：可以标出每条边的所有分点的字母，

从4开始，逆时针为A3.丛.。3，可以得到3882s△A8C,

（1Y11

且相似比为—=—,也就可以得到Sa438B2=§S.ABC，而AA2A3助和4人3AB2同底等

高，面枳相等,

222

所以，S^A2BB2=—S^ABC>同样道理，可得到，S^H2C2C=-S/sABC>S△人A2C2=§SaABC，

(61

-

那么5AA2B2C3=I-S/\ABC=—SAABC.

根据上述分析可以得到，如果是AB的〃等分点，B〃-1是BC的〃等分点，Cn

-1是AC的〃等分点，

那么S^An-1UnICM-1当n=9时,

3(9-1)_19

则5.M8B8C8=1

8127

【精采点评］此题运用了相似三角形的判定和性质，以及相似三角形的面枳比等于相

似比的平方，还用到了等底等高的三角形面积相等的知识.

三、解答

11.(2006哈尔滨，29,9分)已知，如图，AD为RtAABC斜边BC上的高，点、E为DA

延长线上一点，连接8E,过点C作CALBE于点F,交AB、4。于M、N两点.

(1)若线段AM.AN的长是关于x的一元二次方程x2-2加+/-的两个实数

4

根，求证：AM=AN^

159

(2)若AN=，，DN=~,求。E的长；

88

(3)若在(1)的条件下，SmMN：S.ABQ64,且线段4尸与EF的长是关于)，的一元二

次方程5『-l6Jly+10I2+5=0的两个实数根，求BC的长.

BDC

【知识考点】：相似三角形的判定与性质；根的判别式；根与系数的关系。

【专题分类】：代数几何综合题；数形结合。

【审题要津】：(1)根据根的判别式△=(),判断出AMMN,

(2)判断出△4QCS43D4,利用相似三角形的性质解答，

(3)根据面积比等于相似比的平方解答.

【解法研究】：解：(1)△=(-2〃力2-4(/-mn+—m2)=-(〃?-2〃)2>0,

4

:.(m-2n)2<0,

/.m-2〃=0,

/.△=0

，一元二次方程/-hnx^rT-mn+—m2=0有两个相等实根，

4

：,AM=AN.

(2)VZBAC=90°,ADVBC,

：.NADC=NADB=90°,

ZDAC=ZDBA,

:.丛ADCSRBDA,

.ADDC

••—,

BDAD

:.A风BD・DC,

'：CFA.BE,

：,NFCB+NEBD=90。,

VZE+ZEBD=90°,

:・/E=NFCB,

,//NDC=NEDB=90。,

:.△EBDs^CND,

.EDBD

••=,

CDDN

:・BD・DC=ED・DN,

:・A心ED・DN,

159

*：AN=—,DN=-,

88

:,AD=DN+AN=3,

：.32=-DE,

8

ADE=8.

（3）由（1）知AM=AN,

:./AMN=NANM

•••NAMN+NCAN=90。，N0NC+NNO90。，

/.NACM=NNCD

VZBMF+ZFBM=90°,NAMC+NAC/W=90。,

/.NACM:NFBM

由（2）可知NE=N〃C8,

・•・NABE=NE,

：.AB=AE

过点AH、MGJLAN于点G

.“妨MGAM

由MG〃BD得——=——，

BDAB

.S^AMN_2ANMG_AM2_9

===,

**,BP7F64

2

.AM3

••____一—9

AB8

.AN_AM_3

••———9

AEAB8

过点八作人"_LE产于点H,

由A”〃fN,

得空=空珞

HFAN3

设EH=8a,则FH=3a,

'：AE=AB,

：・BH=HE=8a,

：.RF=5（bEF=\\a,

BF^EF=\6a=—k

由根与系数关系得，5

BFEF=55a2=2k2+\

解得：a=±—f

5

V«>0,o=—,

5

:・BF=B

由N4CM=NMCB,NDAC=NDBA可知AACNsABCM,

.ACAN3

设AC=3〃，则BC=5Z?

在mZVIBC中，有A8=4A.

