湖北武汉市2026届高中毕业生三月调研考试数学试卷+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页湖北武汉市2026届高中毕业生三月调研考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A=xx2−3xA．0,2,3,4 B．−2．已知复数z=a+i1A．−3 B．3 C．−13．记半径为R的球体的表面积和体积分别为S1和V1，记某底面半径为R的圆锥的表面积和体积分别为S2和V2，若S1A．49 B．43 C．234．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB−bcosA．2 B．3 C．4 D．55．记等比数列an的前n项和为Sn，若2S9=S3A．3 B．6 C．9 D．126．连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得−1分，记总得分为X，则（

A．EX=8 B．EX=127．若存在正实数a，使得函数fx=3ex−1A．1 B．2 C．3 D．48．已知A，B是双曲线x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左右顶点，P1A．2 B．4 C．6 D．8二、多选题9．现有10个数据为：3，3，3，3，4，4，4，5，5，6，对于该组数据，下列说法中正确的有（

）A．众数是4 B．平均数是4 C．极差是3 D．中位数是4.510．如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，点P，Q，M，N分别是AA．PQ//平面ABCC．PQ⊥平面ABB1A11．定义在0,+∞上的函数fx满足当n−1<A．fB．当t>0时，若fx在区间t,C．存在正实数a和x0，使得x>D．当2≤t<5时，若fx在区间三、填空题12．平面向量a，b满足：a=1，b=2，2a+313．平行于x轴的直线交抛物线C1：y2=2x于点P1，交抛物线C2：y2=8x于点P2，记抛物线C114．如图，已知ω>0，在函数fx=sinωx+φ的部分图象中，其图象上的点A,四、解答题15．在数列an中，a1=6，a3(1)求a2(2)证明：1a16．如图，在三棱锥P−ABC中，PA=1，PB=23，PC=3，AB=3(1)求MN(2)求三棱锥P−(3)求直线BC与平面P17．已知函数fx(1)当a=−1时，求曲线y(2)讨论fx(3)若fx有极小值，且fx≥18．曲线E：x2t+y21−t=1（0<t<1）与直线l：x+y=1交于点(1)用t表示点A的坐标；(2)证明：PA(3)是否存在某条直线始终与以PQ19．有n张编号分别为1到n的卡片，横向随机排列.对于这n张卡片，初始状态下卡片标号从左到右为A1，A2，…An，记此时的卡片排列为（A1，A2，…An）.对这n张卡片的排列进行如下三步操作：1.取出最左边的卡片，记其标号为k；2.剩余卡片中，标号小于k的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为L1，L2，…Lk−1（若不存在则为空），标号大于k的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为R1，R2，…Rn−k（若不存在则为空）；3.对这(1)若初始排列为3,(2)求初始排列经过一次完整操作后恰好能得到1,(3)记初始排列中有Bn个排列种数能经过连续若干次完整操作后能得到1,2,⋯答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《湖北武汉市2026届高中毕业生三月调研考试数学试卷》参考答案题号12345678910答案CADCADBDBCACD题号11答案AD1．C【详解】不等式x2解得−1≤x绝对值不等式|x化简得x−1≥即x≥3或又因为x∈Z所以A∩2．A【详解】z=因为复数z=a+i13．D【分析】先设该圆锥的高为h，根据球体与圆锥的表面积公式与体积公式列式，结合S1=S【详解】依题意，S1=4πR2,由S1=S2可得故V14．C【分析】利用正弦定理化边为角，根据和角的正弦公式化简，再由同角三角函数化弦为切即得.【详解】由acosB−因sinC将其代入（*）整理得sinA即得tanA=45．A【分析】设等比数列an的公比为q，根据题意，利用等比数列的求和公式，化简求得q3=−1【详解】设等比数列an的公比为q当q=1时，可得S因为a1≠0，所以2S9又因为2S9=所以2(1−令t=q3，可得2t2−t法一：由1a3+1a因为q3=−12，代入化简得1−2法二：由等比数列的通项公式，可得an因为1a3+1a则1q(1因为q3=−12，所以−6．D【详解】设Y为正面向上的次数，则Y~总得分X=由于E(Y)所以ED(7．B【分析】根据题意，利用指数幂的运算法则，以及f−x+fx=0【详解】由函数fx=3又由f−因为函数fx是奇函数，可得f−x即3ex−因为存在正实数a使得函数fx定义在−∞,当x>a>所以2b=1当x<−a所以2b=1综上可得，实数b的值为2.8．D【分析】设Pnxn,yn，利用坐标计算【详解】由题意知，A−a,设Pnxn,y则Pn则PnPnPn则cos==c则sin2则11因为PnA⋅所以Pn11因为其公差相等，所以c2则8a29．BC【详解】10个数据中3出现了4次，4出现了3次，5出现了2次，6出现了1次，所以次数最多的数据是3，所以众数是3，故A错误；平均数为3+极差为6−中位数为4+10．ACD【分析】对于A，取AB的中点D，证明PQ//CD，结合线面平行判定定理证明PQ//平面ABC，即可判断，对于B，若MN⊥BC，则MB=MC，连接ME，E【详解】对于A，取AB的中点D，连接PD，在△ABB1中，∵P，D分别为∴PD//在直三棱柱ABC−A1∵Q为棱CC1的中点，∴CQ∴PD//∴四边形PDCQ又∵CD⊂平面ABC，PQ⊄平面ABC，对于B，因为N为BC的中点，若MN⊥连接ME，E为AC的中点，则ME//所以ME⊥平面ABC，所以ME⊥EC,则EC=a所以MC=a2+所以MN对于C，在直三棱柱ABC−A1又CD⊂平面ABC，∴BB1⊥C由选项A的推理知CD//PQ又∵AB∩BB1=B，所以PQ⊥平面对于D，因为P为AB1的中点，四边形所以点P为A1B的中点，又N为所以PN//又M,Q分别为A1C1所以MQ//所以四边形MQNP为平行四边形，故PQ与11．AD【分析】由条件可得fn=0，当n为正偶数，且n−1<x<n时，f【详解】因为当n−1<x≤所以fn当n−1<x<所以当n为正偶数，且n−1<当n为正奇数，且n−1<对于A，对于任意x，若x∈N*，则f若x∉N*若n为偶数，则fx>0，f若n为奇数，则fx<0，f综上，对于任意x，fx对于B，若t=2，则因为fx的零点为正整数，故函数fx在区间对于C，若n−1<f′令f′x=当n为正偶数时，若n−1<x<若n2n+1<函数fx在x=n当n为正奇数时，若n−1<x<若n2n+1<函数fx在x=n若x∈N*当n为奇数，若n−1<x<要满足存在正实数a和x0，使得x>x只需满足对于任意的n0≥x0，n0故需满足1n0+1−又函数y=1x+1−xx+对于D，由选项C可得函数fx的极值点为x=n所以函数fx的极值点按从小到大排列依次为1当2≤t<5时，因为fx在区间2若12,43∈若43,94∈若94,165∈若165,256∈若256,367∈又t+1<6<故t的取值范围是8312．−35【分析】利用向量点积运算展开条件式，代入已知模长求出数量积，再通过数量积公式得到夹角余弦值.【详解】2a解得cosa13．3【分析】设平行于x轴的直线方程为y=t，然后求出P1【详解】由题意可得，F112,0,则P1t2所以t22-根据对称性，不妨取P12,所以四边形F1F214．