,\AM=—b.

2

在即ZVICM中，WMC=­/?

2

gBCCM.BC_2

由XAkCMsXAFCB得一=——

BFAM飞二百

2

・"C=5.

【精采点评工此题综合性强，难度大，有利于培养同学们对知识综合运用的能力，命题立

意：此题综合考查一元二次方程的根与系数的关系，三甭形相似的判定及性质的应用.

12.（2006武汉，36,10分）（北师大版）已知：将一副三角板（阳/XABC和RfZ\OEF）如

图①摆放，点、E、A.。、4在一条直线上，且。是A3的中点.将用△£>£/绕点。顺时针

方向旋转角a（0°<a<90。），在旋转过程中，直线。瓜AC相交于点M,直线。F、BC相

交于点N,分别过点V、N作直线48的垂线，垂足为G、H.

（1）当a=30。时（如图②）,求证：AG=DH；

（2）当a=60。时（如图③），（1）中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；

（3）当0。<〃<9（）。时，（I）中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图④说明理由.

【知识考点】：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角

形；旋转的性质。

【专题分类］综合题。

【审题要津】：【审题要津】：(1)由题意易证出AG=-AD,DH=-DB,而AD=DB,可得

22

AG=DH；

(2)可由证△AMOgZiONB,再证△AMG也证出AG=。”；

(3)可证/^△AGMSR/Z\N〃B,RIADGMSR［丛NHD,证出4G=O〃.

【解法研究】:解：⑴V«=30°,

ZADM=30°,

VZA=30°,

/.ZADM=ZA.

：,AM=DM.

又・・・MG_LA。于G,

：.AG=-AD.

2

ZCDB=1800-ZEDF-NAQM=60。，N8=60°,

•••△CDB是等边三角形.

又•：CHLDB于H,

：.DH=-DB.

2

•・•在中，NACB=9。。，NA=30。，

：.BC=-AB.

2

•:BC=BD,

:,AD=DB.

：・AG=DH.

(2)解：结论成立.理由如下：

在△AMO与△ON8中，ZA=ZNDB=30°,AD=DB,ZMDA=ZB=60°,

:.△AMD9XONB,

：,AM=DN.

又，・•在△AMG与△QN"中，NA=NNDB,NMGA=NHD=9()0,

:.XAMGQXDNH.

:,AG=DN.

(3)方法一：解.：结论成立.

RiAAGMsRtANHB,Rt^DGM^Rt^NHD.

*/NC=NMDN=9。。

AC,。两点在以M/V为直径的圆上，

AC,M,D,N四点共圆

NDNM=NDCA=30。,

:.DN=6DM

又♦：/XDGMsANHD,

:,DH=6MG=AG.

方法二：

解:当0。<0<90。时,(1)中的结论成立.

在R/4/U/G中，N4=30。，

/.ZAMG=60°=ZB.

又NAGM=NNHB=9()0,

：./\AGMS/\NHB.

.・・0=丝①

AGDH

*：ZMDG=a,

：,N/WG=90。-a=/NDH.

又/MGD=/DHN=90。,

，Rt/XMGDsRtADHN.

GDNH

MGDH

GDHB

①x②，得.——=——

AGDH

ADBD

由比例的性质，得

AGDH

•:AD=DB,

：,AG=DH.

【精采点评】：此题主要考查图形的旋转，直角三角形的性质，三角形全等的判定，三角形

相似的判定及性质的灵活运用.此题用同学们常用的一副三角板作为情境，培养同学们灵活

运用知识的能力.

13.(2006湖南永州，27,10分)在直角梯形ABC。中,AO//BC,ZB=90°,ZC=45°MZ>372,

。。二7,点P是8C边上的一动点（不与点B重合），过点。作。EJ_AP,垂足为E.

(1)求/IB的长；

(2)设APr,DE=y,求)，与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；

(3)延长。£交4?于点八连接PR当△AQE为等腰直角三角形时，求s加/五出的

值.

【知识考点】：相似三角形的判定与性质；直角梯形；解直角三角形。

【专题分类】：动点型。

【审题要津】：(1)过。作。G_L8C,垂足为G,已知口>7及NC=45。，根据三角函

数可求得4B的长.

(2)已知N8=NA&X90。，AD//BC,得到ND4E=NAP8,根据有两组角相等的两个三角

r)pAn

形相似得到△/WPsZ\OE4,从而得到对应边成比例即——=——，从而可得到自变曷工的

ABA尸

取值范围.

(3)根据题意可得到人所。斤EA从而可求得AP、PE,根据勾股定理求得分'的长，此

时再求sinZFPA的值就不难了.

【解法研究】：解：

(1)过。作。G_LBC,垂足为G.

y/27x/2

AB=DG=CDsinC=lx—=—.

22

(2)VZ^=ZAED=90°,AD//BC

：.ZDAE=ZAPB

(4分)

.DEADy3>/221

••-----=------>-------=-------»y=—.

ABAP7夜xx

取值范围是述〈作J丽.

2

(3)由题意知：AE=DE=EF=ADsin450=3>/2x—=3.

2

21

.・.A尸二小7,PE=1~3=4.

PF=yjPE2-^EF2=V42+32=5,

【精采点评］此题主要考查学生对相似三角形的判定及解直角三角形的理解及运用.

14.(2006湖南永州，28,10分)如图，以。为圆心的两个同心圆中，大圆的直径4。交

小圆于M,N两点，大圆的弦A8切小圆于点G过点C作直线垂足为E,

交大圆于F,H两点.

(1)试判断线段AC与8c的大小关系，并说明理由；

(2)求证：FC・CH=AE*AO；

(3)若FC,C"是方程/一2逐x+4=0的两根(CH>CF),求图中阴影部分图形的

周长.

【知识考点工相似三角形的判定与性质；解一元二次方程-公式法；弧长的计算；解直

角三角形。

【专题分类】：综合题；压轴题。

【审题要津】：(1)相等，主要根据是垂径定理，从已知条件中可知A8为大圆的弦，

且垂直于半径，所以相等.

(2)利用切割线定理，和相交弦定理就可证明.

(3)先解方程求出根，再观察图发现阴影部分图形的周长就是一段弧长加一线段，分别计

算相加.

【解法研究】：解：(1)相等.

连接OC，WJCO1AB,故AGBC.

(2)由△ACT/S/XFCB,得AC・CB=FC・CH=Ad,

又由△AC£SA4OC,得AC2:AE・AO.

：.FC>CH=AE>AO.

(3)解方程得：CH二币+1,CF=45-\,

CE=y/5-(>/5-1)=1,3=4,AG2,

CE1

在R/4ACE中，sinA=——=-,

AC2

/.ZA=30°,・・・NAOG600,NCON=120度.

2

在△ACO中，CO=ACuanA=2x—=-73

33

AC4百46262百

AO=------=—AM=AO~OM=--------=—

sin6003333

Jnr“1r2G4G

弧CN长=-x2兀X----=-----71,

339

AN=AM+2OC=-^―+2x—i—=2\/3，

33

4n

阴影部分周长=AC+AN+CN=2++—7U.

9

【精采点评】：本题是比较传统的几何型综合压轴题，涉及圆、相似、三角等几何重点

知识.

15.（2006永州，29,12分）（附加题）如图，以O为圆心的两个同心圆中,大圆的直径

AO交小圆于M,N两点，大圆的弦A8切小圆于点C,过点。作直线CE_LA。，垂足为E,

交大圆于F,H两点.

（1）试判断线段AC与BC的大小关系，并说明理由；

（2）求证：FC・CH二AE・AO；

（3）若FC,C"是方程/一2右卢4=0的两根（CH>CF）,求图中阴影部分图形的局长.

【知识考点工相似三角形的判定与性质；解一元二次方程•公式法；弧长的计算；解直

角三角形。

【专题分类】：综合题；压轴题。

【审题要津】：（1）相等，主要根据是垂径定理，从已知条件中可知为大圆的弦，

且垂直于半径，所以相等.

（2）利用切线定理，和相交弦定理就可证明.