5【分析】设D(x0,0)，A(x0−a,b)，B(【详解】因为AD点A,B,C是图象上的同一直线上的三点，直线与A,B两点关于D点对称.，C,设D(x0,0)，A(x0所以sinωx0所以2sinωx0+若sinωx0+φ所以cosωa=0，则所以ωa=π2，结合①有而sinωx0−π所以sin2ωx所以ω=15．(1)a(2)证明见解析【分析】（1）使用等差中项性质即可求解；（2）使用累加法求得an【详解】（1）设bn=a因为an+1则有b1+b3=（2）由（1）知，b1=6则bn=2当n≥2a⋮a将各式相加，得an即an−6=2因此an=n则1a因为n≥1，则1n16．(1)2(2)15(3)3【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合勾股定理的逆定理、余弦定理、锐角三角函数定义进行求解即可；（2）根据三棱锥的等积性，结合三棱锥的体积公式进行求解即可；（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）在△PAC在△PAB因为PA⊥平面AMN，所以PA所以在Rt△PA在Rt△PA在△PBC所以在△PBC（2）所以在Rt△PA在Rt△PA在△AMN所以sin∠设点A到平面PBC的距离为由三棱锥的体积公式和性质，得VP−A（3）由上可知：MA=MN，取AN因为PA⊥平面AMN，所以PA因此以OM,ON所在的直线为x轴和y轴，过O与A0由上可知：M是棱PB中点，P所以可得B5,32设平面PAB的法向量为PA所以m⋅所以取该平面的一个法向量为m=设直线BC与平面PAB所成角为θ，所以sinθ17．(1)4(2)当a≤0时，fx在0,+∞上单调递增；当a>(3)0【分析】（1）利用导数求得f′（2）求导，分a≤0和a>（3）结合（2）可得a>0时，fx【详解】（1）当a=−1所以f′x=又f1所以曲线y=fx在点1即4x（2）由fx得f′函数fx的定义域为0若a≤0，可得x∈0,+∞若a>0时，当x∈0,a时，当x∈a,+∞时，f综上所述：当a≤0时，fx当a>0时，fx在0（3）由（2）可知当a>0时，fx此时极小值也是最小值，由fx≥0，可得−又a>0，所以令ga=1所以ga在0,+当a∈0,1时，ga所以a∈0,1时，所以a的取值范围0,18．(1)A(2)证明见解析(3)y【分析】（1）联立曲线E和直线l求交点A.（2）先求出过A与直线l垂直的直线方程，联立曲线E方程，用韦达定理求B点坐标，进而得到P点坐标，最后计算PA（3）根据直线与以PQ【详解】（1）因为曲线E和直线l交于点A，所以将直线l:y=1−则x2化简得(x−t)2所以At（2）因为直线l斜率为−1，所以直线AB斜率为即直线AB：y联立直线AB和曲线Ey=x+设A(x1,y1)由韦达定理可得：x1+x所以P(根据两点间距离公式可得：AB又因为线段AB的中点为P，所以PA由两点距离公式可得：PQ==5所以PA即PA（3）存在直线l'：y设圆心为T，半径为r，直线AP交y=−AP⊥l'，连接OQ设PM=x，AM为AM=2由（2）可知，PA所以PQ所以圆心T到l'的距离d故⊙T与y=−19．(1)((2)2(3)证明见解析【分析】（1）根据题意，逐步对初始数列进行完整操作；（2）分析初始排列的特点，计算出满足条件的排列种数与总排列数的比值；（3）分析初始排列经过连续若干次完整操作后能得到1,【详解】（1）第一次完整操作：初始排列为3,5,可得标号小于k的卡片L1=2标号大于k的卡片R1=重新排列得到新排列(2第二次完整操作：最左边的卡片标号k=可得标号小于k的卡片L1标号大于k的卡片R1=3，R重新排列得到新排列(1连续经过两次完整操作后得到的新排列(1（2）要使初始排列经过一次完整操作后恰好能得到1,L=(1,2R=(k+1首元素为k时，剩余n−1个位置由已经各自内部有序的L和确定L中元素的位置可确定整个排列，共有Cn又因为k可以取遍1,所以满足条件的初始排列总数为∑k又因为n个元素的全排列总数为n