（3）先解方程求出根，再观察图发现阴影部分图形的周长就是一段弧长加一线段，分别计

算相加.

【解法研究】：解：（1）相等.（I分）

连接OC,则CO_LA8,AC=BC.（3分）

（2）[tlAAC^AFCB,得AC・CB=FC・CH=AC2,（4分）

又由得（5分）

：,FC*CH=AE*AO.(6分)

（3）解方程得：0”=石+1,CF=加一（7济）

CE=\[5—(y/5—1)=1,AC1=4,AC=2,

CE1

在RiAACE中，sinA=-----=—,

AC2

••・NA=30。，・・・NAOC=60°,NCON=I2()度.

在AACO中，CO=AC・%M=2x—=冬旦,

33

AC484x/32G2,3

AO=——，AM=AO-OM=——------=——，

sin60°3333

弧CN长=1乂27、述二递》

339

2G「2G

AN=AM+2OC=—^―+2x—i—=26，（9分）

33

阴影部分周长=4C+AN+CN=2+2G+华4.（10分）

【精采点评］本题是比较传统的几何型综合压轴题，涉及圆.相似.三角等几何重点

知识.

16.（2006年山东滨州，23,8分）如图，己知直角三角形48C,

（I）试作出经过点A,圆心O在斜边A6上，且与边BC相切于点石的。。及切点E和圆

心0（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；

（H）设（I）中所作的OO与边AB交于异于点A的另一点D.

求证：

DEBD

（1）-----=------；

AEBE

（2）EC・BE二AOBD.

【知以考点】：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；弦切角定理.

【专题分类］相似三角形；与圆有关的位置关系。

【审题要津工（I）作N8AC的角平分线A£交8c与£,过E点作EO垂直于8C,交

与O,。即为所求圆心；

（n）（1）要证匹二处，由组成线段可知只需证明即可，而N8为共用

AEBE

角，Z1为弦切角N4所夹的弧所对的圆周角所以相等，因此有即

DEBD

~AE~~BE'

RDDEBDpcDE

(2)要证EOBE=AC・BD即证二一=——由(1)知,所以需证二一

ACBEAE-~BEAC~~XE

即心△人CEsR/△人E。，而在这两个三角形中,都有一个直角，且易证N1=N3=N2,所以

可证相似，从而得出所求结论.

【解法研究工解：（【）如图所示;

（II）连接DE,则NAED=90。，

证明：(1)VZ4=Z2

/B=NB

:ZDEsgEA

.DEBD

（5分）

-BE

(2)丁”。切。。于K,

：.OE±BC.

又・・FCJ_8,

：.OE//AC.

AZI=Z3.

又易知N2=N3,

AZ1=Z2.

又・・・/C=N4E£>=90。,

:W△ACESRIAAED.

ECDE

.（7分）

ACAE

EC_BD

又由⑴知‘

【精采点评】：此题主要考查了三角形相似和圆之I、瓦的关系，难易程度适中.

17.（2006年山东滨州,24,8分）（I）如图1,点尸在平行四边形ABC。的对角线上,

一直线过点P分别交BA,BC的延长线于点Q,S,交AD,CD于点R,T.求证:PQ+PR=P9PT；

（II）如图2,图3,当点P在平行四边形ABCD的对角线BD或DB的延长线上时，

PQ・PR=PS・PT是否仍然成立?若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图

2为例进行证明或说明）；

（III）如图4,A8CO为正方形，A,E,F,G四点在同一条直线上，并且EF=4on,

试以（【）所得结论为依据，求线段R7的长度.

【知识考点】：相似三角形的判定与性质；平行四连形的性质；正方形的性质.

【专题分类】：相似三角形；平行四边形；探索题.

【审题要津】：（1）本题要通过相似三角形来求解.已知了四边形A8CO是平行四边形,

POPB

那么CQ〃48,可根据相似三角形。7P和8以得出上=—,同理可在相似三角形RP。

PTPD

和SPB中得出类似的结论，将中间值替换即可得出本题所求的结论.

（2）图2,3问（I）完全一样.均是通过两组不同的相似三角形来得出两组对应线段成比

例，然后将相等的项进行替换即可得出所证的结论.

（3）根据（1）的结论可知：A^=EF・EG,据此可求出EG的长，进而可求出产G的值.

【解法研究工证明：（I）•・•在平行四边形48CD中，AB//CD

AZ1=Z2,Z（＞Z4.

•'△PBQs△尸。-

.PQ_PB

“77一而.

,JAD//BS,

AZ3=Z6,ZS=Z5.

J△尸8ss△尸。R.

”

乌

-麻

PD

PS

fGw-丽

•.PQ*PR=PS・PT.

o

理由如下：

在△PQ8中，

'JDT//BQ,

.PT_PD

••拓一砺

在△PBS中，

•:DR〃BS,

.PDPR

.PT_PR

"~PQ~~PS

:・PQ・PR=PS・PT・

(III)由(I)的结论可得，Af=EF・EG,

A62=4EG,

・・・£G=9.

AFG=EG-EF=9-4=5

所以，线段尸G的长是5M.

O

【精采点评］本题主要考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质.通过相

似三角形得出与所求相关的线段对应成比例是解题的关健.

18.(2006宿迁，23,8分)如图，在口A4CQ中，AE.BF分别平分NQA8和N48C,交

CO于点E、F,AE、8/相交于点M.

(1)试说明：AE±BF：

'('2)判断线段。尸与CE的大小关系，并予以说明.

DC

.V

AB

【知识考点］相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；平行四边形的性质。

【专题分类］几何综合题。

1

【审题要津工（1）因为AE8/分别是ND4B,//WC的角平分线，那么就有

1

ZDAB,NMBA=2/ABC而ND4B与N4BC是同旁内角互补，所以，能得到/A1A8+

NA/ZM=90°,即得证.

（2）两条线段相等.利用平行四边形的对边平行，以及角平分线的性质，可以得到4

AOE和△BCF都是等腰三角形，那么就有CF=8C=AO=QE,再利用等量减等量差相等，

可证.

【解法研究】：解:

（1）方法一：如图①

;在“ABC。中，\D//BC.

・・・NOA8+NA8C=180°.（1分）

8/分别平分NO/1B和N/WC,

AZDAB=2ZBAE,AABC=2ZABF.（2分）

・•・2ZBAE+2ZABF=180”.

即/胡£：+/43尸=90°.（3分）

・•・ZAMB=90°.

：.AELBF.（4分）

方法二：如图②，延长BC.4E相交于点P,

•:在6BCD中,AD〃BC,

：,^DAP=^APB.（I分）

TAE平分"44,

/.ZDAP=ZPAB.（2分）

/.ZAPB=ZPAB.

・：AB=BP.（3分）

rBF平分48P,

「•APLBF,

即AE1BF.（4分）

（2）方法一：线段Z）/与CE是相等关系，即。F=CE,（5分）

.:在oABCD中,CD〃AB,

1/DEA=/EAB.

又：NE平分"A8,

/.^DAE=ZEAB.

/,^DEA=^DAE.

・・・DE=AD.（6分）

同理可得，CF=BC.（7分）

又•・,在86c。中，AD=BC,

：,DE=CF.

.：DE・EF=CF-EF.

B|JDF=CE.（8分）

方法二：如图，延长8C.AE设交于点尸，延长ADBb相交于点0,（5分）

•・•在口ABC。中，AD〃BC,

：.^DAP=^APB.

VAE平分NDAB,

/.ZDAP=^PAB,

/.ZAPB=ZPAB.

・：BP=AB.

同理可得，A0=AB.

/.A0=BP.（6分）

•・•在XBCD中,AD=BC,

・・・0D=PC.

又,：在a\RCD中,DC〃AB,

/.AODF^AOAB,APCE^APBA.（7分）

.0DDFPCEC

，

**~0A~7F~PB~~AB

：,DF=CE.（8分）

图①

图②

【精采点评】：本题利用了角平分线的性质，平行四边形的性质以及等量减等量差相等

等知识.

19.（2006山东枣庄，24,12分）如图，在△A8C中，AB=AC=\,点。，E在直线8C上运

动.设BD=x,CE=y.

（1）如果N84C=30。，ZDAE=\05°,试确定y与x之间的函数关系式；

（2）如果N8AC=a,NDAE寸,当a,尸满足怎样的关系时，（I）中），与x之间的函数关系

式还成立？试说明理由.

【知识考点】：相似三角形的判定与性质：根据实际问题列反比例函数关系式；三角形

内角和定理：等腰三角形为性质。

【专题分类工代数匚何综合题；数形结合。

【审题要津工（1）利用等腰三角形的性质得NA8/）=NACE=105。，利用等量代换求得

ZCAE=ZADBf故后，得竺_=吗即J_='所以）,=［；

ECACy1x

（2）要使y=,，即4匕二吧-成立，须且只须△人。8s△£4C.由于NA8/XNEC4

xECAC

故只须乙4。/NE4C,利用三角形的内角和和邻补角的概念求得NE4C+N84Q=夕-a,Z

ct（Xa

ADB+ZBAD=ZABC=90°--,所以只90°-—呻・a,须即夕--=90°.

222

【解法研究】：解：（I）在△4BC中，AB=AC=\,NB/1C=3O。，

・•・NA8C=N4C8=75。，

/.NABD=NACE=105°,

VZDAE=105°,

：.ZDAB+ZCAE=150,

又Z1DAB+Z1ADB=/A8c=75°,

：.ZCAE=ZADB,

：.△AOBS.EAC,

.ABBD

'*EC-AC

1X1

即上所以y=—；

y1”x

（2）当a、A满足关系式夕-4=90"时，函数关系式y=,成立,

2x

理由如下：要使y=L,

x

....ABBD「、

即——=——成立，

ECAC

须且只须△A。4s△EAC,

NABD=NECA,

・•・只须/AOB:NEAC,

a

又；ZADB+^BAD=^ABC=90°--,/EAC+/BAD=B-a,

ct

・•・只须90。--=fl-a,

即夕-3=90°.

【精采点评】：本题利用了等腰三角形的性质，三角形的内角和，邻补角的概念，相似

三角形的判定和性质求解.

20.（2006山东枣庄，24,12分）如图，在△A8C中，48=AC=1,点Q,£在直线3c上运

动.设CE=y.

（1）如果N8AC=30。，NQAE=105。，试确定y与x之间的函数关系式；

（2）如果NBAC=a,4DAE=B，当a，夕满足怎样的关系时，（I）中y与x之间的函数关系

式还成立？试说明理由.

【知识考点】：相似三角形的判定与性质；根据实际问题列反比例函数关系式；三角形

内角和定理；等腰三角形的性质。

【专题分类】：代数几何综合题；数形结合。

【审题要津】：（1）利用等腰三角形的性质得NABD=NACE=105。，利用等量代换求得

A3BD]（।

ZCAE=ZADB,故△4。8s△E4C后，得一=一，即一二二所以）,=一；

ECACy1x

।BD

（2）要使y=一，即——=—成立，须且只须8s△E4C.由于/48D;NEC4,

xECAC

故只须NAQB=N£4C,利用三角形的内角和和邻补角的概念求得/E4C+NRW=6-a,Z

aact

ADB+ZBAD=ZABC=90°-—,所以只90。--二6-a,须即/?--=90。.

222

【解法研究】：解：（I）在△4BC中，AB=AC=\,Z5AC=30°,

；・ZABC=ZACB=15\

・•・ZABD=ZACE=\05°,

VZDAF=105°,

・・・NO/W+/C4E=75。，

又N048+ZADB=ZABC=15°,

:.NCAE=NADB,

△AOBS/\EAC,

.ABBD

**EC-AC

lx1

即一二一所以y=一；

yIx

（2）当。、/?满足关系式q=90”时，函数关系式y成立，

2x

理由如下：要使），=1,

x

AB_BD

即EC4c成立，

须且只须△ADBS/XEAC,

•・•ZA13D=ZECA,

,只须NAZ）B=NE4C,